专题 5.1 常量与变量（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年浙教版 八年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 5.1 变量与函数 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】常量与变量 1 【知识点二】表格法表示变量之间关系 2 【知识点三】解析式表示变量之间关系 2 【知识点四】解析式表示变量之间关系 2 二.题型精析 2 （一）基础篇 2 【★题型1】常量与变量 2 【★题型2】表格法表示变量关系 4 【★题型3】解析法表示变量关系 6 【★题型4】图象法表示变量关系 7 【要点归纳】 9 （二）培优篇 9 【★★题型5】表格法、解析法、图象法综合应用 9 【要点归纳】 12 【★★题型6】表格法、解析法、图象法与几何综合应用 12 【要点归纳】 18 三．同步练习​ 18 【★基础巩固（选择题4题，填空题4题，解答题2题）】 18 【★★能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题2题）】 23 一.知识梳理 题型前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】常量与变量 在一个过程中，固定不变的量称为常量.可以取不同数值的量称为变量. 【知识点二】表格法表示变量之间关系 定义：把自变量的一系列取值和对应的因变量值用表格形式呈现，直观展示变量间的数值对应关系。 特点： 优势：数据清晰、具体，能直接读出某一自变量对应的因变量值，便于快速查找。 局限：只能展示有限组数据，无法反映变量间的整体变化趋势，也不能直接得到任意自变量对应的因变量值。 【知识点三】解析式表示变量之间关系 函数解析式表示自变量和因变量之间的数量关系，通常形式为y = f（x）（x 为自变量，y 为因变量）。 优势：精准刻画变量间的数量规律，可通过计算求出任意自变量对应的因变量值，能清晰反映变量的变化本质。 局限：抽象性较强，需要通过计算才能得到具体数值，对复杂关系难以写出解析式。 【知识点四】解析式表示变量之间关系 以自变量为横轴、因变量为纵轴，在平面直角坐标系中描点连线，用图形直观展示变量间的变化趋势。 优势：直观性最强，能清晰看出变量的增减变化、极值、周期性等规律，可快速判断变量间的大致关系。 局限：图象上读取的数值是近似值，无法精准表示变量间的数量关系（需结合解析式）。 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型1】常量与变量 【例题1】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）节约用水已成为大家的共识．每月的用水量（单位：立方米）、支付的水费、每立方米水的价格，这三个量中的变量是（    ） A．每月的用水量 B．每立方米水的价格 C．每月的用水量和支付的水费 D．支付的水费 【答案】C 【分析】本题考查了变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量，熟练掌握变量的定义是解题关键．根据常量和变量的定义：每立方米水的价格是固定不变的，属于常量；而每月的用水量和支付的水费会随着用水情况变化，属于变量；由此即可得． 解：∵每立方米水的价格是固定不变的，而每月的用水量和支付的水费会随着用水情况变化， ∴变量是每月的用水量和支付的水费． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）一个圆柱的高为，当圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也发生了变化，在这个变化过程中（   ） A．是因变量，是自变量 B．是自变量，是因变量 C．是自变量，是因变量 D．是自变量，是因变量 【答案】B 【分析】主要考查了函数的定义，根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量． 解：一个圆柱的高h为，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积也发生了变化，在这个变化过程中r是自变量，V是因变量， 故选：B． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）球的体积是M，球的半径为R，则，其中变量和常量分别是（    ） A．变量是M，R；常量是， B．变量是R，π；常量是 C．变量是M，R；常量是3，4，π D．变量是M，R；常量是 【答案】A 【分析】本题主要考查了常量和变量，解题的关键是熟练掌握常量和变量的定义． 根据变量和常量的定义，变量是数值发生变化的量，常量是数值始终不变的量，在球的体积公式中，体积M和半径R是变量，而常数系数是常量． 解：∵ 公式 中，M和R的值随球的大小变化而变化， ∴M和R是变量； ∵ 和π是固定不变的数值， ∴ 它们是常量。 因此，变量是M、R，常量是， 故选：A． 【★题型2】表格法表示变量关系 【例题1】（25-26七年级上·山东潍坊·期中）食用油的沸点一般都在以上，下表所示的是在加热食用油的过程中，五次测量食用油温度的情况： 时间 油温 则下列说法不正确的是（    ） A．时间与油温是变量 B．没有加热时，油的温度是 C．持续加热到时，预计油的温度是 D．随着加热时间的增加，油温会持续升高 【答案】D 【分析】本题考查了常量与变量，根据表格数据，时间与油温都是变量，且初始温度为；温度随时间的变化呈线性关系，每秒升高，因此加热到秒时预计温度为；但由于食用油有沸点，温度不会无限升高，因此油温不会持续升高，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：、由从表格数据可知，时间和油温都在变化，原选项正确，不符合题意； 、当时，，原选项正确，不符合题意； 、∵温度变化率恒定，每秒升高，即每秒升高， ∴当时，，原选项正确，不符合题意； 、由与食用油的沸点一般都在以上，温度达到沸点后不再升高，原选项错误，符合题意； 故选：． 【变式1】（25-26八年级上·山西晋中·期中）我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如下表： 温度 100 150 200 250 … 导热率K（） 0.15 0.2 0.25 0.3 … 根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为 ℃． 【答案】500 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据表格中两个变量T、K的对应值以及变化规律可得答案． 解：由表格可得，温度每增加，导热率增加， ∴当导热率为时，温度为： ， 故答案为：500． 【变式2】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）某地每周有人次乘坐9路公交车，该路公交车每周的收入为元，每人次乘坐的票价相同．部分与的数据如下表所示： 人次 180 220 325 356 420 … 元 360 440 650 712 840 … （1）表中的自变量为___________，因变量为___________； （2）已知该路公交车每周的油费、维护检修费等固定支出费用共800元，要使该路公交车每周的利润达到1000元，每周需要有多少人次乘坐该路公交车？（收入支出利润） 【答案】（1）每周乘坐9路公交车的人次；9路公交车每周的收入；（2）每周需要有900人次乘坐该路公交车 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，找准两个变量之间的关系，是解题的关键： （1）直接根据表格进行作答即可； （2）由表格可知，每人次乘坐的票价为2元，根据收入支出利润，列出方程进行求解即可． 解：（1）解：由表格可知，公交车每周的收入随着乘坐人次的变化而变化， 故自变量为：每周乘坐9路公交车的人次，因变量为：9路公交车每周的收入； （2）由表格可知，每人次乘坐的票价为元， 由题意，得：， 解得：； 答：每周需要有900人次乘坐该路公交车． 【★题型3】解析法表示变量关系 【例题1】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）在某地区，人们发现某种鸟类的飞行高度与它1分钟鸣叫的次数有如下的近似关系：用该鸟类1分钟鸣叫的次数减20，再把结果除以5，就近似地得到该鸟类的飞行高度（单位：）． （1）用代数式表示与之间的关系； （2）当该鸟类1分钟鸣叫的次数是90时，该鸟类的飞行高度是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是用关系式表示变量间的关系，正确列出关系式是解题的关键． （1）根据题意：该鸟类1分钟鸣叫的次数减20，再把结果除以5，列代数式即可； （2）把代入，计算即可得到答案． 解：（1）解：根据题意得． （2）解：当时，． 答：该鸟类的飞行高度是． 【变式1】（25-26七年级上·甘肃定西·期中）龙神茶，又名陇南绿茶，是甘肃省南部陇南地区的特色茶叶，产于该地的高山云雾之中，因品质上乘而享有盛誉．某茶叶专卖店购进一批龙神茶，若每天售出16盒，则25天就能售完；若每天售出x盒，则需要y天售完，下面用式子表示售完这批茶叶所用天数y与每天售出盒数x之间关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，茶叶总盒数固定，根据每天售出盒数与售完天数的乘积等于总盒数，建立关系式即可． 解：∵每天售出16盒，25天售完， ∴总盒数为 盒． 又∵每天售出x盒，y天售完， ∴， ∴． 故选A． 【变式2】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）张师傅加工一批零件，每小时加工个数和加工时间如表： 每小时加工个数个 加工时间时 如果每小时加工的个数用表示，加工的时间用表示，则与的关系式为： ． 【答案】 【分析】本题考查了列函数关系式，通过观察表格数据，发现每小时加工个数与加工时间的乘积恒为600，即可得到，再变形即可求解． 解：由表格数据可得， 所以关系式为 ， 故答案为 ． 【★题型4】图象法表示变量关系 【例题1】（24-25七年级下·湖南·开学考试）某地出租车行驶里程x（）与所需费用y（元）的关系如图，若乘客一次乘坐出租车行驶里程，则该乘客需支付车费多少元？ 【答案】该乘客需支付车费20元 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系、从图象中获得信息．根据从图象中获得的信息，求解即可． 解：由图象得（元） （元） 答：该乘客需支付车费20元． 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮北·月考）将一个高为的圆柱形杯子，放入一个高为的长方体容器中，现向长方体容器中匀速注水，长方体容器中水面高度与注水时间之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，理解题中两个变量间的关系是解题关键．由题意可得：杯中水满之前，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较快，杯中进水到杯中水满之前，长方体容器中水的高度不变为，杯中水满之后，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较慢，从而可得答案. 解：由题意知，杯中水满之前，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较快，杯中进水到杯中水满之前，长方体容器中水的高度不变为，杯中水满之后，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较慢， ∴符合题意的图象是B选项中的图象． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·河北张家口·期末）某商场调查发现，一商品的销售量与销售单价之间存在如图所示的关系．当销售单价为150元时，销售量约为 件． 【答案】30 【分析】本题考查图象法表示两个变量的关系，观察图象找出销售单价和销售量之间的关系，由销售单价140元时的对应销售量为40即可解题． 解：由图象找出销售单价和销售量的对应数值， 可得销售单价每增加10元，销售量对应减少10件， 因为销售单价为140元时，销售量为40件， 所以销售单价为150元时，是在140的基础上再增加10元，所以销售量要在40的基础上减少10件，所以为30件． 故答案为：30． 【要点归纳】 表格法题型需先明确自变量与因变量，通过分析表格中数据的变化规律，判断变量间的关联，再结合实际情境并验证选项或求解未知量； 解析式法题型要根据题干描述的数量关系列出函数关系式，明确自变量取值范围，再代入数值计算或判断关系式的正确性； 图象法题型需先识别横轴、纵轴对应的变量，从图象中提取关键信息，如起点、拐点、变化趋势、特殊点坐标，结合变量的实际意义分析图象阶段特征，进而解决求值、选图或趋势判断问题。三类题型均需紧扣 “变量间的对应规律”，结合实际背景验证结论合理性。 （二）培优篇 【★★题型5】表格法、解析法、图象法综合应用 【例题5】（25-26七年级上·河北唐山·期中）一艘轮船从甲地驶往乙地，轮船的速度与航行时间之间的关系如下表： 速度 20 50 75 … 航行时间 7.5 3 2 … （1）甲、乙两地相距______km？ （2）航行时间是怎样随轮船的速度的变化而变化的？ （3）轮船的速度与航行时间之间成什么比例关系？ 【答案】（1）150；（2）航行时间t随速度v的增加而减小，随速度v的减小而增大；（3）反比例关系 【分析】本题考查变量之间的关系，掌握反比例关系的特点是解题的关键． （1）用任意一组数据中的速度乘以时间即可； （2）根据所给数据变化趋势可得答案； （3）根据可得答案． 解：（1）解：甲、乙两地相距， 故答案为：150； （2）解：由所给数据可得：航行时间t随速度v的增加而减小，随速度v的减小而增大． （3）解：∵甲、乙两地距离固定为， ∴v与t满足， ∴轮船的速度v与航行时间t之间成反比例关系． 【变式1】（24-25六年级下·山东淄博·期末）综合与实践：小明要用总长为12米的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙（墙长9米），另外三边是篱笆，其中不超过9米，如图所示．设垂直于墙的两边，的长均为x米，长方形花圃的面积为y平方米． （1）在x，y这两个变量中，自变量是___________，因变量是___________； （2）___________米（用含x的式子表示），请判断当时是否符合题意，并说明理由； （3）求y与x之间的关系式； （4）根据（3）中y与x之间的关系式补充下面表格： x（米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … y（米2） 13.5 16 17.5 m 17.5 n 13.5 … ①___________，___________； ②请观察表格中的数据，并写出y随x变化的一个特征：___________． ③在y随x变化的过程中，问y是否存在最值（最大值或最小值）？若存在，请直接写出y的最值（注明是最大值，还是最小值）及此时x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）自变量是x，因变量是y；（2），时不符合题意，理由见分析；（3）；（4）①18，16；②当时，y随x的增大而增大．（或当时，y随x的增大而减小；或当时，y取得最大值）（答案不唯一）；③y存在的最大值为18，此时x的值为3 【分析】本题考查用表格表示两个变量间的关系、用关系式表示两个变量间的关系，理解题意，能从表格数据中获取信息是解答的关键． （1）根据自变量和因变量的定义求解即可； （2）由篱笆的长度和图形周长求法列代数式即可求得表示的代数式，再求得当时的的值，进而与9比较大小可得结论； （3）根据长方形的面积公式求解即可； （4）①分别将和代入（3）中关系式中可求解m、n值； ②由表格数据中自变量和因变量的变化可得结论； ③根据表格因变量的变化规律可得答案． 解：（1）解：根据题意，自变量为x，因变量为y； （2）解：设垂直于墙的两边，的长均为x米， 根据题意，米， 当时，， ∴时不符合题意； （3）解：由题意，得； （4）解：①当时，，即； 当时，，即； ②根据表格数据变化，当时，y随x的增大而增大．（或当时，y随x的增大而减小；或当时，y取得最大值）（答案不唯一）； ③根据表格数据变化，y随x的增大，先增大再减小，在时，取得最大值， 即y存在的最大值为18，此时x的值为3． 【变式2】（23-24七年级下·全国·期末）春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过，设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． （1）判断是否符合题意，并说明理由； （2）求与之间的关系式； （3）根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． 【答案】（1）不符合题意，理由见详解；（2）；（3）18，16，y随x的增大先增大后减小 【分析】本题主要考查用关系式和表格表示变量之间的关系，根据题意正确表示出花圃的长是解题关键． （1 ）根据，且，可得，再将代入求值后与墙长9米比较可得； （2 ）根据长方形的面积公式即可得关于的函数关系式； （3 ）将、代入求值可完善表格，由表格中随的增减性可得． 解：（1）解：不符合题意， 由题意得，， 当时，， 则，不符合题意； （2）解：； （3）解：当时，， 当时，， 完成表格如下： （米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 （米） 13.5 16 17.5 18 17.5 16 13.5 由表可知，随的增大先增大后减小， 故答案为：随的增大先增大后减小． 【要点归纳】 以“变量间的本质关联”为主线，打通三种表示方法的转化通道—— 表格数据推导解析式、解析式绘制图象、图象提取数据验证表格和解析式，结合实际情境明确变量的取值范围与实际意义。 【★★题型6】表格法、解析法、图象法与几何综合应用 【例题6】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】①动点在段运动时对应时间为0到4秒，根据点的移动速度即可算出的长； ②当点运动到点时，为直角三角形，计算出其面积即为的值； ③观察题意，图图甲的面积，求出相应长度代入求值即可； ④图乙中的值即为点走完全程所需的时间，求出整个路程长，根据移动速度即可求出时间． 解：当点在上运动时，逐渐增大，由图乙可知，在段运动时对应时间为0到4秒， ， 即图甲中的长为，故①说法正确； 当点运动到点时，为直角三角形， ， ， 即图乙中是，故②说法正确； 由图可知：，， 又，， ，， 则图甲的面积， 故③说法正确； 图乙中代表点从所需的全部时间， ， 秒， 故④说法正确； 正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点拨】本题考查三角形综合知识以及动点问题，学会结合图象具体分析仍是解决该类问题的关键，要重点理解动点P的不同位置导致面积的变化特点． 【变式1】（25-26八年级上·吉林通化·期中）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）___________（用的代数式表示） （2）当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，若的面积为S，请你写出用来表示S的式子，并表示出的取值范围． （4）当点在边上运动时，出发___________秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或 【分析】本题考查等腰三角形性质和判定，两变量之间的关系式，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题意即可用可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （3）根据写出关系式，当点在边上运动时，用时秒，据此写出的取值范围； （4）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 解：（1）解：由题意可知，， ， ， 故答案为：； （2）解：当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即， 解得， 出发秒后，能形成等腰三角形； （3）解：当点在边上运动时，用时秒， ； （4）解：①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示， 则， ， ． ， ， ， ， ， 秒； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示， 则， 秒； 综上所述：为秒或秒． 故答案为：或． 【变式2】 在平面直角坐标系中，等腰的三个顶点的坐标，其中a，b是二元一次方程组的解， （1）求的面积 （2）点P是线段上一个动点，连接，点D是线段中点，连接，若点P的横坐标为m，设的面积为y，求y与m的关系式，并直接写出m的取值范围． （3）在（2）的条件下， 当时， 在上有一点E，使得， 求此时点P的坐标，判断和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）12；（2）；（3）， 【分析】本题考查了 二元一次方程组，坐标与平面综合，中点坐标公式，函数关系式的建立，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点． （1）先解二元一次方程组求出，再由三角形面积公式求解； （2）先由中点坐标公式表示，再由即可求解； （3）由得到，则，故，根据三角形的外角性质以及结合已知条件得到，由，得到，故，则． 解：（1）解：， 解该方程组得：， ∴， ∴，， ∴； （2）解：如图， ∵，点D是线段中点， ∴， ∴， ∴y关于m的关系式为：； （3）解：结论：，理由如下：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【要点归纳】 此类题型融合了表格、解析式、图象的变量表示方法与几何图形的核心考点，解题关键在于建立 “几何量如边长、面积、坐标” 与 “变量（时间、动点位置）” 的关联，通过数形结合实现几何关系与函数关系的相互转化。 三．同步练习​ 【★基础巩固（选择题4题，填空题4题，解答题2题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）球的体积是，球的半径为，则，其中变量是（   ） A．变量是 B．变量是 C．变量是 D．变量是 【答案】A 【分析】本题考查了常量和变量，根据常量和变量的概念解答即可． 解：球的体积是V，球的半径为R，则， 其中变量是V，R； 故选：A． 2．（20-21七年级下·河北保定·期中）油箱中存油18升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间（分钟）的关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据“油箱中剩余的油量=原有存油量-流出的油量”进行列式，表达即可作答． 解：∵油箱中存油18升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟， 则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间（分钟）的关系式是， 故选：D． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）下表列出了一项实验的统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高度（单位：cm）与下落高度（单位：）之间的关系，若下落高度，则弹跳高度的值是（   ） 50 100 150 25 50 75 A．100 B．95 C．90 D．105 【答案】A 【分析】本题是对函数表格的考查．观察表格发现下落高度d都是弹跳高度的2倍，据此求解即可． 解：观察表格发现下落高度d都是弹跳高度的2倍， 则下落高度，则弹跳高度的值是． 故选：A． 4．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）圆圆出门散步，从家出发走了到达离家的广场，看到广场有杂技表演，就停下来看了一会儿，在度过了愉快的后，再用回到家中．下面图象能表示圆圆离家的距离（单位：m）与外出时间x（单位：）之间的关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，解决本题的关键是圆圆观看了的杂技表演． 根据题意可知，圆圆在内，离家距离是，再由观看了的杂技表演可知此时距离不变，再由回家用了，可知在第时圆圆到家，由此判断图象即可． 解：∵从家出发走了到达离家的广场， ∴圆圆在第时，离家距离是， ∵圆圆观看了的杂技表演， ∴圆圆的离家距离不变，依然为， ∵圆圆再用回到家中， ∴圆圆在第时，到达家中， 由此可知可以表示圆圆离家的距离（单位：m）与外出时间x（单位：）之间的关系的是A选项． 故选：A ． 二、填空题 5．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，诗词中体现了温度随着海拔的升高而降低．已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则山顶距离地面竖直高度h千米与温度的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了列函数关系式．根据地面温度为，且每升高1千米温度下降，据此列出关系式即可． 解：∵某地面温度为，且每升高1千米温度下降， ∴山上距离地面竖直高度千米处的温度为，． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·四川·期中）如图，将长为、宽相等的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，设m张白纸粘合后的总长度为，n与m的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用关系式表示变量之间的关系，整式的加减运算，由图可知，将m张这样的白纸粘合后的总长度张白纸的总长个粘合部分的宽，把相关数据代入化简即可得到所求关系式． 解：由题意可得：m张白纸粘合后的总长度为， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）声音在空气中传播的速度（米/秒）（简称音速）与气温（）之间的关系如下： 气温（℃） 音速（米/秒） 从表中可知音速随温度的变化而变化．某校在气温为的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点 米． 【答案】 【分析】本题考查变量之间的关系，函数的表示方法；能够通过表格观察出变量的变化关系，利用表格的数据计算距离是解题的关键．从表格可知，时，音速为343米/秒，根据音速乘以时间，即可求解． 解：从表格可以看到y随x的升高而加快； 时，音速为343米/秒，米， 这个人距离发令点米； 故答案为：； 8．（24-25七年级下·陕西西安·期末）一棵树高与生长时间（年）之间满足一定的关系，请你根据下表中的数据写出与（年）之间的关系式： ． 年 1 2 4 6 8 … … 【答案】 【分析】本题考查了根据表格数据寻找变量间的关系，解题的关键是观察数据变化规律，通过计算差值确定两者的线性关系． 观察表格中n每增加一定年份时h的变化量，发现n每增加2年，h增加，即每年h增加；再结合时h的值，确定关系式中的常数项． 解：观察表格数据，当时，时，，相比时增加了时，，相比时增加了，即每2年增加，也就是每年增加． 由此可知h与n的关系为h等于每年增加的高度乘年数再加上初始高度． 当时，，符合数据时，，符合数据．​ 所以h与n之间的关系式为． 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）某水果店出售一批苹果，把这些苹果平均分装在若干袋子里，每袋装的重量和总袋数如下表所示． 每袋苹果的重量（） 5 10 12 15 20 … 总袋数 24 12 10 8 6 … （1）这些苹果一共有多少千克？ （2）总袋数是怎样随着每袋苹果的重量的变化而变化的？ （3）用表示总袋数，表示每袋苹果的重量，用式子表示与的关系． 【答案】（1）；（2）总袋数随着每袋苹果重量的增加而减少；（3） 【分析】本题考查函数的表示方法． （1）根据苹果的总重量每袋苹果的重量总袋数计算即可； （2）观察表格即可； （3）根据总袋数苹果的总重量每袋苹果的重量计算即可． 解：（1）解：， 答：这些苹果一共有； （2）解：总袋数随着每袋苹果的重量的增多而减少； （3）解：． 10．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图表示一辆汽车在行驶途中的速度（千米时）随时间（分）的变化示意图． （1）从点到点、点到点、点到点分别表明汽车在什么状态？ （2）分段描述汽车在第0分钟到第28分钟的行驶情况． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查利用图象表示变量之间的关系，正确理解图象中点的坐标表示的意义是解决问题的关键． （1）根据图象的变化趋势，可得汽车的状态； （2）根据图象的变化，可得答案； 解：（1）解：由平行于横轴，得从点到点汽车以 30 千米时匀速行驶； 点到点汽车在加速行驶； 点到点汽车在减速行驶； （2）解：从、、是匀加速运动， 从、是匀减速运动， 从、、是匀速运动，汽车静止． 【★★能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题2题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·江西南昌·期末）圆的周长公式中，变量是（    ） A． B．和 C．2 D．仅 【答案】B 【分析】本题主要考查变量与常量的定义，变量是问题中会发生变化的量，常量是固定不变的数值．在圆的周长公式中，变量是指可以取不同值的量，而常量是固定不变的数值．表示圆的周长，其值随半径的变化而变化，因此是因变量．表示圆的半径，可以取不同的值，是自变量．和是固定数值（），属于常量． 解：A、是常量，错误； B、和均为变量，正确； C、“2”是常量，错误； D、仅包含，但也是变量，不完整，错误． 综上，变量是和， 故选：B． 2．（24-25七年级下·山东青岛·期末）五一假期，小明去游乐场坐了摩天轮，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的关系如图所示，已知摩天轮匀速转动，则下列说法正确的是（   ） A．自变量是小明离地面的高度h，因变量是小明坐上摩天轮后的旋转时间t B．摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面9米 C．摩天轮转一周需要9分钟 D．当时，小明处于上升状态 【答案】D 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确认识图象，理解自变量和应变量是解题的关键． 根据函数图象，结合题意，逐一判断各选项，可得到结果． 解： A．根据图形，可得到自变量为小明坐上摩天轮后的旋转时间，因变量是小明离地面的高度，故原说法错误，此选项不符合题意； B．摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面45米，故原说法错误，此选项不符合题意； C．摩天轮转一周需要6分钟，故原说法错误，此选项不符合题意； D．当时，小明离地面的高度越来越大，所以处于上升状态，故说法正确，此选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级下·河北保定·期末）在2025年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．嘉嘉为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和搬运货物的重量记录如下表： 搬运时间 1 2 3 4 ．．． 搬运货物的重量 120 160 240 320 400 ．．． 下列说法错误的是（　　） A．搬运货物的重量随着搬运时间的变化而变化 B．当搬运货物的重量为时，搬运时间为 C．与之间的关系式为 D．搬运时间每延长，搬运货物的重量增加 【答案】B 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系． 通过分析表格数据，逐一判断即可． 解：由表格可知：搬运时间每延长，搬运货物的重量增加， ∴， 故A、C、D正确； 当搬运货物的重量为时，， 解得：， 故B错误， 故选：B． 4．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图表示小明栽种的小树高度与月份之间关系的趋势图，请你根据趋势图预测6月份小树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要了用图象表示变量之间的关系，根据趋势图中的直线，即可得出预测结果． 解：根据小明栽种的小树高度与月份之间关系的趋势图，预测6月份小树的高度约为左右， 只有比较符合， 故选：C 二、填空题 5．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）某车间每天需要完成一定量的零件的生产任务，每一名工人每天生产的零件数量和需要安排的工人人数如表，那么该车间每天需要完成零件 件； 每一名工人每天生产的零件数量/件 60 40 30 … 需要安排的工人人数/人 2 3 4 … 【答案】120 【分析】本题主要考查了用表格表示变量间的关系，通过计算表格中每种情况下的总零件数，发现结果均为120件，因此确定每天需要完成的零件总数为120件． 解：设每天需要完成的零件总数为件． 由表格数据：当每人每天生产60件时，需2人，则； 当每人每天生产40件时，需3人，则； 当每人每天生产30件时，需4人，则． 故该车间每天需要完成A零件120件， 故答案为：120． 6．（24-25七年级下·广东深圳·期末）运动生理学实验发现，跳绳所消耗的卡路里体重跳绳次数，一名体重的学生跳绳次，他所消耗的卡路里（单位：）与（单位：次）之间的关系式为： ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，理解题意正确列出函数关系式是解题的关键．根据跳绳所消耗的卡路里体重跳绳次数计算即可． 解：根据题意得， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·山东济南·期末）张师傅非常喜欢自驾游，为了了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据： 行驶的路程 0 120 240 360 480 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 张师傅将油箱加满后驾驶该轿车从地前往地，到达地时油箱中的剩余油量为，那么、两地之间的距离是 ． 【答案】660 【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系，有理数混合运算的应用，得出变量之间的关系是解题关键．由表格可知，初始油量为，每行驶耗油，据此列式计算即可． 解：由表格可知，初始油量为，每行驶耗油， 则、两地之间的距离是， 故答案为：660． 8．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】①动点在段运动时对应时间为0到4秒，根据点的移动速度即可算出的长； ②当点运动到点时，为直角三角形，计算出其面积即为的值； ③观察题意，图图甲的面积，求出相应长度代入求值即可； ④图乙中的值即为点走完全程所需的时间，求出整个路程长，根据移动速度即可求出时间． 解：当点在上运动时，逐渐增大，由图乙可知，在段运动时对应时间为0到4秒， ， 即图甲中的长为，故①说法正确； 当点运动到点时，为直角三角形， ， ， 即图乙中是，故②说法正确； 由图可知：，， 又，， ，， 则图甲的面积， 故③说法正确； 图乙中代表点从所需的全部时间， ， 秒， 故④说法正确； 正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点拨】本题考查三角形综合知识以及动点问题，学会结合图象具体分析仍是解决该类问题的关键，要重点理解动点P的不同位置导致面积的变化特点． 三、解答题 9．（25-26七年级上·新疆和田·期中）某工厂生产一批零件，每天生产的零件个数与需要的天数如表： 每天生产的零件个数/个 200 300 400 600 需要的天数 36 24 18 12 （1）这批零件共有多少个？ （2）需要的天数是怎样随着每天生产的零件个数的变化而变化的？ （3）用x表示每天生产的零件个数，y表示需要的天数，用式子表示x与y的关系，x与y成什么比例关系？ （4）如果该工厂需要9天生产完这批零件，每天要生产多少个零件？ 【答案】（1）7200；（2）需要的天数随着每天生产的零件个数的减少而增加，且成反比例变化．；（3），反比例关系；（4）每天要生产800个零件． 【分析】本题主要考查了反比例的应用，解题的关键是掌握当两个变量乘积一定时则这两个量成反比例关系； （1）根据每天生产的零件个数与需要的天数乘积一定且都是7200，即可得到答案； （2）根据表格内的数据可得随着需要的天数越来越少，每天生产零件的个数越来越多即可得到答案； （3）由表格可得等式，乘积一定为反比例关系； （4）由（3）的关系，令即可得到答案； 解：（1）解：∵（个）， （个）， （个）， （个） ∴这批货物共有7200个； （2）解：由表格的数据可得：需要的天数从36慢慢变到12的同时，每天生产的零件个数从200慢慢变到了600，故可得需要的天数随着每天生产的零件个数的减少而增加，且成反比例变化； （3）解：由表格可得：，x与y成反比例关系； （4）解：∵， 令时，， ∴每天要生产800个零件． 10．（24-25六年级下·山东烟台·期末）张叔叔从批发商手里批发甲、乙两种蔬菜，然后拿到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价（元/千克） 4.8 4 零售价（元/千克） 7.2 5.6 （1）若他批发甲、乙两种蔬菜共40千克花180元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？ （2）若他用m元批发甲、乙两种蔬菜共80千克，设批发甲种蔬菜n千克，求m与n的关系式： （3）一天若他批发甲、乙两种蔬菜各40千克，由于行情原因，他想将两种蔬菜在零售价的基础上都打折出售，其中甲种蔬菜以八五折出售，要想卖完全部蔬菜后保证利润率不低于，求乙种蔬菜至少可打几折（结果精确到0.01）． 【答案】（1）甲蔬菜，乙蔬菜；（2）；（3）折 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，根据批发甲蔬菜和乙蔬菜两种蔬菜共，用去了元钱，列方程求解； （2）根据总价等于单价×数量，由甲、乙两种蔬菜总价和为m，即可得出m与n的函数关系； （3）设乙种蔬菜打折，根据利润、售价、成本之间的关系建立一元一次不等式求解即可． 解：（1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 解得：， 乙蔬菜， 答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜， （2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 答：m与n的函数关系为：， （3）解：设乙种蔬菜打折， 由题意得， 解得：， 答：乙种蔬菜至少可打折． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.1 变量与函数 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】常量与变量 1 【知识点二】表格法表示变量之间关系 2 【知识点三】解析式表示变量之间关系 2 【知识点四】解析式表示变量之间关系 2 二.题型精析 2 （一）基础篇 2 【★题型1】常量与变量 2 【★题型2】表格法表示变量关系 3 【★题型3】解析法表示变量关系 4 【★题型4】图象法表示变量关系 4 【要点归纳】 5 （二）培优篇 6 【★★题型5】表格法、解析法、图象法综合应用 6 【要点归纳】 7 【★★题型6】表格法、解析法、图象法与几何综合应用 7 【要点归纳】 8 三．同步练习​ 8 【★基础巩固（选择题4题，填空题4题，解答题2题）】 8 【★★能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题2题）】 11 一.知识梳理 题型前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】常量与变量 在一个过程中，固定不变的量称为常量.可以取不同数值的量称为变量. 【知识点二】表格法表示变量之间关系 定义：把自变量的一系列取值和对应的因变量值用表格形式呈现，直观展示变量间的数值对应关系。 特点： 优势：数据清晰、具体，能直接读出某一自变量对应的因变量值，便于快速查找。 局限：只能展示有限组数据，无法反映变量间的整体变化趋势，也不能直接得到任意自变量对应的因变量值。 【知识点三】解析式表示变量之间关系 函数解析式表示自变量和因变量之间的数量关系，通常形式为y = f（x）（x 为自变量，y 为因变量）。 优势：精准刻画变量间的数量规律，可通过计算求出任意自变量对应的因变量值，能清晰反映变量的变化本质。 局限：抽象性较强，需要通过计算才能得到具体数值，对复杂关系难以写出解析式。 【知识点四】解析式表示变量之间关系 以自变量为横轴、因变量为纵轴，在平面直角坐标系中描点连线，用图形直观展示变量间的变化趋势。 优势：直观性最强，能清晰看出变量的增减变化、极值、周期性等规律，可快速判断变量间的大致关系。 局限：图象上读取的数值是近似值，无法精准表示变量间的数量关系（需结合解析式）。 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型1】常量与变量 【例题1】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）节约用水已成为大家的共识．每月的用水量（单位：立方米）、支付的水费、每立方米水的价格，这三个量中的变量是（    ） A．每月的用水量 B．每立方米水的价格 C．每月的用水量和支付的水费 D．支付的水费 【变式1】（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）一个圆柱的高为，当圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也发生了变化，在这个变化过程中（   ） A．是因变量，是自变量 B．是自变量，是因变量 C．是自变量，是因变量 D．是自变量，是因变量 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）球的体积是M，球的半径为R，则，其中变量和常量分别是（    ） A．变量是M，R；常量是， B．变量是R，π；常量是 C．变量是M，R；常量是3，4，π D．变量是M，R；常量是 【★题型2】表格法表示变量关系 【例题1】（25-26七年级上·山东潍坊·期中）食用油的沸点一般都在以上，下表所示的是在加热食用油的过程中，五次测量食用油温度的情况： 时间 油温 则下列说法不正确的是（    ） A．时间与油温是变量 B．没有加热时，油的温度是 C．持续加热到时，预计油的温度是 D．随着加热时间的增加，油温会持续升高 【变式1】（25-26八年级上·山西晋中·期中）我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如下表： 温度 100 150 200 250 … 导热率K（） 0.15 0.2 0.25 0.3 … 根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为 ℃． 【变式2】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）某地每周有人次乘坐9路公交车，该路公交车每周的收入为元，每人次乘坐的票价相同．部分与的数据如下表所示： 人次 180 220 325 356 420 … 元 360 440 650 712 840 … （1）表中的自变量为___________，因变量为___________； （2）已知该路公交车每周的油费、维护检修费等固定支出费用共800元，要使该路公交车每周的利润达到1000元，每周需要有多少人次乘坐该路公交车？（收入支出利润） 【★题型3】解析法表示变量关系 【例题1】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）在某地区，人们发现某种鸟类的飞行高度与它1分钟鸣叫的次数有如下的近似关系：用该鸟类1分钟鸣叫的次数减20，再把结果除以5，就近似地得到该鸟类的飞行高度（单位：）． （1）用代数式表示与之间的关系； （2）当该鸟类1分钟鸣叫的次数是90时，该鸟类的飞行高度是多少？ 【变式1】（25-26七年级上·甘肃定西·期中）龙神茶，又名陇南绿茶，是甘肃省南部陇南地区的特色茶叶，产于该地的高山云雾之中，因品质上乘而享有盛誉．某茶叶专卖店购进一批龙神茶，若每天售出16盒，则25天就能售完；若每天售出x盒，则需要y天售完，下面用式子表示售完这批茶叶所用天数y与每天售出盒数x之间关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）张师傅加工一批零件，每小时加工个数和加工时间如表： 每小时加工个数个 加工时间时 如果每小时加工的个数用表示，加工的时间用表示，则与的关系式为： ． 【★题型4】图象法表示变量关系 【例题1】（24-25七年级下·湖南·开学考试）某地出租车行驶里程x（）与所需费用y（元）的关系如图，若乘客一次乘坐出租车行驶里程，则该乘客需支付车费多少元？ 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮北·月考）将一个高为的圆柱形杯子，放入一个高为的长方体容器中，现向长方体容器中匀速注水，长方体容器中水面高度与注水时间之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河北张家口·期末）某商场调查发现，一商品的销售量与销售单价之间存在如图所示的关系．当销售单价为150元时，销售量约为 件． 【要点归纳】 表格法题型需先明确自变量与因变量，通过分析表格中数据的变化规律，判断变量间的关联，再结合实际情境并验证选项或求解未知量； 解析式法题型要根据题干描述的数量关系列出函数关系式，明确自变量取值范围，再代入数值计算或判断关系式的正确性； 图象法题型需先识别横轴、纵轴对应的变量，从图象中提取关键信息，如起点、拐点、变化趋势、特殊点坐标，结合变量的实际意义分析图象阶段特征，进而解决求值、选图或趋势判断问题。三类题型均需紧扣 “变量间的对应规律”，结合实际背景验证结论合理性。 （二）培优篇 【★★题型5】表格法、解析法、图象法综合应用 【例题5】（25-26七年级上·河北唐山·期中）一艘轮船从甲地驶往乙地，轮船的速度与航行时间之间的关系如下表： 速度 20 50 75 … 航行时间 7.5 3 2 … （1）甲、乙两地相距______km？ （2）航行时间是怎样随轮船的速度的变化而变化的？ （3）轮船的速度与航行时间之间成什么比例关系？ 【变式1】（24-25六年级下·山东淄博·期末）综合与实践：小明要用总长为12米的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙（墙长9米），另外三边是篱笆，其中不超过9米，如图所示．设垂直于墙的两边，的长均为x米，长方形花圃的面积为y平方米． （1）在x，y这两个变量中，自变量是___________，因变量是___________； （2）___________米（用含x的式子表示），请判断当时是否符合题意，并说明理由； （3）求y与x之间的关系式； （4）根据（3）中y与x之间的关系式补充下面表格： x（米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … y（米2） 13.5 16 17.5 m 17.5 n 13.5 … ①___________，___________； ②请观察表格中的数据，并写出y随x变化的一个特征：___________． ③在y随x变化的过程中，问y是否存在最值（最大值或最小值）？若存在，请直接写出y的最值（注明是最大值，还是最小值）及此时x的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（23-24七年级下·全国·期末）春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过，设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． （1）判断是否符合题意，并说明理由； （2）求与之间的关系式； （3）根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． 【要点归纳】 以“变量间的本质关联”为主线，打通三种表示方法的转化通道—— 表格数据推导解析式、解析式绘制图象、图象提取数据验证表格和解析式，结合实际情境明确变量的取值范围与实际意义。 【★★题型6】表格法、解析法、图象法与几何综合应用 【例题6】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是 ． 【变式1】（25-26八年级上·吉林通化·期中）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）___________（用的代数式表示） （2）当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，若的面积为S，请你写出用来表示S的式子，并表示出的取值范围． （4）当点在边上运动时，出发___________秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 【变式2】 在平面直角坐标系中，等腰的三个顶点的坐标，其中a，b是二元一次方程组的解， （1）求的面积 （2）点P是线段上一个动点，连接，点D是线段中点，连接，若点P的横坐标为m，设的面积为y，求y与m的关系式，并直接写出m的取值范围． （3）在（2）的条件下， 当时， 在上有一点E，使得， 求此时点P的坐标，判断和的数量关系，并说明理由． 【要点归纳】 此类题型融合了表格、解析式、图象的变量表示方法与几何图形的核心考点，解题关键在于建立 “几何量如边长、面积、坐标” 与 “变量（时间、动点位置）” 的关联，通过数形结合实现几何关系与函数关系的相互转化。 三．同步练习​ 【★基础巩固（选择题4题，填空题4题，解答题2题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）球的体积是，球的半径为，则，其中变量是（   ） A．变量是 B．变量是 C．变量是 D．变量是 2．（20-21七年级下·河北保定·期中）油箱中存油18升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间（分钟）的关系式是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）下表列出了一项实验的统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高度（单位：cm）与下落高度（单位：）之间的关系，若下落高度，则弹跳高度的值是（   ） 50 100 150 25 50 75 A．100 B．95 C．90 D．105 4．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）圆圆出门散步，从家出发走了到达离家的广场，看到广场有杂技表演，就停下来看了一会儿，在度过了愉快的后，再用回到家中．下面图象能表示圆圆离家的距离（单位：m）与外出时间x（单位：）之间的关系的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，诗词中体现了温度随着海拔的升高而降低．已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则山顶距离地面竖直高度h千米与温度的函数表达式为 ． 6．（25-26八年级上·四川·期中）如图，将长为、宽相等的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，设m张白纸粘合后的总长度为，n与m的关系式为 ． 7．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）声音在空气中传播的速度（米/秒）（简称音速）与气温（）之间的关系如下： 气温（℃） 音速（米/秒） 从表中可知音速随温度的变化而变化．某校在气温为的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点 米． 8．（24-25七年级下·陕西西安·期末）一棵树高与生长时间（年）之间满足一定的关系，请你根据下表中的数据写出与（年）之间的关系式： ． 年 1 2 4 6 8 … … 三、解答题 9．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）某水果店出售一批苹果，把这些苹果平均分装在若干袋子里，每袋装的重量和总袋数如下表所示． 每袋苹果的重量（） 5 10 12 15 20 … 总袋数 24 12 10 8 6 … （1）这些苹果一共有多少千克？ （2）总袋数是怎样随着每袋苹果的重量的变化而变化的？ （3）用表示总袋数，表示每袋苹果的重量，用式子表示与的关系． 10．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图表示一辆汽车在行驶途中的速度（千米时）随时间（分）的变化示意图． （1）从点到点、点到点、点到点分别表明汽车在什么状态？ （2）分段描述汽车在第0分钟到第28分钟的行驶情况． 【★★能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题2题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·江西南昌·期末）圆的周长公式中，变量是（    ） A． B．和 C．2 D．仅 2．（24-25七年级下·山东青岛·期末）五一假期，小明去游乐场坐了摩天轮，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的关系如图所示，已知摩天轮匀速转动，则下列说法正确的是（   ） A．自变量是小明离地面的高度h，因变量是小明坐上摩天轮后的旋转时间t B．摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面9米 C．摩天轮转一周需要9分钟 D．当时，小明处于上升状态 3．（24-25七年级下·河北保定·期末）在2025年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．嘉嘉为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和搬运货物的重量记录如下表： 搬运时间 1 2 3 4 ．．． 搬运货物的重量 120 160 240 320 400 ．．． 下列说法错误的是（　　） A．搬运货物的重量随着搬运时间的变化而变化 B．当搬运货物的重量为时，搬运时间为 C．与之间的关系式为 D．搬运时间每延长，搬运货物的重量增加 4．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图表示小明栽种的小树高度与月份之间关系的趋势图，请你根据趋势图预测6月份小树的高度为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）某车间每天需要完成一定量的零件的生产任务，每一名工人每天生产的零件数量和需要安排的工人人数如表，那么该车间每天需要完成零件 件； 每一名工人每天生产的零件数量/件 60 40 30 … 需要安排的工人人数/人 2 3 4 … 6．（24-25七年级下·广东深圳·期末）运动生理学实验发现，跳绳所消耗的卡路里体重跳绳次数，一名体重的学生跳绳次，他所消耗的卡路里（单位：）与（单位：次）之间的关系式为： ． 7．（24-25七年级下·山东济南·期末）张师傅非常喜欢自驾游，为了了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据： 行驶的路程 0 120 240 360 480 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 张师傅将油箱加满后驾驶该轿车从地前往地，到达地时油箱中的剩余油量为，那么、两地之间的距离是 ． 8．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是 ． 三、解答题 9．（25-26七年级上·新疆和田·期中）某工厂生产一批零件，每天生产的零件个数与需要的天数如表： 每天生产的零件个数/个 200 300 400 600 需要的天数 36 24 18 12 （1）这批零件共有多少个？ （2）需要的天数是怎样随着每天生产的零件个数的变化而变化的？ （3）用x表示每天生产的零件个数，y表示需要的天数，用式子表示x与y的关系，x与y成什么比例关系？ （4）如果该工厂需要9天生产完这批零件，每天要生产多少个零件？ 10．（24-25六年级下·山东烟台·期末）张叔叔从批发商手里批发甲、乙两种蔬菜，然后拿到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价（元/千克） 4.8 4 零售价（元/千克） 7.2 5.6 （1）若他批发甲、乙两种蔬菜共40千克花180元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？ （2）若他用m元批发甲、乙两种蔬菜共80千克，设批发甲种蔬菜n千克，求m与n的关系式： （3）一天若他批发甲、乙两种蔬菜各40千克，由于行情原因，他想将两种蔬菜在零售价的基础上都打折出售，其中甲种蔬菜以八五折出售，要想卖完全部蔬菜后保证利润率不低于，求乙种蔬菜至少可打几折（结果精确到0.01）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $