第十七章 数学活动+第十七章 因式分解 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（人教版2024）

数学活动 活动1)个位数字是5的两位数平方的规律 1.探究与发现：我们在过去的学习中已经发现了 如下的运算规律： 15×15=1×2×100+25=225, 25×25=2×3×100+25=625, 35×35=3×4×100+25=1225,…. (1)设a为整数，且0<a<10,请用含a的等式 写出一般的规律(10a+5)2= (2)小戴同学通过计算下列两位数的乘积，发 现结果也存在一定的规律，请你补充小戴同学 的探究过程：53×57=3021,38×32=1216， 84X86=7224,71×79=5609,…. ①观察相乘的两位数，可以发现，两位数的十 位上的数字 ,个位上的数字的和 等于 ②根据发现，若设一个两位数的十位上的数字 为m,个位上的数字为n,则另一个两位数的个 位上的数字为 (其中m,n为小于10 的正整数).则以上两位数相乘的规律是 (用含m,n的等式表示). ③利用发现的规律计算：63×67= ④请用所学知识证明②中的规律. 活动2)利用因式分解生成密码 2.创新意识问题背景： 在如今信息快速发展的时代，“密码”与我们的 生活已经紧密相连，密不可分，而诸如生日、连 续数字等简单密码又容易被破解，密码过于复 杂自己又容易忘记，因此设置一组便于记忆的 密码就很有必要了. 106 答案P24) 某班级同学们在经过思考后想出了不同的方 法，其中有一种用“因式分解”法产生的密码， 方便记忆.其原理是：将一个多项式分解因式， 如多项式：x3一x因式分解的结果为x(x一I)· (x十1)，当x=10时，x-1=9,x+1=11,此 时把所得到的数字按照从小到大的顺序排列 可以得到数字密码091011. 实际应用： (1)根据上述方法，小明同学设置了一个登录 密码：多项式x3-一xy2分解因式后利用x,y 的数值设置密码.当x=9,y=3时，请破解小 明的密码是多少， (2)管理员设置了一个密码：一个等腰三角形 的周长是12，其中腰和底分别为不同的整数 x,y.请你破解出由多项式x3一4xy2分解因 式后得到的密码 拓展应用： (3)若多项式x3+（m-2n)x2+5nx因式分 解后，利用前面的方法，当x=24时，可以得到 密码为242932，求m,n的值. 优+学案·课时通△ 本章综合提升（答案P25) 7777777 ·本章知识归纳· //11/1I/ 1.把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫作多项式的 也叫作将多项式 2.因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即 运算，二者是一个 因式分解 子的不同表现形式因式分解是 因式积的表现形式，整式乘法 是 的表现形式 3.多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式 因式 叫作这个多项式各项的 4确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定” (1)定系数，即确定各项系数的 公约数； (2)定字母，即确定各项的 字母因式（或相同多项式因式）； (3)定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的次幂 因式分解 提公因式法 5.提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括 号外边作为积的一个因式，从而将多项式化成两个因式 的形式， 这种将多项式分解因式的方法叫作 法 6.口诀：找 一次要提净；全家都搬走，留 把家守； 提 要变号，变形看 7如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式， 这种方法叫 平方差公式： 完全平方公式： 公式法 思想方法归纳 (2)(m-n)3+4(n-m). 1.转化思想 2.整体思想 Q链接本章 链接本章 本章中某些多项式从表面上看是无法 整体思想在本章中的应用表现在两个 直接进行因式分解的，需通过适当的转化、 方面：(1)在因式分解的过程中，公因式以及 变形，才能利用因式分解的有关方法进行因 公式中的字母可以是单项式或多项式，故必 式分解. 须随时注意多项式的整体性，应用整体思 【例1】因式分解：-2xy-x2-y2. 想，可使计算化繁为简，化难为易.(2)在已 知一个代数式的值求代数式的值时，常将被 求值的代数式进行因式分解，然后整体代入 【变式训练1】因式分解： 求值. (1)(x-1)(x-3)+1; 【例2】若x+y十之=2，x2-(y十之)2=8， 求x一y一之的值. △八年级·上册·数学.RJn 107 【变式训练2】因式分解： (1)2(a+b)2-8; (2)(x2-1)2-6(x2-1)+9. ←通模拟 1.(聊城冠县期末)下列各式从左边到右边的变 形中，属于因式分解的是() A.a(x+y)=ax十ay B10x-5=5x(2-2） C.y2-4y+4=(y-2)2 D.t2-16+3t=(t+4)(t-4)+3t 2.(菏泽巨野期末)下列因式分解错误的是( ) A.3a.x2-6a.x=3(a.x2-2ax) B.2x2-8y2=2(x+2y)(x-2y) C.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2 D.-ax2+2a.x-a=-a(x-1)2 3.(泰安泰山区期末)因式分解64一x2正确 的是() A.(8-x)2 B.(8-x)(8+x) C.(x-8)(x+8) D.(32+x)(32一x) 4.(菏泽曹县期末)如图所示，一个大正方形被分 割成的四部分的面积分别为15mn,9n2,25m2, 15mn(m>0,n>0),则大正方形的边 长为( ) 15mn 9n3 25m2 15mn A.5m+9n B.5m-3n C.25m+9n D.5m+3n 5.(泰安泰山区模拟)如图所示，已知R=6.75, x=3.25,则图中阴影部分的面积为（结果保 留π)() 108 A.3.5π B.12.25π C.27π D.35π 6.(烟台莱州期末)32024一4×32023十10X32022一 定能被下面哪个数整除() A.7 B.8 C.10 D.11 7.(北京海淀区模拟)因式分解：4a2一28ab= 8.（潍坊寿光模拟)因式分解：a3一9a= 9.(潍坊潍城区模拟)因式分解：ab2-2ab十a= 10.(聊城东阿模拟)因式分解：一m十2m2- m3= 11.(泰安岱岳区模拟)因式分解：a2(x-y)一 4b2(x-y)= 12.(菏泽巨野期末)已知a十b=13,ab=10,则 a2b+ab2= 13.(菏泽曹县期末)把多项式(3x一2)(2x一 5)-(2x-5)(2x-3)进行因式分解的结果 为(2x+m)(nx+1),其中m,n均为整数， 则m一n的值为 14.(泰安肥城月考)已知a+b=1,则代数式 a2-b2+2b+9的值为 15.(菏泽鄄城期末)已知xy=2,x一3y=3,则 2x3y-12x2y2+18.xy3= 16.(潍坊寿光期末)将下列各式因式分解： (1)12x3-3x; (2)3ax2-6axy+3ay2; 一优学案·课时通△ (3)4(a-b)2-(a+b)2. 17.（菏泽成武期末)阅读理解： 例：因式分解(x2+6x+5)(x2+6x一 7)+36. 解：设x2十6x=y, 原式=(y+5)(y-7)+36=y2-2y-35+ 36=y2-2y+1=(y-1)2=(x2+6x-1)2. 解决问题：请你模仿以上例题进行因式分解： (x2-4x+1)(x2-4x+7)+9. 18.(聊城东阿期末)我们知道常用的因式分解的 方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些 多项式只用上述一种方法无法因式分解，下 面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解 的过程. 甲：x2+xy-2x-2y =(x2+xy)-(2x十2y)(先分成两组) =x(x+y)-2(x+y)=(x+y)(x-2). 乙：a2-b2+2b-1 =a2-(b2-2b+1)(先分成两组) =a2-(b-1)2=(a+b-1)(a-b+1) 两位同学分解因式的方法叫作分组分解法. 请尝试解决下列问题： (1)试用上述方法分解因式：m2+2mn+ n2+ma+na. (2)已知x+y=4,且x3+x2y-xy2 y3=-32,求x一y的值. △八年级·上册·数学.RJ (3)我们可以通过“拆项”后再分组分解的方式 对多项式进行因式分解.利用这样的思路， x2-xy一2y2可以因式分解为 。通中考恤 19.(河北中考)若k为任意整数，则(2k十3)2一 4k2的值总能() A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除 20.(山东中考)因式分解：x2y+2xy= 21.（无锡中考)因式分解：x2一9= 22.（盐城中考)因式分解：x2+2x+1= 23.(黄石中考)因式分解：x(y一1)十 4(1-y)= 24.(东营中考)因式分解：2a3-8a= 25.(北京中考)因式分解：x3一25x= 26.(扬州中考)因式分解：2x2一4x十2= 27.(东营中考)因式分解：3ma2-6mab+3mb2= 28.(威海中考)因式分解：(x十2)(x+4)+1= 29.(福建中考)已知实数a,b,c,m,n满足3m十 n一名，mn=后试说明：b-12ac为非负数. b a 109(2)原式=2y(x2-4x十4)=2y(x-2)2. 5.B6.A 7.(1)2a(a+2)(a-2) (2)x(x+5)(x-5) 8.D9.123216(答案不唯一) 10.解：剩余部分的面积为πR2-4πr2=π(R-2r)(R 2r)(cm2). 当R=8cm,r=1cm时， 原式=π(8一2)X(8+2)=60π(cm2). 11.A12.B13.D14.B 15.(x-2)(x+4)(x-4)16.6 17.解：(1)原式=m(m2-16)=m(m+4)(m-4). (2)原式=(x-y)(9a2-4b2) =(3a+2b)(3a-2b)(x-y). (3)原式=-2a(a2-6a十9)=-2a(a-3)2. (4)原式=(m-n)[(3m+n)2-(m+3n)2] =(m-n)(3m+n+m+3n)(3m+n-m-3n) =8(m-n)2(m+n). 18.解：(1)2a·a-2b2=2(a2-b2). (2)当a=15.7,b=4.3时，阴影部分的面积=2(a2-b2) 2(a+b)(a-b)=2×(15.7+4.3)×(15.7-4.3)=456. 19.解：(1)将(a一2)看成一个整体： (a-2)(b-2) =(a-2)b-(a-2)×2 =ab-2b-2a十4. 将(b一2)看成一个整体： (a-2)(b-2) =a(b-2)-2(b-2) =ab-2a-2b+4. (2).ab=2(a+b),.(a-2)(b-2)=4. .a,b均为整数， 、a一2=1或a-2=二1或a-2=2, b-2=-4 b-2=2 支份威低”6 b-2=1 b-2=一1 .所有的(a,b)有(3,6)，（1，一2)，(4,4)，(0,0) (6,3),(-2,1). 专题五巧用因式分解解决问题 1.C 2.解：：原式=(n+7+n-5)(n+7-n十5)=24(n+1), ∴.当n为自然数时，(n十7)2-(n-5)2能被24整除. 3.解：(1a+6=号a6=2,5原式=6(a2+2a6+6) ba+br=号×2x号台 1 .44 (2)(x2+y2)2-4x2y2=(x2+2xy+y2)(x2-2xy+y2) =(x十y)2(x-y)2. 将x十y=3,x一y=-2代入，得 原式=(x+y)2(x-y)2=32×(-2)2=9×4=36. 4.解：(1)原式=(2ax+3bx)+(4ay十6by) =x(2a+3b)+2y(2a+3b) =(x+2y)(2a+3b). (2)原式=(m3-m2n)-(mn2-n3) =m2(m-n)-n2(m-n) =(m-n)(m2-n2) =(m-n)2(m十n). (3)△ABC是等腰三角形.理由如下： .a2-ab+c2=2ac-bc, ..a2-2ac+c2-ab+bc=0, ∴.(a-c)2-b(a-c)=0, ∴.(a-c)(a-c-b)=0. ,a,b,c是△ABC的三边， .a-c-b<0,.a-c=0,∴.a=c ,∴，△ABC是等腰三角形！ 5.解：(1)224=1×4×7×8，不是4个连续正整数之积，∴.224 不是“续积数” (2)证明：，M是“续积数”，∴.可设M=a(a十l)(a十2)(a十3)， 则M+1=a(a+1)(a+2)(a+3)+1 =(a2+3a)(a2+3a+2)+1 =(a2+3a)2+2(a2+3a)+1 =(a2+3a+1)2. 即M+1是多项式a2+3a十1的平方. 特色素养专题（二）新定义题型专题 1.D2.B3.(1)12(2)38或39 4.解：(1)证明：222-202=21×4， ∴.222一202是“佳偶和谐式” (2)证明：设这两个连续偶数分别为2n,2n十2， 则(2n十2)2-(2n)2 =(2n+2+2n)(2n+2-2n) =2(4n+2) =4(2n+1), ∴任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是 “佳偶和谐式”. (3)设任意两个偶数分别为2a,2b, ∴.(2a)2-(2b)2 =(2a+2b)(2a-2b) =4(a十b)(a-b), ∴.任意两个偶数的平方差都能被4整除，它们的算式都是“佳 偶和谐式”， ∴该命题是真命题 5.解：(1)2=12+12，.2是“平和数”； 34=52+32,.34是“平和数”； .104=102+22,.104是“平和数” (2)x2+9y2+6x-6y+k=(x+3)2+(3y-1)2+k-10, 且无论xy取何整数，代数式x2+9y2+6x一6y+(k是常 数)的值都是“平和数”，∴.k=10. (3)设m=a2十b2,n=c2+d2,a,b,c,d均为整数， .mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2= a2c2+62d2+a2d2+62c2+2abcd-2abcd, .'.mn=(ac+bd)2+(ad-bc)2, ∴.mn也是“平和数” 数学活动 1.解：(1)100a(a+1)+25 (2)①相同10 ②10-n (10m+n)(10m+10-n)=100m(m+1)+ n(10-n) ③4221 ④：(10m+n)(10m+10-n) =10m(10m+10-n)+n(10m+10-n) =10m(10m+10-n)+10mn+n(10-n) 24 =10m(10m+10-n+n)+n(10-n) =100m(m+1)+n(10-n), 故(10m+n)(10m+10-n)=100m(m+1)+n(10-n). 2.解：(1)x3-xy =x(x2-y2) =x(x-y)(x+y), 当x=9,y=3时，x-y=9-3=6,x十y=9+3=12, .小明的密码是060912 (2),·一个等腰三角形的周长是12，其中腰和底分别为不同 的整数x,y, ∴.2x+y=12 ,x,y都为整数 :z=5或=4 (不合题意，舍去) (y=2 y=4 x3-4xy2 =x(x2-4y2) =x(x+2y)(x-2y). 当x=5,y=2时， x+2y=5+2×2=9,x-2y=5-2×2=1, ∴.多项式x3一4xy2分解因式后得到的密码是010509. (3)x3+(m-2n)x2+5nx =z(z2+mx-2nx+5n) =x[x2+(m-2n)x+5n]. 设x[x2+（m-2n)x+5n]=x(x+a)(x十b)=x[x2+ (a+b)x+ab], :当x=24时，可以得到密码为242932， ∴.x+a=29,x+b=32, .a=5,b=8, '.a十b=13,ab=40, m-2n=13①， ÷.5m=40@: 由②，得n=8, 把n=8代入①，得m=29, .m=29,n=8. 本章综合提升 【本章知识归纳】 因式分解分解因式互逆两个或几个多项式mm 公因式最大相同最低乘积提公因式公因式1 负奇偶公式法a2-b2=(a+b)(a-b)a2±2ab+b2= (a土b)2 【思想方法归纳】 【例1】解：原式=-(x2+y2+2xy)=-(x十y)2. 【变式训练1】解：(1)原式=x2-4x十3+1 =x2-4x十4 =(x-2)2 (2)原式=(m一n)3-4(m一n) =(m-n)[(m-n)2-4] =(m-n)(m-n+2)(m-n-2). 【例2】解：x2一(y十z)2=8, .(x-y-z)(x+y+z)=8. x十y+之=2， .x-y一2=8÷2=4. 【变式训l练2】解：(1)原式=2[(a十b)2-4]=2(a+b+ 2)(a+b-2). (2)原式=[(x2-1)-3]2=(.x2-4)2=(x+2)2(x-2)2 【通模拟】 1.C2.A3.B4.D5.D6.A 7.4a(a-7b)8.a(a+3)(a-3)9.a(b-1)2 10.-m(m-1)2 11.(x-y)(a+2b)(a-2b)12.13013.-6 14.1015.36 16.解：(1)原式=3x(4x2-1) =3x(2x+1)(2x-1). (2)原式=3a(x2-2xy+y2) =3a(x-y)2. (3)原式=[2(a-b)+(a+b)][2(a-b)-(a+b)] =(2a-2b+a+b)(2a-2b-a-b) =(3a-b)(a-3b). 17.解：设x2-4x=y, (x2-4x十1)(x2-4x+7)+9 =(y+1)(y+7)+9 =y2+8y+7+9 =y2+8y+16 =(y+4)2 =(x2-4x十4)2 =[(x-2)2]2 =(x-2)4. 18.解：(1)m2+2mn十n2+ma十na =(m2+2mn+n2)+(ma+na) =(m+n)2+a(m+n) =(m十n+a)(m+n). (2)x3+x2y-xy2-y =(x3-xy2)+(x2y-y3) =x(x2-y2)+y(x2-y2) =(x十y)(x十y)(x-y) =(x十y)2(x-y). :x+y=4,且x3+x2y-xy2-y3=-32, .(x+y)2(x-y)=-32, .x-y=-2. (3)(x-2y)(x+y) 【通中考】 19.B 20.xy(x+2)21.(x+3)(x-3)22.(x+1)2 23.(y-1)(x-4)24.2a(a+2)(a-2) 25.x(x十5)(x-5) 26.2(x-1)227.3m(a-b)2 28.(x+3)2 b 29.解：3m十n=。,mn=a' C ∴.b=a(3m十n),c=amn, 则b2-12ac=[a(3m+n)]2-12a2mn =a2(9m2+6mn+n2)-12a2mn =a2(9m2-6mn+n2) =a2(3m-n)2. a,m,n是实数， ∴.a2(3m-n)2≥0， .b2-12ac为非负数. 5