专题01几何法与向量法求空间角6大核心考点精讲（寒假复习讲义）高二数学沪教版

专题01几何法与向量法求空间角 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：求异面直线所成角 1.几何法求异面直线所成角 求两条异面直线所成的角的大小,一般方法是通过平行移动直线,将异面直线所成的角的问题转化为平面中角的问题,通过解三角形,计算得到所求的角.根据空间等角定理及推论,异面直线所成角的大小与顶点位置无关,所以顶点的选择要与已知量有关,以便于计算.若在几何体内作平行线比较苦难,可以补形后,再作平行线,加以解决. 求角的步骤是:一作、二证、三求. 作:通过作平行线,得到相交直线. 证:证明相交直线夹角为异面直线所成的角(或其补角). 求:解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐角或是直角,则它就是要求的角,如果求出的角是钝角,则它的补角才是所求的角. 2.向量法求异面直线所成角 设空间直线的方向向量分别为夹角为所成角的大小为,则或,所以. 利用向量法求异面直线所成角的一般步骤: (1)选好基底或建立空间直角坐标系; (2)求出两直线的方向向量； (3)代入公式 求解. (4)两异面直线所成角的范围是,两向量的夹角的范围是, 当异面直线方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线所成角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线所成角. 知识点2：求线面角 1.几何法求线面角 求线面角的步骤： （1）根据直线与平面所成角的定义找直线与平面所成角,即在直线上一点作或找平面的垂线、找射影. （2）计算:得所求角，然后将所求角置于直角三角形中，通过解直角三角形加以解决。 注意：若求垂线有困难，可以通过求几何体的高，利用体积法加以解决。 若求作线面角有困难，可以通过平移斜线至合适位置，作出线面角，再在直角三角形中求解。 2.向量法求线面角 如图所示,设直线的方向向量为,平面的法向量为,直线与平面所成的角为,两向量与的夹角为,则有或,所以 知识点3：求面面角 1.几何法求面面角 二面角的大小计算主要是转化为平面角来实现的，求作二面角的平面角的方法主要有以下三种： 一是利用定义，即在二面角的两个半平面内作棱的垂线，得到二面角的平面角； 二是作二面角的棱的垂面，垂面与两个半平面的交线所成的角，即为所求； 三是利用三垂线定理或逆定理,在利用三垂线定理或逆定理作二面角的平面角时，关键是观察是否有直线与二面角的一个半平面垂直. 若在解题时遇到无棱问题，一般可以作两半平面的交线，再予以解决。 在作二面角的平面角有困难时，可以通过平移平面加以解决。 在解决客观题时，也可以通过一个半平面内几何图形的面积与该图像在另一个半平面内射影的面积比求出二面角的平面角的余弦值，或通过异面直线上两点间的距离公式求解。 2.向量法求面面角 (1)在两个半平面内找与棱垂直的直线的方向向量, 求出其夹角. 如图所示,即为所求二面角的平面角. (2)对于易于建立空间直角坐标系的几何体,求二面角的大小时,可以利用这两个平面的法向量的夹角来求. 如图所示,二面角,平面的法向量为, 平面的法向量为,, 则二面角的大小为或. 3.面面角与二面角的区别： 二面角: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 平面与平面的夹角:平面与平面相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于 的二面角称为平面与平面的夹角. 两者的区别主要是取值范围的不同,平面与平面的夹角的取值范围为, 二面角的取值范围为.若求得的二面角为锐角, 则面面角即为二面角; 若二面角为钝角,则面面角为其补角. 【考点1 几何法求异面直线所成角】 例1（25-26高二上·上海·期中）如图，正三棱柱的各棱长均为2，为棱的中点． (1)求该三棱柱的侧面积； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)12； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用三棱柱的侧面积公式求解. （2）取AC中点E，连结DE，，利用几何法求出异面直线夹角. 【详解】（1）由正三棱柱的各棱长均为2， 得该三棱柱的侧面积. （2）取AC中点E，连结DE，， 由D为棱BC的中点，得，， 则是异面直线AB与所成角(或其补角)，， ， 所以异面直线AB与所成角的大小为. 变式1（25-26高二上·上海·期中）如图，分别是空间四边形中的中点，，求异面直线与所成角的大小.    【答案】 【分析】取中点，连接，根据已知及异面直线所成角的定义，应用余弦定理求角的大小. 【详解】如图，取中点，连接，又分别是的中点， 所以，则异面直线与所成角为或其补角，    由，则， 又异面直线所成角范围为，则异面直线与所成角为. 变式2（24-25高二上·上海浦东新·期末）如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段的中点. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线和直线平行，得异面直线与所成的角，进而在中求解即可； （2）利用棱锥的体积公式，结合等体积法列方程求解即可. 【详解】（1）连接，，因为分别为线段的中点， 所以，故异面直线与所成角为； 又平面，平面， 所以， 所以， 故异面直线与所成的角为. （2）在正方体中，分别为线段的中点， 所以平面，且 因为F是线段的中点， 所以， 故三棱锥的体积； 因为分别为线段的中点， 所以， 又因为， 所以在中满足，故为直角三角形， 则， 设点D到平面的距离为d， 则三棱锥的体积，解得， 因此点D到平面的距离为. 变式3（23-24高二上·上海普陀·期中）如图，长方体中，，，点是棱的中点.    (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)是否存在实数，使得直线与平面垂直？并说明理由； (3)若.设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等. 【答案】(1)； (2)存在，，理由见解析； (3) 【分析】（1）根据题意只需证明平面，即可得到，从而可得答案； （2）存在实数m，使得直线与平面垂直．只需证明，，即可得到直线平面； （3）计算，，设与平面的斜足为O，则，则P为AO的中点，从而可得答案. 【详解】（1）连接，由四边形为正方形，可得， 在长方体中，平面， 又平面，所以. 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 即异面直线与所成的角的大小为； （2）存在实数，使得直线直线与平面垂直．理由如下： 当时，， 因为BC＝1，所以，所以，则， 所以，即， 在长方体中，平面， 又平面，所以. 因为，所以平面， 又平面，所以. 同理可证，又， 所以直线平面； （3）设与平面的斜足为O， 因为， ， 所以,则. 若，则，故. 所以在线段上取一点P，要使三棱锥与三棱锥的体积相等，则P为AO的中点，即． 【考点2 向量法求异面直线所成角】 例2（25-26高二上·上海·期中）如图，已知正方体的棱长为4，、分别是棱、的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)详见解析； (2) 【分析】（1）由平面得到，再由，利用线面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，得到 ，设异面直线与所成的角为，由求解. 【详解】（1）在正方体中， 因为平面，平面， 所以，又，且， 平面， 平面， 所以平面； （2）建立如图所示空间直角坐标系： ， 则， 所以 ， 设异面直线与所成的角为， 则 . 变式1（24-25高二上·上海杨浦·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点，G在棱上，且， 是的中点. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）在正方体中建立空间直角坐标系，得到点坐标和线的方向向量坐标，由空间向量数量积为0证明线线垂直； （2）由（1）知道两直线方向向量的坐标，由向量夹角的余弦值的绝对值求得线线角的余弦值. 【详解】（1）在正方体中， ∴以为坐标原点，为坐标轴如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ （2）由（1）知，， 设异面直线与所成角为， 则 变式2（23-24高二上·上海·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，为中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量证明即可. （2）用线线角的向量求解公式处理即可. 【详解】（1）如图以为原点，建立空间直角坐标系， 易得，,,,,,,，设面的法向量，连接，则，，令，解得，，故，，则与平行，可得平面. （2）易知，，，，故，，设异面直线与所成角为，故 变式3（24-25高三上·上海·期中）如图所示，已知圆锥体积为，轴截面的面积为6，、为底面圆周上两点，且，点是底面半径的中点，点是底面圆的弦的上的点. (1)求圆锥的底面半径和高； (2)若点是弦的中点，求直线与直线所成角的大小（用反三角函数值表示）； (3)是否存在这样的点，使得平面与平面垂直，若存在，求的长，若不存在，说明理由. 【答案】(1)，； (2) (3)存在点，使得平面与平面垂直，的长为. 【分析】（1）根据圆锥的体积公式，轴截面的面积公式，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，即可求解； （3）由共线关系设，表示出平面和平面的法向量，由平面垂直得法向量垂直，即数量积等于零，求解的值即可. 【详解】（1）由轴截面的面积为6得，即， 由圆锥体积为得，即， 联立，解得，， 所以圆锥的底面半径和高. （2）由题意知平面，平面，平面， 所以，，又， 所以以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如下图所示的空间直角坐标系； 所以，，，， 因为点是的中点，点是的中点，所以，； 所以，， 设直线与直线所成角为， 所以， 所以直线与直线所成角为. （3）存在点，使得平面与平面垂直. 由（2）可知，， 设平面的法向量， 所以，即，取，则，，， 因为点是底面圆的弦的上的点，当点与A重合时，平面与平面不垂直，所以设，， 则，所以点， 所以，又， 设平面的法向量， 所以，即，取，则，，， 若平面与平面垂直，则，即，解得； 所以，又， 所以， 故存在点，使得平面与平面垂直，的长为. 【考点3 几何法求线面角】 例3（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理找线线平行，再结合线面平行的判定定理证明即可． （2）先确定线面角的平面角，再通过解直角三角形，利用三角函数定义求解即可． 【详解】（1）如图，连接，交于点，连接． 因为四边形为正方形，则点为的中点， 由已知点为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面． （2）由已知平面，四边形为正方形，且， 又由（1）可知，所以平面，点为垂足， 所以为直角三角形，即为直线与平面所成角的平面角． 因为，，， 所以， 所以，则． 综上，直线与平面所成角的大小为． 变式1（25-26高二上·上海·期中）如图，三棱锥中，底面是正三角形，底面，平面，垂足为．    (1)是否可能是的垂心，请说明理由 (2)若恰是的重心，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) 【分析】（1）先假设是垂心，得出，结合条件推出，这与已知矛盾，从而可得不是的垂心； （2）由平面，可得为所求的与平面所成角大小，利用解三角形知识计算即得答案. 【详解】（1）如图：假设是的垂心，则：， 又因为平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，平面， 所以，又因为底面， 所以，又平面， 所以平面，所以，与底面是正三角形矛盾， 所以不是的垂心. （2）因为平面， 所以为所求的与平面所成角大小， 取中点，连结， 不妨设，则：， 因为平面，所以：， 又因为底面，所以， 所以在三角形中，有， 所以，所以，又， 所以， 所以与平面所成角大小为.    变式2（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图，在四边形中，，，，，，为的中点，点在上，．将四边形沿翻折至四边形，使得二面角的大小为． (1)证明：平面； (2)已知， （ⅰ）求与平面所成角的大小； （ⅱ）求多面体的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）通过证明所以平面平面，即可证得平面； （2）（ⅰ）由题可证平面，则是与平面所成角，然后可求正切值即可得到角； （ⅱ）由即可求多面体体积. 【详解】（1）由题意知，因为，， 所以是平行四边形，所以，故， 又因为平面，平面，所以平面； 同理由，可得平面， 又、是平面内的两条相交直线， 所以平面平面； 又平面，所以平面． （2）（ⅰ）由题意知，平面平面，且交线为， 又平面，所以平面， 所以是与平面所成角． 在中，，，所以， 故与平面所成角的大小为． （ⅱ）． 变式3（25-26高三上·上海·月考）如图，在直三棱柱中，，且D、E分别是AC、的中点.    (1)证明：； (2)求直线BD与平面ABE所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合题意先通过线线垂直得到面,进而得到； （2）利用等体积法，求出点到面的距离为，借助线面角的定义即可求出线面角. 【详解】（1）证明：在直三棱柱中中，因为分别是的中点,所以, 由直三棱柱中面, 所以面，因为在面内，所以, 因为在中，，且是的中点,所以, 因为,且在面内， 所以面,因为在面内,所以. （2）等腰中，，从而， 所以， 由面，且 所以， ， 令点到面的距离为， 则有， 中，，, 从而. 所以， 设直线与平面所成角为，则, 所以直线与平面所成角的大小为. 【考点4 向量法求线面角】 例4（23-24高二下·上海·期中）已知在三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，计算出，即可证明； （2）求出平面的法向量，利用向量法求出线面角的正弦值，即可求出夹角； 【详解】（1）因为平面，， 如图以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因为， 所以. （2）设平面的法向量，， 则，即，取，得， 又， 设直线与平面所成角为， 则，又， 所以，所以直线与平面所成角的大小为. 变式1（25-26高三上·上海嘉定·期中）如图，在正四棱柱中，，. (1)证明：平面平面； (2)求直线和平面所成角大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理完成证明； （2）建立合适空间直角坐标系，利用向量法求解出直线和平面所成角的正弦值，则所成角的大小可求. 【详解】（1）连接，如图所示， 因为几何体为正四棱柱，所以四边形为正方形，所以， 因为几何体为正四棱柱，所以平面，又平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）以为原点，以方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以，取，则，所以， 设直线和平面所成角为， 所以，所以， 所以直线和平面所成角大小为. 变式2（25-26高三上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点． (1)求证：平面PAB； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，通过证明四边形BENM为平行四边形，可得，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量的坐标，再求出这两个向量的夹角的余弦值，进而可得线面所成角的正弦值． 【详解】（1）取的中点，连接，， 因为底面是边长为2的正方形，分别为中点， 可得，且， 而，且， 所以，且， 所以四边形BENM为平行四边形， 所以， 而平面PAB，平面PAB， 所以平面； （2）由题意以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 若，则，，，， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则， 所以， 所以， 设直线与平面所成角为， 则． 变式3（24-25高二上·上海·期中）如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，为与的交点． (1)证明：平面； (2)若点到平面的距离为，求正四棱柱的高； (3)若线段上存在点，使得直线与平面所成角为，求线段的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）连接，可证，根据线面平行的判断定理可得平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，则可用表示平面的法向量，根据距离公式可求. （3）设，则根据夹角公式可得关于的方程，利用换元法可求的取值范围. 【详解】（1）证明：连接， 因为是底面边长为2的正四棱柱， 所以//， 故四边形为平行四边形，则，//， 又为与的交点，为与的交点， 所以，且， 故四边形为平行四边形， 所以，又平面，不在平面内， 所以平面； （2）以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，设，则， 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，则，故， 点到平面的距离为：， 解得， 故正四棱柱的高为； （3） 设，则， 由（2）知平面的一个法向量为， 设，则， 则， 故，设， 则， 故，设， 则在上有解； 因为的对称轴为， 故，故， 故，所以，故， 故线段的取值范围为． 【考点5 几何法求面面角】 例5（24-25高二下·上海·期中）如图，已知圆柱的高为5，直三棱柱的顶点、、在圆柱上底面的圆周上，顶点、、在圆柱下底面的圆周上，已知，，，为的中点． (1)求二面角的正切值； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明平面，得，得到为二面角的平面角，计算边长，解三角形即可求得； （2）利用等体积转化即可求得点面距离. 【详解】（1）如图，连接，，因平面，平面， 则，又，，，平面， 故平面，又平面，故， 则即二面角的平面角． 在中，，，. 所以二面角的正切值为. （2），， 平面，即点到平面的距离为， 又平面，， 设点到平面的距离为， 则由，可得， 又， 所以，解得：， 即到平面的距离为. 变式1（25-26高二上·上海·期中）如图，AC是圆的直径，PA与圆所在的平面垂直，且为圆周上不与点A，C重合的动点，M，N分别为点在线段PC，PB上的投影； (1)证明：直线平面PBC； (2)当的面积最大时，求二面角的平面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明. （2）先确定为二面角的平面角，再研究的面积何时最大，即可求的大小. 【详解】（1）因为点在圆的圆周上，为圆的直径，所以. 又平面，平面，所以. 平面，，所以平面. 因为平面，所以. 又为在上的投影，所以. 平面，，所以平面. （2）因为平面，平面，所以. 又为在上的投影，所以， 平面，，所以平面. 平面，所以. 所以即为二面角的平面角. 又平面，平面，所以，即为直角三角形， 且斜边为定值. 所以，当时取等号. 所以，当时取等号. 此时为等腰直角三角形，所以. 变式2（25-26高二上·上海普陀·期中）如图，是圆柱的一条母线，过底面圆心,是圆上一点.已知，.    (1)求与底面所成角的大小； (2)求二面角的大小； (3)将四面体绕母线所在的直线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由图易得与底面所成角为，解三角形即得答案； （2）先由线线垂直证明平面，推出，即得为二面角的平面角，解三角形即得答案； （3）根据题意，所求几何体是以为底面圆半径，为高的圆锥挖去以为底面圆半径，为高的圆锥所余下的部分，利用圆锥体积公式计算即得答案. 【详解】（1）因是圆柱的一条母线，则平面，则在面的投影为， 故与底面所成角为， 在中，因，则与底面所成角为. （2）因过底面圆心，则，故, 又平面平面，则， 因平面故平面. 又平面，所以，则为二面角的平面角， 在中，，所以， 故二面角的大小为. （3）由线段绕旋转一周所得几何体为以为底面半径，以为高的圆锥， 其体积为， 而线段绕旋转一周所得的几何体以为底面半径，以为高的圆锥， 其体积为， 由图知，以绕旋转一周而成的封闭几何体的体积为. 变式3（24-25高二上·上海·期末）如图，在三棱台中，，，，为的中点. (1)求证：； (2)若平面平面，求直线与直线所成角的余弦值： (3)设二面角的大小为，直线与平面的所成角的大小为，求关于的函数表达式及其定义域，并求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明平面，根据线面垂直即可求解， （2）根据面面垂直的性质，建立空间直角坐标系，根据向量的夹角即可求解， （3）根据棱台的几何特征，可根据线面角以及二面角的几何法，结合三角形的边角关系可得，即可根据圆的性质，结合图形关系和斜率的关系即可求解. 【详解】（1）过作，取中点为，连接, 由于，故四边形为等腰梯形， 故, 由于为等边三角形，故, 平面, 故平面, 平面,故 （2）若平面平面，且两平面的交线为,, 平面， 故平面, 建立如图所示的空间直角坐标系， ,故, , 则， 故, 故 故直线与直线所成角的余弦值为 （3）设到平面的距离为，则，且在底面的投影分别为， 由于,故为， 则为钝角时，此时在三角形的外部， ， ， 故， 当为锐角时，此时在三角形的内部， ， ， 故， 为直角时，也符合， 故， 设是（上半圆，不包括端点）上的任意一点， 则可看作是半圆上一点到的斜率， 根据图可知：当直线与半圆相切时，此时直线的斜率最小为, 因此到的斜率的取值为， 因此 【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 【考点6 向量法求面面角】 例6（25-26高二上·上海浦东新·期中）如图，四边形为正方形，是平面外一点，设平面，且，为中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接AC，交BD于O，连接EO，根据正方形的性质，可得O为AC中点，因为为中点，所以EO为中位线，即，根据线面平行的判定定理，即可得证. （2）如图建系，求得各点坐标，进而可求出平面PDC和平面PBC的法向量，根据二面角的向量求法，代入计算，即可求得答案. 【详解】（1）连接AC，交BD于O，连接EO， 因为为正方形，所以O为AC中点， 因为为中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面， 所以，， 以D为原点，DA，DC，DP为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 设AD=1，则， 所以， 因为,，,平面PDC， 所以平面PDC， 则即为平面PDC的法向量， 设平面PBC的法向量为， 则，即， 令，则，所以， 所以，即， 所以二面角的大小 变式1（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，分别满足、.    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的性质和判断证明结论； （2）在上取，使，根据已知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，应用向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1）由平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，平面，则，又， 由，平面，则平面； （2）在上取，使，则，而，则， 所以为平行四边形，则，又，则， 又平面，则可构建如下图示的空间直角坐标系， 则，又、， 所以，则， 若是平面的一个法向量，则， 取，则， 若是平面的一个法向量，则， 取，则， 由图，锐二面角的余弦值为. 变式2（24-25高二下·上海虹口·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点． (1)求证：平面； (2)若，平面平面，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取中点，连接，，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论； （2）取中点为中点为，连接，，构建合适的空间直角坐标系，标出相关点坐标，并求出相关平面的法向量，再由夹角公式求二面角的余弦值. 【详解】（1）取中点，连接，， 三角形中，分别为中点，则且， 又正方形中，为中点，则， 且，四边形为平行四边形，故， 由平面，平面，则平面； （2）取中点为中点为，连接，， 中，则， ∵平面平面，平面，平面平面， 所以平面，又四边形为正方形，则， 以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，则， ，设平面的法向量为， 由，得，所以， 取，则，可得， 设平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则． 由图，二面角为锐角，所以其余弦为． 变式3（25-26高二上·上海·期中）四棱锥中，平面平面，，，，，是中点． (1)求证：平面； (2)若二面角的平面角的正弦值为，求出的值； (3)在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3). 【分析】（1）由平面平面得到平面从而得到， 在上取点，使得，得到四边形为矩形，求出的长度， 在中，利用勾股定理的逆定理得到，从而得到平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解； （3）假设在侧棱上存在点，使得平面，设，，利用空间向量法求解. 【详解】（1），是中点，， ∵平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，， ，是中点，， ，，， ，， ，， 在上取点，使得，且， 四边形为矩形，，， ，，， 在中，，，， ，， ，，平面，平面， 平面； （2）取中点，连接，则， 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 设，，， 则，，，，，， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，则， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，， ，，，， ，， 设二面角的平面角为，则，， ，，，， （3）假设在侧棱上存在点，使得平面， 设，，， 设，，， ，， ， ，， ∵平面的法向量为， ，，， 存在点，使得平面， . 一、填空题 1．（25-26高二上·上海·期中）正方体中，异面直线与所成角的大小为 . 【答案】 【分析】如图，取中点为F，中点为E，连接，取中点为O， 连接EF，FO，则为异面直线与所成角或所成角的补角，然后由余弦定理可得答案. 【详解】如图，取中点为F，中点为E，连接，取中点为O， 连接EF，FO，设正方体边长为2，则，，， ，取中点为G，连接， 则，，， 从而，即异面直线与所成角的大小为.    2．（25-26高二上·上海·期中）已知平面和平面交于直线l，P是空间一点，，垂足为A，，垂足为B，且，，若，则与所成二面角为 . 【答案】或 【分析】根据给定条件，利用二面角的定义，结合点的位置情况分类求解. 【详解】点与平面和平面所成二面角的位置关系有如下两种情况，如图1和图2：    令平面交直线于点，连接，由，，得，同理， 由平面，得平面，而平面， 因此，就是与所成二面角的平面角， 图1中，由，得；图2中，， 所以与所成二面角为或. 故答案为：或 3．（25-26高二上·上海·期中）在三棱锥中，已知，则和所成角余弦值的取值范围为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，再写出坐标结合异面直线所成角的余弦公式计算求解. 【详解】过作，且， 设， 得， 以为原点，以所在直线分别为轴，过作平面为轴建立空间直角坐标系， 设， 则， 故， 设和所成角为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·上海·期中）已知正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，是SB的中点，则异面直线AE与SD所成角的大小为 . 【答案】 【分析】以两对角线与的交点作为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解两直线所成夹角即可. 【详解】以两对角线与的交点作为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设边长为2，则有， 则， 故直线AE与SD所成角的余弦值为. 直线AE与SD所成角为 故答案为：. 5．（22-23高二下·上海青浦·期末）在长方体中，，点为棱的中点，则二面角的大小为 ．（结果用反三角函数值表示） 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量和平面DEC的一个法向量，由. 【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系：      由，得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得， 易知平面DEC的一个法向量为， 则， 易知二面角为锐角， 所以二面角的大小为， 故答案为： 6．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，正方体的棱长为2，则二面角的大小为 .（结果用反三角函数表示） 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面法向量，利用公式求解即可. 【详解】 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，， ∴. 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 同理可得平面的法向量为， ∴，二面角的大小为. 故答案为：. 7．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，点在底面的投影是与的交点，且是等边三角形，点在线段上，若直线与平面所成角为，则的取值范围为 ．    【答案】 【分析】设，根据条件建系，设，求出相关向量的坐标和平面的法向量坐标，设，利用空间向量夹角的坐标公式求出的表示式，再借助于二次函数的性质即可求得其取值范围. 【详解】    如图，设，因底面为菱形，则，依题意，平面， 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 设，因是等边三角形，且，则， 于是，， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设，则， 且， 依题意，， 因，则，故可得. 故答案为：. 8．（25-26高二上·上海嘉定·期中）如图，正方体中，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且平面，则与平面所成角的余弦值构成的集合是 .    【答案】 【分析】建立适当空间直角坐标系后，利用空间向量计算可得点满足的条件，再利用线面角的向量求法求解即可得. 【详解】在正方体中，建立如图所示空间直角坐标系， 令，则， 设， 则， 设平面的法向量为， 则，令，得， 由平面，得， 即，化简得， 而，平面的法向量为， 设与平面所成角为， ， 由，则，即，又，故， 故，故， 则， 即与平面所成角的余弦值构成的集合是.    故答案为：. 9．（24-25高二上·上海宝山·期末）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，且，则异面直线与的夹角为 ． 【答案】 【分析】将用不共面的向量表示出来，从而得到，然后由公式计算夹角余弦值即可. 【详解】四棱柱的底面为平行四边形， ，， ，而， 则， ，因此， 所以异面直线与的夹角的余弦值为. 故答案为： 10．（25-26高三上·上海·期中）《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖臑．如图所示，若四面体为鳖臑，且平面，，则与平面所成角的正切值为 ． 【答案】 【分析】先由线面垂直判定定理，得到平面，推出为与平面所成角，再由题中数据，即可得出结果. 【详解】因为平面，平面，所以； 又四面体四个面均为直角三角形，， 所以，又，平面，平面； 所以平面，平面，所以， 因此为与平面所成角， 又， 所以， 因此与平面所成角大小为. 故答案为：. 11．（25-26高二上·上海·期中）如图，已知正方体的棱长为2，分别为棱的中点，若点为线段上的动点，不包括端点），设异面直线与所成的角为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】连接，证得，得到异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，设，利用余弦定理求得，结合换元法和二次函数的性质，即可求解. 【详解】如图所示，连接，因为分别为棱的中点，可得 在正方体中，可得，所以， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，即, 设，其中， 在中，由， 由余弦定理得， 设，则，可得， 再令，则，则， 设，可得函数在上为增函数， 又由，所以，所以， 所以异面直线与所成的角余弦值的取值范围为. 故答案为：. 12．（22-23高二上·上海浦东新·月考）一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则的值为 . 【答案】 【分析】根据题意可知，该几何体的侧面是全等的正三角形，只需利用三垂线定理做出二面角的平面角，再结合直角三角形中余弦函数的定义即可得解. 【详解】因为一个“皇冠”状的空间图形由一个正方形和四个正三角形组成， 并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为， 过点作底面的垂线，垂足为分别为上下底面正方形的中心， 连接交于，连接，如图所示， 则，又由题意可得， 所以即为正方形与正三角形所成的二面角的平面角，且为钝角； 所以，则， 由三角形都为正三角形得， 设正方形边长为，则，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，在图形中找到正方形与正三角形所成的二面角的平面角，从而得解. 二、单选题 13．（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知直线、相交，夹角为，交点为.在空间中过点且与直线、成相同夹角的直线只有3条，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间中过交点的直线与已知直线的夹角规律得到答案. 【详解】当时，无满足条件的直线； 当时，有一条直线（为、夹角的角平分线）； 当时，有两条直线； 当时，有三条直线（包含、夹角的补角平分线，及另外两条空间直线）； 当时，有四条直线； 当时，有一条直线（为、的公垂线）； 故选：A 14．（23-24高三上·上海奉贤·期中）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面，，下列说法正确的是（    ）    A．与所成的角是 B．平面与平面所成的锐二面角余弦值是 C．与平面所成的角的正弦值是 D．是线段上动点，为中点，则点到平面距离最大值为 【答案】C 【分析】根据题设建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线线角、线面角、面面角以及点到面的距离问题. 【详解】∵，， ， ∵ 平面， 以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， ，，， 对于A， ， 且， ， 与所成的角是，故A错误； 对于B，设平面的法向量为， 则 令，则，，所以， 显然平面的法向量为， ， 平面与平面所成的锐二面角余弦值是，故B错误. 对于C，，故C正确； 对于D，∵ 是线段上动点， 设， ∵ 为中点， ，， ， 当时，位于点，此时点到平面距离为, 当时，设平面的法向量为， 则 令，则，，所以， 点到平面距离 ， 当，即时，， 此时，∵ ， 点到平面距离的最大值为，故D错误. 故选：C. 15．（24-25高三上·上海·期中）如图，将正方形沿对角线折成直二面角，则对于翻折后的几何图形，下列结论不正确的是（  ） A． B．与平面所成角为60° C．为等边三角形 D．二面角的平面角的正切值是 【答案】B 【分析】连接,交点为,证明平面，由线面垂直的性质即可判断A，证明平面，即得与平面所成角即，即可判断B，通过边长计算可判断C，取的中点，连接，证明为二面角的平面角，计算即可判断D. 【详解】 如图，在左图中，连接,交点为,则易得. 对于A，翻折后图中，, 因平面，故得平面， 又平面,故得，即A正确； 对于B，因二面角是直二面角，平面平面, , 则平面,则与平面所成角即, 因,则，故B错误； 对于C，设正方形的边长为2，则,则, 即为等边三角形，故C正确； 对于D，如图，取的中点，连接，由B项，已得平面， 因平面，则，又，,则， 因平面，故平面, 因平面,则,即为二面角的平面角. 设正方形的边长为2，则, ， 故二面角的平面角的正切值是，即D正确. 故选：B. 16．（23-24高二下·上海·期中）如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面．设与平面所成的角为与所成的角为，那么下列结论正确的是（    ） A．的最小值为的最小值为 B．的最小值为的最大值为 C．的最小值大于的最小值大于 D．的最大值小于的最大值小于 【答案】A 【分析】根据题意作图，首先找到点的轨迹，构造出，再分析极端位置的情况，分别求出后，找到进行比较即可得到结果. 【详解】 如图，取的中点，连接； 设正方体的棱长为， 因为，且平面，平面， 平面； 同理平面，且； ∴平面平面，∴; ∵面，所以与平面所成的角为； 又， 所以与所成的角为（或其补角）； ； 当为中点时，此时最小，则最大，最大值为，此时的最大值为； 当与或重合时，此时最大，则最小，最小值为2，此时的最小值为； ，； 对于，当为中点时，； 当与或重合时，最小，又， ， ， ，，故A正确，BC错误， 又，，所以D选项错误. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键首先分析出点轨迹，再根据线线角和线面角的定义在图中找到该角，分析极端情况即可得到其角度范围. 三、解答题 17．（23-24高二上·上海·期中）在正方体中，求：    (1)二面角的大小 (2)点在棱上，若与平面所成角的正弦值为，判断点位置并说明理由 【答案】(1) (2)点在棱上，且 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出面面角大小即得. （2）由（1）中坐标系，利用线面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）设正方体棱长为1，以分别为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，    则 显然平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为, 由，得，即，令，得， 设的夹角为，，由图知二面角为锐二面角， 所以二面角大小为. （2）设，则，平面的一个法向量为， 设与平面所成角为，，即， 所以当时，与平面所成角的正弦值为. 18．（24-25高二上·上海·期中）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的大小（结果用反三角表示）； (3)若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大. 【答案】(1) (2) (3)当点在线段上靠近点的处时，直线与平面所成的角最大，最大角为 【分析】（1）由等体积法可得，代入计算，即可得到结果； （2）过作于，连接，由题意可得为二面角的平面角，进而求解即可； （3）由题意可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，设直线与平面所成的角为，可得，要使最大，则需使最小，可求解. 【详解】（1）由题意可得都是边长为2的等边三角形， 所以，则， 所以，因为， 所以， 设点到平面的距离为， 则，可得， 即，解得， 则点到平面的距离为. （2） 过作于，连接，因为平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 由题意知，是边长为2的等边三角形， 所以，由， 知， 在中，，即， 所以二面角的大小为． （3）因为，且平面平面，所以平面， 所以到平面的距离即为到平面的距离，因为， 所以，即， 所以， 即到平面的距离为， 设直线与平面所成的角为，则， 要使最大，则需使最小，此时，由对称性知，， 所以， 即， 故当点在线段上靠近点的处时， 直线与平面所成的角最大，最大角为． 19．（25-26高二上·上海嘉定·期中）已知是底面边长为的正四棱柱.    (1)若正四棱柱的高为1，求点到平面的距离； (2)设与底面所成角的大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：. (3)为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，求棱长的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离即可； （2）根据线面角和异面直线所成角的定义，找出和，再结合三角函数的知识，求证即可； （3）由题意知在平面上的投影为，由得出，利用勾股定理和判别式，即可求出棱长的最大值． 【详解】（1）若正四棱柱的高为1，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 则点到平面的距离为， （2）证明：设正四棱柱的高为，连接，    因为平面， 所以是与底面所成角，即， 所以，即， 因为，所以是异面直线与所成角，即， 在中，，， 所以，即， 所以． （3）连接，    由题意知，在正四棱柱中，在平面上的投影为， 因为，所以， 设，则，设棱长，则； 中，，即， 化简得，，因为，解得， 即的最大值为． 20．（25-26高二上·上海·期中）在正棱锥中，为底面正边形的中心，为棱的中点；设正棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为，底面正边形的边长为； (1)当时，若，求正三棱锥的高； (2)当时，若，且，求正四棱锥底面的边长； (3)记，试确定与的大小关系，并证明. 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）当时，，求得，得到几何体为正三棱锥，结合题意，即可求解； （2）当时，得到，由，求得，结合，求得； （3）设正n棱锥的侧棱长为l，得到，得到，求得，再由是侧面与底面所成的角，进而得到与相等，即可得证. 【详解】（1）当时，几何体为正三棱锥，为底面正边形的中心， 所以平面，取的中点，连接，可得， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以，所以为侧面与底面所成的角， 依题意得，， 由，可得，所以， 所以，侧面为正三角形，可得几何体为正四面体， 由，可得，所以； （2）当时，几何体为正四棱锥，同理可得. 由，可得，所以，可得， 又由，可得，解得， （3）由条件知，， 设正n棱锥的侧棱长为l， 则 ， 则（其中O为正n边形的中心， 各在逆时针旋转后仍为这些向量的排列，故它们的和向量逆时针旋转后仍为， 所以只能为零向量）. 于是，① 又由是侧棱与底面所成的角，且， 可得是侧面与底面所成的角，所以， 从而由①，可得与相等，所以. 21．（24-25高三上·上海奉贤·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)求证：直线平面； (2)若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直可证线面垂直，再结合中位线可得证； （2）根据线线平行可证线面平行，进而可证直线，建立空间直角坐标系，可设，结合异面直线夹角可解得点，再根据向量法可得平面的法向量，进而可得二面角余弦值. 【详解】（1），平面平面，平面平面，平面， 又，分别是，的中点， ， 平面； （2） ，平面平面 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则点在平面内， 即，，，，， 则，，， 而，平面，平面， 平面， 又平面与平面的交线为直线， ， 设, 则点坐标为，，，，解得， 则点坐标为，， 设平面的法向量， 即，即，取，可得； 设平面法向量为， 则，即，取，可得； ， 即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01几何法与向量法求空间角 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：求异面直线所成角 1.几何法求异面直线所成角 求两条异面直线所成的角的大小,一般方法是通过平行移动直线,将异面直线所成的角的问题转化为平面中角的问题,通过解三角形,计算得到所求的角.根据空间等角定理及推论,异面直线所成角的大小与顶点位置无关,所以顶点的选择要与已知量有关,以便于计算.若在几何体内作平行线比较苦难,可以补形后,再作平行线,加以解决. 求角的步骤是:一作、二证、三求. 作:通过作平行线,得到相交直线. 证:证明相交直线夹角为异面直线所成的角(或其补角). 求:解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐角或是直角,则它就是要求的角,如果求出的角是钝角,则它的补角才是所求的角. 2.向量法求异面直线所成角 设空间直线的方向向量分别为夹角为所成角的大小为,则或,所以. 利用向量法求异面直线所成角的一般步骤: (1)选好基底或建立空间直角坐标系; (2)求出两直线的方向向量； (3)代入公式 求解. (4)两异面直线所成角的范围是,两向量的夹角的范围是, 当异面直线方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线所成角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线所成角. 知识点2：求线面角 1.几何法求线面角 求线面角的步骤： （1）根据直线与平面所成角的定义找直线与平面所成角,即在直线上一点作或找平面的垂线、找射影. （2）计算:得所求角，然后将所求角置于直角三角形中，通过解直角三角形加以解决。 注意：若求垂线有困难，可以通过求几何体的高，利用体积法加以解决。 若求作线面角有困难，可以通过平移斜线至合适位置，作出线面角，再在直角三角形中求解。 2.向量法求线面角 如图所示,设直线的方向向量为,平面的法向量为,直线与平面所成的角为,两向量与的夹角为,则有或,所以 知识点3：求面面角 1.几何法求面面角 二面角的大小计算主要是转化为平面角来实现的，求作二面角的平面角的方法主要有以下三种： 一是利用定义，即在二面角的两个半平面内作棱的垂线，得到二面角的平面角； 二是作二面角的棱的垂面，垂面与两个半平面的交线所成的角，即为所求； 三是利用三垂线定理或逆定理,在利用三垂线定理或逆定理作二面角的平面角时，关键是观察是否有直线与二面角的一个半平面垂直. 若在解题时遇到无棱问题，一般可以作两半平面的交线，再予以解决。 在作二面角的平面角有困难时，可以通过平移平面加以解决。 在解决客观题时，也可以通过一个半平面内几何图形的面积与该图像在另一个半平面内射影的面积比求出二面角的平面角的余弦值，或通过异面直线上两点间的距离公式求解。 2.向量法求面面角 (1)在两个半平面内找与棱垂直的直线的方向向量, 求出其夹角. 如图所示,即为所求二面角的平面角. (2)对于易于建立空间直角坐标系的几何体,求二面角的大小时,可以利用这两个平面的法向量的夹角来求. 如图所示,二面角,平面的法向量为, 平面的法向量为,, 则二面角的大小为或. 3.面面角与二面角的区别： 二面角: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 平面与平面的夹角:平面与平面相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于 的二面角称为平面与平面的夹角. 两者的区别主要是取值范围的不同,平面与平面的夹角的取值范围为, 二面角的取值范围为.若求得的二面角为锐角, 则面面角即为二面角; 若二面角为钝角,则面面角为其补角. 【考点1 几何法求异面直线所成角】 例1（25-26高二上·上海·期中）如图，正三棱柱的各棱长均为2，为棱的中点． (1)求该三棱柱的侧面积； (2)求异面直线与所成角的大小． 变式1（25-26高二上·上海·期中）如图，分别是空间四边形中的中点，，求异面直线与所成角的大小.    变式2（24-25高二上·上海浦东新·期末）如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段的中点. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求点到平面的距离. 变式3（23-24高二上·上海普陀·期中）如图，长方体中，，，点是棱的中点.    (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)是否存在实数，使得直线与平面垂直？并说明理由； (3)若.设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等. 【考点2 向量法求异面直线所成角】 例2（25-26高二上·上海·期中）如图，已知正方体的棱长为4，、分别是棱、的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 变式1（24-25高二上·上海杨浦·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点，G在棱上，且， 是的中点. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 变式2（23-24高二上·上海·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，为中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 变式3（24-25高三上·上海·期中）如图所示，已知圆锥体积为，轴截面的面积为6，、为底面圆周上两点，且，点是底面半径的中点，点是底面圆的弦的上的点. (1)求圆锥的底面半径和高； (2)若点是弦的中点，求直线与直线所成角的大小（用反三角函数值表示）； (3)是否存在这样的点，使得平面与平面垂直，若存在，求的长，若不存在，说明理由. 【考点3 几何法求线面角】 例3（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 变式1（25-26高二上·上海·期中）如图，三棱锥中，底面是正三角形，底面，平面，垂足为．    (1)是否可能是的垂心，请说明理由 (2)若恰是的重心，求直线与平面所成角的大小． 变式2（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图，在四边形中，，，，，，为的中点，点在上，．将四边形沿翻折至四边形，使得二面角的大小为． (1)证明：平面； (2)已知， （ⅰ）求与平面所成角的大小； （ⅱ）求多面体的体积． 变式3（25-26高三上·上海·月考）如图，在直三棱柱中，，且D、E分别是AC、的中点.    (1)证明：； (2)求直线BD与平面ABE所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【考点4 向量法求线面角】 例4（23-24高二下·上海·期中）已知在三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小. 变式1（25-26高三上·上海嘉定·期中）如图，在正四棱柱中，，. (1)证明：平面平面； (2)求直线和平面所成角大小. 变式2（25-26高三上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点． (1)求证：平面PAB； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 变式3（24-25高二上·上海·期中）如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，为与的交点． (1)证明：平面； (2)若点到平面的距离为，求正四棱柱的高； (3)若线段上存在点，使得直线与平面所成角为，求线段的取值范围． 【考点5 几何法求面面角】 例5（24-25高二下·上海·期中）如图，已知圆柱的高为5，直三棱柱的顶点、、在圆柱上底面的圆周上，顶点、、在圆柱下底面的圆周上，已知，，，为的中点． (1)求二面角的正切值； (2)求到平面的距离． 变式1（25-26高二上·上海·期中）如图，AC是圆的直径，PA与圆所在的平面垂直，且为圆周上不与点A，C重合的动点，M，N分别为点在线段PC，PB上的投影； (1)证明：直线平面PBC； (2)当的面积最大时，求二面角的平面角的大小. 变式2（25-26高二上·上海普陀·期中）如图，是圆柱的一条母线，过底面圆心,是圆上一点.已知，.    (1)求与底面所成角的大小； (2)求二面角的大小； (3)将四面体绕母线所在的直线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积. 变式3（24-25高二上·上海·期末）如图，在三棱台中，，，，为的中点. (1)求证：； (2)若平面平面，求直线与直线所成角的余弦值： (3)设二面角的大小为，直线与平面的所成角的大小为，求关于的函数表达式及其定义域，并求的取值范围. 【考点6 向量法求面面角】 例6（25-26高二上·上海浦东新·期中）如图，四边形为正方形，是平面外一点，设平面，且，为中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 变式1（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，分别满足、.    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 变式2（24-25高二下·上海虹口·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点． (1)求证：平面； (2)若，平面平面，求二面角的余弦值． 变式3（25-26高二上·上海·期中）四棱锥中，平面平面，，，，，是中点． (1)求证：平面； (2)若二面角的平面角的正弦值为，求出的值； (3)在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 一、填空题 1．（25-26高二上·上海·期中）正方体中，异面直线与所成角的大小为 . 2．（25-26高二上·上海·期中）已知平面和平面交于直线l，P是空间一点，，垂足为A，，垂足为B，且，，若，则与所成二面角为 . 3．（25-26高二上·上海·期中）在三棱锥中，已知，则和所成角余弦值的取值范围为 . 4．（25-26高二上·上海·期中）已知正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，是SB的中点，则异面直线AE与SD所成角的大小为 . 5．（22-23高二下·上海青浦·期末）在长方体中，，点为棱的中点，则二面角的大小为 ．（结果用反三角函数值表示） 6．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，正方体的棱长为2，则二面角的大小为 .（结果用反三角函数表示） 7．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，点在底面的投影是与的交点，且是等边三角形，点在线段上，若直线与平面所成角为，则的取值范围为 ．    8．（25-26高二上·上海嘉定·期中）如图，正方体中，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且平面，则与平面所成角的余弦值构成的集合是 .    9．（24-25高二上·上海宝山·期末）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，且，则异面直线与的夹角为 ． 10．（25-26高三上·上海·期中）《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖臑．如图所示，若四面体为鳖臑，且平面，，则与平面所成角的正切值为 ． 11．（25-26高二上·上海·期中）如图，已知正方体的棱长为2，分别为棱的中点，若点为线段上的动点，不包括端点），设异面直线与所成的角为，则的取值范围是 . 12．（22-23高二上·上海浦东新·月考）一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则的值为 . 二、单选题 13．（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知直线、相交，夹角为，交点为.在空间中过点且与直线、成相同夹角的直线只有3条，则的大小是（   ） A． B． C． D． 14．（23-24高三上·上海奉贤·期中）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面，，下列说法正确的是（    ）    A．与所成的角是 B．平面与平面所成的锐二面角余弦值是 C．与平面所成的角的正弦值是 D．是线段上动点，为中点，则点到平面距离最大值为 15．（24-25高三上·上海·期中）如图，将正方形沿对角线折成直二面角，则对于翻折后的几何图形，下列结论不正确的是（  ） A． B．与平面所成角为60° C．为等边三角形 D．二面角的平面角的正切值是 16．（23-24高二下·上海·期中）如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面．设与平面所成的角为与所成的角为，那么下列结论正确的是（    ） A．的最小值为的最小值为 B．的最小值为的最大值为 C．的最小值大于的最小值大于 D．的最大值小于的最大值小于 三、解答题 17．（23-24高二上·上海·期中）在正方体中，求：    (1)二面角的大小 (2)点在棱上，若与平面所成角的正弦值为，判断点位置并说明理由 18．（24-25高二上·上海·期中）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的大小（结果用反三角表示）； (3)若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大. 19．（25-26高二上·上海嘉定·期中）已知是底面边长为的正四棱柱.    (1)若正四棱柱的高为1，求点到平面的距离； (2)设与底面所成角的大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：. (3)为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，求棱长的最大值. 20．（25-26高二上·上海·期中）在正棱锥中，为底面正边形的中心，为棱的中点；设正棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为，底面正边形的边长为； (1)当时，若，求正三棱锥的高； (2)当时，若，且，求正四棱锥底面的边长； (3)记，试确定与的大小关系，并证明. 21．（24-25高三上·上海奉贤·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)求证：直线平面； (2)若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $