第二章 分式与分式方程 期末复习题 2025--2026学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

第二章分式与分式方程期末复习题 一、单选题 1．已知分式的值为0，则x的值为（   ） A．1 B．0 C．1或 D． 2．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．如果把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的9倍 5．下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 6．分式、、、中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．一架新款无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时，在飞行当天测得平均风速为36千米/小时，若无人机顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等（顺风速度无风速度风速，逆风速度无风速度风速），则可列分式方程是（   ） A． B． C． D． 8．计算的结果为（　　） A． B． C． D． 9．分式方程的解为正数，则的取值范围（　　） A． B．且 C． D．且 10．已知一组数满足下面关系：若，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．化简： ． 12．已知，且，则的值为 ． 13．试卷上一个正确的式子，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 ． 14．已知，则的值是 ． 15．若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 16．《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？设规定的时间为x天，可列分式方程 ． 三、解答题 17．化简求值. (1)化简：． (2)先化简，再求值：，其中． 18．解分式方程： (1)； (2) 19．倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出型和型两款垃圾分拣机器人，已知型机器人比型机器人每小时多分拣吨，且型机器人分拣吨所用时间与型机器人分拣吨所用时间相等． (1)1台型机器人和1台型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？ (2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批型和型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾吨．设购买型垃圾分拣机器人台，型垃圾分拣机器人台．请用含的代数式表示； (3)在（）问中，购买型垃圾分拣机器人台用万元，购买型垃圾分拣机器人台用万元，已知型单价是型单价的，求购买型、型各多少台． 20．《见微知著》中说到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 请观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明； (3)应用运算规律，计算： ． 21．2025年1月．“夸父”人形护冰机器人在第九届亚冬会测试赛中大放异彩，让世界看到了中国在领域中强大的创新能力．某机器人公司研发生产了A和B两种型号的冰壶赛道护冰机器人，已知每台A型护冰机器人每小时护冰面积比每台B型护冰机器人每小时护冰面积多500平方米，A型护冰机器人护冰2000平方米与B型护冰机器人护冰1500平方米用时相同，请解答下列问题： (1)求A、B两种型号的护冰机器人每小时的护冰面积； (2)为了“科技冬奥”计划注入新的活力，黑龙江省冰上训练中心速滑馆计划购进A、B两种型号的护冰机器人共10台，且B型护冰机器人不超过6台．已知每台A型护冰机器人2万元，每台B型护冰机器人万元．设购进A型护冰机器人x台，购买总费用y万元，请求出y与x的函数解析式，并设计出购买总费用最少的方案，最少费用是多少万元？ 22．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以：， 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你仿照上述方法解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件．根据分式值为0的条件可得且，再解出x的值即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故选：D 2．B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的化简方法是解题关键．先根据已知等式可得，再代入化简即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了分式的加减法及乘法，先分别计算括号内加减法，再计算乘法即可． 【详解】解： ， 故选：B． 4．C 【分析】此题考查了分式变形的判断，正确掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大为原来的3倍， 则，即分式的值扩大为原来的3倍， 故选：C． 5．C 【分析】此题考查了分式的约分和分式的基本性质，根据分式基本性质进行变形，即可得到答案. 【详解】A. ，故选项错误，不合题意； B. ，故选项错误，不合题意； C. ，故选项正确，符合题意； D. ，故选项错误，不合题意； 故选：C 6．B 【分析】本题主要考查了最简分式的判断，分子和分母没有公因式的分式 叫做最简分式，据此判断即可． 【详解】解：的分子、分母没有公因式，故是最简分式； 的分子、分母有公因式，故不是最简分式， 的分子、分母没有公因式，故是最简分式； 的分子、分母有公因式，故不是最简分式， 故最简分式有2个， 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解顺风和逆风的速度是解题关键．根据题意，无人机顺风速度为千米/小时，逆风速度为千米/小时，再根据“顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等”列分式方程即可． 【详解】解：一架新款无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时， 则顺风速度为千米/小时，逆风速度为千米/小时， 由题意得：， 故选：B． 8．B 【分析】本题考查分式加减乘除混合运算，熟练掌握该知识点是解题关键．根据分式加减乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： 故选：B． 9．B 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后根据分式方程的解为正数且原方程不能有增根列式求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， ∵原方程不能有增根， ∴， ∴， ∴， ∴且， 故选：B． 10．A 【分析】本题考查数字类规律探究，分式的减法运算，求出前几个数值，找到规律，进行判断即可． 【详解】解：，则： ， ， ∴的值，以，三个为一组，进行循环， ∵， ∴的值为，即：； 故选A． 11． 【分析】此题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是关键．先把除法转化为乘法，再计算即可． 【详解】解： 故答案为： 12．/ 【分析】本题考查分式的求值，先将分式化简，再将整体代入，求值即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】代数式★为，计算即可． 本题考查了分式的除法，乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 ， 故答案为：． 14． 【分析】把已知条件两边分别平方，然后整理即可求解．完全平方公式：． 本题主要考查了完全平方公式，利用公式把已知条件两边平方是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了分式方程的解和不等式组的整数解，理解题意是解题的关键． 先分别解分式方程和不等式组，再根据题意求出整数m的值，再求解． 【详解】解：分式方程可化为：， 解得：， ∵分式方程的解为整数， ∴为2的倍数，即m为奇数， 解不等式组，得， ∵关于y的不等式组有且仅有2个偶数解， ∴不等式组的偶数解为：2，0， ， 解得：， 满足条件的整数m的值为、、， 当时，，此时分式无意义，不合题意， ， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查列分式方程，设规定的时间为x天，根据“慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍”列方程即可． 【详解】解：设规定的时间为x天，列方程为：， 故答案为：． 17．(1) (2)， 【分析】本题考查分式混合运算和分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质； （1）先通分算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分； （2）先算除法，再算减法，化简后将代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 当时， 原式． 18．(1)无解 (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】（1）解：原方程去分母得：， 解得：， 当时，， 则是分式方程的增根， 故原方程无解； （2）解：方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 19．(1)台型机器人每小时分拣垃圾吨，台型机器人每小时分拣垃圾吨； (2)； (3)购买型台，型台． 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设台型机器人每小时分拣垃圾吨，则台型机器人每小时分拣垃圾吨，依题意得，然后解方程并检验即可； （）依题意得，然后用含的代数式表示即可； （）依题意得，整理得，联立，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：设台型机器人每小时分拣垃圾吨，则台型机器人每小时分拣垃圾吨， 依题意得：， 解得：， 经检验得是原分式方程的解，且符合题意， 所以， 答：设台型机器人每小时分拣垃圾吨，则1台型机器人每小时分拣垃圾吨； （2）解：依题意得：， 整理得：； （3）解：依题意得：， 整理得：， 由（）得， 联立， 解得：， 答：购买型台，型台． 20．(1) (2)，证明见解析 (3)1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意得出第n个等式可表示为是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（2）中的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …， 所以第n个等式可表示为：． 当时， 第7个等式为：． 故答案为：； （2）解：由（1）知， 第n个等式可表示为：． 证明如下： 左边右边， 所以此等式成立； （3）解：由（2）知， 当时， ， 所以， 则原式． 故答案为：1． 21．(1)每台A型护冰机器人每小时护冰面积平方米，每台B型护冰机器人每小时护冰面积平方米； (2)，总费用最少的方案为购进A型护冰机器人台，购进B型护冰机器人台；最少费用是万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用． （1）设每台A型护冰机器人每小时护冰面积平方米，则每台B型护冰机器人每小时护冰面积平方米，根据题意列分式方程求解即可； （2）根据题意列出一次函数解析式，并求出自变量的取值范围，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设每台A型护冰机器人每小时护冰面积平方米， ∵每台A型护冰机器人每小时护冰面积比每台B型护冰机器人每小时护冰面积多500平方米， ∴每台B型护冰机器人每小时护冰面积平方米， ∵A型护冰机器人护冰2000平方米与B型护冰机器人护冰1500平方米用时相同， ∴， 解得：， ， 即每台A型护冰机器人每小时护冰面积平方米，每台B型护冰机器人每小时护冰面积平方米； （2）解：∵购进A、B两种型号的护冰机器人共10台，购进A型护冰机器人x台， ∴购进B型护冰机器人台， ∵B型护冰机器人不超过6台， ∴， 即， ∵每台A型护冰机器人2万元，每台B型护冰机器人万元，购买总费用y万元， ∴， 可知随增大而增大， ∵， ∴总费用最少的方案为购进A型护冰机器人台，购进B型护冰机器人台， 最少费用是（万元）． 22．(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的求解，倒数，根据题意理解叫“倒数法”是解题的关键． （1）先求出，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）根据题中给出的例子进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴， ， ， ， ∴ ， ； （2）解：， ∴， ， ，即， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $