精品解析：广西南宁市青秀区天桃实验学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025年秋季学期九年级十二月单元作业 九年级数学 考试时间：120分钟 满分：120分 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效；考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列我国著名企业商标图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部“反面向上”这一事件是（　　） A. 随机事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点在线段的延长线上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图，若半径为定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（ ） A B. C. D. 10. 如图，在中，，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 随着网络技术的发展，市场对产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产20万件产品，现在生产600万件产品所需时间与更新技术前生产500万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产万件产品，依题意得（） A. B. C. D. 12. 如图，反比例函数在第一象限内图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为18，则的值是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 的相反数是__________． 14. 函数的最大值为_____． 15. 如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高为10米，迎水坡的坡度为，那么该水库迎水坡的长度为______米． 16. 如图，在中，，，的高，交于点（点在内），求点到距离的最大值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：． （2）解二元一次方程组： 18. 如图，是中的角平分线，交于点． （1）作的角平分线，交于点．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）证明：． 19. “一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 490 984 1470 1966 2946 3932 合格品频率 0.980 0.984 0.980 0.982 0.983 （1）求出表中______，估计这批头盔中任意抽取一顶头盔是合格品的概率是______（精确到0.01）； （2）如果该厂生产的一批头盔共有50000顶，请估计这批头盔中合格的有多少顶？ （3）这批头盔共有红、白、蓝三种颜色，小明的妈妈把这三种颜色的头盔各买了一个．周末，小明和姐姐出门玩，随机各取了一个，请用列表或画树状图的方法求出刚好一人取到蓝色，一人取到红色的概率是多少？ 20. 阅读与思考： 小明在某本数学书上看到相交弦定理（圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等），方框内容是书上相交弦定理证明过程的一部分，请仔细阅读，并完成以下任务： 已知：如图1，的两弦，相交于点． 求证：． 证明：如图，连结，． …… （1）请将相交弦定理证明过程补充完整． （2）小明又看到一道课后习题：如图2，是的弦，是上一点，若，，，求的半径．请运用相交弦定理求解． 21. 图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，．（参考数据：，，，） （1）如图2，求支点到小竹竿的距离（结果精确到米）； （2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿绕点顺时针旋转至的位置，小竹竿至的位置，求点上升的高度（结果精确到米）． 22. 综合与实践： 广西灵山是“中国荔枝之乡”，灵山荔枝以果大核小、清甜多汁闻名遐迩，荣获国家地理标志保护．请你根据下面信息和素材，运用数学知识帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在农科院技术人员的正确指导下，果农对荔枝种植养护技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年荔枝年产量是5000千克，2025年达到了7200千克，年增长率基本相同． 素材二 荔枝一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 市场调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒． 任务1：求荔枝年产量的平均增长率； 任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了装下适当数量的荔枝，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； 任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），寓意“六合甜美”．请直接写出此时纸盒的底面正六边形的边长是多少．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计） 23. 将一张矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点在边上（点不与点，重合）．沿折叠该纸片，点的对应点为，设． （1）如图①，当时，求的度数及点的坐标； （2）如图②，若点在第四象限，与交于点，试用含有式子表示折叠后与矩形重叠部分的面积，并直接写出的取值范围； （3）若折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期九年级十二月单元作业 九年级数学 考试时间：120分钟 满分：120分 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效；考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列我国著名企业商标图案中，是中心对称图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心进行分析即可 【详解】A.不是中心对称图形,故此选项错误 B.是中心对称图形,故此选项正确; C.不是中心对称图形,故此选项错误 D.不是中心对称图形,故此选项错误; 故选B 【点睛】此题考查中心对称图形，难度不大 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，解答即可． 【详解】解：∵ A中未知数最高次数为3，∴不是一元二次方程，不符合题意； ∵ B中未知数最高次数为1，∴不是一元二次方程，不符合题意； ∵ C中含有两个未知数，∴不是一元二次方程，不符合题意； ∵ D中只含一个未知数且最高次数为2的整式方程，∴是一元二次方程，符合题意． 故选D． 3. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部“反面向上”这一事件是（　　） A. 随机事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件、随机事件、不可能事件的概念，掌握“必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．”是解题的关键． 根据不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件即可得出答案． 【详解】解：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部“反面向上”这一事件是随机事件， 故选：A． 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式：熟练掌握不等式的性质是解决问题的关键．也考查了数轴． 先解不等式，然后在数轴上表示其解集即可． 【详解】解：解不等式得 ， ∴不等式的解集在数轴上为 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项运算法则． 利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项计算后判断正误． 【详解】解：，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项错误； ，D选项错误； 故选：B． 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点在线段的延长线上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质与等腰三角形的性质结合，三角形内角和定理的应用，利用等腰三角形的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得出，，再根据等腰三角形的性质：等边对等角，可求出的大小． 【详解】解：根据旋转的性质，可得：，， 故选：D． 7. 如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查多边形的中心角，掌握知识点是解题的关键． 根据多边形的中心角的定义求解即可． 【详解】解：该正十二边形的中心角为． 故选A． 8. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 9. 如图，若半径为的定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据弧长公式计算即可． 本题考查了弧长公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 10. 如图，在中，，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形性质与判定，关键是掌握判断三角形相似的方法和相似三角形的性质． 首先证明，再根据相似三角形的性质：对应边成比例可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 11. 随着网络技术的发展，市场对产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产20万件产品，现在生产600万件产品所需时间与更新技术前生产500万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产万件产品，依题意得（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题列分式方程，关键是找到等量关系． 根据工作时间工作总量工作效率，利用现在生产600万件产品所需时间与更新技术前生产500万件产品所需时间相同，列出方程即可． 【详解】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产万件产品， ∵现在生产600万件产品所需时间更新技术前生产500万件产品所需时间 ∴ 故选：A． 12. 如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为18，则的值是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数图象上的点的坐标特征，矩形的性质．先表示，得到，，根据矩形的面积为18，得到，再由反比例函数的图象经过第一象限，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴点的横坐标为4，点的纵坐标为2， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴， ∴，． ∵矩形的面积为18， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一象限， ∴， ∴． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 的相反数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数，相反数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据相反数的定义，即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故答案为：． 14. 函数的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式及最值问题，熟练掌握二次函数顶点式的性质是解题的关键c 根据二次函数的顶点式形式，结合二次项系数的符号，判断函数的最值在顶点处取得． 【详解】解：函数是二次函数的顶点式，其顶点坐标为， 二次项系数为， 抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值， 最大值为， 故答案为：． 15. 如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高为10米，迎水坡的坡度为，那么该水库迎水坡的长度为______米． 【答案】26 【解析】 【分析】此题主要考查了坡度的定义，勾股定理 ，正确得出的长是解题关键． 直接利用坡度的定义得出的长，进而利用勾股定理得出答案． 【详解】过点D作于点E， ∵坝高为10米，迎水坡的坡度为， ∴， 则， 故（米）， 则在中， （米）． 故答案为：26． 16. 如图，在中，，，的高，交于点（点在内），求点到距离的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，圆周角，多边形的内角和，掌握知识点是解题的关键． 先求出，作的外接圆（定弦定角构造点F的运动轨迹），连接，过点F作于点M，连接，过点O作于点N，的延长线交于点Q，得到，，由勾股定理，得到，求出，继而求出 ，，当点M与点N重合、点F与点Q重合时，最大，即可解答． 【详解】解：由题意可知， ∵， ∴． 作的外接圆（定弦定角构造点F的运动轨迹），连接，过点F作于点M，连接，过点O作于点N，的延长线交于点Q，如图 ∴， ∵， ∴弧所对的圆周角为， ∴， ∵，，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去） ∴． ∵， ∴当点M与点N重合、点F与点Q重合时，最大． ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：． （2）解二元一次方程组： 【答案】(1) ；(2) 【解析】 【分析】本题考查有理数四则运算，解二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． （1）先计算乘除，再算加减即可； （2）根据加减法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解：（1） ． （2） ，得 ， 将代入①，得 ， 解得， ∴原方程组的解为． 18. 如图，是中的角平分线，交于点． （1）作的角平分线，交于点．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）证明：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查角平分线的作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图方法，平行四边形的对边相等，对角相等，是解题的关键． （1）根据角平分线的作图方法，作图即可； （2）证明，即可得证． 【小问1详解】 解：如图所示，射线即为所作． 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 19. “一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 490 984 1470 1966 2946 3932 合格品频率 0.980 0.984 0.980 0.982 0.983 （1）求出表中______，估计这批头盔中任意抽取一顶头盔是合格品的概率是______（精确到0.01）； （2）如果该厂生产的一批头盔共有50000顶，请估计这批头盔中合格的有多少顶？ （3）这批头盔共有红、白、蓝三种颜色，小明的妈妈把这三种颜色的头盔各买了一个．周末，小明和姐姐出门玩，随机各取了一个，请用列表或画树状图的方法求出刚好一人取到蓝色，一人取到红色的概率是多少？ 【答案】（1）0.983，0.98 （2）49000顶 （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用树状图求概率，利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数增多，值越来越精确． （1）根据表中数据计算即可；由表中数据可判断频率在左右摆动，从而利于频率估计概率可判断任意抽取一顶头盔是合格品的概率为； （2）用5000乘以合格品的概率求解即可． （3）列树状图求解即可． 【小问1详解】 解：， 由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在附近波动，所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 答：估计这批头盔中合格品的有49000顶头盔． 【小问3详解】 解：如图，画出树状图 根据树状图可知，共有6种可能情况，刚好一人取到蓝色，一人取到红色有2种可能情况， 刚好一人取到蓝色，一人取到红色的概率． 20. 阅读与思考： 小明在某本数学书上看到相交弦定理（圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等），方框内容是书上相交弦定理证明过程的一部分，请仔细阅读，并完成以下任务： 已知：如图1，的两弦，相交于点． 求证：． 证明：如图，连结，． …… （1）请将相交弦定理证明过程补充完整． （2）小明又看到一道课后习题：如图2，是的弦，是上一点，若，，，求的半径．请运用相交弦定理求解． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查圆周角与相似三角形，直接开平方法解一元二次方程熟练掌握圆周角的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键， （1）连结，，根据圆周角的定理可得，从而得到，进而得到； （2）延长交圆O于点D，延长交圆O于点F，设圆O的半径为，由（1）中的结论可得，代入即可求出的半径． 【小问1详解】 解：连结，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 【小问2详解】 解：延长交圆O于点D，延长交圆O于点F， 设圆O的半径为，则，， 根据（1）中结论得， 即为， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴的半径为． 21. 图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，．（参考数据：，，，） （1）如图2，求支点到小竹竿的距离（结果精确到米）； （2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿绕点顺时针旋转至的位置，小竹竿至的位置，求点上升的高度（结果精确到米）． 【答案】（1） （2）点上升的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，线段中点的有关计算， 平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． ()过点作，垂足为，根据垂直定义可得，再根据题意可得：，从而可得，进而可得，然后根据线段中点定义可得米，从而在中，利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答； ()设交于点，根据题意可得：， ，米，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为，则； 由题意得：， ∴ ∵ ∴ ∵为的中点， ∴ 在中， ∴此时支点到小竹竿的距离为米； 【小问2详解】 设交于点， 由题意得：，，，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， 在中，， ∵， ∴ ∴点上升的高度约为米． 22. 综合与实践： 广西灵山是“中国荔枝之乡”，灵山荔枝以果大核小、清甜多汁闻名遐迩，荣获国家地理标志保护．请你根据下面信息和素材，运用数学知识帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在农科院技术人员的正确指导下，果农对荔枝种植养护技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年荔枝年产量是5000千克，2025年达到了7200千克，年增长率基本相同． 素材二 荔枝一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 市场调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒． 任务1：求荔枝年产量的平均增长率； 任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了装下适当数量的荔枝，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； 任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），寓意“六合甜美”．请直接写出此时纸盒的底面正六边形的边长是多少．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计） 【答案】（1）荔枝年产量的平均增长率为；（2）此时纸盒的高为；（3） 【解析】 【分析】（1）设荔枝年产量的平均增长率为，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设裁掉正方形的边长为，根据题意，列出方程，即可求解； （3）设底面正六边形为，连接、、，和交于点，和交于点，所在直线交长方形纸板的边于点，设底面正六边形的边长为，纸盒的高为，根据正六边形的性质以及直角三角形的性质可得，，，从而得到，，再由四边形为矩形，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：（1）任务1：设荔枝年产量的平均增长率为， 由题意得：， ； ，（不符合题意舍去） 答：荔枝平均每株产量的年平均增长率为； （2）任务2：设裁掉正方形的边长为，由题意得： ， 即 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意舍去； 答：此时纸盒高为； （3）任务3：如图，设底面正六边形为，连接、、，和交于点，和交于点，所在直线交长方形纸板的边于点，设底面正六边形的边长为，纸盒的高为， 正六边形的每条边相等，每个内角都为， 为等腰三角形，， ， 由正六边形的性质可得平分， ， ， 直角三角形中，，， 同理直角三角形中，， ，， ， 即， 左侧小三角形顶点的角度， 左侧小三角形为边长的等边三角形， 根据图形的上下对称可得与长方形纸板的左右两边垂直， 为等边三角形的高， ， 同理可得，， 四边形为矩形， ， ， ， 即， 解得 答：纸盒的底面边长为cm． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，30度角的直角三角形的边长关系，对称的性质；掌握正六边形的性质是解题关键． 23. 将一张矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点在边上（点不与点，重合）．沿折叠该纸片，点的对应点为，设． （1）如图①，当时，求的度数及点的坐标； （2）如图②，若点在第四象限，与交于点，试用含有的式子表示折叠后与矩形重叠部分的面积，并直接写出的取值范围； （3）若折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了对称性、矩形性质、含的直角三角形性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、函数增减性求范围等知识，解决问题的关键是掌握对称性的应用，并弄清函数的变化趋势． （1）由，得到，根据含的直角三角形性质解即可得结果； （2）先证明折叠部分的三角形是等腰三角形，设，在中用勾股定理列出方程，表示出，进而得出结论； （3）分类讨论：①当时，重合部分面积是的面积，底是，高是，面积随的增大而增大，根据面积的最大和最小，求得对应的的值；②当时，随着的增大，面积是逐渐增大的，故根据（2）中的面积等于，求得对应的的值，进而求得结果． 【小问1详解】 解：过作于，如图所示： 四边形是矩形， ，， ，沿折叠该纸片，点的对应点为， ，， ， 在中，，，则， ， ； 【小问2详解】 解：如图所示： 四边形是矩形， ， ， 由折叠可得，，， ， 在等腰中，， 由折叠可得，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ，解得， 重合部分， 当在轴上，则，此时； 当与重合时，此时； 点在边上（点不与点，重合）， ， 重合部分； 【小问3详解】 若折叠后重叠部分的面积为， 由（1）（2）的求解过程可知，当时，根据点由运动，由的位置分两种情况讨论： ①当在第一象限，则，即时， 根据对称性知重合部分面积是的面积， 则，随着（或）值的增大而增大， 当时，得到 ，即； 当时，面积； 当重合部分面积满足时，； ②当在第四象限，则，即时， 重合部分面积是的面积，则， 由于，则在以为圆心，4为半径的圆弧上，如图所示： 而是线段的中垂线，交于， 则当在第四象限时，随着点由运动，逐渐增大， 即当时，随着（或）值的增大而增大， 由（1）知，当时，面积时，满足要求； 当时，有，因式分解得到， 解得或， ， 舍弃，取， 当重合部分面积满足时，； 综上所述． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $