2.3.2 圆的一般方程（五大题型）-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

2.3.2 圆的一般方程 题型一 圆的一般方程与标准方程之间的互化 1．以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知圆的一般方程为，圆心坐标为，半径为，则（　　） A． B． C． D． 3．圆关于点对称的圆的标准方程为 4．已知过点的动直线与圆相交于不同的两点A，B. (1)求圆的圆心坐标和半径; (2)求线段AB的中点的轨迹的标准方程. 题型二 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 5．已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 6．（多选）下列方程中，哪些表示一个圆？（    ） A． B． C． D． 7．已知方程表示的曲线是一个圆，则实数的取值范围是 ． 8．若方程为表示圆.点，在圆上， (1)求实数的取值范围. (2)求出圆的圆心坐标和半径，并求当时圆的方程. (3)求过点，且圆心在直线上的圆的方程. 题型三 求圆的一般方程 9．经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 10．（多选）已知圆与轴相切，且经过两点，，则圆的方程可能是（    ） A． B． C． D． 11．已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，则圆的方程为 ． 12．（1）已知直线过点，它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求此直线的方程． （2）求直线：关于直线：对称的直线的方程． （3）求过三点，，的圆的一般式方程． 题型四 圆过定点问题 13．若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 14．（多选）已知二次函数的图像交x轴于A，B两点，交y轴于C点，圆F过A，B，C三点，下列说法正确的是（    ） A．圆心F在直线上 B．m的取值范围是 C．圆F面积的最小值为 D．存在定点G，使得圆F恒过点G 15．在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于A点，直线与y轴及直线l分别交于B点，C点，且A，B，C，O四点共圆，则此圆的标准方程是 . 16．已知圆经过，两点. (1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程； (2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标. 题型五 由圆的一般方程确定圆心和半径 17．已知圆的圆心在第三象限，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（多选）关于方程表示的圆，下列叙述正确的是（    ） A．圆心在直线上 B．圆心在直线上 C．圆过原点 D．圆的半径为 19．已知圆：与直线：，则圆心的坐标为 ，若圆关于直线对称，则 . 20．（1）分别求直线在x轴、y轴上的截距； （2）求过点，且与直线垂直的直线方程； （3）求圆M：的圆心坐标与半径. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.2 圆的一般方程 题型一 圆的一般方程与标准方程之间的互化 1．以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点，再由圆的标准形式即可求出圆的标准方程，再转化成一般式即可. 【详解】由得， 令，则，，所以直线恒过定点， 则圆的方程为，即. 故选：D. 2．（多选）已知圆的一般方程为，圆心坐标为，半径为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据圆的一般方程及所给圆心判断ABC，再配方后求圆的半径判断D. 【详解】因为圆的一般方程不含项，所以，故A正确； 因为圆心坐标为，所以，故BC正确； 由，可得， 所以圆的半径，故D错误． 故选：ABC 3．圆关于点对称的圆的标准方程为 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程得到圆心和半径，再求出圆心关于的对称点即可得到对称的圆的标准方程. 【详解】由，所以， 得圆心为，半径为， 由关于点对称点为， 所以关于对称的圆的标准方程为：， 故答案为：. 4．已知过点的动直线与圆相交于不同的两点A，B. (1)求圆的圆心坐标和半径; (2)求线段AB的中点的轨迹的标准方程. 【答案】(1)圆心坐标，半径. (2) 【分析】（1）将一般方程化为标准方程，即可得圆心和半径； （2）设，根据垂径定理可知，结合数量积的坐标表示运算求解. 【详解】（1）因为，即， 所以圆的圆心坐标，半径. （2）因为，可知在圆内， 设，则， 因为，则，即， 所以轨迹的标准方程为. 题型二 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 5．已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 【答案】A 【分析】根据圆的一般方程特征列出关系式求解后，再代回检验即可. 【详解】若曲线表示圆，则，解得或. 检验： 若，则曲线，整理得，不能表示圆，故舍去； 若，则曲线，整理得，可以表示圆，故保留. 故选：A. 6．（多选）下列方程中，哪些表示一个圆？（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】对于方程表示圆，当且仅当，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于选项A：，则，不表示一个圆，表示一个点，即选项A错误； 对于选项B：，则，不表示一个圆，表示一个点，即选项B错误； 对于选项C：，则，表示一个圆（圆心为，半径为3），即选项C正确； 对于选项D：，则，表示一个圆（圆心为，半径为1），即选项D正确； 故选：CD． 7．已知方程表示的曲线是一个圆，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由曲线表示圆可得，从而可求出的取值范围. 【详解】因为方程表示的曲线是一个圆， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 8．若方程为表示圆.点，在圆上， (1)求实数的取值范围. (2)求出圆的圆心坐标和半径，并求当时圆的方程. (3)求过点，且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】(1)或； (2)圆心，半径，； (3). 【分析】（1）利用方程表示圆的条件，列出不等式求解即得. （2）利用圆的一般式方程求出圆心的半径，把代入求出圆的方程. （3）根据给定条件，求出线段的中垂线方程，进而求出圆心和半径得解. 【详解】（1）由方程为表示圆，得， 整理得，解得或， 所以实数的取值范围是或. （2）圆的圆心坐标为，半径， 当时，圆的方程为. （3）线段的中点为，直线的斜率， 则线段的中垂线的方程为，由解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的方程为. 题型三 求圆的一般方程 9．经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出圆的一般方程，根据点在圆上列出方程，解方程组，即可得答案. 【详解】设圆的一般方程为, 将，，代入方程得， 解得，满足， 故圆的方程为， 故选：A 10．（多选）已知圆与轴相切，且经过两点，，则圆的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】求出的垂直平分线方程为，设，则，再根据半径，列方程求出，进而得到圆的方程. 【详解】，，中点坐标为，， 所以的垂直平分线方程为， 设圆心为，则半径为，故， 所以，即， 解得或， 所以方程为或． 故选：BC． 11．已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，则圆的方程为 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法进行求解即可. 【详解】设圆的方程为，圆心坐标为， 因为圆的圆心在直线上， 所以， 因为圆与轴的交点分别为，， 所以， 所以有， 所以圆的方程为. 故答案为： 12．（1）已知直线过点，它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求此直线的方程． （2）求直线：关于直线：对称的直线的方程． （3）求过三点，，的圆的一般式方程． 【答案】（1）或.（2）．（3） 【分析】（1）分析直线过原点和不过原点的两类情况作讨论即可求解. （2）根据所求直线过已知两直线的交点，以及上的任一点关于对称的点在所求直线上即可求解. （3）利用三点坐标可根据待定系数法求解圆方程. 【详解】（1）若直线过坐标原点，则，直线的方程为，即， 此时横纵截距都等于0，满足题意； 若直线不过坐标原点，设直线的方程为， 因为直线过点，所以，得， 所以直线方程为. 综上，此直线的方程为或. （2）设直线关于直线对称的直线为， 由，解得，所以直线经过点， 在上取一点关于对称的点设为， 则有解得，所以直线经过点， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即. （3）设所求圆的方程为，其中， 因为圆过三点，，， 所以，解得， 故所求圆的方程为． 题型四 圆过定点问题 13．若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【答案】A 【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆． 【详解】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以. 故选：A． 14．（多选）已知二次函数的图像交x轴于A，B两点，交y轴于C点，圆F过A，B，C三点，下列说法正确的是（    ） A．圆心F在直线上 B．m的取值范围是 C．圆F面积的最小值为 D．存在定点G，使得圆F恒过点G 【答案】ACD 【分析】结合抛物线的对称性和圆的对称性即可判断A选项； 根据判别式即可判断B选项； 求出与坐标轴的交点代入所设圆的方程，得到与的关系，从而结合二次函数的最值问题即可判断C选项； 将圆的方程整理成，进而得到，即可求出定点，从而判断D选项. 【详解】因为抛物线的对称轴方程为，且圆心必然经过的中垂线， 故圆心F在直线上，所以A正确； 因为有两个不同的根， 所以，解得且，所以B错误； 设圆F的方程为， 因为有两个不同的根， 所以点，在圆上， 所以， 可求得，． 因为且，所以， 所以圆F面积的最小值为，C正确； 由上可知圆F的方程为， 整理得， 令，解得或， 即圆F恒过点和，D正确． 故选：ACD. 15．在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于A点，直线与y轴及直线l分别交于B点，C点，且A，B，C，O四点共圆，则此圆的标准方程是 . 【答案】 【分析】由题意得为直径，且直线l与m垂直故，得所以圆心与半径可求，则圆方程易得. 【详解】由题意A，B，C，O四点共圆且，所以 ，则直线l与m垂直故，又， 此圆的圆心为，半径为＝， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 16．已知圆经过，两点. (1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程； (2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标. 【答案】(1)； (2)定点坐标为，证明见解析. 【分析】（1）求出的坐标，根据两点间的距离公式求出，从而可求解； （2）设点是圆上任意一点，由是圆的直径，得，从而可求出圆的方程，即可得出结论 【详解】（1）当，，故，， 所以此时圆的标准方程为. （2）设点是圆上任意一点， 因为是圆的直径，所以， 即， 所以圆的方程为：， 则，，等式恒成立，定点为， 所以无论取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，定点坐标为. 题型五 由圆的一般方程确定圆心和半径 17．已知圆的圆心在第三象限，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆的方程变形成，知圆心为，结合条件得，即可求解. 【详解】由，得到， 则圆心为，由题有，解得， 故选：C. 18．（多选）关于方程表示的圆，下列叙述正确的是（    ） A．圆心在直线上 B．圆心在直线上 C．圆过原点 D．圆的半径为 【答案】ACD 【详解】圆可化为.圆心坐标为适合方程. 正确，不适合错误，把代入圆的方程适合，正确，又， 正确.故选ACD. 19．已知圆：与直线：，则圆心的坐标为 ，若圆关于直线对称，则 . 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，再根据圆心在直线上，代入求出的值. 【详解】圆：，即， 所以圆心为， 若圆关于直线对称，则点在直线上，即，解得 故答案为：； 20．（1）分别求直线在x轴、y轴上的截距； （2）求过点，且与直线垂直的直线方程； （3）求圆M：的圆心坐标与半径. 【答案】（1），；（2）；（3）， 【分析】（1）根据题意，得到，结合截距式的概念，即可求解； （2）设直线的方程为，将点的坐标代入求得的值，即可求解； （3）化简圆的方程为，结合圆的标准方程，即可求解. 【详解】解：（1）由，可得， 所以直线在x轴、y轴上的截距分别为和. （2）依题意，可设所求直线的方程为，将点的坐标代入得， 解得，所以所求直线的方程为. （3）由，可得， 所以圆M的圆心坐标为，半径为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $