期末重点专题专训06 垂直平分线、角平分线四基评估（诊讲评提闭环专训）2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

期末重点专题专训06垂直平分线、角平分线四基评估（诊 讲评提闭环专训)数学华师大版八年级上册 (解析篇) 一诊断卷 1、如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，DB是AB的垂直平分线，垂足为E.若 DC=1,AD=2,则BC的长为（) A.1 B.2 C.3 D.4 E D 解：DE是AB的垂直平分线， ∴.AD=BD=2, .CD=1, ∴.BC=BD+CD=3. 2、(24-25八年级下·山西晋中·期中)如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分 别交AC,AB于点D,E,连接BD.若∠C=24°，DB1BC,则∠A的度数为() A.24 B.30° C.33° D.66° 解：DE垂直平分AB, ..AD=BD .∠A=∠DBA, .DB⊥BC ∴.∠DBC=90°， .∠C=24°， ∴.∠BDC=90°-∠C=90°-24°=66°， ,'∠BDC=∠A+∠DBA=2∠A, .2∠A=66°， ∴.∠A=33, 3、到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点新增选项 【参考答案】C 4、如图，在△BC中，分别以点A和点B为圆心，大于4B的长为半径画弧， 两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10， AB=7,则△ABC的周长为() M A.7 B.14 C.17 D.20 解：：在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于号AB的长为半径画弧，两 弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD, M ∴.MN是AB的垂直平分线， .'AD=BD, .△ADC的周长为10， .AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10, .AB=7, .△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17, 5、(24-25八年级上·山西吕梁·期末)如图，已知△ABC中，D为BC边上一 点，E为AB边上一点，连接AD,DE,DE∥AC,AE=ED,若AB=2.7,BD=1.5, CD=1,则AC= B 解：.AE=ED, ∴.∠BAD=∠ADE, 又.DE∥AC, ∴.∠ADE=∠DAC, ∴.∠BAD=∠DAC,则AD平分∠BAC, 令点A到BC的距离为h,点D到AB,AC的距离为h1,h2,则h1=h2, SAABD LBDh S△ACD GACh2 5CD.A 则是器即：是马 = .AC=1.8, 故答案为：1.8. 6、(24-25八年级上·福建厦门期末)如图，BD平分∠ABC交AC于D点，DE1BC 于E点，若AB=4,BC=5,S△4Bc=9,则DE的长为 解：如图，过点D作DF1BA,交BA的延长线于F, ◇ B E :BD平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥BA, .DE DF, AB=4,BC=5,S△4Bc=9, 2×4×DF+2x5xDE=9, 解得：DE=DF=2, 故答案为：2. 7、(24-25八年级上·江苏宿迁·期末)已知：如图，线段AB和射线AM有公共 端点A. (1)尺规作图：在射线AM取一点P,使△APB是以AB为底边的等腰三角形，连接 PB,过P作射线PD,使PD平分∠BPM;(保留作图痕迹) (2)若∠BAM=55°，求∠BPD的度数， 解：（1)解：如图所示. M B 米 (2)由(1)作图可得，△PAB是等腰三角形，PA=PB,PD平分∠BAM, ∴.∠BAM=∠B=55°，∠BPD=∠DPM, ,∠BPM=∠BPD+∠DPM=∠BAM+∠B, ∴.∠BPD=∠DPM=∠BAM=∠B=5S 8、已知：如图，AB=AC,DB=DC,点E在AD上，求证：EB=EC. D 8、解：，AB=AC ∴.点A在BC的垂直平分线上， .DB=DC, .点D在BC的垂直平分线上， ∴.AD是线段BC的垂直平分线， ,点E在AD上， ∴.EB=EC. 9、(24-25八年级上·浙江嘉兴·期中)如图，已知P是∠AOB平分线上一点， ∠AOP=15°，CP∥OB交OA于点C,PD⊥OB,垂足为D,且PC=6, ◇ ) B (1)求∠ACP的度数： (2)求PD的长 解：1)解：OP平分∠AOB,∠AOP=15°， ∠AOB=2∠AOP=30°， CP∥OB, .∠ACP=∠AOB=30°. (2)解：过P作PE⊥AO于E, A 、D D B .∠PEC=90°，∠ACP=30°，PC=6, a=0-6=3, 2 PD⊥OB,PE⊥OA,OP平分∠AOB, .PD=PE =3. 10、(24-25八年级上·浙江舟山·期中)如图，在4BC中，∠C=90°，AD是∠CAB 的角平分线，DE LAB于E,点F在边AC上，连接DF.且DF=DB. A E D (1)求证：△CFD≌△EBD: (2)若∠BAC=40°，求∠AFD的度数； 解：（1)证明：AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB,∠C=90, :DC=DE, .DF DB ∴.Rt△CFD≌RtAEBD(HL): (2)解：∠BAC=40°，∠C=90, .∠B=50°， RLACEDS≌RtAEBD, ∴.∠B=∠CFD=50°， .∠AFD=130°. 11、(24-25八年级下·贵州毕节·期中)如图，在△ABC中，AD1BC,EF垂 直平分AC,交AC于点F交BC于点E,且BD=DE,连接AE. B D E (1)求证：AB=EC: (2)若△ABC的周长为32cm,AC=12cm,求DC的长. 解：】（1)证明：EF垂直平分AC, .'.AE=EC, .'AD L BC,BD=DE, .'.AB=AE, .'.AB=EC. (2)解：由题意可得：AB+BC+AC=32cm, ,'AC=12cm, ∴.AB+BC=20cm, .'AB=EC,BD=DE, ..DC=DE+EC -BE+AB =(BC-CE)+AB (BC-AB)+AB =(AB+BC) =10cm. B DE 二、例题示范 例题示范1：(24-25八年级上·江苏南通·阶段练习)如图，在△ABC中，BD 是△ABC的中线，EF是BC边的中垂线，且BD与EF相交于点G,连结AG,CG,若 四边形CDGE与四边形ACEG的面积分别为8和13，则△ABC的面积为() B E A.36 B.22 C.20 D.21 解：：四边形CDGE与四边形ACEG的面积分别为8和13， S△AGD=13-8=5, :BD是△ABC的中线， SACGD SAAGD =5, ·S△cGE=3, :EF是BC边的中垂线， E是BC的中点， S△BEG=S△CGE=3, S△BDc=3+3+5=11, S△4BC=22, 故选：B 例题示范2：(24-25八年级上·广东潮州·期中)如图，在△ABC中，AB边的 垂直平分线L1交BC于点D,AC边的垂直平分线L2交BC于点E,L1与L2相交于点O, 连接0A,OB,OC O (1)若△ADE的周长为8cm,线段BC的长为 (2)判断点O是否在BC的垂直平分线上： (3)若∠BAC=120°，求∠DAE的度数. 解：（1)解：L1是AB边的垂直平分线， ..DA=DB, .L2是AC边的垂直平分线， ∴.EA=EC, ,△ADE的周长为8cm, .'BC BD DE EC=DA+DE+EA=8(cm); 故答案为：8cm: (2)解：点O在BC的垂直平分线上， 理由：，l是AB边的垂直平分线， .0A=0B, ,L2是AC边的垂直平分线， .0A=0C, ∴.0B=0C, ∴.点O在BC的垂直平分线上： (3)解：，∠BAC=120°， ∴.∠ABC+∠ACB=60°， .'DA=DB,EA=EC, ∴.∠BAD=∠ABC,∠EAC=∠ACB, ∴.∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠EAC=120°-60°=60°. 例题示范3：(24-25七下·河南驻马店实验中学·期末)如图，在△ABC中，AB= 10,S△ABC=24,AD是∠BAC的平分线.若卫，Q分别是AD和AC上的动点，则 PC+PQ的最小值是() D A.2.4 B.4.8 C.4 D.5 解：作点Q关于AD的对称点E,连接PE,CE,过点C作CH 1 AB于点H, D E'H B ,AD是△ABC的角平分线，Q与E关于AD对称， 点E在AB上，PC+PQ=PC+PE≥CH, AB=10,SAAM=AC-BC=24. ∴.CH=4.8, .CP+PQ≥4.8， .PC+PQ的最小值为4.8， 故选：B 例题示范4：如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,EF过点O且EF/BC. (1)若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠B0C的度数： (2)若∠B0C=130°，∠1：∠2=2：3，求∠ABC、∠ACB的度数. 解：（1)，∠ABC和∠ACB的平分线BO与C0相交于点O, ·∠EB0=∠0BC=2∠ABC,∠FC0=∠0C=2∠ACB, 又∠ABC=50°，∠ACB=60, ∴.∠0BC=25°，∠0CB=30°， .∴.∠B0C=180°-∠0BC-∠0CB=125: (2).∠B0C=130°，期末重点专题专训06垂直平分线、角平分线四基评估（诊 讲评提闭环专训)数学华师大版八年级上册 (解析篇) 一诊断卷 1、如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，垂足为E.若 DC=1,AD=2,则BC的长为() A.1 B.2 C.3 D.4 E D 解：，DE是AB的垂直平分线， ∴.AD=BD=2, .CD=1, ∴.BC=BD+CD=3. 2、(24-25八年级下·山西晋中·期中)如图，△ABC中，边AB的垂直平分线 分别交AC,AB于点D,E,连接BD.若∠C=24°，DB L BC,则∠A的度数为 () D A.24 B.309 C.33 D.66 解：，DE垂直平分AB, ·AD=BD ∠A=∠DBA, .DB⊥BC, ∴.∠DBC=90°， ∠C=24°， ∴.∠BDC=90°-∠C=90°-24°=66°， ,∠BDC=∠A+∠DBA=2∠A, ∴.2∠A=66°， ∴.∠A=33°， 3、到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的() A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点新增选项 【参考答案】C 4、如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于)AB的长为半径画弧， 两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为I0 ,AB=7,则△ABC的周长为() M A.7 B.14 C.17 D.20 解：“在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两 弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD, M米 ∴.MN是AB的垂直平分线， .'AD=BD, .'△ADC的周长为10， .AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10, AB=7, ∴.△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17, 5、(24-25八年级上·山西吕梁·期末)如图，己知△ABC中，D为BC边上 一点，E为AB边上一点，连接AD,DE,DEIAC,AE=ED,若AB=2.7, BD=1.5,CD=1,则AC=— B D 解：，AE=ED, ∠BAD=∠ADE, 又.DEAC, ∴.∠ADE=∠DAC, .∠BAD=∠DAC,则AD平分∠BAC, 令点A到BC的距离为h,点D到AB,AC的距离为h,2,则h=2, : S4A82 ABh1 BDh ACh2 CDh, 则是=器，即：张=5， ∴.AC=1.8, 故答案为：1.8. 6、(24-25八年级上·福建厦门·期末)如图，BD平分∠ABC交AC于D点， DE⊥BC于E点，若AB=4,BC=5,S△A8c=9,则DE的长为 B 解：如图，过点D作DF L BA,交BA的延长线于F, y E :BD平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥BA, :DE=DF, :AB=4,BC=5,S△ABC=9, ×4×DF+×5×DE=9, 解得：DE=DF=2 故答案为：2 7、(24-25八年级上·江苏宿迁·期末)已知：如图，线段AB和射线AM有公共 端点A. M B (1)尺规作图：在射线AM取一点P,使△APB是以AB为底边的等腰三角形，连接 PB,过P作射线PD,使PD平分∠BPM;(保留作图痕迹) (2)若∠BAM=55°，求∠BPD的度数. 解：(1)解：如图所示. M 米 (2)由(1)作图可得，△PAB是等腰三角形，PA=PB,PD平分∠BAM, ∴.∠BAM=∠B=55°，∠BPD=∠DPM, ,∠BPM=∠BPD+LDPM=∠BAM+∠B, ∴.∠BPD=∠DPM=∠BAM=∠B=55°. 8、已知：如图，AB=AC,DB=DC,点E在AD上，求证：EB=EC. D 8、解：AB=AC ∴.点A在BC的垂直平分线上， .DB=DC, ∴.点D在BC的垂直平分线上， ∴.AD是线段BC的垂直平分线， ,点E在AD上， .'EB=EC 9、(24-25八年级上·浙江嘉兴·期中)如图，已知P是∠A0B平分线上一点， LA0P=15°，CP∥OB交OA于点C,PD⊥OB,垂足为D,且PC=6, D B (1)求∠ACP的度数； (2)求PD的长. 解：1)解：：OP平分∠A0B,∠A0P=15°， ∠A0B=2LA0P=30°， :CP∥OB, LACP=∠A0B=30°. (2)解：过P作PE⊥A0于E, D B :∠PEC=90°，∠ACP=30°，PC=6, PEPCx6-3 :PD⊥OB,PE⊥OA,OP平分∠AOB, :PD PE =3. 10、(24-25八年级上·浙江舟山·期中)如图，在ABC中，∠C=90°，AD是 ∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E,点F在边AC上，连接DF.且DF=DB. A B (1)求证：△CFD≌△EBD: (2)若∠BAC=40°，求∠AFD的度数； 解：(1)证明：：AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB,∠C=90°， :DC=DE, DF=DB, RtACFD≌RtEBD(HL; (2)解：：∠BAC=40°，∠C=90°， ∠B=50°， :Rt△CFD≌RtaEBD, LB=∠CFD=50°， .∠AFD=130°. 11、(24-25八年级下·贵州毕节·期中)如图，在△ABC中，AD⊥BC,EF垂 直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且BD=DE,连接AE. B DE (1)求证：AB=EC: (2)若△ABC的周长为32cm,AC=12cm,求DC的长， 解：】(1)证明：，EF垂直平分AC, .'.AE=EC, ,AD⊥BC,BD=DE, ∴.AB=AE .'.AB=EC. (2)解：由题意可得：AB+BC+AC=32cm, .'AC=12cm ∴.AB+BC=20cm, .'AB=EC,BD=DE, .DC=DE+EC =BE+AB =(BC-CE)+AB =(BC-AB)+AB =(AB+BC) =10cm B D E 二、例题示范 例题示范1：(24-25八年级上·江苏南通·阶段练习)如图，在△ABC中，BD 是△ABC的中线，EF是BC边的中垂线，且BD与EF相交于点G,连结AG,CG, 若四边形CDGE与四边形ACEG的面积分别为8和13，则△ABC的面积为() B E A.36 B.22 C.20 D.21 解：：四边形CDGE与四边形ACEG的面积分别为8和13， S△4GD=13-8=5, :BD是△ABC的中线， &S△cGD=S△AGD=5, S△cGE=3, :EF是BC边的中垂线， ·E是BC的中点， S△8EG=S△cGE=3, S△8Dc=3+3+5=11, S△A8C=22, 故选：B 例题示范2：(24-25八年级上·广东潮州·期中)如图，在△ABC中，AB边的 垂直平分线山1交BC于点D,AC边的垂直平分线2交BC于点E,h与2相交于点O, 连接OA,OB,OC. (1)若△ADE的周长为8cm,线段BC的长为 (2)判断点O是否在BC的垂直平分线上： (3)若∠BAC=120°，求∠DAE的度数. 解：(1)解：·h是AB边的垂直平分线， ·DA=DB ,2是AC边的垂直平分线， ∴.EA=EC, :'△ADE的周长为8cm, .BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=8(cm); 故答案为：8cm: (2)解：点O在BC的垂直平分线上， 理由：，是AB边的垂直平分线， ∴.OA=0B, ,2是AC边的垂直平分线， .0A=0C, ..OB=OC, ∴.点O在BC的垂直平分线上： (3)解：.∠BAC=120°， ∴.∠ABC+∠ACB=60°， ·DA=DB,EA=EC, ∴.∠BAD=∠ABC,∠EAC=∠ACB, ∴.∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠EAC=120°-60°=60°. 例题示范3：(24-25七下·河南驻马店实验中学·期末)如图，在△ABC中， AB=10,S△A8c=24,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点， 则PC+PQ的最小值是() A.2.4 B.4.8 C.4 D.5 解：作点Q关于AD的对称点E,连接PE,CE,过点C作CH L AB于点H, D ○ E'方 B :AD是△ABC的角平分线，Q与E关于AD对称， 点E在AB上，PC+PQ=PC+PE≥CH, "AB=10,SAABC=AC-BC=24 CH=4.8 .CP+PQ≥4.8， PC+PQ的最小值为4.8， 故选：B 例题示范4：如图，己知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,EF过点O且 EF //BC. (1)若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠B0C的度数； (2)若∠B0C=130°，∠1：∠2=2：3，求∠ABC、∠ACB的度数. 解：(1)：∠ABC和∠ACB的平分线B0与C0相交于点O, .∠EB0=∠OBC=∠ABC,∠FC0=∠OC=∠ACB, 又∠ABC=50°，∠ACB=60°， ∴.∠0BC=25°，∠0CB=30°， ∴.∠B0C=180°-∠0BC-∠0CB=125°； (2).∠B0C=130°， .∠1+∠2=50°， ∠1：∠2=3：2 ∴∠1=是×50°=30°，∠2=号×50°=20°， BFBC, .∠0BC=∠1=30°，∠0CB=∠2=20°， .'∠ABC和∠ACB的平分线BO与CO相交于点O,期末重点专题专训06垂直平分线、角平分线四基评估（诊 讲评提闭环专训)数学华师大版八年级上册 一诊断卷 1、如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，垂足为E.若 DC=1,AD=2,则BC的长为() A.1 B.2 C.3 D.4 4 E D 2、(24-25八年级下·山西晋中·期中)如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分 别交AC,AB于点D,E,连接BD.若∠C=24°，DB1BC,则∠A的度数为() A.24° B.30° C.33° D.66° 3、到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点新增选项 4、如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧， 两弧相交于点M,N作直线N,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10， AB=7,则△ABC的周长为() M A.7 B.14 C.17 D.20 5、(24-25八年级上·山西吕梁·期末)如图，已知△ABC中，D为BC边上 一点，E为AB边上一点，连接AD,DE,DE∥AC,AE=ED,若AB=2.7,BD=1.5, CD=1,则AC= B 6、(24-25八年级上·福建厦门期末)如图，BD平分∠ABC交AC于D点，DE1BC 于E点，若AB=4,BC=5,SAABC=9,则DE的长为 7、(24-25八年级上·江苏宿迁·期末)已知：如图，线段AB和射线AM有公共 端点A, M A B (I)尺规作图：在射线AM取一点P,使△APB是以AB为底边的等腰三角形，连接 PB,过P作射线PD,使PD平分∠BPM;（保留作图痕迹) (2)若∠BAM=55°，求∠BPD的度数， 8、已知：如图，AB=AC,DB=DC,点E在AD上，求证：EB=EC, D 9、(24-25八年级上·浙江嘉兴·期中)如图，已知P是∠AOB平分线上一点， ∠AOP=15°，CP∥OB交OA于点C,PD⊥OB,垂足为D,且PC=6, D B (1)求∠ACP的度数； (2)求PD的长. 10、(24-25八年级上·浙江舟山·期中)如图，在ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB 的角平分线，DE⊥AB于E,点F在边AC上，连接DF,且DF=DB. D B (I)求证：△CFD≌△EBD: (2)若∠BAC=40°，求∠AFD的度数； 11、(24-25八年级下·贵州毕节·期中)如图，在△ABC中，AD1BC,EF垂 直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且BD=DE,连接AE. B D E (1)求证：AB=EC; (2)若△ABC的周长为32cm,AC=12cm,求DC的长. 二、例题示范 例题示范1：(24-25八年级上·江苏南通·阶段练习)如图，在△ABC中，BD 是△ABC的中线，EF是BC边的中垂线，且BD与EF相交于点G,连结AG,CG,若 四边形CDGE与四边形ACEG的面积分别为8和13，则△ABC的面积为() G B E A.36 B.22 C.20 D.21 解：：四边形CDGE与四边形ACEG的面积分别为8和13， S△4GD=13-8=5, :BD是△ABC的中线， S△cGD=S△4GD=5, .S△cGE=3, :EF是BC边的中垂线， ·E是BC的中点， ·SA△BEG=S△cGE=3, ·S△BDc=3+3+5=11, ·S△4BC=22, 故选：B 例题示范2：(24-25八年级上·广东潮州·期中)如图，在△ABC中，AB边的 垂直平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E,L1与L2相交于点O, 连接0A,OB,OC 02 B 0 (1)若△ADE的周长为8cm,线段BC的长为 (2)判断点O是否在BC的垂直平分线上： (3)若∠BAC=120°，求∠DAE的度数， 解：（1)解：.11是AB边的垂直平分线， .'DA=DB, .L2是AC边的垂直平分线， ∴.EA=EC, ,△ADE的周长为8cm, ..BC=BD+DE +EC=DA+DE+EA=8(cm); 故答案为：8cm; (2)解：点O在BC的垂直平分线上， 理由：，L1是AB边的垂直平分线， ∴.OA=OB, ,L2是AC边的垂直平分线， ∴.OA=OC, ..0B=OC, ∴.点O在BC的垂直平分线上： (3)解：.∠BAC=120°， ∴.∠ABC+∠ACB=60°， .'DA=DB,EA=EC, .∠BAD=∠ABC,∠EAC=∠ACB, ∴.∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠EAC=120°-60°=60°. 例题示范3：(24-25七下·河南驻马店实验中学·期末)如图，在△ABC中，AB= 10,S△ABc=24,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点，则 PC+PQ的最小值是() A.2.4 B.4.8 C.4 D.5 解：作点Q关于AD的对称点E,连接PE,CE,过点C作CH 1 AB于点H, ,AD是△ABC的角平分线，Q与E关于AD对称， 点E在AB上，PC+PQ=PC+PE≥CH, AB=10,SAAnC-AC-BC=24, ∴.CH=4.8, ∴.CP+PQ≥4.8， .PC+PQ的最小值为4.8， 故选：B. 例题示范4：如图，己知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,EF过点O且EF/BC, (1)若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠BOC的度数； (2)若∠B0C=130°，∠1：∠2=2：3，求∠ABC、∠ACB的度数. 解：（1)，∠ABC和∠ACB的平分线B0与C0相交于点0O, ∴∠EB0=∠OBC=3∠ABC,∠FC0=∠OC=3∠ACB, 又∠ABC=50°，∠ACB=60°， ∴.∠0BC=25°，∠0CB=30°， .∴.∠B0C=180°-∠0BC-∠0CB=125; (2).∠B0C=130, ∴.∠1+∠2=50°， ∠1：∠2=3：2， .∠1=号×50°=30，∠2=号×50=20， .BF//BC, ∴.∠0BC=∠1=30°，∠0CB=∠2=20°， ,∠ABC和∠ACB的平分线BO与CO相交于点O, ∴.∠ABC=60°，∠ACB=40°. 三、评估卷 1.如图，在△ABC中，∠C=90,AB的垂直平分线交AB于D,交BC于E,连结AE, 若CE=5,AC=12,且△ACE的周长为30，则BE的长是() E D A.5 B.10 C.12 D.13 2、如图，在△ABC中，AB=AC,DE垂直平分AB,垂足为点D,交AC于点E, △BCE的周长为20，BC的长为8，则AB为( ) A.10 B.15 C.11 D.12 3、(24-25八年级上·江苏无锡·期中)如图，在△ABC中，AB=7,AD平分 ∠BAC,DE⊥AC,DE=2,则△ABD的面积为( B A.7 B.10 C.12 D.14 4、如图，直线I与线段AB交于点O,点P在直线1上，且PA=PB.则下列说法 正确的是( ) A.AO=BO B.直线I是AB的垂直平分线 C.直线I是∠APB的角平分线 D.若l⊥AB,则直线I是AB的垂直平分线 5、如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D,连接BD.若AC=8,CD=5, 则BD= B 6、（25-26八年级上。重庆渝北·期中)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC, DE L AB.若AC=3.6,DE=2,则S4CD=」 7、(24-25七年级下·四川成都·期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按以 下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC,AB于点 M:②分别以M,W为圆心，以大于N的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交 于点O:③作射线AO,交BC于点D.若CD的长为3，AB=8,则△ABD的面积 为 8、（2025·湖南衡阳·一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°， 点D是BC边上一点，过点D作DE L AB于点E,若DE=DC,则∠ADE的度数 为期末重点专题专训06垂直平分线、角平分线四基评估（诊 讲评提闭环专训)数学华师大版八年级上册 一诊断卷 1、如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，垂足为E.若 DC=1,AD=2,则BC的长为( A.1 B.2 C.3 D.4 2、 (24-25八年级下·山西晋中·期中)如 图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AC,AB于点D,E,连接BD.若 ∠C=24°，DB⊥BC,则∠A的度数为() D A.24° B.30° C.33° D.66° 3、到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点新增选项 4、如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于2AB的长为半径画弧， 两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为I0 ,AB=7,则△ABC的周长为() D M火 A.7 B.14 C.17 D.20 5、(24-25八年级上·山西吕梁·期末)如图，已知△ABC中，D为BC边 上一点，E为AB边上一点，连接AD,DE,DE‖AC,AE=ED,若AB=2.7, BD=1.5,CD=1,则AC=( 6、(24-25八年级上·福建厦门·期末)如图，BD平分∠ABC交AC于D点， DE⊥BC于E点，若AB=4,BC=5,SAABC=9,则DE的长为 4 7、(24-25八年级上·江苏宿迁·期末)已知：如图，线段AB和射线AM有公 共端点A. B (I)尺规作图：在射线AM取一点P,使△APB是以AB为底边的等腰三角形，连 接PB,过P作射线PD,使PD平分∠BPM;(保留作图痕迹) (2)若∠BAM=55°，求∠BPD的度数. 8、已知：如图，AB=AC,DB=DC,点E在AD上，求证：EB=EC. D B 9、(24-25八年级上·浙江嘉兴·期中)如图，已知P是∠AOB平分线上一 点，∠AOP=15°，CP∥OB交OA于点C,PD⊥OB,垂足为D,且PC=6, P B (1)求∠ACP的度数： (2)求PD的长. 10、(24-25八年级上·浙江舟山·期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是 ∠CAB的角平分线，DE L AB于E,点F在边AC上，连接DF.且DF=DB A E D B (I)求证：△CFD≌△EBD: (2)若∠BAC=40°，求∠AFD的度数： 11、(24-25八年级下·贵州毕节·期中)如图，在△ABC中，AD⊥BC,EF 垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且BD=DE,连接AE. B D E (1)求证：AB=EC; (2)若△ABC的周长为32cm,AC=12cm,求DC的长. 二、例题示范 例题示范1：(24-25八年级上·江苏南通·阶段练习)如图，在△ABC中， BD是△ABC的中线，EF是BC边的中垂线，且BD与EF相交于点G,连结AG, CG,若四边形CDGE与四边形ACEG的面积分别为8和13，则△ABC的面积为( G B ◇ A.36 B.22 C.20 D.21 解：.四边形CDGE与四边形ACEG的面积分别为8和13， .SAAGD=13-8=5, .BD是△ABC的中线， ∴.SACGD=SAAGD=5, SACGE=3, ,EF是BC边的中垂线， ∴.E是BC的中点， SABEG=SACGE=3, SAB0c=3+3+5=11, .S△ABC=22, 故选：B 例题示范2：(24-25八年级上·广东潮州·期中)如图，在△ABC中，AB边 的垂直平分线交BC于点D,AC边的垂直平分线L2交BC于点E,1与l2相交于点 O,连接OA,OB,OC. (1)若△ADE的周长为8cm,线段BC的长为 (2)判断点O是否在BC的垂直平分线上： (3)若∠BAC=120°，求∠DAE的度数. 解：(1)解：l1是AB边的垂直平分线， ∴.DA=DB, .l2是AC边的垂直平分线， .'EA=EC, ,△ADE的周长为8cm, .BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=8 cm; 故答案为：8cm; (2)解：点O在BC的垂直平分线上， 理由：.11是AB边的垂直平分线， ..OA=OB, .l2是AC边的垂直平分线， ∴.OA=OC, ∴.OB=OC, ∴.点O在BC的垂直平分线上： (3)解：.∠BAC=120°， ∴.∠ABC+∠ACB=60°， .DA=DB,EA=EC, ∴.∠BAD=∠ABC,∠EAC=∠ACB, ∴.∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠EAC=120°-60°=60° 例题示范3：(24-25七下·河南驻马店实验中学·期末)如图，在△ABC中， AB=10,SAABC=24,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动 点，则PC+PQ的最小值是( A.2.4 B.4.8 C.4 D.5 解：作点Q关于AD的对称点E,连接PE,CE,过点C作CH⊥AB于点H, D B .AD是△ABC的角平分线，Q与E关于AD对称， 点E在AB上，PC+PQ=PC+PE≥CH, AB=10,5=号ACBC=24. .CH=4.8, ∴.CP+PQ≥4.8， ∴.PC+PQ的最小值为4.8， 故选：B. 例题示范4：如图，己知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,EF过点O且 EFI元BC. (1)若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠BOC的度数； (2)若∠BOC=130°，∠1：∠2=2：3，求∠ABC、∠ACB的度数. 解：(1)，∠ABC和∠ACB的平分线BO与CO相交于点O, ∠EB0=∠0BC=∠ABC,∠FC0=∠OC=∠ACB, 又∠ABC=50°，∠ACB=60°， ∴.∠OBC=25°，∠OCB=30°， .∴.∠B0C=180°-∠OBC-∠OCB=125°； (2).'∠B0C=130°， ∴.∠1+∠2=50°， .∠1：∠2=3：2， :∠1=3×50=30，∠2=2×50=200， 5 BF/iBC, ∴.∠OBC=∠1=30°，∠OCB=∠2=20°， .∠ABC和∠ACB的平分线BO与CO相交于点O, ∴.∠ABC=60°，∠ACB=40°. 三、评估卷 ∠C=90°，A 1.如图，在△ABC中， 的垂直平分线交B于D,交BC于E,连结 AE,若CE=5,AC=12,且△ACE的周长为30，则BE的长是() A.5 B.10 C.12 D.13 2、如图，在△ABC中，AB=AC,DE垂直平分AB,垂足为点D,交AC于点E ,△BCE的周长为20，BC的长为8，则AB为( ) D B A.10 B.15 C.11 D.12 3、(24-25八年级上·江苏无锡·期中)如图，在△ABC中，AB=7,AD平分 ∠BAC,DE⊥AC,DE=2,则△ABD的面积为( A.7 B.10 C.12 D.14 4、如图，直线1与线段AB交于点O,点P在直线I上，且PA=PB.则下列说法 正确的是( A.AO=BO B.直线I是AB的垂直平分线 C.直线I是∠APB的角平分线 D.若I⊥AB,则直线I是AB的垂直平分线 5、如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D,连接BD.若AC=8, CD=5,则BD= 6、(25-26八年级上·重庆渝北·期中)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC ,DE1B.若4C=3.6,DE=2，,则m E B D 7、(24-25七年级下·四川成都·期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按 以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC,AB于 点M,N:②分别以MN为圆心，以大于MN的长为半径作弧，在∠B4C内两 弧交于点O:③作射线AO,交BC于点D.若CD的长为3，AB=8,则△ABD的 面积为