《分段计费的实际问题》（教学设计）-2025-2026学年五年级上册数学人教版

小数乘法 解决问题(2) 分段计费的实际问题 ——谷丰琦名师工作室 教材简析 “分段计费”的实际问题是《义务教育教科书数学》（人教版）五年级上册例9的内容。结合本单元知识和生活实际。教材编排了现实生活中乘出租车付费的问题，例9借助小数乘加、乘减的知识解决分段计费问题,根据实际情况计算行车收费问题，进一步提升学生解决问题的能力。 教学内容：人教版小学数学五年级上册第16页例9。 教学目标 1.学生能够结合生活情境正确理解分段计费的收费标准，会用画线段图方法解决关于分段计费的简单实际问题，发展学生的数感和应用意识。 2.能从不同的角度分析和解决分段计费的实际问题，感悟数形结合思想和函数思想，发展学生的推理意识和几何直观观念。 3.联系数学与生活,在解决分段计费问题的过程中培育学生节约资源的优良道德品质。 教学重点：学会用画线段图解决分段计费问题的一般方法。 教学难点：能从不同的角度分析和解决问题。 教学过程 1、 创设情境 快乐无极限，周末来嵩县！总要来一趟陆浑的小洱海吧！面朝湖面，看云卷云舒，赏碧波荡漾，去感受治愈的湖风，来邂逅嵩县的夏天！周末小洛和爸爸一起从嵩州古城乘坐出租车行驶了6.3千米抵到小洱海游玩，可出租车的计价器坏了，司机师傅告诉了他们收费标准，让我们一起来帮助小洛和爸爸需要付车费多少钱吧。 2、 探究新知 1.阅读与理解 出示例题:出租车的计价标准是3 km以内7元;超过3km的部分,每千米1.5元(不足1km按1km计算)。小洛和爸爸乘坐出租车行驶了6.3 km,需要付多少车费? 师:请同学们仔细阅读，说一说你都知道了哪些数学信息和数学问题? 生:小洛和爸爸本次的行驶里程是6.3千米，出租车的收费标准是3公里以内7元，超过3千米的部分每千米1.5元，不足1千米的按1千米计算。 师：这里的“3公里以内7元”是什么意思呢？ 生：3千米以内7元的意思是不管行驶多少千米，只要不超过3千米，就只收费7元。比如行驶0.5千米要给7元，1.8千米也要给7元，行驶2.99千米也是给7元，3千米也是7元。 师：3千米以内7元我们把它称为起步价。地域不同起步价的标准也不同，有的2千米以内5元，有的3千米以内7元，但都称为起步价。 师：“超过3千米的部分每千米1.5元”又该怎样理解呢？ 生：行驶路程超过3千米的部分，每多1千米就多给1.5元。 师：你能举例说说不足1千米按1千米计算的意思吗？ 生：比如行驶了3.3千米，那么超过的0.3千米就要按1千米来计算，就是按照行驶4千米来计费；行驶5.6千米，就按行驶6来计费，行驶了8.76千米，就按行驶9千米来计费。 师：也就是说，我们要把超过3千米的部分按照“进一法”取整数来计算，那么小洛和爸爸行驶的里程一共是6.3千米，就按照7千米来计算，写成6.3km≈7km（进一法）依据收费标准车费分为了两部分，这就是我们今天要探究的分段计费的实际问题。 设计意图：学生能够理解生活中的分段计费问题，明白分段计费的原因与必要性,在交流与表达中分析、理解题目,突破了理解所提炼的关键信息的难点,并能举例子说明对分段计费标准的理解，发现分段计费问题中的变与不变,初步体会了函数思想。 2.分析与解答 师：用什么方法表达能使题目中的数量关系更清晰、更直观呢? (学生独立思考后与小组成员进行交流,选择用线段图表示数量关系,如图所示) 7元 （超出部分1.5元/km，不足1km按1km计算) 3km 图1 线段图表示数量关系 生1:可以用线段将路程分为两段。第一段表示小于等于3km的路程,第二段表示超过3km的路程。线段终点表示7km,因为“不足1km按1km计算。” 生2：起步价+超出部分的费用=总费用。 师:大家采用了文字、线段图等多种方式来表示题目信息，你们喜欢那种表示方式呢? 生:线段图，方便而且清晰。 师:这两段怎么计算? 生:第一段只付7元,第二段每多1千米加1.5元。 师：根据这个计费标准,小洛爸爸应该付多少元车费? (学生独立思考后和小组成员分享思路和方法) 生:我们结合线段图知道,6.3km要按照7km来算。第一段7元,第二段超出了7-3=4（km），4×1.5=6(元),最后相加,得出应付13元。 师:能给这种方法取个名字吗?说说你的理由。 生:分段计算法,这个名字可以提醒我们,要根据不同标准分段计算。 师:还有其他方法吗? 生:首先将6.3 千米按照7 千米来算,假设按照每千米1.5元计算,7千米共需支付10.5元;由于前面的3千米也是按照每千米1.5元计算的,只收了4.5元,应补收7-4.5=2.5(元)。10.5+2.5=13(元),所以应收13元。 师:假设很关键,我们把这种方法叫作假设法。假设法需要注意什么? 生:最后要补上少算的部分。 设计意图:学生能够利用线段图,结合的小数乘法的知识经验和“单价x数量=总价"的数学模型,得出解决分段计费问题的不同方法，学生的成就感得到满足。 3.回顾与反思 师：分段计算法和假设法的步骤分别是什么? 生:分段计算法是先按题意画出线段图,再逐段计算，最后相加。假设法是先假设,再找差价,最后调整。 师:你更喜欢哪种方法?说说理由。 生:我喜欢分段计算法,因为它容易理解。 生:我也喜欢分段计算法,它不但容易理解,而且计算简单。 师：前面提到了这位司机的计价器坏了，我们不妨来帮他制作一个10千米以内的价格表吧!让司机今天的收费工作更加顺利。 1.回顾出租车的收费标准，让我们一起来完成下面的出租车价格表. 行驶里程/km 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 出租车费/元 2.根据表格快速地说出行驶4.9 km、5.1km和9.5km需要的车费。 3.下面哪幅图表示了出租车费用和行驶里程的关系？ (学生独立完成基本练习,全班交流基本练习3) 师:通过列表,我们能够快速答出相应里程的出租车费用。此外,图象也能让信息直观化。练习3中哪幅图正确表示了出租车费用和行驶里程间的关系? 生:我选择D。因为超过3 km不超过4km都付8.5元,路程变了,金额不变。同理,路程超过4km不超过5km都付10元。 师:大家从“变”和“不变”的角度选出了答案， D选项呈现的图象正是我们以后会学习的分段函数。那在什么条件下,答案会是A呢? 生:题目去掉“不足1km按1km计算”这一条件,那么在3km之后,费用才会随着路程的增加而增加。 设计意图:学生能够用自己的语言表达出分段计算法和假设法的解题步骤,内化新知,在课堂上乐于表达自己的真实感受,体悟到数学问题解决中的简便性和多样性。 三、巩固练习 练习1:某市居民用电阶梯电价收费如下表。 用电量/千瓦时 200及以下 201-400 401及以上 每千瓦时电费/元 0.52 0.57 0.82 王叔叔家本月的用电量为300千瓦时,应缴电费多少元? 练习2:某市自来水公司为鼓励节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费,12吨以内每吨2.5元,超过12吨的部分,每吨4元。(1)小云家上个月的用水量为11吨,应缴水费多少元? (2)小可家上个月的用水量为17吨,应缴水费多少元?(3)小可家这个月缴水费90元,他家用水量为多少吨? 四、课堂小结 师:这节课我们学习了分段计费的问题。我们可以按照标准分段,然后计算各段的总价,最后相加。那如果遇到更复杂的分段计费问题怎么办? 生:可以根据题目信息画出对应线段数的线段图解决问题。 师:根据阶梯电费、水费等问题,结合生活想一想,分段计费有什么意义? 生:通过水费和电费的分段计费，我们发现用水量越少，单价越低，用水量越多。单价越高，就是在提醒我们要节约用水，节约用电。 师:出租车费分段收费也是在提醒我们节约资源。我们不难发现出租车的起步价是比出租车的单价×里程数的费用要高。这也是在提醒我们较短路程我们可以步行或者骑共享单车出行。一道简单的数学题里蕴含着深刻的道理。其实生活中处处有数学，仔细观察,我们还可以发现更多神奇的奥秘。 师:同学们可以尝试用文字的形式记录今天的所学、所想、所悟,也可提出自己关于分段计费的疑问,或者其他解决分段计费问题的方法…写下你的数学小作文,和大家一起分享。 设计意图:在解决问题后,学生能踊跃分享分段计费的现实意义,培养了节约用电、用水,杜绝浪费的意识。尝试撰写数学小作文能够进一步培养学生数学思考和自我反思的能力。 [板书设计] 分段计费的实际问题 6.3km ≈ 7km（进一法） ①分段计算再合计 ②先假设再调整 7 - 3 = 4（千米） 假设：1.5×7=10.5（千米） 4 × 1.5 = 6（元） 少算：7-1.5×3=2.5（元） 7 + 6 = 13（元） 应付：10.5+2.5=13（元） 答：小洛爸爸要付13元车费。 学科网（北京）股份有限公司 $