精品解析：四川省南充高级中学2025-2026学年高二上学期第二次月考（12月）数学试题

南充高中高2024级高三学期第二次月考 数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：蒲新容 审题人：向亮） 一､单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程及间的关系，即可求解. 【详解】由题知双曲线的焦点在轴上，，所以， 所以双曲线的焦点坐标为， 故选：C. 2. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人都脱靶的概率为（　　） A. 0.02 B. 0.08 C. 0.18 D. 0.72 【答案】A 【解析】 【分析】应用独立事件概率乘积公式及对立事件概率公式计算求解. 【详解】甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9， 甲的脱靶概率为，乙的脱靶概率为， 则两人都脱靶的概率为. 故选：A. 3. 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两平行线间的距离求解即可. 【详解】直线化为：， 所以直线与直线之间的距离为： . 故选：B. 4. 如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得结果. 【详解】. 故选：D. 5. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】确定两圆相交，方程相减得到相交弦所在直线方程，结合勾股定理即可求解. 【详解】，所以， ，所以， 所以， 因为，所以两圆相交， 将两圆方程相减，得两圆相交弦所在直线方程为：， 点到直线的距离， 所以两圆的公共弦长为. 故选：A. 6. 已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（    ） A. 2 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件及椭圆与双曲线的基本量的关系，得，然后利用基本不等式中“1”的妙用求出最小值． 【详解】椭圆中，则， 所以椭圆的焦点分别为与， 则与也是双曲线的两个焦点，因此， 于是有， 当且仅当且，即时取等号， 因此的最小值为9. 故选：C. 7. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再由题意得到，进而求解即可. 【详解】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，则，解得， 即r的取值范围是. 故选：B. 8. 已知椭圆，称点和直线是椭圆的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系当在椭圆外时，其极线是椭圆从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）结合阅读材料回答下面的问题：已知是直线上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，直线恒过定点，当时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据极点极线的定义，写出极点坐标和极线方程，再利用切点弦和弦中点斜率乘积为定值，得直线的方程. 【详解】设,则的直线方程为，， 整理得, 由解得，，定点 ，则为中点， ，即． 故选：A. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，曲线是椭圆 B. 当或时，曲线是双曲线 C. 若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D. 若曲线是双曲线，则焦距为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A，B，C根据椭圆和双曲线的标准方程满足的条件，列出关于的不等式组，求解的取值范围，判断各选项的正确性；对于选项D，根据求解. 【详解】对于选项A，曲线为椭圆需满足，解得且，故选项A错误； 对于选项B，曲线为双曲线需满足，解得或，故选项B正确； 对于选项C，焦点在轴上的椭圆需满足，解得，故选项C正确； 对于选项D，因为曲线表示双曲线，所以或， 当时，表示焦点在轴上的双曲线，此时双曲线的方程为， 所以， 当时，表示焦点在轴上的双曲线，此时双曲线的方程为， 所以，故选项D错误. 故选：BC 10. 曲线，A，B是曲线C上任意两点，则（ ） A. 曲线C的图象关于原点对称 B. 的最大值 C. 直线AB与曲线C没有其它交点 D. 曲线C所围成的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，作出曲线的图象，再数形结合依次讨论各选项求解即可． 【详解】对于曲线C，当，时，曲线C表示，即， 表示以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分； 当，时，曲线C表示，即， 表示以为圆心，半径为的圆在第四象限的部分； 当，时，曲线C表示，即， 表示以为圆心，半径为的圆在第二象限的部分； 当，时，曲线C表示，即， 表示以为圆心，半径为的圆在第三象限的部分； 当时，曲线表示坐标原点；即其图象如图所示，    由图可知， 对于A，因为，所以， 即点与点均符合曲线C的方程，所以曲线C关于原点对称，A正确； 对于B，曲线上两点之间最大距离，如图中，故B正确； 对于C，直线AB取除了有，与曲线C有其它交点，故C错误； 曲线围成的图形的面积为4个半圆与1个正方形的面积之和，其面积为，故D正确； 故选：ABD． 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，平面截正方体所得的截面的面积为 C. 若且，则当取得最小值时， D. 若点P在以的中点O为球心，为半径的球面上，则点P的轨迹的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据锥体体积公式、正方体截面、线段和的最值、轨迹等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，当时， 则为线段的中点， 根据正方体的性质可知，， 所以到平面的距离等于到平面的距离， 所以，则，所以A选项正确. B选项，当时，是的三等分点（靠近点），设是的三等分点， 且 连接，则， 所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形， ， 到的距离为， 所以截面面积为，所以B选项不正确. C选项，时，设分别是的中点，连接，则在线段上， 由于，所以是的中点， 连接， 将四边形与四边形展开成平面图形如下图所示， 连接，交于，由图可知的最小值是， 此时，对应，所以C选项正确. D选项，依题意，， 则在正方形上， ，设，连接，则， 若点P在以的中点O为球心，为半径的球面上， 则，， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，长度，所以D选项正确. 故选：ACD. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为__________. 【答案】. 【解析】 【分析】利用参数提取后，再令两个式子同时为0，可求解定点坐标. 【详解】由直线，可得， 则， 所以直线总是经过定点， 故答案为：. 13. 函数与函数的图象仅有一个公共点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】变形得到表示圆心为，半径为1的上半圆（包括端点），过定点，画出图形，求出临界情况，数形结合得到答案. 【详解】，变形可得，两边平方可得， 故表示圆心为，半径为1的上半圆（包括端点）， 过定点，如图所示， 当与半圆切于点时，圆心到直线的距离等于1， 即，解得或0（舍去）， 当过点时，，解得， 当过点时，，解得， 结合图形可知，当时， 函数与函数的图象仅有一个公共点. 故答案为： 14. 设B是椭圆C：(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用距离公式将表示，配方后，分和两种情况讨论即得. 【详解】设， 则， 因为， 当即时，， 所以， 化简得： ，显然该不等式不成立， 当，即时，，恒成立， 由，得，所以 综上，离心率的范围为. 故答案为： 四､解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为.求： （1）顶点的坐标； （2）直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，求出直线的方程，再结合条件，即可求解； （2）设点，根据条件，求出，即可求解. 【小问1详解】 由于，且的直线方程为， 所以，故，又的顶点， 所以所在的直线方程为，即， 由于边上的中线所在的直线方程为， 联立方程，解得，故点. 【小问2详解】 设点，则的中点， 由于点在直线上， 所以，整理得， 同时点在直线上，所以， 故，解得，即点， 所以，可得， 化简得，故直线的方程为. 16. 2025年12月4日至8日，第四届南充国际木偶艺术周在南充隆重举行，某校特举办了木偶艺术相关知识测试.随机抽取了400名学生的测试成绩，根据测试成绩（所得分数均在），将所得数据按照分成6组，得到频率分布直方图如图所示. （1）求的值，并求出测试成绩在内的学生人数； （2）试估计本次测试成绩的分位数； （3）从测试成绩在和内的学生用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机抽取两人分享学习木偶艺术知识的方法.求这两人中恰好有一人的成绩在内的概率. 【答案】（1） （2）74 （3） 【解析】 【分析】（1）利用各组的频率和为1，列方程可求出的值，进而根据频率、频数及样本容量的关系求解即可； （2）利用平均数定义结合频率分布直方图求解； （3）利用分层抽样的定义求出成绩在和内所抽取的人数，进而列举法出所有情况，再根据古典概型的概率公式求解概率. 【小问1详解】 由题意得， 解得， 所以测试成绩在内学生的人数为； 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，前三组的频率和为， 前四组的频率和为， 故分位数在内，设本次测试成绩的分位数为， 由，解得， 故本次测试成绩的分位数为74. 【小问3详解】 抽取的成绩在内的人数为，记为， 抽取的成绩在内的人数为，记为， 则从5人中随机抽取2人的情况有：，共10种， 其中恰有一人的成绩在[90，100]内的有，共6种， 所以这两人中恰好有一人的成绩在内的概率为. 17. 已知圆. （1）若的坐标为，求过点与圆C相切的直线方程； （2）直线与圆交于两点，求的取值范围（为坐标原点）. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用斜率分类思想，来设出切线方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径，即可求得斜率，从而可得切线方程； （2）联立直线与圆的方程，利用韦达定理，结合向量的坐标运算，可求得参数范围. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径，过点的切线， 若切线的斜率不存在，则直线方程为，符合题意； 若切线的斜率存在，设切线方程为，即 则根据相切可得：，即，解得， 所以切线方程为，即； 即过点的切线方程为或， 【小问2详解】 由，得， 整理可得：， 设， 由，解得 则， 所以 ， 即， 因为， 所以， 即的取值范围为. 18. 如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，分别在棱上，且. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥外接球的表面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在四棱锥中，证明三条直线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，得到点坐标和向量坐标，由向量的数量积得证线线垂直； （2）设得到点，然后得到，由得到对应向量的数量积建立方程后解得.然后设平面法向量，利用向量的数量积求得平面法向量，然后由向量的数量积求得两个平面的夹角的余弦值； （3）设三棱锥的外接球球心坐标为，半径为，建立方程组解得球的半径，然后求得表面积. 【小问1详解】 ∵底面，平面，平面， ∴，在矩形中， ∴以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 则， 则 得证： 【小问2详解】 则，. 设，则，∴ ，∴ ，∴. 设平面的法向量为， 则，取，得， ∴平面的一个法向量为. 易知平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， ∵，∴， ∴平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 设三棱锥的外接球球心坐标为，半径为， 则，解得， ∴三棱锥外接球的表面积为 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直． （i）若，求异面直线和所成角的余弦值； （ii）是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i），（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意，的周长为8，离心率为，结合椭圆标准方程的定义，求解即可； （2）（i）由（1）知，点，倾斜角为，故直线设为：，与联立求得，，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，再求异面直线和所成角的余弦值即可； （ii）根据题意得到，设折叠前，，直线与椭圆联立方程，结合韦达定理，在折叠后的图形中建立空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴），设，在新图形中对应点记为，，，，得到，结合，得到的值． 【小问1详解】 因为的周长为8，离心率为， 所以，即，，， 所以椭圆的标准方程为：； 【小问2详解】 由（1）知，点，倾斜角为， 故直线设为：， （i）联立直线与椭圆的方程：，可得， 可得或， 可得，（因为点在轴上方）以及， 再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系 则，，， ，， ，，， 所以 记异面直线和所成角为，则； （ii）由，，， 设折叠前，， 直线与椭圆联立方程，得， 即，， 在折叠后的图形中建立空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴）， 设，在新图形中对应点记为，，， ，， ①， 即 所以②， 由①②可得： 即 则 即，， 解得， 因为，所以． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是找到折叠前后的联系，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，然后连接方程，利用空间量的知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充高中高2024级高三学期第二次月考 数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：蒲新容 审题人：向亮） 一､单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人都脱靶的概率为（　　） A. 0.02 B. 0.08 C. 0.18 D. 0.72 3. 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（    ） A. 2 B. 6 C. 9 D. 12 7. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆，称点和直线是椭圆的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系当在椭圆外时，其极线是椭圆从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）结合阅读材料回答下面的问题：已知是直线上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，直线恒过定点，当时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，曲线是椭圆 B. 当或时，曲线是双曲线 C. 若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D. 若曲线是双曲线，则焦距为 10. 曲线，A，B是曲线C上任意两点，则（ ） A. 曲线C的图象关于原点对称 B. 的最大值 C. 直线AB与曲线C没有其它交点 D. 曲线C所围成的面积为 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，平面截正方体所得的截面的面积为 C. 若且，则当取得最小值时， D. 若点P在以的中点O为球心，为半径的球面上，则点P的轨迹的长度为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为__________. 13. 函数与函数的图象仅有一个公共点，则实数的取值范围是__________. 14. 设B是椭圆C：(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围_______ 四､解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为.求： （1）顶点的坐标； （2）直线的方程. 16. 2025年12月4日至8日，第四届南充国际木偶艺术周在南充隆重举行，某校特举办了木偶艺术相关知识测试.随机抽取了400名学生的测试成绩，根据测试成绩（所得分数均在），将所得数据按照分成6组，得到频率分布直方图如图所示. （1）求的值，并求出测试成绩在内的学生人数； （2）试估计本次测试成绩的分位数； （3）从测试成绩在和内的学生用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机抽取两人分享学习木偶艺术知识的方法.求这两人中恰好有一人的成绩在内的概率. 17. 已知圆. （1）若的坐标为，求过点与圆C相切的直线方程； （2）直线与圆交于两点，求的取值范围（为坐标原点）. 18. 如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，分别在棱上，且. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥外接球的表面积. 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直． （i）若，求异面直线和所成角的余弦值； （ii）是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $