精品解析：河南省南阳市桐柏县方树泉中学教育集团第三次学情调研2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025年秋期桐柏县方树泉中学教育集团第二次学情调研 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列函数表达式中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如 (a、b、c是常数，)的函数，叫做二次函数进行分析即可． 【详解】解：A、是一次函数，故此选项不符合题意； B、当时，是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母中含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2. 下列语句描述的事件中，是随机事件的为（　　） A. 水能载舟，亦能覆舟 B. 只手遮天，偷天换日 C. 瓜熟蒂落，水到渠成 D. 心想事成，万事如意 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、水能载舟，亦能覆舟，是必然事件，故此选项错误； B、只手遮天，偷天换日，是不可能事件，故此选项错误； C、瓜熟蒂落，水到渠成，是必然事件，故此选项错误； D、心想事成，万事如意，随机事件，故此选项正确． 故选D． 【点睛】此题主要考查了随机事件以及必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键． 3. 如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B、D的对应点为A、C，那么需要添加的一个条件是（　　） A. CE＝ B. CE＝ C. AC＝BD D. AC∥BD 【答案】B 【解析】 【分析】根据对顶角相等得到∠AEC＝∠BED，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当△BDE∽△ACE时，得到，然后利用比例性质计算CE的长． 【详解】解：∵∠AEC＝∠BED，△BDE∽△ACE ∴， 即， ∴CE＝． ∴需要添加的一个条件是CE＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，此判定方法要合理使用公共角或对顶角． 4. 某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ） A. 从装有相同质地的3个红球和2个黄球的暗箱中随机取一个红球 B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C. 先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面 D. 抛掷两枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数之和超过7 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算出每个事件的概率，其值约为0.33的即符合题意； 【详解】A．从装有相同质地的3个红球和2个黄球的暗箱中随机取一个红球的概率为，不符合题意； B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，符合题意； C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面概率为，不符合题意； D、抛掷两枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数之和超过7的概率为，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 5. 某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设平均每月增长率为x，则二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，由第一季度的营业额共1000万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设平均每月增长率为x，则二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元， 根据题意得：． 故选：D． 6. 如图，于，于，与相交于，则图中线段比不能表示的式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，根据正弦的定义可得，再证明，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵于，于， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， 根据现有条件无法证明， 故选：C． 7. 已知中，，交于，，，，则 A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知AD∥EF∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得出AE：EB=AF：FC，也就求出EF与AD的比例关系；由于△ADE和△AEF等高，因此它们的面积比等于底边比，已知了EF、AD的比例关系，根据△ADE的面积即可求出△AEF的面积． 【详解】∵AD∥EF∥BC， ∴AE：EB=AF：FC=1：2， ∴EF：AD=CF：AC=2：3， ∵△ADE和△AEF等高， ∴S△AEF：S△ADE=EF：AD=2：3， ∵S△ADE=1， ∴S△AEF=． 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理以及三角形的面积的计算公式．注意，同底（或等底）三角形的面积比等于该底上的高的比；同高（或等高）三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方． 8. 关于x的一元二次方程x2﹣4sinα•x+2=0有两个等根，则锐角α的度数是（   ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】先利用判别式的意义得到△=16sin2α-4×2=0，然后求出α的正弦值，再利用特殊角的三角函数值确定锐角α的度数． 【详解】根据题意得△=16sin2α-4×2=0， 所以sinα=， 所以锐角α=45°． 故选B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了特殊角的三角函数值． 9. 已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如下表： … … … … 则下列判断中正确的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 抛物线与y轴交于正半轴 C. 对称轴是直线 D. 当时的函数值比时的函数值大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先根据对称性求出对称轴，进而判断出开口方向和增减性，逐一进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，和的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，随着值的增大而减小， ∴抛物线的开口方向向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时的函数值比时的函数值小， 当时，， ∴抛物线与y轴交于负半轴； 综上，只有选项C正确，符合题意； 故选C． 10. 若是锐角，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角函数．根据三角函数的定义和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：如图，， 则：， ∵， ∴；故A正确； ∵， ∴；故B错误； ∵， ∴；故C错误； ∵， ∴；故D错误； 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若函数是关于x的二次函数，则______． 【答案】-3 【解析】 【分析】判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【详解】∵是关于x的二次函数， ∴ ∴ 解得：k=−3. 故答案为−3. 【点睛】考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键. 12. 如图，在中、，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，作于点，分别解直角三角形，直角三角形，求出的长，再根据线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：作于点，则：， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故答案为： 13. 设A(－2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋k上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题要比较，，的大小，由于，，是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得点关于对称轴的对称点的坐标，再根据抛物线开口向下，在对称轴右边，随的增大而减小，便可得出，，的大小关系． 【详解】解：抛物线， 对称轴， ， 点关于的对称点， ， 在的右边随的增大而减小， ，，，， ， 故答案选：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，对称轴的求法，解题的关键是熟记二次函数的性质：时，在对称轴左边，随的增大而减小，在对称轴右边，随的增大而增大；时，在对称轴左边，随的增大而增大，在对称轴右边，随的增大而减小． 14. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点O作OCAB的延长线于点C，构建直角三角形ACO，利用勾股定理求出斜边OA的长，即可解答． 【详解】如图，过点O作OC⊥AB的延长线于点C， 则AC=4，OC=2， 在Rt△ACO中，AO=， ∴sin∠OAB=． 故答案为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线并利用网格构造直角三角形是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，，按照此规律作下去，则边的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质“相似多边形对应边的比叫做相似比”，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律． 根据已知和矩形的性质可分别求得，利用相似多边形的性质可发现规律，根据规律即可解决问题． 【详解】∵四边形是矩形， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的相似比为， ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线， 依此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∴矩形的对角线， ∴矩形的对角线， 按此规律第个矩形对角线 ； 故答案为：． 二、解答题（75分） 16. 计算 （1）． （2）解方程：． 【答案】（1）0 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊三角函数值和解一元二次方程，正确代入特殊三角函数值、掌握因式分解法解方程是解题的关键． （1）先代入特殊三角函数值，再依次计算绝对值、根式化简、乘方，最后合并同类项即可； （2）通过移项将方程整理为“一边为0”的形式，再用因式分解法拆分，解出两个一元一次方程的根即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 移项得， 因式分解得， 于是得或， ，． 17. 把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． （1） ； ； ； （2）指出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值． 【答案】（1），， （2）开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随增大而增大，当 时，随增大而减小，最大值为 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据平移规则，将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，即可得到的图象，进行求解即可； （2）根据顶点式的图象和性质，进行作答即可． 【小问1详解】 解：由题意，将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，即可得到的图象， ∴； ∴，，； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随增大而增大，当 时，随增大而减小，当时，函数有最大值为． 18. 阅读下列材料，并完成相应的任务． 初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系（如图）： ． 一般地，当、为任意角时，与的值可以用下面的公式求得： ； ． 例如：． 根据上述材料内容，解决下列问题： （1）计算：_______； （2）在中，，请你求出和的长． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据题干中的公式可求． （2）根据锐角的三角函数值，求AC和BC的值 【详解】解： （2）中，∵， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，合理利用题干中告知的公式是本题的关键． 19. 已知二次函数的解析式 （1）在直角坐标系中画出它的图象； （2）观察图象可知时，的取值范围是 ； （3）当时，观察图象直接写出函数值的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据列表，描点，连线即可作图； （2）根据函数图象，得出当时，的取值范围即可； （3）根据函数的增减性以及最值，结合函数图象求出两个端点时的函数值即可求解． 【小问1详解】 解：列表如下： … 0 1 3 … … 0 6 … 描点，连线画出抛物线，如图所示．    【小问2详解】 解：根据函数图象可知，当时，的取值范围是； 【小问3详解】 解：由图象可知顶点坐标为， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，， 综上，当时，的取值范围为． 20. 小红和小丁玩纸牌优戏，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上． （1）小红从4张牌中抽取一张，这张牌的数字为偶数的概率是　 　； （2）小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张，比较两人抽取的牌面上的数字，数字大者获胜，请用树状图或列表法求出小红获胜的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算即可． （2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出小红获胜的结果数，然后根据概率公式求解 【详解】解：（1）4张牌中有3张是偶数这张牌的数字为偶数的概率是． 故答案为． （2）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中小红获胜的结果数为6， 所以小红获胜的概率＝＝． 【点睛】本题考查的知识点是利用树状图求事件的概率问题，根据题意画出树状图是解题的关键. 21. 如图，在一条笔直的高速公路上有两个观测站，，从站测得文物保护点在其北偏东方向上，从站测得文物保护点在其北偏东方向上，若现在想修建一个以文物保护点为中心，半径为的文物观赏园，试问公路是否在文物观赏园的范围内？（参考数据：） 【答案】公路不在文物观赏园的范围内． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—方向角问题，掌握锐角三角函数的定义，正确标注方向角是解题的关键．过点C作于点D，根据求出，然后根据求出即可． 【详解】解∶过点C作于点D， 设 在中， ， ∴ 在中， ， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴公路L不在文物观赏园的范围内 22. 如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过（围栏宽忽略不计）． （1）设平行于墙的一边长为，生态园的总面积为，求出与的函数关系式并指出自变量的取值范围． （2）生态园的总面积为，求生态园与墙平行的一边的长； 【答案】（1）， （2）生态园与墙平行的一边的长为24米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）求出与墙垂直的边长，利用矩形的面积公式，列出函数关系式即可； （2）令，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，与墙垂直的边长为， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 由（1）可知：， 当时，解得， ∵， ∴； 答：生态园与墙平行的一边的长为24米． 23. 近期小明学习了直角三角形的相关知识，掌握了直角三角形的性质．小明所在的小组对直角三角形斜边上的中线的性质及其运用进行探究．发现除了直接运用性质解决问题外，当遇到直角或中点时，我们可以考虑构造直角三角形斜边上的中线解决问题．以下是小明所在的小组探究的问题，聪明的你能解决这些问题吗？ （1）如图1，，矩形的顶点B，C分别是两边上的动点，已知，请完成下列探究∶若点F是的中点，则 ． （2）如图2，在矩形中，，，E是的中点，，相交于点，连接，求证∶ ①． ②． 【答案】（1）5 （2）①见解析②见解析 【解析】 【分析】本题考查斜边上的中线，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． (1)根据斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结果； (2)①证明，得到，进而推出，即可得证； ②延长和，相交于点，证明，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合等边对等角，得到，平行线的性质得到，即可得出结论． 【小问1详解】 解∶∵，点F是的中点， ∴； 【小问2详解】 ①∵矩形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，延长和，相交于点， ∵E是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期桐柏县方树泉中学教育集团第二次学情调研 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列函数表达式中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列语句描述的事件中，是随机事件的为（　　） A. 水能载舟，亦能覆舟 B. 只手遮天，偷天换日 C 瓜熟蒂落，水到渠成 D. 心想事成，万事如意 3. 如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B、D的对应点为A、C，那么需要添加的一个条件是（　　） A. CE＝ B. CE＝ C. AC＝BD D. AC∥BD 4. 某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ） A. 从装有相同质地的3个红球和2个黄球的暗箱中随机取一个红球 B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C. 先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面 D. 抛掷两枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数之和超过7 5. 某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，于，于，与相交于，则图中线段比不能表示的式子为（ ） A. B. C. D. 7. 已知中，，交于，，，，则 A. B. C. D. 8. 关于x的一元二次方程x2﹣4sinα•x+2=0有两个等根，则锐角α的度数是（   ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 9. 已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如下表： … … … … 则下列判断中正确的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 抛物线与y轴交于正半轴 C. 对称轴是直线 D. 当时的函数值比时的函数值大 10. 若是锐角，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若函数是关于x的二次函数，则______． 12. 如图，在中、，，，则长为_____． 13. 设A(－2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋k上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为__________． 14. 如图，在网格中，小正方形边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是_____． 15. 如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，，按照此规律作下去，则边的长为_____． 二、解答题（75分） 16. 计算 （1）． （2）解方程：． 17. 把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． （1） ； ； ； （2）指出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值． 18. 阅读下列材料，并完成相应的任务． 初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系（如图）： ． 一般地，当、为任意角时，与的值可以用下面的公式求得： ； ． 例如：． 根据上述材料内容，解决下列问题： （1）计算：_______； （2）在中，，请你求出和的长． 19. 已知二次函数的解析式 （1）在直角坐标系中画出它的图象； （2）观察图象可知时，的取值范围是 ； （3）当时，观察图象直接写出函数值的取值范围． 20. 小红和小丁玩纸牌优戏，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上． （1）小红从4张牌中抽取一张，这张牌的数字为偶数的概率是　 　； （2）小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张，比较两人抽取的牌面上的数字，数字大者获胜，请用树状图或列表法求出小红获胜的概率． 21. 如图，在一条笔直的高速公路上有两个观测站，，从站测得文物保护点在其北偏东方向上，从站测得文物保护点在其北偏东方向上，若现在想修建一个以文物保护点为中心，半径为的文物观赏园，试问公路是否在文物观赏园的范围内？（参考数据：） 22. 如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过（围栏宽忽略不计）． （1）设平行于墙的一边长为，生态园的总面积为，求出与的函数关系式并指出自变量的取值范围． （2）生态园总面积为，求生态园与墙平行的一边的长； 23. 近期小明学习了直角三角形的相关知识，掌握了直角三角形的性质．小明所在的小组对直角三角形斜边上的中线的性质及其运用进行探究．发现除了直接运用性质解决问题外，当遇到直角或中点时，我们可以考虑构造直角三角形斜边上的中线解决问题．以下是小明所在的小组探究的问题，聪明的你能解决这些问题吗？ （1）如图1，，矩形的顶点B，C分别是两边上的动点，已知，请完成下列探究∶若点F是的中点，则 ． （2）如图2，在矩形中，，，E是的中点，，相交于点，连接，求证∶ ①． ②． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $