26.3解直角三角形 讲义 2025-2026学年冀教版数学九年级上册

本讲义聚焦解直角三角形核心知识点，先明确概念即由直角三角形除直角外的已知元素求其余未知元素，再系统梳理边角关系，包括勾股定理、两锐角互余及锐角三角函数，最后分类讲解已知两边（两直角边或一直角边与斜边）和已知一边一锐角（直角边与锐角或斜边与锐角）的解法步骤，构建从概念到关系再到应用的学习支架。 资料以提分目标为导向，融入思维导图辅助几何直观（数学眼光），通过测量距离、水库大坝、小区闸机等实际情境题（如第3题测河岸距离、第14题双翼闸机宽度计算）培养应用意识（数学语言）。分层次练习从基础计算到非直角三角形转化、不规则图形构造，提升运算能力与推理意识（数学思维）。课中助力教师高效授课，课后学生可分类练习查漏补缺，适合基础薄弱学生进阶。

26.3解直角三角形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。 二、直角三角形中的边角关系 在中，，a、b、c分别是、、的对边。 1. 三边之间的关系（勾股定理）： 2. 两锐角之间的关系： 3. 边角之间的关系（锐角三角函数）： · ， · ， · ， 三、解直角三角形的基本类型与解法 1. 已知两边： · 已知两直角边(a、b)： · 由，求出； · ； · 由勾股定理求出斜边c。 · 已知一直角边和斜边（如a、c）： · 由，求出； · ； · 由勾股定理或求出另一直角边b。 2. 已知一边和一锐角： · 已知一直角边和一锐角（如a、）： · ； · 由，得； · 由，得。 · 已知斜边和一锐角（如c、）： · ； · 由，得； · 由，得。 型 习 练 题 解直角三角形的相关计算 1．在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的边角关系，正确选择正弦函数是解题关键．在中，利用的正弦函数定义直接求解． 【详解】解：如图，在中，， ， ． 故选：B． 2．在中，，设，，所对的边分别为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，解题的关键在于正确掌握正弦、余弦、正切的定义．根据题意画出草图，结合正弦、余弦、正切的定义逐项判断，即可解题． 【详解】解：由题意，可画图如下： A、，选项结论错误，不符合题意； B、，选项结论错误，不符合题意； C、，选项结论错误，不符合题意； D、，选项结论正确，符合题意； 故选：D． 3．如图，某兴趣小组测量小河两岸两点间的距离，在河的一岸与垂直的方向上取一点，测得，则河岸的长表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得，变形计算即可． 本题考查了正切函数的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 又， 故， 故， 故选：B． 4．如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则下列三角函数值错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义及其增减性，计算时要将锐角置于直角三角形中并要充分利用格点． 根据锐角三角函数的定义，将放在直角三角形中，分别计算，可判断A、B、C，再根据锐角正切函数的增减性可判断D． 【详解】解：如图，过点A作于． 在中，， ， ，故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； ，故C正确，不符合题意； ， ，故D错误，符合题意； 故选：D． 5．如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，栏杆的旋转角，则旋转后点到点的水平距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查解直角三角形，旋转的性质 ；根据旋转的性质得到，，得到，即可求出． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， ∴米； 故选：B． 解非直角三角形 6．如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 7．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 8．如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【答案】B 【分析】过点A作轴，垂足为B，根据正弦和余弦的定义，求出，，从而得到坐标． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为B， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标是（，）， 故选B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，解题的关键是根据三角函数的定义求出，的长． 9．在锐角中，是高，如果，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义即可得出，，从而得出即可． 【详解】解：， 在中，， 在中，， ，， ， ， ， 故选：B．    【点睛】本题考查了三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 10．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】B 【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为， 在中，， 在中，， ∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选:B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 11．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】B 【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案． 【详解】解：如图，分别作出两三角形的高 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键． 12．如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 【答案】A 【分析】根据斜坡BC的坡比为i=5：12和坝高，如图可求出BF的长度，在Rt△BCF中根据勾股定理可求出BC的长度． 【详解】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么， ∵坝高，CF⊥AB， ∴DE=CF=5cm 又斜坡的坡比为 ∴BF=12cm， 在RtBCF中 BC= = =13cm 【点睛】本题考查的直角三角形坡度的问题.解题的关键是理解坡度的定义． 13．利用计算机可以辅助数学学习，如图是小明利用几何画板软件，绘制的他家（点）到两个景点，的示意图，景点位于他家的东南（即南偏东）方向，景点位于他家的正南方向，并测得，，则景点位于景点的（    ） A．南偏东方向 B．北偏东方向 C．北偏东方向 D．南偏东方向 【答案】B 【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△ADB中，，∠DAB=45º利用三角函数求BD=AD=cos∠DAB•AB，然后求出CD，再利用三角函数求出∠C=30º，景点B在景点C的方向就知道了 【详解】过B作BD⊥AC于D， 在Rt△ADB中，，∠DAB=45º， ∴BD=AD=cos∠DAB•AB=， ∵， ∴CD=AC-AD=km， 在Rt△CDB中， ∵BD=1km，CD=km， ∴tan∠C=， ∵tan30º=， ∴∠C=30º， 景点B在景点C北偏东30º方向， 故选择：B． 【点睛】本题考查利用解直角三角形确定方位角问题，掌握解直角三角形的方法，方位角的表示方法是解题关键． 14．如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　） A．608 B．608 C．64 D．68 【答案】D 【分析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，在Rt△AEC中，AC＝60cm，∠PCA＝30°，可求AE，由对称性可知：BF＝AE，通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB即可． 【详解】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F， ∵AC＝60cm，∠PCA＝30°，∴AEAC＝30（cm），由对称性可知：BF＝AE， ∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB＝60+8＝68（cm）． 故选择：D． 【点睛】本题考查闸机的最大宽度，关键抓住两翼可以三角形处理，利用30°三角形解决问题． 15．如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯，扶梯总长为米．但这样坡度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建、两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为135°，从点看点的仰角为36.5°，段扶梯长米，则段扶梯长度约为（    ）米（参考数据：，，） A．43 B．45 C．47 D．49 【答案】B 【分析】首先构建直角三角形，然后利用三角函数值得出DG，即可得解. 【详解】作AH⊥EB于H，延长DC交AH于N，作DG⊥EB于G，如图所示： ∵∠ACD=135° ∴∠ACN=45° 在Rt△ACN中，AC=，∠ACN=45° ∴AN=CN=18 在Rt△ABH中，AB=，AH：BH=3:2， 设 ∴ 解得或（不符合题意，舍去） ∴AH=45 ∴HN=AH-AN=45-18=27 ∵四边形DGHN是矩形 ∴DG=HN=27 在Rt△DEG中， ∴ 故选：B. 【点睛】此题主要考查锐角三角函数的实际应用，熟练掌握，即可解题. 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.3解直角三角形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。 二、直角三角形中的边角关系 在中，，a、b、c分别是、、的对边。 1. 三边之间的关系（勾股定理）： 2. 两锐角之间的关系： 3. 边角之间的关系（锐角三角函数）： · ， · ， · ， 三、解直角三角形的基本类型与解法 1. 已知两边： · 已知两直角边(a、b)： · 由，求出； · ； · 由勾股定理求出斜边c。 · 已知一直角边和斜边（如a、c）： · 由，求出； · ； · 由勾股定理或求出另一直角边b。 2. 已知一边和一锐角： · 已知一直角边和一锐角（如a、）： · ； · 由，得； · 由，得。 · 已知斜边和一锐角（如c、）： · ； · 由，得； · 由，得。 型 习 练 题 解直角三角形的相关计算 1．在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．在中，，设，，所对的边分别为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，某兴趣小组测量小河两岸两点间的距离，在河的一岸与垂直的方向上取一点，测得，则河岸的长表示为（   ） A． B． C． D． 4．如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则下列三角函数值错误的是（ ） A． B． C． D． 5．如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，栏杆的旋转角，则旋转后点到点的水平距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 解非直角三角形 6．如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 8．如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 9．在锐角中，是高，如果，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 11．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 12．如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 13．利用计算机可以辅助数学学习，如图是小明利用几何画板软件，绘制的他家（点）到两个景点，的示意图，景点位于他家的东南（即南偏东）方向，景点位于他家的正南方向，并测得，，则景点位于景点的（    ） A．南偏东方向 B．北偏东方向 C．北偏东方向 D．南偏东方向 14．如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　） A．608 B．608 C．64 D．68 15．如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯，扶梯总长为米．但这样坡度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建、两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为135°，从点看点的仰角为36.5°，段扶梯长米，则段扶梯长度约为（    ）米（参考数据：，，） A．43 B．45 C．47 D．49 学科网（北京）股份有限公司 $