精品解析：广西崇左市龙州县武德乡中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025年九年级数学上册12月月考测试卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求）． 1. 已知半径为，点为内一点，，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：∵半径为，点为内一点，， ∴． 故选：B 2. 如图，在内，以弦为边作等边，的延长线交于两点，过作于点，延长交于点，若，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，垂径定理． 由等边得到，从而，进而，，根据垂径定理得到，从而，根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵过圆心O，且， ∴， ∴， ∴在等边中，． 故选：C 3. 已知点，将点绕原点顺时针旋转后的对应点为，将点绕原点顺时针旋转后的对应点为，依此作法继续下去，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形旋转的规律得出每旋转6次坐标一循环,求出点的坐标与点坐标相同,进而可得出答案. 【详解】解:将点A绕原点O顺时针旋转60后的对应点为A,将点A绕原点O顺时针旋转60后的对应点为A,依此作法继续下去, 得出每旋转=6次坐标一循环,得出20126=335余2,即点A的坐标与点A坐标相同,即可得出点A与点A关于x轴对称, A点坐标为:(1,-). 所以B选项是正确的. 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的旋转与规律问题,解答此题的关键是明确图形旋转的变化规律每旋转6次坐标一循环. 4. 如图，在中，弦的条数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 以上均不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 5. 如图，正方形ABCD的边长为3，将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，在AB上滑动，同时点F在BC上滑动，当点F到达点C时，运动停止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，连接BM，由题意得，线段QF的中点M所经过的路线长即为，因此只需要求出的长和，然后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接BM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠QBF=90°， ∵M是线段QF的中点， ∴， ∴M在以B为圆心，以的长为半径的圆上运动，Q与A点重合时此时线段QF的中点为M的起始位置，当F与C重合时，此时线段QF的中点为M的终点位置，即线段QF的中点M所经过的路线长即为， 当Q与A重合时， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABF=90°， ∴， ∴， ∴， ∵M是AF（QF）的中点， ∴， ∴， 同理可求得， ∴， ∴线段QF的中点M所经过的路线长， 故选C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质与判定，弧长公式，解题的关键在于能够求出． 6. 任意投掷一枚质地均匀的骰子，点数大于2的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有m种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现n种结果，那么事件A的概率 ．由任意掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能的结果，且掷出的点数大于2的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵任意掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能的结果，且掷出的点数大于2的有4种情况， ∴任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于2的概率是：． 故选：C． 7. 小明和小刚各自掷一枚质地均匀的正方体骰子，若两人的点数之和是奇数，则小明积1分，若两人的点数之和是偶数，则小刚积1分，此游戏（ ） A. 对小明有利 B. 对小刚有利 C. 是公平的 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等，据此来求解． 【详解】解：解：设(x，y)表示小明抛掷骰子点数是x，小刚抛掷骰子点数是y，则该概率属于古典概型．所有的基本事件是： (1， 1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)， 即有36种基本事件， 其中点数之和为奇数的基本事件有： (1，2)， (1，4)， (1，6)，(2，1)， (2，3)， (2，5)， (3，2)， (3，4)， (3，6)，(4，1)， (4，3)， (4，5)，(5，2)， (5，4)， (5，6)，(6，1)， (6，3)， (6，5)， 即有18种， 所以小刚得(1分)的概率是， 则小明得(1分)的概率是， 则小明获胜的概率与小刚获胜的概率相同，游戏公平． 故选：C． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，概率＝所求情况数与总情况数之比． 8. 如图，内接于，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得到再由已知即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D 9. 将数字“69”旋转180°，得到的数字是（　　） A. 96 B. 69 C. 66 D. 99 【答案】B 【解析】 【详解】每个数字都绕一个点顺时针方向旋转180°后，“9”旋转后是“6”、“6”旋转后是9． 【分析】解：数字“69”旋转180°，得到的数字是69， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 10. 如图，菱形绕点D旋转后得到菱形，则下列角中不是旋转角的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两对应边所组成的角，可以作为旋转角，依此判断，即可求解，本题考查了旋转角的定义，解题的关键是：明确旋转角的定义． 【详解】、旋转后的对应边为，不可以作为旋转角，符合题意， 、旋转后的对应边为，可以作为旋转角，不符合题意， 、旋转后的对应边为，可以作为旋转角，不符合题意， 、旋转后的对应边为，可以作为旋转角，不符合题意， 故选：． 11. 暑假快到了，父母找算带兄妹俩去某个景点旅游一次，长长见识，可哥哥坚持去黄山，妹妹坚持去泰山，争执不下，父母为了公平起见，决定设计一款游戏，若哥哥赢了就去黄山，妹妹赢了就去泰山．下列游戏中，不能选用的是（ ） A. 掷一枚硬币，正面向上哥哥赢，反面向上妹妹赢 B. 同时掷两枚硬币，两枚都正面向上，哥哥赢，一正一反向上妹妹赢 C. 掷一枚骰子，向上的一面是奇数则哥哥赢，反之妹妹赢 D. 在不透明的袋子中装有两黑两红四个球，除颜色外，其余均相同，随机摸出一个是黑球则哥哥赢，是红球则妹妹赢 【答案】B 【解析】 【分析】判断游戏的公平性，首先要计算出游戏双方赢的概率，概率相等则公平，否则不公平，由此每项分析即可. 【详解】A、掷一枚硬币，正面向上的概率为，反向向上的概率为，概率相等可选，故此选项不符合题意；B、根据分析可知两枚都正面向上的概率为，一正一反向上的概率为，概率不相等可选，故此选项符合题意；C、掷一枚骰子，向上的一面是奇数和偶数的概率都为，概率相等，故此选项不符合题意；D、在不透明的袋子中装有两黑两红四个球，除颜色外，其余均相同，随机摸出一个是黑球的概率为，是红球的概率为，概率相等，故此选项不符合题意，故答案选B. 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断，解本题的要点在于熟知判断游戏公平性就要计算每个事件的概率这个知识点. 12. 风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分．） 13. 一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是 __________． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，解题关键是求出直径和线段的长． 根据矩形的性质可推出线段为圆的直径，然后根据勾股定理可求出的长，再根据垂径定理求出点D为的中点，利用中位线即可求出的长，即可求出最大高度． 【详解】解：如图所示，连接矩形门洞的对角线交于点O，过点O作于点D， 点O为线段的中点，， 为圆O的直径， 宽为米，高为2米， （米）， 圆的半径（米）， ， 点D为的中点， 点O为线段的中点， 是的中位线， （米）， 则改造后门洞的最大高度（米）； 故答案为：米． 14. 正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的_________． 【答案】外接圆 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆的关系，解题的关键是明确圆与它的内接正多边形的位置关系． 根据正多边形内接于圆的定义，把圆分成相等弧作出的内接正多边形，该圆是这个正多边形的外接圆． 【详解】解：由正多边形与圆的位置关系可知，圆内接正多边形对应的圆是这个正多边形的外接圆． 故答案为：外接圆． 15. 下列事件： ①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温是；③掷一次骰子，向上一面的数字是；④度量四边形的内角和，结果是．其中是随机事件的是________．（填序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】随机事件就是既可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可判断 【详解】解：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数是随机事件； ②测得某天的最高气温是不可能事件； ③掷一次骰子，向上一面的数字是2是随机事件； ④度量四边形的内角和，结果是是必然事件． 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了必然事件，随机事件以及不确定事件的定义，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适中． 16. 如图，已知、是的直径，，，则_______ 【答案】##64度 【解析】 【分析】根据等弦所对圆心角相等，即可求解，解题的关键是：找到等弦所对的圆心角． 【详解】解：， ， 又， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17. 如图，和是两个不全等的等腰直角三角形，其中，，连接，点M是的中点，连接． （1）若点D在边上，如图1，试探究之间的关系，并说明理由； （2）若将图1中的绕点A逆时针旋转，如图2，那么（1），中的结论是否仍成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新结论并证明； （3）若将图1中的绕点A逆时针旋转，如图3，，，求BM的长． 【答案】（1）且，理由见解析 （2）（1）中的结论仍成立，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据斜边中线等于斜边的一半即可证明相等，再根据等边对等角结合三角形外角的定义与性质可得，问题得证； （2）延长至点G，使得，连接、、、、，延长交于点N，先证明四边形是平行四边形，即有，，表示出，再结合，，可得，即可证明，问题随之得解； （3）延长交于点H，证明，再证明．即可得，．求出，再在中，由勾股定理得，可求解． 【小问1详解】 ，理由： ∵，点M是的中点， ∴在中，， 同理在中可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 综上：，； 【小问2详解】 成立，理由如下： 延长至点G，使得，连接、、、、，延长交于点N，如图， ∵点M是分的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴，； 【小问3详解】 延长交于点H， ∵和是等腰直角三角形， ∴，，， 由旋转可得，，即， ∴， ∴，， ∵M为中点， ∴． ∴． ∴，， 即，． ∵，， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题目，主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定与性质，及勾股定理的运用，要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键． 18. 如图，中，，，，以点为旋转中心逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． （1）求出旋转角的度数； （2）求的度数和的长． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了性质的性质，三角形内角和定理； （1）根据旋转的性质，三角形内角和定理，即可求解; （2）根据周角减去得出，根据旋转的性质得出，，根据点恰好成为的中点，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知，旋转角为， ∴旋转角的度数为． 【小问2详解】 由旋转的性质可知，旋转中心为点，， ∴， 由旋转的性质可得，，， ∵点恰好成为的中点， ∴， ∴． 19. 如图，是的直径，是弦，点E是的中点，交于点D．连接，若，，求的长． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理；熟练掌握垂径定理的推论：：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦是解题的关键． 连接，根据垂径定理得出，；求出的值；设的半径为r，表示出的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出，；再根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可得的长． 【详解】解：连接，如图： ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 设的半径为r， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20. 如图，在中，，是的外接圆，连接并延长交于点D，连接． 在上取一点F，使，连接与交于点G． （1）试求与的数量关系； （2）求证：； 【答案】（1） 解：．理由如下： ， ． ， ． 是直径， ， ． ， ． （2）证明：连接， ， ， 垂直平分， ， ． ，， ∴， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，垂径定理，直接所对的圆周角是直角等等． （1）由，得出，进而得出，由直径所对的圆周角等于得出，从而得出； （2）连接，由得出垂直平分，从而得到，再证明，即可得出结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，抛物线交y轴正半轴于点C，交x轴分别于点，点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上第一象限内的一点，过点P作x轴的垂线，交于点F，设点P的横坐标为t． ①求t为何值时，四边形是平行四边形； ②连接，当时，求点P的坐标； ③在②的情况下，在抛物线对称轴上取一点Q，以点Q为圆心，为半径作圆Q，当与抛物线正好有三个交点时，请直接写出此时点Q的坐标． 【答案】（1）； （2）①；②；③点． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）①表示出点P坐标，求出直线解析式，表示出点F，进一步表示出，利用平行四边形性质可得，即，可求出；②求出，再求出直线函数关系式为，再利用，即可求出；③设与对称轴的交点为E，顶点为D，连接，求抛物线对称轴为：，顶点坐标为，在中，利用求出，即可得，所以． 【小问1详解】 解：代入点，， 由题意：， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：①由题意知， 设直线为，点，，得， ∴， ∴， ∴点F为， ， ∵， 欲使四边形是平行四边形，只需， ∴， ∴； ②∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴设与交点为点M，则， ∴点M横坐标为， ∵， ∴当时，， ∴， 设直线函数关系式为，得 ，解得 ∴， ∴ ∴，（舍去）， ∴， ③设与对称轴的交点为E，顶点为D，连接， ∵， ∴对称轴为：，顶点坐标为， ∵，， ∴轴，， ∴，即点Q的横坐标为3， ∴点C和点P在上， ∵与抛物线正好有三个交点， ∴点D在上，即， ∵与对称轴的交点为E， ∴，即，， 在中， ， ∴，即，即． 【点睛】本题考查抛物线的综合问题，熟练掌握待定系数法求解析式，掌握二次函数图象及性质，圆的性质，平行四边形的性质，数形结合是解题的关键． 22. （1）如图1，已知：和是等边三角形，点在同一直线上，连接，和边交于点，连接，和交于点．求证：． （2）在（1）的条件下，如图2，将绕点顺时针旋转一定的角度，连接． ①________°； ②猜想线段和的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明） （3）如图3，在中，，过外一点，作，和边交于，连接，过点作于，若，，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）①；②，见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质利用证明即可解题； （2）①证明，得到，然后利用角的和差和三角形的内角和定理解题即可；②过点C作，于点M，N，根据角平分线的性质得到，然后在上截取，连接，则有，即可得到结论； （3）在上找一点，使得，连接，证明，即可得到，然后利用勾股定理得到长，再根据解题即可． 【详解】解：（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴； （2）①同理可证， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ②，理由为： 过点C作，于点M，N， ∵，， ∴ ∴， ∴， 在上截取，连接， 则是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，在上找一点，使得，连接， ∵，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23. 如图，在中，，以边为直径的与边分别交于点D、E．求的长． 【答案】的长为 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，三线合一，求弧长，连接，根据圆周角定理和三线合一，推出，进而利用弧长公式进行求解即可． 【详解】解：连接，则． 是直径， ，即． ， ． ， ． ， ． 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级数学上册12月月考测试卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求）． 1. 已知半径为，点为内一点，，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在内，以弦为边作等边，的延长线交于两点，过作于点，延长交于点，若，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 3. 已知点，将点绕原点顺时针旋转后的对应点为，将点绕原点顺时针旋转后的对应点为，依此作法继续下去，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，弦的条数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 以上均不正确 5. 如图，正方形ABCD的边长为3，将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，在AB上滑动，同时点F在BC上滑动，当点F到达点C时，运动停止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线长为（　　） A. B. C. D. 6. 任意投掷一枚质地均匀的骰子，点数大于2的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 小明和小刚各自掷一枚质地均匀的正方体骰子，若两人的点数之和是奇数，则小明积1分，若两人的点数之和是偶数，则小刚积1分，此游戏（ ） A. 对小明有利 B. 对小刚有利 C. 是公平的 D. 无法判断 8. 如图，内接于，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 将数字“69”旋转180°，得到的数字是（　　） A. 96 B. 69 C. 66 D. 99 10. 如图，菱形绕点D旋转后得到菱形，则下列角中不是旋转角的是（ ）． A. B. C. D. 11. 暑假快到了，父母找算带兄妹俩去某个景点旅游一次，长长见识，可哥哥坚持去黄山，妹妹坚持去泰山，争执不下，父母为了公平起见，决定设计一款游戏，若哥哥赢了就去黄山，妹妹赢了就去泰山．下列游戏中，不能选用的是（ ） A. 掷一枚硬币，正面向上哥哥赢，反面向上妹妹赢 B. 同时掷两枚硬币，两枚都正面向上，哥哥赢，一正一反向上妹妹赢 C. 掷一枚骰子，向上的一面是奇数则哥哥赢，反之妹妹赢 D. 在不透明的袋子中装有两黑两红四个球，除颜色外，其余均相同，随机摸出一个是黑球则哥哥赢，是红球则妹妹赢 12. 风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分．） 13. 一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是 __________． 14. 正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的_________． 15. 下列事件： ①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温是；③掷一次骰子，向上一面的数字是；④度量四边形的内角和，结果是．其中是随机事件的是________．（填序号） 16. 如图，已知、是的直径，，，则_______ 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17. 如图，和是两个不全等的等腰直角三角形，其中，，连接，点M是的中点，连接． （1）若点D在边上，如图1，试探究之间的关系，并说明理由； （2）若将图1中的绕点A逆时针旋转，如图2，那么（1），中的结论是否仍成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新结论并证明； （3）若将图1中的绕点A逆时针旋转，如图3，，，求BM的长． 18. 如图，中，，，，以点为旋转中心逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． （1）求出旋转角的度数； （2）求的度数和的长． 19. 如图，是的直径，是弦，点E是的中点，交于点D．连接，若，，求的长． 20. 如图，在中，，是的外接圆，连接并延长交于点D，连接． 在上取一点F，使，连接与交于点G． （1）试求与的数量关系； （2）求证：； 21. 如图，抛物线交y轴正半轴于点C，交x轴分别于点，点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上第一象限内的一点，过点P作x轴的垂线，交于点F，设点P的横坐标为t． ①求t为何值时，四边形是平行四边形； ②连接，当时，求点P的坐标； ③在②的情况下，在抛物线对称轴上取一点Q，以点Q为圆心，为半径作圆Q，当与抛物线正好有三个交点时，请直接写出此时点Q的坐标． 22. （1）如图1，已知：和是等边三角形，点在同一直线上，连接，和边交于点，连接，和交于点．求证：． （2）在（1）的条件下，如图2，将绕点顺时针旋转一定的角度，连接． ①________°； ②猜想线段和的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明） （3）如图3，在中，，过外一点，作，和边交于，连接，过点作于，若，，请直接写出的值． 23. 如图，在中，，以边为直径的与边分别交于点D、E．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $