2.2.2 直线的方程（七大题型+专项练习）-2025-2026学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

2.2.2 直线的方程 题型一 由一般式方程判断直线的平行 1．直线：与直线：（实数a为参数）的位置关系是（    ） A．与相交 B．与平行 C．与重合 D．与的位置关系与a的取值有关 2．（多选）下列直线中，一定与直线平行的是（    ） A． B． C．（） D．（） 3．已知直线：和直线：，若，且坐标原点到这两条直线距离相等，则的值为 . 4．在平面直角坐标系中，直线，. （1）求直线经过定点的坐标； （2）当且时，求实数的值. 题型二 由一般式方程判断直线的垂直 5．直线与直线垂直，则的值为（    ） A． B．1 C． D．9 6．（多选）已知两直线与，则（   ） A．直线过定点 B．直线在轴上的截距为1 C．当时， D．当时，与之间的距离为 7．直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为 8．已知直线，直线． （1）当时，直线l过m与n的交点，且它的倾斜角为，求直线l的方程； （2）若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系． 题型三 由两条直线平行求方程 9．已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）设为实数，直线：，点，，则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．若点，到直线的距离相等，则 C．直线与轴一定相交 D．若直线不过第二象限，则 11．已知直线，，若 ，则 12．设直线过点，且和直线平行． (1)求直线的方程； (2)设直线与轴相交于点，求直线绕点逆时针旋转所得的直线方程． 题型四 由两条直线垂直求方程 13．经过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 14．（多选）已知的三个顶点分别是，且边上的高所在的直线方程为，则以下结论正确的是（    ） A． B．边上的中线所在的直线方程为 C．过点且平行于的直线方程为 D．三边所在的直线中，直线的倾斜角最大 15．过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为 ． 16．已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边所在直线的方程； (2)边的垂直平分线的方程； 题型五 直线过定点问题 17．直线（其中）必经过的点是（   ） A． B． C． D． 18．（多选）对于直线，下列说法错误的是（    ） A．的斜率一定存在 B．恒过定点 C．时，的倾斜角为 D．时，不经过第二象限 19．已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为 ． 20．已知直线，点． (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)设为直线经过的定点，为线段的中点，求直线的方程． 题型六 直线截距式方程及辨析 21．过、两点的直线方程是 （    ） A． B． C． D． 22．（多选）下列说法中，正确的有（   ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距是2 C．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 D．过点且倾斜角为的直线方程为 23．直线过点且与轴，轴分别交于点，若，则直线的方程为 ． 24．已知顶点、、． (1)求边所在的直线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 题型七 直线的斜截式方程及辨析 25．经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ）. A． B．或 C． D．或 26．（多选）下列说法中，正确的有（    ） A．直线可以表示过点所有直线 B．直线在轴上的截距是 C．直线的倾斜角为 D．过点并且倾斜角为的直线方程 27．若直线沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位后，回到原来的位置，则直线的斜率为 . 28．已知直线；直线． (1)若，求实数的值； (2)若，且它们之间的距离为，求直线的斜截式方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.2 直线的方程 题型一 由一般式方程判断直线的平行 1．直线：与直线：（实数a为参数）的位置关系是（    ） A．与相交 B．与平行 C．与重合 D．与的位置关系与a的取值有关 【答案】B 【分析】根据直线平行的充要条件判定即可. 【详解】由：， 可得， 因为且， 所以与平行 故选：B 2．（多选）下列直线中，一定与直线平行的是（    ） A． B． C．（） D．（） 【答案】AD 【分析】利用直线平行的条件进行判定. 【详解】即； 即； （）即； （）即. 令，解得,令,得,无解. 当两直线方程中的系数对应相等时，两直线平行的充分必要条件是其常数项不相等， 故AD中的直线与已知直线平行，C中的直线可能与已知直线重合， B中的直线与已知直线的对应不成比例，故而不平行. 故选：AD. 3．已知直线：和直线：，若，且坐标原点到这两条直线距离相等，则的值为 . 【答案】 【分析】解方程组，再检验即得解. 【详解】由题意知，， 或． 当时，两直线重合，与已知不符，所以舍去. 所以. 故答案为： 4．在平面直角坐标系中，直线，. （1）求直线经过定点的坐标； （2）当且时，求实数的值. 【答案】（1）（2） 【分析】(1)只需将的方程整理成，由题意，直线过定点，即是与参数a无关，因此只需且，从而可求出定点坐标; (2)由直线与直线平行的充要条件可得且，即可求出a的值. 【详解】（1）∵， ∴， ∴ 令且，则，， ∴对任意，直线过定点 （2）当时，直线，即 又知直线，即，， ∴且， ∴. 题型二 由一般式方程判断直线的垂直 5．直线与直线垂直，则的值为（    ） A． B．1 C． D．9 【答案】B 【分析】利用直线的一般式方程判定直线垂直的条件进行求解. 【详解】由题意，得，解得. 故选：B. 6．（多选）已知两直线与，则（   ） A．直线过定点 B．直线在轴上的截距为1 C．当时， D．当时，与之间的距离为 【答案】AC 【分析】对于A，运用消去参数，对于B，运用截距概念；对于C，运用两直线垂直时，斜率之积为；对于D，两直线平行时，斜率相等，结合平行线距离公式计算.我们将根据这些性质来逐一分析每个选项. 【详解】对于选项A，对于直线，当时，，解得. 所以直线过定点，选项A正确. 对于选项B，对于直线，令，则，解得. 所以直线在轴上的截距为，选项B错误. 对于选项C，直线，其斜率；直线，其斜率.当时，，即， ，解得，选项C正确. 对于选项D，当时，，解得. 此时，即. 两平行直线与之间的距离公式为. 对于与，距离，选项D错误. 故选；AC. 7．直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为 【答案】4 【分析】根据直线恒过定点的求法求出两直线恒过的定点，即的坐标，根据直线的方程计算得出两直线垂直，即，即可得出，即可根据基本不等式得出答案. 【详解】直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 且两条直线满足, ,即， , ,当且仅当时，等号成立， 的最大值为4. 故答案为：4. 8．已知直线，直线． （1）当时，直线l过m与n的交点，且它的倾斜角为，求直线l的方程； （2）若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系． 【答案】（1）；（2），；，． 【解析】（1）将代入，求出两直线的交点，再求出直线l的斜率，利用点斜式即可求解. （2）利用点到直线的距离公式求出，进而可得两直线的位置关系. 【详解】解：（1）当时，， 联立，解得， 故m与n的交点为． ∵直线l的斜率， ∴直线l的方程为，即． （2）设原点O到直线m的距离为d， 则，解得：或， 当时，直线m的方程为， 此时且直线m与n不重合，故； 当时，直线m的方程为， 此时，，，故． 题型三 由两条直线平行求方程 9．已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先应用直线平行设直线为，再应用点在线上计算求参即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以设直线的方程为． 因为直线过点，所以， 解得，所以直线的方程为． 故选:C． 10．（多选）设为实数，直线：，点，，则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．若点，到直线的距离相等，则 C．直线与轴一定相交 D．若直线不过第二象限，则 【答案】AC 【分析】根据直线过定点的求法判断A，由特殊情况直线与两点连线平行判断B，分析直线不能写成的形式判断C，取特例判断D. 【详解】由直线：，可得， 当，即时，方程恒成立， 即直线过定点，故A正确； 当直线与平行（或重合 ）或直线过的中点时，点，到直线的距离相等， 由，可知时，直线为，与平行，符合题意，故B错误； 由直线：可知，直线倾斜角不可能 为0，所以一定与x轴相交，故C正确； 直线不过第二象限，当时，直线方程为，满足题意，故D错误. 故选：AC 11．已知直线，，若 ，则 【答案】 【分析】根据一般式直线方程的形式，根据平行关系，列式求解. 【详解】由条件可知，， ，得，或， 当时，两直线重合，不满足条件，当时，满足上面不等式，成立. 故答案为： 12．设直线过点，且和直线平行． (1)求直线的方程； (2)设直线与轴相交于点，求直线绕点逆时针旋转所得的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）分析可知，所求直线与直线垂直，可得出所求直线的斜率，并求出点的坐标，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为， 故直线的斜率为，又直线过点， 所以直线的方程为：，化简得：． （2）在直线的方程中，令可得，解得，即点， 直线绕点逆时针旋转所得直线与直线垂直，则所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，化简得：． 题型四 由两条直线垂直求方程 13．经过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两直线垂直得出所求直线的斜率，再利用点斜式方程可得结果. 【详解】由题意可知的斜率为， 所以与其垂直的直线斜率为， 由点斜式可知该直线方程为， 故选：D 14．（多选）已知的三个顶点分别是，且边上的高所在的直线方程为，则以下结论正确的是（    ） A． B．边上的中线所在的直线方程为 C．过点且平行于的直线方程为 D．三边所在的直线中，直线的倾斜角最大 【答案】BC 【分析】对于A，利用高线所在直线方程，代入点的坐标，建立方程，可得答案；对于B，利用中点坐标公式，根据斜率公式以及点斜式方程，可得答案；对于C，根据斜率公式以及点斜式方程，可得答案；对于D，根据斜率与倾斜角的关系，可得答案. 【详解】对于A，在直线上，，故A不正确； 对于B，的中点为，，∴斜率为， 则直线方程为，即，故B正确； 对于C，直线方程为， 整理可得，故C正确； 对于D，，， 直线的倾斜角大于直线的倾斜角，故D不正确， 故选：BC． 15．过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为 ． 【答案】 【分析】先求出直线的交点，再根据垂直关系求出斜率，利用点斜式求出直线方程． 【详解】设直线与相交于点，则 ，解得， 交点为， 所求直线与直线垂直，设所求直线斜率为， ，解得， 直线方程为：，即． 故答案为：． 16．已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边所在直线的方程； (2)边的垂直平分线的方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点的坐标，运用两点式求边所在直线的方程； （2）先根据两点的坐标，求出边所在直线的斜率，再求出边中点的坐标，利用垂直关系求出斜率，最后利用点斜式求出边的垂直平分线的方程． 【详解】（1），，由两点式方程公式得，整理得， 边所在直线方程为：，即． （2），由斜率公式得， 设边中点为，则，线段的中点为， 设过点且垂直于直线的直线为，l的斜率为，则即为边的垂直平分线， ，解得， 直线的方程为，一般式为：． 边的垂直平分线的方程为：． 题型五 直线过定点问题 17．直线（其中）必经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意列方程组计算即可求解. 【详解】由题意，令，解得， 所以直线必经过的点是. 故选：C 18．（多选）对于直线，下列说法错误的是（    ） A．的斜率一定存在 B．恒过定点 C．时，的倾斜角为 D．时，不经过第二象限 【答案】BCD 【分析】移项即可判断A；令即可判断B；根据斜率为即可判断C；直接代入根据图象特点即可判断D. 【详解】直线方程为，斜率为，一定存在，A正确； 当时，，所以直线过点，B错误； 时斜率为，倾斜角为，C错误； 时，直线，即，斜率是2，为正， 与坐标轴的交点分别是和，因此直线过一、二、三象限，D错误. 故选：BCD． 19．已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为 ． 【答案】. 【分析】将直线方程化为：，令，据此可得定点坐标. 【详解】， 则，即定点坐标为. 故答案为：. 20．已知直线，点． (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)设为直线经过的定点，为线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将化为，建立方程组即可求解； （2）分别表示出，两点坐标，求出直线的斜率，再利用点斜式即可解得. 【详解】（1）因为直线， 所以， 因为， 所以，解得， 所以对任意实数，直线都经过一个定点. （2）因为为直线经过的定点，由（1）可知的坐标为， 又因为为线段的中点，则，即， 则，则直线的方程为：，即为. 题型六 直线截距式方程及辨析 21．过、两点的直线方程是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的截距式定义求解. 【详解】根据截距式方程得出 过、两点的直线方程是 . 故选：A. 22．（多选）下列说法中，正确的有（   ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距是2 C．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 D．过点且倾斜角为的直线方程为 【答案】AD 【分析】逐项判断即可. 【详解】对于A：直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：直线在轴上的截距是，故B错误； 对于C：过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为或，故C错误； 对于D：过点且倾斜角为的直线方程为，故D正确. 故选：AD 23．直线过点且与轴，轴分别交于点，若，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论，可求得直线的方程. 【详解】若，则直线过点与， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即； 若时，设直线的方程为， 由题意可得，解得， 所以直线的方程为，即. 故答案为：或. 24．已知顶点、、． (1)求边所在的直线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由两点坐标求出直线的斜率，再写出直线的点斜式方程，将其转化为一般式方程； （2）当直线的纵截距和横截距均为零时，根据直线过点A和原点，求出其方程；当直线的纵截距和横截距均不为零时，设它的截距式方程，求其方程． 【详解】（1）由、，可得直线的斜率为， 所以边所在的直线的方程为，即； （2）当直线过坐标原点时，其斜率为，方程为.此时，直线的纵截距和横截距均为零，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得，所以直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 题型七 直线的斜截式方程及辨析 25．经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ）. A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】分为两种情况：当直线过原点时；当直线不过坐标原点时．设出直线的方程，代入点坐标可得解． 【详解】当直线过原点时，设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 所以直线的方程为， 此时直线在两坐标轴上的截距均为0，满足题意； 当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 则直线方程，即， 综上所述直线方程为或， 故选：B． 26．（多选）下列说法中，正确的有（    ） A．直线可以表示过点所有直线 B．直线在轴上的截距是 C．直线的倾斜角为 D．过点并且倾斜角为的直线方程 【答案】BD 【分析】对于AD，通过斜率不存在的直线方程可判断，对于B由可判断，对于C，由斜率可得倾斜角，即可判断. 【详解】对于A，不含这条直线，错误； 对于B，令，得，即直线在轴上的截距是，正确； 对于C，直线斜率为，可知倾斜角为，错误； 对于D，过点并且倾斜角为的直线方程，正确， 故选：BD 27．若直线沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位后，回到原来的位置，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】 由直线的平移变换可得平移后的直线方程，比较系数可得． 【详解】易知直线的斜率存在，设方程为，① 所以直线沿轴向右平移3个单位后得到的方程为， 再沿轴向上平移2个单位后得到的方程为，② 因为回到原来的位置，所以方程①②应为同一个， 比较系数可得，解得 故答案为：． 28．已知直线；直线． (1)若，求实数的值； (2)若，且它们之间的距离为，求直线的斜截式方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用垂直关系得出斜率关系，进而求解； （2）利用平行关系求出，再利用两平行直线间距离公式构造方程求出，从而求解直线方程． 【详解】（1），，直线的斜率， 直线的斜率，解得． （2），，解得， 直线的方程，即， 又直线， 两平行直线间距离，解得或， 当时，直线的方程为，斜截式方程为； 当时，直线的方程为，斜截式方程为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $