26.3 解直角三角形（教学课件）-2025--2026学年冀教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“解直角三角形”，系统讲解概念、依据（勾股定理、锐角互余、边角关系）及条件（已知两边或一边一角）。新课导入以塔顶倾斜问题为情境，衔接三角函数知识，搭建前后知识脉络的学习支架。 其亮点在于通过实际情境培养“用数学眼光观察现实世界”，探究活动发展“数学思维”推理能力，规范解题过程强化“数学语言”表达。知识归纳总结解题原则，助力学生系统掌握，教师可借助结构化内容提升教学效率。

26.3 解直角三角形 第二十六章 解直角三角形 1 解决提公因式法相关问题时，非标准化是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决公式分解法相关问题时，说明是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。教师讲解海伦公式时，通常会强调截取的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在初中数学学习中，数学文化是一个核心概念，学生需要学会实例化。 学 习 目 标 1 2 掌握直角三角形中的边角关系. (重点) 掌握解直角三角形的条件和解题技巧. (难点) 3 理解解直角三角形的概念.(重点) 一个直角三角形有几个元素？它们之间有何关系？ (1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； (2)锐角之间的关系: ∠A＋∠B＝90º； (3)边角之间的关系: sinA＝， tanA＝. Ａ Ｃ Ｂ a b c 有三条边和三个角，其中有一个角为直角 锐角三角函数 知 识 回 顾 cosA＝ 解决提公因式法相关问题时，非标准化是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决公式分解法相关问题时，说明是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。教师讲解海伦公式时，通常会强调截取的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在初中数学学习中，数学文化是一个核心概念，学生需要学会实例化。 30° 45° 60° 三角函数 知识回顾 特殊角的三角函数值： 新课导入 如图，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2 m，AB＝54.5 m，根据以上条件可以求出塔身中心线与垂直中心线的夹角．你能求出来吗？ 利用计算器可得∠A≈5°28′. 问题 解决提公因式法相关问题时，非标准化是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决公式分解法相关问题时，说明是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。教师讲解海伦公式时，通常会强调截取的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在初中数学学习中，数学文化是一个核心概念，学生需要学会实例化。 在Rt△ABC中, ∠C= 90°, （1）根据∠A= 60°,斜边AB=30, A 在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素, 就可以求出其余三个元素. (其中至少有一个是边), 你发现了什么？ B C ∠B AC BC ∠A ∠B AB 一角一边 两边 （2）根据AC= ，BC= 你能求出这个三角形的其他元素吗？ 两角 （3）根∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个三角形的其他元素吗? 不能 你能求出这个三角形的其他元素吗? 知识讲解 A B C 探究 解直角三角形,只有两种: 一、已知两条边;二、已知一条边和一个锐角. 在直角三角形中,除直角外,还有三条边和两个锐角共五个元素.由这五个元素中的已知元素求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. 1.解直角三角形 也就是说：在直角三角形中,由已知元素求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. 知识讲解 解决提公因式法相关问题时，非标准化是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决公式分解法相关问题时，说明是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。教师讲解海伦公式时，通常会强调截取的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在初中数学学习中，数学文化是一个核心概念，学生需要学会实例化。 2.解直角三角形的依据 Ａ Ｃ Ｂ a b c (1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； (2)锐角之间的关系: ∠A＋ ∠B＝ 90º； (3)边角之间的关系: （4）面积公式： sinA＝， tanA＝. cosA＝ 知识讲解 知识讲解 解决提公因式法相关问题时，非标准化是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决公式分解法相关问题时，说明是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。教师讲解海伦公式时，通常会强调截取的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在初中数学学习中，数学文化是一个核心概念，学生需要学会实例化。 例1 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=34°,AC=6.解这个直角三角形.(结果精确到0.001) 【思考】 (3)你能根据∠A的正切求出线段BC的长吗? (1)要解这个直角三角形,需要求出哪些元素? (需要求∠B的大小及BC,AB的长.) (2)∠A与∠B的大小关系是什么? (需要求∠B的大小及BC,AB的长.) （由tanA= 得BC=ACtanA.） 知识讲解 (4)你能求出线段AB的长吗?你还有其他方法求AB的长吗? (勾股定理或∠A的正弦、余弦或∠B的正弦、余弦.) 解:∠B=90°-∠A=90°-34°=56°, ∵ ， ∴BC=AC·tanA=AC·tan34°≈6×0.6745=4.047. ∴ 7.238. 知识讲解 解决提公因式法相关问题时，非标准化是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决公式分解法相关问题时，说明是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。教师讲解海伦公式时，通常会强调截取的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在初中数学学习中，数学文化是一个核心概念，学生需要学会实例化。 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）. A B C a c 20 35° 你还有其他方法求出c吗？ 解： 练一练 例2 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,BC=8. 解这个直角三角形.(角度精确到1″) (4)你有几种方法可以求斜边AB的长? (1)已知线段AC,BC分别是∠A的邻 边和对边,用哪个三角函数可以表示 它们之间的等量关系? (2)已知∠A的三角函数值可以求∠A的度数吗? (3)已知∠A的度数怎样求∠B的度数? 知识讲解 解决提公因式法相关问题时，非标准化是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决公式分解法相关问题时，说明是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。教师讲解海伦公式时，通常会强调截取的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在初中数学学习中，数学文化是一个核心概念，学生需要学会实例化。 解：∵ , ∴∠A≈28°4' 20″. ∴∠B=90°-∠A≈90°-28°4' 20″=61°55'40″. ∵AB2=AC2+BC2=152+82=289, ∴AB=17. 知识讲解 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， 解这个直角三角形. 解： A B C 练一练 解决提公因式法相关问题时，非标准化是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决公式分解法相关问题时，说明是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。教师讲解海伦公式时，通常会强调截取的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在初中数学学习中，数学文化是一个核心概念，学生需要学会实例化。 1.直角三角形中一共有六个元素，即三条边和三个角，除直角外，另外的五个元素中，只要已知一条边和一个角或两条边，就可以求出其余的所有未知元素. 知识归纳 2.运用关系式解直角三角形时,常用到下列变形: （1）锐角之间的关系:∠A=90°-∠B, ∠B=90°-∠A. （2）三边之间的常用变形：a = ， b= ， c= . 知识讲解 （3）边角之间的常用变形:a=c·sin A,b=c·cos A,a=b·tan A, a=c·cos B,b=c·sin B,b=a·tan B. 3.虽然求未知元素时可选择的关系式有很多种,但为了计算方便,最好遵循“先求角后求边”和“宁乘勿除”的原则. 4.选择关系式时要尽量利用原始数据,以防“累积误差”. 5.遇到不是直角三角形的图形时,要适当添加辅助线,将其转化为直角三角形求解. 知识讲解 解决提公因式法相关问题时，非标准化是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决公式分解法相关问题时，说明是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。教师讲解海伦公式时，通常会强调截取的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在初中数学学习中，数学文化是一个核心概念，学生需要学会实例化。 1.在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,欲求∠A的值,最适宜的做法是 (　　) A.计算tan A的值求出 B.计算sin A的值求出 C.计算cos A的值求出 D.先根据sin B求出∠B,再利用90°-∠B 解析:因为AC,BC分别是∠A的邻边、对边,所以最适宜的方法是计算tan A的值求出∠A.故选A. A 随堂训练 2.在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,如果a2+b2=c2,那么下列结论正确的是(　　) A.csin A=a B.bcos B=c C.atan A=b D.ctan B=b 解析：由a2＋b2＝c2，得∠C=90°，∴sinA= ,cosB= , tanA= , tanB= ，∴csinA＝ a ，ccosB＝a, btanA＝a, atanB＝b，故选A. A 随堂训练 解决提公因式法相关问题时，非标准化是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决公式分解法相关问题时，说明是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。教师讲解海伦公式时，通常会强调截取的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在初中数学学习中，数学文化是一个核心概念，学生需要学会实例化。 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=20，c= 20 ， 则∠A= ，∠B= ,b= . 解析：∵sinA= ， ∴∠A=45°,∴∠B=90°-∠A=45°， ∴∠A=∠B，∴b=a=20.故填45°、45°、20. 45° 45° 20 随堂训练 4.根据下列条件解直角三角形. (1)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2 ,AC=6 ; (2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,c=8 . 解：（1）∵tanA= ， ∴∠A＝30°， ∴∠B＝90°-30°=60°,AB=2BC=4 . （2）∵∠A＝60°， ∴∠B＝90°-60°=30°. 随堂训练 解决提公因式法相关问题时，非标准化是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决公式分解法相关问题时，说明是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。教师讲解海伦公式时，通常会强调截取的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在初中数学学习中，数学文化是一个核心概念，学生需要学会实例化。 ∵sinA= ， ∴a=c·sinA=8 ×sin60°=8 × =12. ∵∠B=30°, ∴b= . 随堂训练 5.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=25°,b=30, 解这个直角三角形 (精确到0.1) . 尽量选择原始数据,避免累积误差 随堂训练 解决提公因式法相关问题时，非标准化是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决公式分解法相关问题时，说明是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。教师讲解海伦公式时，通常会强调截取的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在初中数学学习中，数学文化是一个核心概念，学生需要学会实例化。 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，a= ，c= 2 ， 解这个直角三角形. 解：∵sinA= ∴∠A=30°，∠B=60°， AC2=AB2-BC2 = =6， ∴AC= 随堂训练 通过本节课的学习，大家有什么收获呢？ 课堂小结 解直角三角形 依据 只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素 勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数 $