第17-18章（因式分解和分式）解答题专项练-2025-2026学年 人教版（2024）八年级 数学上册期末复习

第17-18章解答题专项练 1．因式分解： (1) (2) (3) 2．计算： (1)； (2)． 3．解下列方程： (1)5； (2)0． 4．用简便方法计算： (1)； (2)． 5．化简求值 (1)已知，求代数式的值． (2)先化简，再从中选取一个适合的数代入求值． 6．已知，． (1)化简分式A． (2)若关于x的分式方程的解为，求m的值． (3)当x取什么整数时，分式A的值为整数？ 7．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 8．一次随堂练习，珍珍做了如下四道因式分解题： ①；     ②； ③；     ④． (1)珍珍做错的或不完整的题目是_________（填序号）； (2)请写出（1）题中标记做错或不完整题目的正确解题过程． 9．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 10．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等 ①分组分解法：例如： ． ②拆项法：例如： ． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）； (2)当，，满足时，求，，的值． 11．小明学完因式分解后，联想到利用长方形和正方形的面积来解释因式分解的意义． (1)如图1，小明把左侧两个正方形和两个长方形，拼接为右边的一个大正方形，计算发现：左侧四个图形的面积和为___________，右侧大正方形的面积为___________，根据题意可得到一个多项式的因式分解为：___________； (2)按照小明的思路，图2的四个图形也可以拼成一个大长方形． ①拼成的大长方形的长为___________，宽为___________； ②根据图2的拼接，写出该多项式的因式分解． 12．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1984， 代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)分解因式； (2)若，求的最大值； 13．定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 14．阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式再将“A”还原， ∴原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：． (2)因式分解： (3)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 15．喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 16．已知关于的分式方程． (1)若该方程有增根，求的值． (2)若该方程的解为非负数，求的取值范围． 17．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由已知可得，则，即． ， ． 上面材料中的解法叫做“倒数法”． 请你利用“倒数法”解下面的题目： (1)已知，求的值； (2)已知，，，求的值． 18．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和雅式”，这个常数称为关于的“和雅值”． 如分式，，，则是的“和雅式”，关于的“和雅值”为． (1)已知分式，，判断是否为的“和雅式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“和雅值”； (2)已知分式，，是的“和雅式”，且关于的“和雅值”是，求的值； (3)已知分式，，是的“和雅式”，且关于的“和雅值”是，为整数，且“和雅式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和． 19．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元． (1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？ (2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？ (3)商家以（2）中每件衬衫的最少标价卖出，把所得利润的全部用于购进甲、乙型号的电风扇赠给敬老院，如果甲型号电风扇每台250元，乙型号电风扇每台150元，那么有哪几种购买方案？请直接写出答案． 20．定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”． 例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求所代表的代数式； ②若分式的值为正整数，求正整数的值． (3)记（2）中分式的值为正整数，已知分式，，且．若关于的方程无解，直接写出的值． 参考答案 1．(1) (2) (3) 本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． （3）运用平方差公式进行因式分解，最后再提公因式，即可作答． （1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 2．(1)； (2)． 本题考查了分式的混合运算． （1）先计算乘方，再计算乘除即可； （2）先计算括号里的减法，再计算除法即可． （1）解： ； （2）解： ． 3．(1) (2) 本题考查了解分式方程． （1）方程两边同乘化为整式方程，求解后检验即可； （2）方程两边同乘化为整式方程，求解后检验即可． （1）解：． 方程两边同乘，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为：； （2）解：0， 原方程变形为：0， 两边同乘，得： ， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为：． 4．(1) (2) 本题考查利用完全平方公式因式分解进行简便计算，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解； （2）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解． （1）解： （2）解： 5．(1) (2)，时，原式或时，原式 本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对化简得到，再整体代入求值即可． （2）先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可． （1）解： ， ∵， ∴， ∴原式． （2）解： 且 ∴当时，原式； 当时，原式． 6．(1) (2)7 (3)当x取或2或0时，分式A的值为整数 本题考查分式的运算，根据分式方程的解求参数，分式的值为整数时字母的值，熟练掌握相关知识点，正确的计算是解题的关键： （1）根据分式的除法法则进行计算即可； （2）将代入方程进行求解即可； （3）利用分离常数法，进行计算即可． （1）解：； （2）∵， ∴． 方程的两边同时乘以，得， 解得． ∵分式方程的解为， ∴，解得． ∴的值为7． （3）解：∵，且分式A的值为整数， ∴或． ∴． 由题意，得且， ∴且． ∴当x取或2或0时，分式A的值为整数． 7．(1) (2)是等边三角形，理由见解析 （）利用分组分解法因式分解即可； （）利用分组分解法因式分解可得，即得到，，进而得到，即可判断求解； 本题考查了因式分解及其应用，掌握分组分解法是解题的关键． （1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得， ∴是等边三角形． 8．(1)②④ (2)②；④ 本题考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解答本题的关键． （1）根据提取公因式法和公式法分别判断即可； （2）②先提取公因式，再用平方差公式分解，④先提取公因式，再用完全平方公式公式分解． （1）解：①，因式分解正确；     ②，因式分解不彻底，还可以使用平方差公式继续分解； ③，因式分解正确；       ④，因式分解错误，应先提取公因式，再用完全平方公式分解； 故答案为：②④； （2）解：②； ④． 9．(1)； (2)m、n的值分别为和0； (3) 本题主要考查了分解因式，解二元一次方程组： （1）根据题意当时，，则，据此求解即可； （2）根据题意可得当或时，，则可得关于m、n的方程组，解方程组求出m、n的值，进而把原多项式分解因式即可； （3）先分组得到，再利用提公因式法和十字相乘法分解因式即可． （1）解：当时，， ∵是多项式的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴ （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴当或时，， ∴或时，， ∴， 解得， ∴原多项式为； （3）解： ． 10．(1)①；② (2)，， 本题主要考查了因式分解及其因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）根据题干中提供的信息用分组分解法和拆项法分解因式即可； （2）根据得出，根据非负数的性质求出结果即可． （1）解：① ； ② ； （2）解：， ， ， ，，， ，，， ，，． 11．(1) (2)①，② 本题考查了多项式的乘法与图形面积，因式分解的应用； （1）观察图象可知大正方形面积等于两个小正方形的面积和加上两个长方形面积和，即可得到结论； （2）观察图象可知大长方形面积等于1个正方形面积加上3个长方形面积，即可得到结论； （1）左侧四个图形的面积和为，右侧大正方形的面积为，根据题意可得到一个多项式的因式分解为：； 故答案为：； （2）解：①拼成的大长方形的长为，宽为， 故答案为： ； ②依题意，． 12．(1) (2)1314 本题考查了因式分解，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题例进行配方，继而利用平方差公式因式分解即可； （2）根据题例进行配方，根据平方大于等于0的性质进行判断即可． （1）解： ； （2）解： ， ， ， 的最大值1314． 13．(1)是“双一次可分解式”，理由见解析 (2)是“双一次可分解式”，理由见解析 (3) 本题考查多项式的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）把用完全平方公式进行因式分解即可； （2）把多项式变形为，提公因式即可； （3）根据常数项，设另一个因式为，则，解得． （1）， 是“双一次可分解式”； （2）， 是“双一次可分解式”； （3）根据常数项，设另一个因式为，则， ，， 解得：， 则． 14．(1)； (2)； (3)证明过程见解析． 本题考查换元法，完全平方公式，平方差公式． （1）用换元法设，将原式化为，由完全平方公式得出，再将还原即可； （2） 设，将原式化为，由平方差公式去括号，合并同类项，再将还原，用完全平方公式进一步分解因式即可； （3）先计算，把看成整体，根据完全平方公式分解因式，结合已知即可证得结论． （1）解：设， ∴ ， ∴． （2）解：设， ∴ ， ∴． （3）证明： ， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴代数式的值一定是某个整数的平方． 15．(1)甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； (2)乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． （1）设甲车间增加工人前每天加工个，则增加工人后每天加工个，根据题意列出方程解得即可； （2）设乙车间改进技术前每天加工个，根据题意列出分式方程解得即可． （1）解：设甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个， 由题意，得， 解得， ， 答：甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； （2）解：设乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个 ， 由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 本题考查一元一次方程和分式方程，弄清题意列出相应方程是解题的关键． 16．(1)3 (2)且 本题主要考查了根据分式方程的根的情况求参数，一元一次不等式，通过解方程求出方程的根是解题的关键． （1）先解方程求出方程的根，再根据方程有增根，即求出的方程的根满足分母为0建立方程求解即可； （2）根据方程的根为非负数，结合（1）所求建立不等式求解即可． （1）解：方程两边同乘以，得 ， 即， ∵该方程有增根， ∴， 解得， 将代入，得， 解得， 答：的值为3． （2）∵该方程的解为非负数，， ∴，， 即，且， ∴， 解得， ∵原方程不能有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴且． 17．(1) (2) （1）先计算倒数，化简为，再用整体思想，将整理成，结合完全平方公式解题； （2）分别计算三个式子的倒数，解得，，，接着计算，先求的倒数，据此解题． （1）解：由，知， 则， 即， 得：． ， ； （2）由，， 得， 即：； 同理可知：；． ， 解得：． ， ． 本题考查分式的化简求值，掌握完全平方公式，分式的基本性质是解题关键． 18．(1)不是，理由见解析 (2) (3)， （1）根据新定义进行判断； （2）根据新定义，列出方程求解； （3）根据新定义列出方程，再根据整除的意义求解． （1）解：不是的“和雅式”； 理由： ， 不是的“和雅式”； （2）由题意得：， ， ， ， 解得：，， ； （3）由题意得：， ， ， 为整数，为整数， 的值为：或， 的值为：，，，， ， 所以所有符合条件的的值之和为． 【点评】本题考查了分式的加减法，理解新定义和掌握分式的运算是解题的关键． 19．(1)120件 (2)150元 (3)共两种方案，方案一：购买甲型号电风扇3台，乙型号电风扇2台；方案二：购买甲型号电风扇0台，乙型号电风扇7台 （1）依据题意，设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据题意，列出方程，进而计算可以得解； （2）依据题意，由，又设每件衬衫的标价y元，依题意，列出不等式，进而计算可以得解； （3）依据题意得，由（2）知每件衬衫标价150元，可得到两批衬衫的利润，设购买甲型号电风扇m台，乙型号电风扇n台，可得，结合m、n为非负整数，即可判断得解． 本题主要考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程是关键． （1）解：由题意，设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该商家购进的第一批衬衫是120件． （2）解：由题意，， 设每件衬衫的标价y元，依题意有 ， 答：每件衬衫的标价至少是150元． （3）解：由题意得，由（2）知每件衬衫标价150元， 两批衬衫的利润为： 元 利润的为 设购买甲型号电风扇m台，乙型号电风扇n台， 、n为非负整数， 存在以下两种情况： 当时，，，，； 当时，， 有两种购买方案： 方案一：购买甲型号电风扇3台，乙型号电风扇2台． 方案二：购买甲型号电风扇0台，乙型号电风扇7台． 20．(1)是互为“和整分式”， (2)①；② (3)或 本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． （1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式的值为正整数．为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． （1）解：， ， 与B是互为“和整分式”，“和整数值”； （2）解：①∵， ∴ ， ∵与互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴， ∴； ②∵，且分式的值为正整数为正整数， ∴或， ∴（舍去）； （3）解：由题意可得：， ， ， ， 整理得：， ∵方程无解， ∴或方程有增根， 当时， 解得：， 当，方程有增根， ， 解得：， 综上：的值为：1或． 学科网（北京）股份有限公司 $