26.1锐角三角函数讲义 2025-2026学年冀教版数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦锐角三角函数核心知识点，系统梳理正弦、余弦、正切的定义及锐角三角函数取值范围，构建从概念理解到性质探究再到应用解题的学习支架，辅以思维导图梳理知识脉络。 资料通过分层设计“求三角函数值”“已知函数值求边长”等练习题，融入脚踏板高度差、梯子安全角度等生活情境，培养几何直观与应用意识。课中辅助教师情境教学，课后助力学生针对性巩固，弥补知识薄弱点。

26.1锐角三角函数 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 锐角三角函数的定义 在直角三角形(ABC)中，，为任一锐角，则： · 正弦（）： · 余弦（）： · 正切（）： 锐角三角函数的取值范围 对于锐角(A)（）： · · · 型 习 练 题 求角的正弦值 1．在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理， 在直角中，根据勾股定理可以求出的长，再根据三角函数的定义就可以求出函数值． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，在中，．，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理，得，结合定义解答即可． 本题考查了勾股定理，正弦函数，熟练掌握定理和定义是解题的关键． 【详解】解：在中，．， 根据勾股定理，得， 故． 故选：B． 3．在中，若各边长都扩大5倍，则的值（   ） A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数，三角函数值只与角的大小有关，与边长无关．当各边长等比例扩大时，角的大小不变，因此的值不变． 【详解】解：根据锐角三角函数的定义，知若各边长都扩大5倍，则的大小没有变化，所以的值不变． 故选：C． 4．如图，在中，若，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的三角函数定义，解题的关键是明确正弦、余弦、正切的对边、邻边与斜边的对应关系；根据三角函数定义逐一判断各选项的表达式是否正确． 【详解】解：在中，，则 A、，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项符合题意； D、，此选项不符合题意． 故选：C． 5．如图，将放在边长均为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、锐角三角函数的定义，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 取格点，求出后，在中，根据正弦定义即可求解． 【详解】解：如图，取格点， 由网格可知，， 在中，． 故选：． 已知正弦值求边长 6．在中，，， ，则边的长为（   ） A．5 B．12 C． D．25 【答案】A 【分析】本题考查了正弦定义和勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据，,得，则，再把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值已舍去）， 故选：A． 7．如图是一个办公室脚踏板的实物图，已知脚踏板的上表面与地面的夹角为，则穿37码平底鞋的脚踩在上面时，脚尖与脚后跟的高度差为（   ） 尺码 34 35 36 37 38 39 40 脚长/ 220 225 230 235 240 245 250 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数解答即可． 本题考查了正弦函数的应用，熟练掌握正弦函数是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得37码平底鞋的脚踩在上面时，脚长， 故脚尖与脚后跟的高度差为， 故选：C． 8．要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足，如果现在想要安全地攀上高的墙，那么使用的梯子最短约为（   ）．（结果精确到） A．4.9 B．5.2 C．6.5 D．19.2 【答案】B 【分析】本题主要考查了正弦的定义，设梯子的长度为L，根据正弦的定义得出，即可得出当时，L取得最小值，代入数值计算即可得出答案． 【详解】解：设梯子的长度为L， 根据正弦的定义得出：， 随着α的增大，增大，L减小， 故当时，L取得最小值为：， 故选：B 9．如图，在中，，，则（  ） A．4 B．3 C．5 D．2 【答案】C 【分析】此题考查了锐角三角函数，关键是掌握锐角函数的定义．根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：C． 10．在中，斜边的长为，，则直角边的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，根据正弦的定义解答即可求解，掌握正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 故选：． 求角的余弦值 11．的三边长分别为3，2，，则中最小角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理和余弦定义，利用勾股定理判定出三角形是直角三角形，然后再利用余弦定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， ∴最小角的余弦值是：， 故选：C． 12．如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，理解正弦与余弦的含义是关键；由题意得，由，设，则由勾股定理得，由余弦函数的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 设（其中x为正数）， 则由勾股定理得， ∴， 故选：C． 13．如图，在中，三边，，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角函数． 先判断三角形的形状，再根据，求解即可． 【详解】解：∵， 令， ， ， ∴是直角三角形， ， 故选：C． 14．已知中，，，，那么下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数、勾股定理，熟知锐角三角函数的定义是解答的关键．根据勾股定理求得，再根据锐角三角函数的定义逐一判断选项． 【详解】解：如图， ∵中，，，， ∴ ． 对于A：，错误，不符合题意； 对于B：，错误，不符合题意； 对于C：，错误，不符合题意； 对于D：，正确，符合题意． 故选：D． 15．如图，在中，，于点，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数．先由勾股定理求出的长，再由，可得的长，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 故选：B 已知余弦值求边长 16．如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为，若屏幕的长度为，则上方边界C处到桌面的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质求出的度数，根据余弦的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 17．如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，余弦，相似三角形的性质和判定， 根据余弦求出，再根据勾股定理求出，然后说明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， . 故选：B． 18．在中，，如果，，那么的长为（　　） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查余弦定义，根据余弦定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，即， 解得， 故选：D． 19．如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角函数求线段长. 根据，可得，再把的长代入可以计算出的长． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 20．如图所示，电线杆的高度为5米，两根拉线与交于点在同一条直线上，，则拉线的长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数定义成为解题的关键．根据锐角三角函数的定义解直角三角形即可解答． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴，即， 解得：米． 故选：C． 求角的正切值 21．如图，在中，．则的值为（    ） . A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的概念，在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；锐角的正切等于对边比邻边． 根据锐角的正切等于对边比邻边解答即可． 【详解】解：在中，，则． 故选：C． 22．如图，网格中的小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角函数及勾股定理，熟练掌握三角函数及勾股定理是解题的关键；过点A作于点D，然后根据勾股定理可得，进而根据正切的定义可进行求解． 【详解】解：过点A作于点D，如图所示： 由图可知：， ∴， 故选A． 23．在中，，如果把的各边的长都扩大为原来的3倍，那么的正切值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．没有变化 D．缩小为原来的 【答案】C 【分析】本题考查了求角的正切值，正切值是角度的函数，只与角的大小有关，与三角形的边长无关；当各边等比例变化时，角度不变，正切值不变； 【详解】解：由题意得：∠A的对边和邻边都扩大为原来的3倍， ∴， ∴的正切值没有变化； 故选：C 24．如图，6个全等的小正方形放置在中，则的值是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查正切定义，根据题意得到，，，进而利用正切定义求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意，，，， ∴． 故选：A． 25．如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为的顶点均为格点，则的正切值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查网格中求角的三角函数值，根据网格特点，结合正切值的定义进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴； 故选D． 已知正切值求边长 26．在中，，，，则BC的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握相关概念是解题关键． 利用锐角三角函数求解． 【详解】解：在中，， ∵， ∴． 故选：A． 27．如图，在中，若，，，则的值估计在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，无理数的估算，根据正切的定义得到，则，再根据无理数的估算方法求出的范围即可得到答案． 【详解】解：∵在中，若，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值估计在4到5之间， 故选：B． 28．如图，在中，，平分，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点．连接，则的长为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】利用直角三角形的性质，特殊角的三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的基本作图，角的平分线的意义解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 根据基本作图，得垂直平分线段， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的基本作图，角的平分线的意义，熟练掌握性质是解题的关键． 29．如图为一节楼梯的示意图，，，米，现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米．则地毯的面积至少需要（   ）平方米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解直角三角形求出的长，从而可得地毯的长度，再根据矩形的面积公式即可得． 本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切三角函数的定义是解题关键． 【详解】解：由题意，在中，， 故地毯的长度为， 故地毯的面积至少需要（平方米）， 故选：A． 30．如图，点在第一象限，与x轴所夹锐角为，，则t的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 坐标与图形，过点A作轴于D，则，再解得到，即． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于D， ∵点在第一象限， ∴， ∵与x轴所夹锐角为，， ∴， ∴，即， 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $26.1锐角三角函数 (30分提至70分使用) 讲 义 概 览 锐角三角函数的定义 新课探索 锐角三角函数的取值范围 讲义内容 求角的正弦值 已知正弦值求边长 求角的余弦值 题型练习 已知余弦值求边长 求角的正切值 已知正切值求边长 新 课 探 索 锐角三角函数的定义 在直角三角形(ABC)中，∠C=90°，∠A为任一锐角，则： ·正弦(sinA):sinA=∠A的对边_BC 斜边 AB ·余弦(cosA):co5A=∠A的邻边-AC 斜边·AB 。正切(tanA):tanA= LA的对边-BC ∠A的邻边AC 锐角三角函数的取值范围 对于锐角(A)(0°<A<90): ·0<sinA<1 0<cosA<1 ·tanA>0 题 型 练 习 ■4 求角的正弦值 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,则sinA的值是() 3 A.5 4 B.5 3 4 C.4 D.3 2.如图，在R△MBC中，∠ABC=90.MB=44C=5 则sinA的值为() B A.5 3 B.5 C.5 D 3.在RtAABC中，若各边长都扩大5倍，则sinA的值() A.变大 B.变小 C.不变 D.不能确定 4.如图，在△ABC中，若∠C=90°，则下列等式成立的是() B a A.sinA= B.tan4= b C.cosB=a c D.sinB= a 5.如图，将△ABC放在边长均为l的正方形网格中，点A,B,C均在格点上，则sinC的 值是() 3 A. 5 B.5 c D.3 已知正弦值求边长 6.在Rt△ABC中，∠C=90,AB=13’ sinB=12 ,则边BC的长为() A.5 B.12 C.313 D.25 7.如图是一个办公室脚踏板的实物图，已知脚踏板的上表面与地面的夹角为19°，则穿37 码平底鞋的脚踩在上面时，脚尖与脚后跟的高度差为() 脚长 尺码 34 35 36 37 38 39 % 脚长/mm 220 225 230 235 240 245 250 23.5 23.5 A. sin19.cm B. cos19.cm C.23.5sin19cm D.23.5tan19cm 8.要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角《一般要满足 50°≤u≤75° 5m 如果现在想要安全地攀上高的墙，那么使用的梯子最短约为()m. (结果精确到0.1m)(sin50°≈0.7，c0s50°=0.64，sin75°≈0.97，c0s75°≈0.26 A.4.9 B.5.2 C.6.5 D.19.2 9.如图。在R△HBC中，∠C=90,AC=4,m8-手，则AB=() A.4 B.3 C.5 D.2 10.在Rt△ABC中，斜边AB的长为m,∠A=35°，则直角边BC的长是() m A. msin35° B. mcos350 C. sin350 D. C0s35° 求角的余弦值 1L.△AB 则△ABC 的三边长分别为3,2,5， 中最小角的余弦值是() 5 25 5 A.2 B.5 C.3 D.3 12.如图，在Rt△4BC中，∠ABC=90,BD⊥AC, sin4=3 ,则cos∠CBD的值是 () D B A.5 c. 4 D.2 13.如图，在△ABC中，三边AC,BC,AB满足AC:BC:AB=3:4:5,则CosB等于 () B.月 c D. 14.己知△ABC中，∠C=90°，BC=3,AB=4,那么下列说法正确的是() A.sind=3 5 B.cos4=3 5 C.cotB=4 3 D.cosB=3 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,BC=3,AC=4,则 cos∠DCB的值为() D 3 A. B.5 c D.3 已知余弦值求边长 16.如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕CB与键盘BA所成夹角为110°，若屏幕CB的长 度为30cm,则上方边界C处到桌面的距离CD为() B -B 30 A.30sin30cm B.30cos20°cm C.30tan30cm D. m c0s20° 17.如图.RABC中，∠C=90,点D在AC上，2DBC=∠A若4C-8,o4-号 则BD的长度为() D 9 A.4 B. c号 D.4 18.在RtA4BC中，∠C=90°，如果C=6,cos4s3 5,那么B的长为() 18 B.5 C.8 D.10 19.知图，在R△ABC中，∠C=908=6eos8-子，则BC的长为() B A.4.5 B.5 C.4 D.35 20.如图所示，电线杆CD的高度为5米，两根拉线AC与BC交于点C,A,D,B在同一条直 线上，∠CAB=u，,则拉线AC的长度为() A人 B ftnttttmmttmmmh A.5-sina米 cosa米 B. C.sina米 D.5tana米 求角的正切值 21.如图，在Rt△ABC中∠C=90°，a=6、b=8、c=10.则tanA的值为(). b a 4 A.5 B.3 D.5 22.如图，网格中的小正方形边长均为1，点A,B,C都在格点上，则tan∠ACB=() B 2 5 V10 A.2 B.2 C.5 D.10 23.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果把Rt△ABC的各边的长都扩大为原来的3倍，那么 ∠A的正切值() A.扩大为原来的3倍 B.扩大为原来的9倍 C.没有变化 D.缩小为原来的3 24.如图，6个全等的小正方形放置在△ABC中，则tanA的值是() ==-B A.2 B. C.3 D 25.如图，在4×4 ,△ABC 正方形网格中，小正方形的边长均为 的顶点均为格点，则 ∠ABC的正切值为() 4v17 7 A. 17 B.17 C.4 D.4 已知正切值求边长 26.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,tanB=2,则BC的长为() A.3 B.6 C.9 D.12 2.如图，在△18C中，若D6-0°，C5,8C=3,则4的值估计在（) A.3到4之间B.4到5之间 C.5到6之间 D.6到7之间 28.如图，在Rt△ABC中，∠C=90,∠A=30,AB=6,BD平分∠ABC,分别以 1 AD为圆心，大于2AD的长为半径画弧，两弧交于点F,G,作直线FG交4C于点E· 连接BE,则BE的长为() A.5 B.6 c.6v3 D.21 29.如图为一节楼梯的示意图，BC⊥AC,∠BAC=u,AC=6米，现要在楼梯上铺一 块地毯，楼梯宽度为1米.则地毯的面积至少需要()平方米 6+6 6 6 A.6tana+6 B. C.- D. tang osa sina 30.如图，点 421川在第一象限，01与x轴所夹锐角为“，ana=2,则1的值为() 5 A,1 B.2 C.4 D.