2.2.2 直线的方程（七大题型）-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

2.2.2 直线的方程 题型一 直线的方程的概念 1．经过点且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知两条不同的直线与，则与的位置关系可以是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   3．若直线过点，则的方程为 . 4．在平面直角坐标系xOy中，已知三个顶点是. (1)求BC边所在直线的方程； (2)若BC边上中线AD的方程为，求点的坐标. 题型二 直线的点斜式方程及辨析 5．若直线经过点，且斜率为3，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 6．（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线可以表示过点的所有直线 B．直线过定点 C．平面直角坐标系内的所有直线都能用一般式方程表示 D．经过点且斜率为的直线l的方程为 7．已知直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且过点，则直线的方程为 . 8．求适合下列条件的直线方程． (1)经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍； (2)经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 题型三 直线图像的辨析 9．直线可能是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知直线，，则（   ） A．直线恒过定点，直线恒过定点 B．若与相互平行，则或 C．若，则 D．若不经过第二象限，则 11．若直线不经过第四象限，则k的取值范围为 ． 12．已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围. 题型四 直线两点式方程及辨析 13．经过点和的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 14．（多选）下列说法错误的是（   ） A．过定点的直线都可用方程表示 B．过定点的直线都可用方程表示 C．过任意两个点的直线都可用方程表示 D．所有直线都可以用方程表示 15．已知直线及与函数图像的交点分别为A，B，则直线方程为 ． 16．直线过点，. (1)求直线的一般方程. (2)求直线的斜率，以及在x轴和y轴上的截距. 题型五 直线与坐标轴围成图形的面积问题 17．已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 18．（多选）下列说法正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B．直线在轴上的截距是 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 D．点关于点的对称点为 19．若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为 . 20．已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． (1)若，求直线的方程； (2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 题型六 直线一般式方程与其他形式之间的互化 21．已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距之和为零，则直线l的方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 22．（多选）直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 23．设直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的一般式方程为 24．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在的直线方程为. (1)求顶点的坐标； (2)求直线的方程. 题型七 直线的一般式方程及辨析 25．已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 26．（多选）已知直线，下列说法正确的是（    ） A．当时，l过坐标原点 B．当时，l的倾斜角为 C．当时，l与两条坐标轴都相交 D．当，时，l经过第一、二、四象限 27．设直线与轴交点，与轴交点，为坐标原点，若的面积为，则实数 . 28． 的三个顶点分别为 . (1)求边和所在直线的一般方程 (2)求边上的垂直平分线所在直线的一般方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.2 直线的方程 题型一 直线的方程的概念 1．经过点且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的倾斜角及直线方程即可求解. 【详解】根据题意，要求直线的倾斜角为，则该直线与x轴垂直，其斜率不存在， 又由直线过点 ， 则其方程为 故选：. 2．（多选）已知两条不同的直线与，则与的位置关系可以是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】AC 【分析】由图像逐项判断即可. 【详解】对于A：由图像判断，符合，正确； 对于B：，在轴上的截距为1，图像不符合；错误； 对于C：由于，在轴上的截距为1，在轴上的截距为，结合图像可得：，图像符合；正确； 对于D: 由于，在轴上的截距为1，在轴上的截距为， 结合图像可知：，即，此时的图像矛盾，错误； 故选：AC 3．若直线过点，则的方程为 . 【答案】/ 【分析】根据直线所过点求得直线的方程. 【详解】由于，所以， 直线过点， 所以直线的方程为. 故答案为： 4．在平面直角坐标系xOy中，已知三个顶点是. (1)求BC边所在直线的方程； (2)若BC边上中线AD的方程为，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两点的斜率公式求出直线BC的斜率，即可求直线的点斜式方程，转化为一般式方程即可. （2）求得线段BC的中点，代入求得，又点在中线AD上，可求得点的坐标. 