17.2第2课时用完全平方公式分解因式 课时作业 2025-2026学年人教版数学八年级上册

§17.2第2课时用完全平方公式分解因式 课时作业答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A B B A D A A 1．C 【分析】本题考查了完全平方式，解题关键是掌握完全平方式并能运用求解． 根据完全平方式，对5个式子逐一分析，再作判断． 【详解】解：，是完全平方式，故①符合； ，因为首项，末项，而中间项应为，不等于题目中的，不是完全平方式，故②不符合； ，是完全平方式，故③符合； 不是完全平方式，故④不符合； ，是完全平方式，故⑤符合， 其中①、③、⑤是完全平方式的共有3个， 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了判断能否用公式法分解因式，完全平方公式分解因式，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据完全平方公式分解因式，对所给的式子逐一分析，再作出判断． 【详解】解：A．，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； B．，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； C．，平方和在实数范围内无法用公式法分解，故该选项符合题意； D．，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．D 【分析】此题考查了运用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值． 【详解】解：∵可以用完全平方公式来分解因式， ∴， 解得： 或． 故选：D． 4．A 【分析】本题主要考查了分解因式，通过将替换为，简化表达式为，然后利用完全平方公式进行因式分解，掌握完全平方公式分解因式是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 5．B 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，三角形的三边关系；将给定方程整理成完全平方形式，求出和的值，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系讨论可能的边长组合，排除无效情况后计算周长． 【详解】解： ， ， 即 ， ，， 解得 ，． 是等腰三角形，分两种情况讨论： ①若腰长为，底边为，则三边为、、， ，不满足三角形三边关系； ②若腰长为，底边为，则三边为、、， ，，，均成立． ∴周长为 ． 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了用完全平方公式，分解因式，把项看作是平方项或乘积二倍项两种情况讨论． 多项式需加上一个单项式后成为完全平方式，完全平方公式为 ，这里，（因为 )，中间项应为 ，选项B符合此要求． 【详解】解：∵ 完全平方公式要求 ， 设，（）， ∴ 中间项为 ， 选项中，B为，加上后得， ∴ 可以直接用完全平方公式因式分解， 其他选项均不满足中间项要求． 故选：B． 7．A 【分析】本题考查绝对值、完全平方公式、算术平方根的非负性以及算术平方根的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用完全平方公式对进行变形，再根据绝对值、完全平方公式、算术平方根的非负性求出、、的值，代入求值，进而求出其算术平方根． 【详解】， ， ，，， ，，， ， ， 的算术平方根为， 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了配方法，代数式求值，由，，，可得，则，，，然后代入求值即可，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴， 故选：D． 9．A 【分析】本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长． 【详解】解：由题意得：大正方形的面积为：， 则大正方形的边长为． 故选：A． 10．A 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式将式子进行变形，得到，再代入数据计算即可得出答案． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，，， ∴原式． 故选：A． 11． 【分析】本题考查了分解因式．熟练掌握完全平方公式分解因式，是解题的关键．先将表达式展开，得到二次三项式，然后利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 12． 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行计算即可． 本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 【详解】解： ． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14．/ 【分析】本题主要考查了因式分解的作用，根据正方形的面积公式，面积等于边长的平方，因此需要将给定的面积表达式因式分解为完全平方形式，从而求出边长，再计算周长． 【详解】解：正方形的面积为，因式分解得， 所以边长为， 周长为边长的4倍，即， 故答案为：. 15．C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，灵活运用完全平方公式进行因式分解是解题的关键． 先计算4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型地砖的总面积，再结合完全平方公式和正方形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵， ∴4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型地砖，要拼成一个大正方形，还缺1块C型地砖． 故答案为：C． 16． 小 5 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式可把所求式子变形为，再仿照题意求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，取得最小值0，当时，取得最小值0， ∴当时，和能同时取值最小值0， ∴的最小值为5， 故答案为：小；5． 17．(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）直接利用完全平方公式分解因式即可； （2）直接利用完全平方公式分解因式即可； （3）直接利用完全平方公式分解因式即可； （4）直接利用完全平方公式分解因式即可； （5）直接利用完全平方公式分解因式即可； （6）直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 18．(1) (2)4 （3）1 （4）200 【分析】本题考查的是因式分解在有理数简便运算中的应用，涉及完全平方公式因式分解，利用完全平方公式分解后直接计算即可． 【详解】(1)解：原式 ． （2）解： ． （3）解： ． （4） ． 19．(1) (2)等腰三角形，见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，平方式的非负性等知识点． （1）先利用完全平方公式将其配方成非负数和的模型，再求出，即可根据三角形的三边关系求解； （2）先将其因式分解得到，则或，再根据等腰三角形的定义以及三角形的三边关系求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 则， 解得， ∴，； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ， ∴或（不符合三角形三边关系，舍） ∴是等腰三角形． 20． (1) (2) 等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分组分解因式的方法是解题的关键． (1) 对多项式进行分组，提取公因式后因式分解； (2) 将等式变形为因式乘积形式，利用三角形三边关系判断其形状. 【详解】（1）解： 原式 （2）∵ ∴ ∵三角形的三边长分别是，， ∴ ∴即 ∴这个三角形是等腰三角形. 21．(1)C (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据完全平方公式即可解答； （2）设，则，原式，即可得到答案； （3）①令，则由得，得出，根据，即可求解． ②先将原式变形为，设，则原式，进而得到原式． 【详解】（1）解：运用了完全平方公式法， 故选：C； （2）设．                      ． （3）①令，则由得，， 解得，                       因为， 所以， 则．                  ② ，                设 原式 22．(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键正确理解题意，注意换元法和分组分解法的正确运用． （1）解法一：，原式化为，因式分解即可；解法二：设，原式化为，因式分解即可； （2）设，原式化为，因式分解即可，注意的分组分解应用． 【详解】（1）解：解法一：， 则原式， ； 解法二：设， 则原式， ； （2）设， 原式 ． 23．(1) (2) (3)2 (4) 【分析】本题考查了因式分解及完全平方式的性质，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式，灵活运用配方法进行变形． （1）根据完全平方式的结构特征，确定中间项与首尾两项的关系，从而求出a的值． （2）通过配方法将式子凑成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解． （3）用配方法将二次函数式转化为完全平方式加常数的形式，根据完全平方式的非负性求出最小值． （4）通过配凑完全平方式，再结合平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）因为是完全平方式， 所以，即， 解得． 故答案为：； （2）原式 （3）原式 ， 的最小值是2； （4） ； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ §17.2第2课时用完全平方公式分解因式 课时作业 一、单选题 1．下列多项式是完全平方式的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列多项式不能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 3．若可以用完全平方公式来分解因式，则常数的值为（   ） A．5 B．1或5 C．1 D．7或 4．因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 5．若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是(    ) A．5 B．7 C．5或7 D．无法确定 6．如果多项式加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，那么在下列单项式中，可以加上的是（   ） A． B． C． D． 7．若，则的算术平方根（    ） A．4 B． C． D． 8．已知、、满足，，，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 9．有三种卡片，其中边长为的正方形卡片有1张，长、宽分别为，的长方形有6张，边长为的正方形卡片有9张．用这16张卡片拼成一个大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 10．已知，，，则的值是（   ） A．3 B． C．2025 D． 二、填空题 11．分解因式： ． 12．因式分解 ． 13．因式分解： ． 14．若一个正方形的面积为，则此正方形的周长为 ． 15．如图，A，B分别是边长为a，b的正方形地砖，C是边长为a，b的长方形地砖．现有4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型地砖，要拼成一个大正方形，则还缺1块 型地砖． 16．在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解：当时，的值最小，最小值是当时，的值最小，最小值是的最小值是1．问：的最 值是 ． 三、解答题 17．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 18．利用分解因式简便运算：． (1) (2)． (3)． (4)． 19．已知a,b,c是的三边长. (1)若，求c的取值范围； (2)若，试判断的形状并说明理由. 20．综合与实践 【阅读材料，掌握知识】 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式不能直接用上述两种方法进行分解.某数学学习小组对分解因式题目进行了如下探究： 分解因式： 解法一： 解法二： 小结：对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 【理解知识，尝试应用】 （1）因式分解：； 【提炼思想，拓展应用】 （2） 已知三角形的三边长分别是，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 21．在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”． 下面是小丹同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） 故原式（第四步） （第五步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)初步理解：小丹同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（   ） A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)尝试应用： 按照“因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，请你用换元法对多项式进行因式分解． (3)灵活运用： ①若，求的值． ②请你将多项式进行因式分解． 22．阅读下列材料： 【材料一】在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法． 对于． 解法一：设，则原式 ； 解法二：设，，则原式 ． 【材料二】将因式分解． 解法一：原式； 解法二：原式 对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 请按照上面介绍的方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 23．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：（1）用配方法因式分解：． 解：原式 （2）求的最小值． 解：原式 ． ， ， 即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)若是一个完全平方式，则值为_____． (2)因式分解：． (3)求的最小值． (4)用配方法因式分解： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $