精品解析：福建省福州恒一高级中学2025-2026学年高三上学期半月考A5高复数学试题

2025-2026学年第一学期福州恒高半月考A5高复数学 一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面，为两个不同的平面，直线为内一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则正实数的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 已知是定义域为的奇函数，且当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 某品牌新能源汽车在测试中，发现汽车行驶里程数（每单位代表30公里）与剩余电量在某阶段（剩余电量）近似满足如下函数关系式：.当剩余电量为时，车辆需寻找充电站，则此时汽车大约行驶了（ ）（参考数据：） A. 360公里 B. 510公里 C. 570公里 D. 600公里 7. 已知函数，项数为2025项的等差数列满足，且公差．若，则当时，（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2024 D. 2025 8. 已知定义域为R的函数与满足：，且是奇函数，是偶函数，则（ ） A. -1 B. 2024 C. 2025 D. 2026 二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分) 9. 若单位向量满足，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 直四棱柱中，底面为菱形，，，P为中点，点在四边形内（包括边界）运动，下列结论正确的是（ ） A. 若，且，则四面体的体积为定值 B. 若平面，则的最小值为 C. 若的外心为，则为定值2 D. 若，则点的轨迹长度为 三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分) 12. 圆的圆心到直线的距离为___________． 13. 已知，则__________. 14. 已知为数列的前项和，，，，则当，时，______(用表示)． 四、解答题(本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）若，求的面积； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 16. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线斜率最小，求点的坐标； （2）若，不等式恒成立，求的最大值. 17. 如图，点，在以为直径的圆上，，与点，不重合.平面，为的中点，为的中点， ，. （1）求证：平面； （2）当时，求与平面所成角的正弦值的最大值． 18. 在平面直角坐标系中，记二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，经过这三个交点的圆记为圆. （1）若，求圆的方程； （2）已知，为坐标原点，圆上存在点满足，求实数的取值范围； （3）当时，求实数的值. 19. 高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中是复数的模，称为复数的辐角，若，则称为复数的辐角主值，记为.复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果，那么，这个结论叫做棣莫弗定理.请运用上述知识和结论解答下面的问题： （1）求复数，的模和辐角主值（用表示）； （2）设，，若存在满足，那么这样的有多少个？ （3）求和： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期福州恒高半月考A5高复数学 一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的模长求解即可． 【详解】复数，所以． 故选：B． 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的并集运算即可求解 【详解】因为， 所以， 故选：B 3. 已知平面，为两个不同的平面，直线为内一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由面面平行的性质、线面、面面平行的判定结合充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】因为，若，则由线面平行的性质可知，故“”是“”的必要条件， 设，，显然，从而有成立，但此时不平行， 所以故“”是“”的不充分条件， 即“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则正实数的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】求导得，由直线与切线垂直可得，解方程得正实数的值即可. 【详解】， 则， 因为直线的斜率为， 所以，整理得，解得或， 故正实数的值为. 故选：D. 5. 已知是定义域为的奇函数，且当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按分类讨论，利用奇函数的性质以及指对运算法则解方程即可. 【详解】若，则 ，但 ，故 ； 若，则， 解得：， 但，与假设矛盾，故不成立； 若，则利用奇函数性质：， 由于，有，故， 因此：， 解得：. 综上：. 故选：A 6. 某品牌新能源汽车在测试中，发现汽车行驶里程数（每单位代表30公里）与剩余电量在某阶段（剩余电量）近似满足如下函数关系式：.当剩余电量为时，车辆需寻找充电站，则此时汽车大约行驶了（ ）（参考数据：） A. 360公里 B. 510公里 C. 570公里 D. 600公里 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列方程，结合指对互化与对数运算法则即可得的值，从而得此时汽车大约行驶里程. 【详解】由题意，当时,有， 所以解得， 所以两边取对数可得解得， 所以， 所以,所以此时汽车大约行驶了(公里). 故选：B. 7. 已知函数，项数为2025项的等差数列满足，且公差．若，则当时，（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2024 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】先分析函数的单调性和奇偶性，利用函数性质来分析条件中所给的等式，然后得出结论. 【详解】因为的定义域为关于原点对称， 又因为，所以是奇函数； 因为奇函数在上单调递增，等差数列满足且，在  内， 的唯一解为 ， 故 的充要条件是数列关于原点对称， 则中间项 ，且，，， 则有，即. 故选：B. 8. 已知定义域为R的函数与满足：，且是奇函数，是偶函数，则（ ） A. -1 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】由函数与的关系及，的对称性，得到的周期性，利用周期性可求解. 【详解】是奇函数，. ,又是偶函数， ，是周期为4的周期函数，，又 因为所以. 故选：B 二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分) 9. 若单位向量满足，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求得，即可判断CD；根据数量积的夹角公式得，结合模长相等判断B；根据零向量的性质判断A. 【详解】由为单位向量，且，得， 即，所以，则，故D正确； 又，所以不成立，故C错误； 由，得， 又，所以即，故B正确， 因为零向量与任何向量共线可知：，故A正确. 故选：ABD 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据正弦型函数的周期公式求得最小正周期，进而判断即可；对于B，根据正弦函数的对称性确定为函数的一条对称轴，进而判断即可；对于C，根据正弦函数的对称性确定为函数的一个对称中心，进而判断即可；对于D，结合周期求解判断即可. 【详解】对于A，函数的最小正周期为， 所以，即，故A正确； 对于B，因为， 所以为函数的一条对称轴，则，故B正确； 对于C，因为， 所以为函数的一个对称中心，则，故C错误； 对于D，由A知，函数的最小正周期为， 因为，，，， 则， 所以，故D正确. 故选：ABD 11. 直四棱柱中，底面为菱形，，，P为中点，点在四边形内（包括边界）运动，下列结论正确的是（ ） A. 若，且，则四面体的体积为定值 B. 若平面，则的最小值为 C. 若的外心为，则为定值2 D. 若，则点的轨迹长度为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，取的中点分别为，，由条件确定的轨迹，结合锥体体积公式判断A；对于B，由面面平行的判定定理可得平面平面，从而可得平面，进而可求得的最小值；对于C，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断，对于D，由条件确定点的轨迹为圆弧，利用弧长公式求轨迹长度即可判断. 【详解】对于A，取的中点分别为，连接，则，，， 因为，，所以，， 所以三点共线，所以点在，因为，， 所以,平面，平面，所以∥平面， 所以点到平面的距离为定值，因为的面积为定值， 所以四面体的体积为定值，所以A正确； 对于B，因为，因为平面，平面， 所以∥平面，又平面，，平面， 所以平面平面，取的中点，连接，则，， 所以，所以四点共面，所以平面平面， 即在上，当时，取最小值， 因为，所以，，所以，所以重合，所以的最小值为，所以B正确； 对于C，若的外心为，过作于， 因为， 所以，所以C错误； 对于D，过作，垂足为，因为平面， 平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又在中，， 所以，， 在中，，，，所以， 则在以为圆心，2为半径的圆上运动， 在上取点，使得，则， 所以点的轨迹为圆弧，因为，所以， 则圆弧等于，所以D错误； 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题. 三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分) 12. 圆的圆心到直线的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出圆心的坐标，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】方程 可化为，圆心坐标为， 所以圆心到直线的距离. 故答案为： 13. 已知，则__________. 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】根据三角恒等变换可得函数，其中，由可得，再结合切化弦公式与诱导公式得的值. 【详解】由题知当时，函数取得最大值， 函数，其中， 函数在处取得最大值，则有， ，所以，即 则. 故答案为：. 14. 已知为数列的前项和，，，，则当，时，______(用表示)． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干定义分析得到数列各项取值的特征，然后利用分组求和可得结果. 【详解】由题意，可得时，， 当时，， 当时，，…… 当时，， 当，时， . 故答案为：. 四、解答题(本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）若，求的面积； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理及正弦定理边化角，再利用和角的正弦求得得，进而求出及三角形面积. （2）结合（1）中信息，利用正弦定理边化角及二倍角的正弦求解. 【小问1详解】 在中，及余弦定理， 得，，整理得， 由正弦定理得，即， 则，即，由， 得，，因此，即， 由，得，又，则， 所以的面积为. 【小问2详解】 由（1）及为锐角三角形，得，解得， 由正弦定理得，， 所以的取值范围为. 16. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线斜率最小，求点的坐标； （2）若，不等式恒成立，求的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）对求导、化简，将切线斜率的最小值转化为导数的最小值，然后求得结果； （2）通过求导得到函数的单调性，从而得到的最大值和最小值，然后求出的最大值. 【小问1详解】 因为， 所以当时，切线斜率可取到最小值为， 因为，所以点的坐标为. 【小问2详解】 ， 令，解得或. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 所以当时，取得极大值，为； 当时，取得极小值，为. 又因为，所以在上有最小值为，最大值为. 所以. 故的最大值为. 17. 如图，点，在以为直径的圆上，，与点，不重合.平面，为的中点，为的中点， ，. （1）求证：平面； （2）当时，求与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）证明:在上取点，使得，取中点， 连接、、，由，为的中点， 故，，，， 故且，故四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）作出相应辅助线，借助中位线与等分点的性质可得四边形为平行四边形，则可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，设出，求出平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由为直径，故，由， 则，， 以为原点，、为、轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由平面，故轴， 则、、、、， 则，，，， 又，则，故， 由在圆上，可设，， 则， 设平面的法向量为， 则有， 取，则，，故， 设与平面所成角为， 则， 则当，即或时，有最大值， 当时，，则，与点重合，不符； 当时，，则，符合要求； 故与平面所成角的正弦值的最大值为. 18. 在平面直角坐标系中，记二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，经过这三个交点的圆记为圆. （1）若，求圆的方程； （2）已知，为坐标原点，圆上存在点满足，求实数的取值范围； （3）当时，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对称性可设圆，根据方程一致性，并代入可求得圆方程； （2）由可求得点轨迹，结合圆方程可知两圆只需有公共点即可，并进一步将问题转化为直线与轨迹有公共点，利用圆心到直线距离可构造不等式求得结果； （3）由，，利用二倍角正切公式可构造方程求得的值，结合韦达定理可求得结果. 【小问1详解】 当时，，则对称轴为， 圆的圆心在直线上，又，， 设圆方程为：，则当时，， 与方程等同，， 即，代入点得：，解得：， 圆方程为：. 【小问2详解】 设，由得：， 整理可得：，点轨迹是以为圆心，为半径的圆； 由（1）知：圆方程可设为， 代入点得：，解得：， 圆，圆心，半径， 圆上存在点满足，两圆有公共点， 两圆方程作差得：， 则两圆有交点等价于圆与直线有公共点， ，解得：或， 实数的取值范围为. 【小问3详解】 设，则，，， ，，，， 为方程的两根，， ，解得：，则， ， ，， ，解得：. 19. 高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中是复数的模，称为复数的辐角，若，则称为复数的辐角主值，记为.复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果，那么，这个结论叫做棣莫弗定理.请运用上述知识和结论解答下面的问题： （1）求复数，的模和辐角主值（用表示）； （2）设，，若存在满足，那么这样的有多少个？ （3）求和： 【答案】（1），； （2）506； （3）1017. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用复数模及辐角主值的定义，结合三角变换求解即得. （2）利用给定定理，结合诱导公式计算，再借助正余弦函数的周期性求解即得. （3）令，利用等比数列及错位相减法求出，再利用复数相等即可得解. 【小问1详解】 由复数，， ， 得； 而，则，， 又，，所以. 【小问2详解】 由， 因此，则， 则，解得，而，， 即，于是，显然符合条件的有506个， 所以这样的有506个. 【小问3详解】 令，而，则， 令， 则， 两边同乘，得， 两式相减得 ，因此， ， 因此，所以. 【点睛】关键点点睛：求出的关键是，令，利用错位相减法求出的和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $