1.2.1 第1课时 平行四边形的边、角的性质（课件）2025-2026学年湘教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦平行四边形的定义及对边相等、对角相等的性质。通过视频播放和照片抽象引导学生观察现实世界中的平行四边形，从直观感知到定义辨析，再经度量实验猜想性质并严谨证明，构建“观察—抽象—探究—验证”的学习支架。 其亮点在于以“实验—猜想—验证—证明”为主线，发展学生推理意识。结合动手度量、交叉纸条实验等活动，通过例2角度计算、周长求解等实例，培养几何直观与应用意识。课堂小结系统梳理知识，助力学生构建逻辑体系，也为教师提供清晰教学流程与丰富教学资源。

1.2.1 平行四边形的性质 第1章 四边形 第1课时 平行四边形的边、角性质 ÷ 八年级下册数学（湘教版） 学习目标 1.理解并掌握平行四边形的概念及掌握平行四边形的定 义和对边相等、对角相等的两条性质.（重点） 2.根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明.（难点） 3.经历“实验—猜想—验证—证明”的过程，发展思维水平. 点击视频 开始播放 → 平行四边形是常见的几何图形，通过下面的视频，你还能找到类似的例子吗？ 情境导入 从下列照片中分别抽象出一个平行四边形.这些平行四边形的对边分别平行吗? 平行四边形的定义 1 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 定义: A B D C 语言表述： ∵AD∥BC，AB∥DC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∠A与∠C，∠B 与∠D 分别是两组对角 AD 与 BC，AB 与DC 分别是两组对边 探究新知 说一说 若一个四边形只有一组对边平行而另一组对边不平行，则它是平行四边形吗? 表示： 如图，平行四边形 ABCD 简记作□ABCD ( 要注意字母顺序). A B D C 它不是平行四边形，而是我们小学认识的梯形. 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫作梯形. 相关概念: 互相平行的两边叫作梯形的底 (通常把较短的底叫作上底， 较长的底叫作下底)， A B C D 上底 下底 腰 腰 高 知识要点 定义: 如图，四边形 ABCD 是梯形. 不平行的两边叫作梯形的腰. 两底的公垂线段叫作梯形的高. A B C D 两腰相等的梯形叫作等腰梯形. 有一个角是直角的梯形叫作直角梯形. 想一想：将左边两图中线段 DA 沿 DC 方向平移，使其过点 C，则原梯形可分割成两个什么图形？ A B C D 平行四边形和三角形 BEKH， CHKF， BEFC， CDGH， ABCD. 例1 如图，DC∥GH∥AB，DA∥FE∥CB，图中的平行四边形有多少个？将它们表示出来. D A B C H G F E 解：∵DC∥GH ∥AB，DA∥FE∥CB， ∴根据平行四边形的定义可以判定 图中共有 9 个平行四边形，即 AEKG， ABHG， AEFD， GKFD， K 归纳：用定义判定平行四边形，即看四边形两组对边是否分别平行. 典例精析 根据平行四边形的定义，请画一个平行四边形 ABCD. D A B C 平行四边形的边、角特征 2 A B C D 活动1 请用尺子等工具度量你手中平行四边形的四条边，并记录下数据，你能发现 AB 与 DC，AD 与 BC 之间的数量关系吗? 测得 AB = DC，AD = BC. A B C D 测得∠A =∠C，∠B =∠D. 活动2 请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记录下数据，你能发现 ∠A 与∠C，∠B 与 ∠D 之间的数量关系吗? 猜想 平行四边形的两组对边，两组对角有什么数量关系？ 两组对边及两组对角分别相等. 怎样证明这个猜想呢？ 证明：如图，连接 AC. 因为 四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 AD∥BC，AB∥CD. 从而 ∠1 =∠2，∠3 =∠4. 又 AC = CA 因此 △ABC≌△CDA (角边角). 从而 AB = CD，BC = DA，∠B =∠D. 又∠1 +∠4 =∠2+∠3，因此∠BAD =∠DCB. A B C D 1 4 3 2 【证一证】已知：四边形 ABCD 是平行四边形. 求证：AD = BC，AB = CD，∠BAD = ∠BCD， ∠ABC = ∠ADC. 思考：不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的 定义，证明其对角相等？ A B C D 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC，AB∥CD. ∴∠A +∠B = 180°， ∠A +∠D = 180°. ∴ ∠B =∠D. 同理可得∠A =∠C. 平行四边形的对边相等． 平行四边形的对角相等． 平行四边形的性质除了对边互相平行以外，还有: A B C D 知识要点 动手做一做:如图，剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，线段 AD 和 BC 的长度有什么关系？为什么？ A B C D 解：AD 和 BC 的长度相等. 理由如下：由题意知 AB//CD，AD//BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∴AD = BC. 例2 如图，在 ABCD中. (1) 若∠A = 32°，求其余三个角的度数. A B C D ∵四边形 ABCD 是平行四边形， 解： 且 ∠A = 32°(已知)， ∴∠A =∠C = 32°，∠B =∠D (平行四边形的对角相等). 又∵AD∥BC (平行四边形的对边平行)， ∴ ∠A +∠B = 180° (两直线平行，同旁内角互补). ∴ ∠B = ∠D = 180°- ∠A = 180°- 32°=148°. 典例精析 (2) 连接 AC，已知 ABCD的周长等于 20 cm， AC = 7 cm，求△ABC 的周长. 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形(已知)， ∴AB = CD，BC = AD (平行四边形的对边相等). 又∵AB + BC + CD + AD = 20 cm (已知)， ∴AB + BC = 10 (cm). ∵AC = 7 (cm)， ∴ △ABC的周长为 AB + BC + AC = 17 (cm). A B C D 【变式题】 (1) 在□ABCD中，∠A :∠B = 2 : 3，求各角的度数. 解：∵∠A，∠B 是平行四边形的两个邻角， ∴∠A+∠B = 180°. 又∵∠A:∠B = 2:3， 设∠A = 2x，∠B = 3x， ∴2x + 3x = 180°， 解得 x = 36°. ∴ ∠A = ∠C = 72°， ∠B = ∠D = 108°. 平行四边形的邻角互补 (2)若□ABCD的周长为 28 cm，AB:BC=3:4，求各边的长度. 解：在平行四边形 ABCD 中， ∵AB = CD，BC = AD， 又∵ AB + BC + CD + AD = 28 cm， ∴ AB + BC = 14 cm. ∵ AB : BC = 3 : 4，设 AB = 3y cm，BC = 4y cm， ∴ 3y + 4y = 14，解得 y = 2. ∴ AB = CD = 6 cm，BC = AD = 8 cm. 归纳:已知平行四边形的边角的比例关系求其他边角时，常会用到方程思想，结合平行四边形的性质列方程. 例3 如图，四边形 ABCD 和 BCEF 均为平行四边形， BF 与 CD 相较于点 G，AD = 2 cm，∠A = 65°， ∠E = 33°，求 EF 和∠BGC. 解：因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 AD = BC = 2，∠1 =∠A = 65°. 因为 四边形 BCEF 是平行四边形， 所以 EF = BC = 2，∠2 =∠E = 33°. 于是在△BGC 中， ∠BGC = 180°－∠1－∠2 = 82°. 2 1 1. 如图，在平行四边形 ABCD 中，若 AE 平分∠DAB，AB ＝ 5 cm，AD ＝ 9 cm，则 EC ＝ cm. C 4 A B D E 练一练 平行线间的距离 3 例4 如图，直线 l1 与 l2 平行，AB，CD 是 l1 与 l2 之间的任意两条平行线段. 试问：AB 与 CD 是否相等？为什么？ 因此 AB = CD. 解 因为 l1∥l2，AB∥CD， 所以四边形 ABDC 是平行四边形. l1 l2 D A B C a b c d D A B C 问题2：如图，直线 a∥b，D，C 为直线 a 上任意两点，点 D 到直线 b 的距离和点 C 到直线 b 的距离相等吗？ F E 两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离. 从上结论可知，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等. 2. 如图，AB∥CD，BC⊥AB，若 AB = 4 cm，S△ABC = 12 cm2，求 △ABD 中 AB 边上的高． 解：S△ABC = AB•BC， = ×4 ×BC = 12 cm2， ∴ BC = 6 cm. ∵AB∥CD， ∴点 D 到 AB 边的距离等于 BC 的长度. ∴△ABD 中 AB 边上的高为 6 cm． 练一练 平行 四边形 定义 两组对边分别平行的四边形 性质 两组对边分别平行，相等 两条平行线间的平行线段相等 两条平行线间的距离 两组对角分别相等，邻角互补 课堂小结 1. 如图，在 □ABCD 中，M 是 BC 延长线上的一点， 若∠A = 135°，则∠MCD 的度数是（ ） A. 45° B. 55° C. 65° D. 75° A A B C M D 课堂练习 2. 判断题(对的在括号内填“√”，错的填“×”)： (1) 平行四边形两组对边分别平行且相等. ( ) (2) 平行四边形的四个内角都相等. ( ) (3) 平行四边形的相邻两个内角的和等于180°. ( ) (4) 如果平行四边形相邻两边长分别是 2 cm和 3 cm，那么周长是10 cm. ( ) (5) 在平行四边形 ABCD 中，如果∠A = 42°， 那么 ∠B = 48°. ( ) (6) 在平行四边形 ABCD 中，如果∠A = 35°， 那么 ∠C = 145°. ( ) √ √ √ × × × 4. 如图，直线AE∥BD，点C 在BD上，若 AE = 5， BD = 8，△ABD 的面积为 16，则△ACE 的面积为 . A B C D E 10 3. 如图，D， E，F 分别在 △ABC 的边 AB，BC，AC上，且 DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，则图中有___个平行 四边形. 第3题图 第4题图 3 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥CD，AD = BC. ∴ ∠CDE = ∠DEA，∠CFB = ∠FBA. 又∵DE，BF 分别平分 ∠ADC，∠ABC， ∴∠CDE = ∠ADE，∠CBF = ∠FBA. ∴ ∠DEA = ∠ADE，∠CFB =∠CBF. ∴AE = AD， CF = BC. ∴AE = CF. 5. 已知在平行四边形 ABCD 中，DE 平分∠ADC，BF 平分∠ABC. 求证：AE = CF. A B D C E F 6. 有一块形状如图所示的玻璃，不小心把 EDF 部分打碎了，现在只测得 AE = 60 cm，BC = 80 cm，∠B = 60°，且 AE∥BC，AB∥CF，你能根据测得的数据计算出 DE 的长度和∠D 的度数吗？ 解：∵AE∥BC，AB∥CF， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∴∠D = ∠B = 60°， AD = BC = 80 cm. ∴ ED = AD - AE = 20 cm. 答：DE 的长度是 20 cm，∠D 的度数是 60°. B D C E F A M 证明： ∵ 四边形 BEFM 是平行四边形， 　 ∴BM = EF，AB//EF. ∵ AD 平分∠BAC， ∴∠BAD = ∠CAD. ∵AB//EF， ∴ ∠BAD = ∠AEF. ∴∠CAD = ∠AEF. ∴ AF = EF. ∴ AF = BM. 7. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，点 M，E，F分别是 AB，AD，AC 上的点，四边形 BEFM 是平行四边形.求证：AF = BM. $总感觉这门里隐藏了许多数学奥秘，类似的还有我们的竹篱笆，和拉闸门一样，是由许多四边形组成。我们知道这是运用了四边形的不稳定性，可是这个四边形有点特殊，好像在哪见过？让我来翻翻以前的笔记。哇哦平行四边形没错，两组对边分别平行四边形就叫平行四边形。图形上要按顺序标记，记作平行四边形ABCD。那这些是平行四边形吗？哪些是哪些不是呢？