【详解】（1）， 直线BC的斜率为， 根据点斜式方程得， 边所在直线的一般方程为. （2）由题知，线段BC的中点，  代入中线AD方程，得，解得. 点在中线AD上，，解得m=3， 点的坐标是. 题型二 直线的点斜式方程及辨析 5．若直线经过点，且斜率为3，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的方程，再逐项判断即可. 【详解】依题意，直线的方程为，即， 对于A，当时，，A不是； 对于B，当时，，B不是； 对于C，当时，，C是； 对于D，当时，，D不是. 故选：C 6．（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线可以表示过点的所有直线 B．直线过定点 C．平面直角坐标系内的所有直线都能用一般式方程表示 D．经过点且斜率为的直线l的方程为 【答案】BC 【分析】根据直线方程的几种形式及其限制条件逐一分析. 【详解】对于A，直线表示过点，且斜率为的直线，故A错误； 对于B，即，因为m的取值范围是，所以，解得，即直线过定点，故B正确； 对于C，平面直角坐标系内的所有直线都能用一般式方程表示，故C正确； 对于D，根据点斜式可知经过点且斜率为的直线l的方程为，即，故D错误. 故选：BC. 7．已知直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且过点，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据点斜式求得直线的方程. 【详解】直线的斜率为，倾斜角为， 所以直线的倾斜角为，斜率为， 所以直线的方程为， 即. 故答案为： 8．求适合下列条件的直线方程． (1)经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍； (2)经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）首先根据二倍角正弦公式求斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解； （2）首先确定直线的斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解. 【详解】（1）设直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为． 因为， 所以． 又直线经过点， 因此所求直线方程为， 即． （2）由题意，可知所求直线的斜率为． 又过点, 由点斜式得． 所求直线的方程为或． 题型三 直线图像的辨析 9．直线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率的正负值与定点即可判断结果． 【详解】因为，所以A C错； 当时，，故B对； 故选：B 10．（多选）已知直线，，则（   ） A．直线恒过定点，直线恒过定点 B．若与相互平行，则或 C．若，则 D．若不经过第二象限，则 【答案】ACD 【分析】将两直线的方程变形，求出定点坐标，可判断A选项；利用两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，解之可判断B选项；利用两直线垂直可得出关于实数的等式，解之可判断C选项；数形结合可得出关于实数的不等式，解之可判断D选项. 【详解】对于A选项，将直线的方程化为， 由得，即直线恒过定点， 将直线的方程化为，由得， 所以，直线恒过定点，A对； 对于B选项，若与相互平行，则，解得，B错； 对于C选项，若，则，解得，C对； 对于D选项，因为直线恒过定点， 由题意可知，直线的斜率为， 若不经过第二象限，则其斜率满足，解得，D对. 故选：ACD. 11．若直线不经过第四象限，则k的取值范围为 ． 【答案】 【解析】直线过定点，根据点所在的象限可得斜率的取值范围. 【详解】因为可化为，故直线过定点， 而为第二象限中的点，且直线不经过第四象限，故斜率. 故答案为：. 12．已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图像可得解. 【详解】（1）由，即， 则，解得， 所以直线过定点； （2） 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述. 题型四 直线两点式方程及辨析 13．经过点和的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点式可得答案. 【详解】解析  所求直线的方程为， 即. 故选：A 14．（多选）下列说法错误的是（   ） A．过定点的直线都可用方程表示 B．过定点的直线都可用方程表示 C．过任意两个点的直线都可用方程表示 D．所有直线都可以用方程表示 【答案】AB 【分析】当直线垂直x轴时，斜率不存在，即可判断A、B的正误；根据两点式方程的一般形式，可判断C的正误；根据直线的一般式方程的性质，可判断D的正误. 【详解】当直线垂直x轴时，斜率不存在，故不可以用点斜式及斜截式方程，故A、B错误； 为两点式的一般形式，可以表示过任意两个不同点的方程， （当时，方程为，当时，方程为）故C正确； 所有直线都可以用方程表示，故D正确. 故选：AB 15．已知直线及与函数图像的交点分别为A，B，则直线方程为 ． 【答案】 【分析】求出直线与的交点坐标，再求直线方程可得出答案. 【详解】由，得，，得， 所以直线AB的方程为，即. 故答案为：. 16．直线过点，. (1)求直线的一般方程. (2)求直线的斜率，以及在x轴和y轴上的截距. 【答案】(1)； (2)斜率，在x轴和y轴上的截距分别为. 【分析】（1）根据给定条件。利用直线的两点式方程求出方程，再化成一般式即可. （2）利用（1）的结论，求出直线的斜率及横纵截距. 【详解】（1）直线过点，，则直线的方程为，即， 所以直线的一般方程为. （2）由（1）知，直线，当时，；当时，， 所以直线的斜率，在x轴和y轴上的截距分别为. 题型五 直线与坐标轴围成图形的面积问题 17．已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 【答案】B 【分析】设直线的方程为，代入点坐标，得到的方程，用表示出的面积，利用基本不等式即可求解. 【详解】如图： 依题意设直线的方程为（，），则，且，， 所以，即，当且仅当，时，等号成立， 所以的面积，则面积的最小值为20. 故选：B 18．（多选）下列说法正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B．直线在轴上的截距是 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 D．点关于点的对称点为 【答案】ABD 【分析】A选项根据倾斜角和斜率概念可知，B选项将代入求解即可， C选项求出横纵截距再代入面积公式即可，D选项根据中点坐标公式可以求解. 【详解】当倾斜角为90°时，斜率不存在，A正确； 直线与轴的交点是，故在轴上的截距是，B正确； 直线与两坐标轴的交点坐标为与，故与两坐标轴围成的三角形的面积为，C错误； 设对称点为，则，可得对称点为，D正确．    故选：ABD 19．若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为 . 【答案】// 【分析】利用截距式方程，求直线在两坐标轴上的截距，再求三角形的面积. 【详解】由条件可知，直线不过原点， 设直线，则，则， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 故答案为： 20．已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． (1)若，求直线的方程； (2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分、两种情况讨论，设出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出参数的值，即可得出直线的方程； （2）由题意可知直线的截距式方程为，且，，将点的坐标代入直线的方程得出，可得，求得，可得出，将代入的面积公式，结合基本不等式可求得的最小值，利用等号成立的条件得出、的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）当时，直线过原点，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，此时直线的方程为； 当时，直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）由题意可知、，且，，则直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，可得， 由可得， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当的面积最小时，直线的方程为，即. 题型六 直线一般式方程与其他形式之间的互化 21．已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距之和为零，则直线l的方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据已知，讨论截距是否为0，分别设直线为、，结合所过的点求参数，即可得直线方程. 【详解】当截距为0时，令直线为，则，故， 当截距不为0时，令直线为，则，故， 所以，所求直线为或. 故选：D 22．（多选）直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意结合截距式方程列式求解即可. 【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为12，则直线在两坐标轴上的截距都存在且不过原点， 设直线在轴上的截距分别为，则方程为，且， 又因为直线过点，所以， 即，解得或， 故所求直线的方程为或， 即或. 故选：BD 23．设直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的一般式方程为 【答案】或 【分析】分别讨论截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，代入点坐标，即可得答案. 【详解】当截距为0时，设l方程为，代入点，可得，解得， 所以方程为，即； 当截距不为0时，因为截距相等，所以设方程为， 代入点，可得，解得， 所以方程为，即， 综上，直线l的一般方程为或. 故答案为：或. 24．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在的直线方程为. (1)求顶点的坐标； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线得斜率关系，从而得直线的方程，联立，解得即可求得的坐标； （2）设，结合中线方程求得的值，从而得的坐标，从而求直线的斜率，从而得直线的方程. 【详解】（1）由题意知，，则，故， 则直线的方程为，即， 联立，得顶点； （2）设，则中点的坐标为， 将其代入中线方程，得，故， 则， 所以直线的方程为，即. 题型七 直线的一般式方程及辨析 25．已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求得直线的斜率，再利用斜截式方程求解，化为一般式方程即可. 【详解】由直线的方向向量为得直线的斜率为， 又在轴上的截距为，所以直线的方程为，即. 故选：C 26．（多选）已知直线，下列说法正确的是（    ） A．当时，l过坐标原点 B．当时，l的倾斜角为 C．当时，l与两条坐标轴都相交 D．当，时，l经过第一、二、四象限 【答案】ABD 【分析】原点坐标适合直线方程判断A；方程变形为可判断BC；选项D，化简直线方程为，结合且，判断D. 【详解】选项A，当时，是方程的解，即l过坐标原点，故A正确； 选项B，当时，由不全为0得， 直线的方程可化为垂直x轴，所以l的倾斜角为，故B正确； 选项C，当，时，直线垂直x轴，与y轴平行，不与y轴相交，故C错误； 选项D，由直线，可得， 因为，，所以，则直线斜率，且， 所以直线经过第一、二、四象限，故D正确. 故选：ABD. 27．设直线与轴交点，与轴交点，为坐标原点，若的面积为，则实数 . 【答案】 【分析】令，可得A点坐标，令，可得B点坐标，根据的面积为，列出等式，即可得答案. 【详解】令，解得，所以， 由题意，，令，，所以， 因为的面积为， 所以，解得. 故答案为： 28． 的三个顶点分别为 . (1)求边和所在直线的一般方程 (2)求边上的垂直平分线所在直线的一般方程． 【答案】(1)：，：； (2) 【分析】（1）由两点式即可写出答案； （2）先求出的中点坐标与斜率，则可得所求直线的斜率，再由点斜式写出答案. 【详解】（1）由两点式可得直线：，化简得：， 直线：，化简得：， 所以：，：； （2）记的中点为，则， ， 所以与垂直的直线的斜率， 所以边上的垂直平分线为： ， 化简得： , 所以边上的垂直平分线所在直线的一般方程为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $