专题04 三角形中的动点与最值问题：将军饮马模型类专练（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材沪科版

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04三角形中的动点与最值问题：将军饮马模型类专练 题型归纳·内容导航 题型1两点一线模型（常考点） 题型3两点两线模型 题型2一点两线模型 题型4三动点模型 题型通关·靶向提分 题型一两点一线模型（共7小题） 1.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨期中)如图，直线AB是一条河，点C,D是两个村庄.欲在直线AB上的 某处修建一个水泵站N,向C,D两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管 道最短的是() D D C● 4-- -----·B A-- --B A B. D D C --B A----------2 W…B D D 2.(25-26八年级上山西朔州期中)如图，在正方形网格中有E,F两点，在直线1上求一点P,使PE+PF 最短，则点P应选在() A B A.A点 B.B点 C.C点 D.D点 3.(25-26八年级上广东广州期中)如图，在△ABC中，AD⊥BC于D点，BELAC于E点，∠ABC=60, 1/7 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BAC=70°，若点P,Q分别是线段AD,AB上的动点，则BP+PQ的最小值与线段()的长度相等. A.BD B.AD C.AB D.AC 4.(25-26八年级上北京·期中)如图，在锐角△ABC中，AB=6,△ABC的面积为18，BD平分∠ABC, 若EF分别是BD,BC上的动点，则CE+EF的最小值是() C D E B A.8 B.6 C.4 D.2 5.(24-25八年级上广东广州期中)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC于点D,AD=4 ,E、F分别是线段AB、AD上的动点，则EF+FB的最小值为一· ■ D 6.(山东东营·期末)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,5)·, 6 5 3 -6-5-4-3-2-19123456x 2 3 =5 6 2/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)若△ABC与△ABC关于y轴成轴对称，作出△AB'C; 2)若P为y轴上一点，使得AP+BP最小，则AP+BP最小值为； (3)计算△ABC的面积， 7.(25-26八年级上·吉林松原期中)如图，△ABC与△DEF关于直线1对称，且∠A=78°，∠F=48. (I)在图中的直线1上画出点P,使BP+CP的和最小.（保留作图痕迹） (②)若点B到直线的距离为5，则B、E两点间的距离为 (3)求∠DEF的度数， 题型二一点两线模型（共6小题） 8.(25-26八年级上山东潍坊·期中)如图，在△ABC中，∠A=55°，点O为△ABC内一点，过点O分别 作AC,AB的垂线，垂足分别为点M,N,点P,Q分别为AM,AN上的动点，连接0P,OQ,PQ,当 △0PQ的周长最小时，∠POQ的度数为() M O N A.55 B.60° C.70° D.80° 9.(25-26八年级上·福建福州阶段练习)如图，点P位于∠A0B内部，点M和N分别在射线0A,0B上.若 ∠A0B=30°，0P=5,则△PMN周长的最小值为() M B A.3 B.4 C.5 D.6 10.(福建漳州期末)如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，DAB=124°，M、N分别是边DC、BC上 3/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数是() D M B A.70° B.68° C.58° D.56° 11.(25-26八年级上江苏无锡期中)如图，∠A0B内有一点P,分别作出点P关于0A,0B的对称点P1, P2,连接P1P2,交0A于点M,交0B于点N,连接PM,PN当P1P2=12cm时，△PMN的周长为 cm P M -B P 12.(25-26八年级上四川自贡期中)如图：点P为∠A0B内一点，分别作出P点关于0A、0B的对称点 P1P2,连接P1P2交0A于N,交0B于MP1P2=25,那么△PMN的周长为· B P2 13.(25-26八年级上江苏徐州期中)如图，己知∠A0B=45°，点P在∠A0B内部，点P1与点P关于0A 对称，点P2与点P关于OB对称，连接P1P2,分别交OA,OB于点E,F,连接PE,PF.若P1E=a, PF=b,则△PEF的面积为一·（用含a,b的代数式表示） 4/7 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B P 题型三两点两线模型（共5小题） 14.(24-25八年级下.甘肃武威开学考试)如图，点M,N分别是边0A,0B上的定点，点P,Q分别是边 OB,OA上的动点，记∠MPQ=,∠PQN=B,当MP+PQ+QN最小时，B-=40°，则∠A0B的度数为 () A 0 M P B A.20° B.40° C.10° D.60° 15.(25-26八年级上福建厦门期中)如图，∠A0B是锐角，M,N分别是0A0B上的定点，P,Q分别是 边0B,OA上的动点，记∠AMP=,∠0NQ=B,当MP+PQ+QN最小时，则∠A0B=一（用含a、 B的式子表示). M B 16.(25-26八年级上：广西南宁·期中)如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，点D,E是边AB上的两 个定点，点M,N分别是边AC,BC上的两个动点.当四边形DMNE的周长最小时，∠DMN+∠ENM的大 小是 B E D C M A 17.(25-26八年级上北京西城期中)已知：如图，△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，点D是AB边上的定 5/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点，点B点F、点G分别是AC边、BC边和AB边上的动点.当DE+EF+FG最小时，∠DEF与∠EFG的度数 和是 0. 18.(25-26八年级上陕西西安期中)如图，在平面直角坐标系中，A(-2,-2)、B(-6,0),动点Q在 直线y=X上，动点P在x轴上，当AP+PQ+QB取最小值时，点P的坐标为一· 题型四三动点模型（共3小题） 19.(25-26八年级上·河南周口期中)如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，P、M、N分别是AB、AC、 BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，下列关于P点位置的描述中正确的是() A.P在AB边的中点处 B.连接CP,CP是∠ACB的角平分线 C.BP=BC D.AP-AC 20.(25-26八年级上·福建福州期中)如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC=12,AB=13, D、EF分别是AB、BCAC边上的动点，则DE+EF+DF的最小值是」 B 21.(25-26八年级上·安微铜陵期中)如图，△ABC中，∠A=30°，BC=4,△ABC的面积14.点D、E F分别是三边AB,BC,CA上的动点，则△DEF周长的最小值为 6/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 7/7专题04 三角形中的动点与最值问题：将军饮马模型类专练 题型1 两点一线模型（常考点） 题型3 两点两线模型 题型2 一点两线模型 题型4 三动点模型 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 两点一线模型（共7小题） 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线是一条河，点是两个村庄．欲在直线上的某处修建一个水泵站，向C，D两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于． 根据两点之间，线段最短，可知选项铺设的管道，所需管道最短． 故选：D． 2．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查轴对称，两点之间线段最短等知识点，作点关于的对称点，连接，与的交点即可所求． 【详解】解：点关于的对称点，连接，如图， 由图可知点应选在点； 故选：D． 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，于点，于点，，，若点，分别是线段，上的动点，则的最小值与线段（　　）的长度相等． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称求最短路径的问题，准确做出辅助线求解是解题的关键． 将沿翻折得，得到，证明是等边三角形，判断的最小值的情况，即可得解． 【详解】解：将沿翻折得，过点作于点， ， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， 要使最小，则， ， 即的最小值与长度相等． 故选． 4．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在锐角中，，的面积为，平分，若，分别是，上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，在上截取，证明，所以，则，当三点共线，且时，的值最小，为长，然后通过三角形面积公式求出长即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，为长，如图， ∵的面积为， ∴，即， ∴， ∴的值最小，为， 故选：． 5．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，于点D，，E、F分别是线段、上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形三边关系的应用，垂线段的性质．作E关于的对称点M，连接，，过B作于N，由轴对称得，由三角形三边关系可得，由垂线段最短可得，进而可得的最小值为的长度，因此利用等面积法求出即可． 【详解】解：作E关于的对称点M，连接，，过B作于N， 由轴对称得， ， 由垂线段最短可得， 的最小值为的长度． ， ， 的最小值为， 故答案为：． 6．（山东东营·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)若与关于y轴成轴对称，作出； (2)若P为y轴上一点，使得最小，则最小值为______； (3)计算的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)5 【分析】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，勾股定理，解决本题的关键是根据轴对称的性质准确作出点P． （1）根据轴对称的性质先分别找到点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可作出； （2）连接交y轴于点P，则点P即为所求，再利用勾股定理求出即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， 即为所求； （2）解：连接交y轴于点P，则点P即为所求， 此时， ， ∴最小值为； （3）解：． 7．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，与关于直线对称，且，． (1)在图中的直线上画出点P，使的和最小．（保留作图痕迹） (2)若点B到直线的距离为5，则、两点间的距离为______． (3)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)10 (3) 【分析】本题考查轴对称图形的性质、三角形内角和. （1）连接交直线于点P即可； （2）B到直线l的距离等于E到直线l的距离； （3），再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求； （2）解：∵与关于直线l对称， ∴B到直线l的距离等于E到直线l的距离， ∴B、E两点间的距离为， 故答案为：10； （3）解：∵与关于直线l对称， ∴， ∴在中，． 题型二 一点两线模型（共6小题） 8．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，点O为内一点，过点O分别作，的垂线，垂足分别为点M，N，点P，Q分别为，上的动点，连接，，，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称解决最短路线问题，其中涉及三角形内角，三角形外角性质等知识，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键； 作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，根据轴对称——最短路线问题，当点，点P，点Q，点四点共线时，的周长最小，作出相应的图形，再结合三角形内角和、三角形一个外角等于不相邻两个内角和定理等知识解题即可． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，如图： ， ∵，，，， ∴，， ∴，， 当点，点P，点Q，点四点共线时， 的周长最小，即， 此时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：C； 9．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）如图，点P位于内部，点M和N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称中最短路线问题，等边三角形的判定和性质．将三角形的周长利用轴对称转化为线段的长，构造等边三角形是解题的关键． 设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，根据当点M、N在上时，的周长最小，再结合等边三角形的判定和性质即可解答． 【详解】解：分别作点P关于、的对称点C、D，连接，分别交，于点M、N，连接，、，、 点P关于的对称点为C， ，， 点P关于的对称点为D， ，，， ， 是等边三角形， ， 的周长的最小值为． 故选：C ． 10．（福建漳州·期末）如图，在四边形中，分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，则易得的大小． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接 由对称性知： ∴ ∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 此时 故选：B． 11．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，内有一点，分别作出点关于，的对称点，，连接，交于点，交于点，连接，当时，的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查轴对称的性质及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握轴对称的性质及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 根据题意易得，，然后根据三角形的周长及线段的数量关系可求解． 【详解】解：由轴对称的性质可得：垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵，， ∴； 故答案为：12． 12．（25-26八年级上·四川自贡·期中）如图：点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，连接交于，交于，那么的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质． 利用轴对称的性质得到，，证明的周长，可得结论. 【详解】解： P点关于的对称点， ，， 周长， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为 ．(用含a，b的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图象的性质，全等三角形的性质，解题的关键是证明出为直角三角形，利用轴对称的性质得到三角形全等，证明出为等腰直角三角形，进一步证明出为直角三角形即可求解． 【详解】解：连接， 根据轴对称的性质可知：， ，，， ， ， ， ， ， 为直角三角形， ， 故答案为：． 题型三 两点两线模型（共5小题） 14．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形外角的定义及性质、平角的定义，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，由轴对称的性质可得，，，，当、、、在同一直线上时，最小，为，表示出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于， ， 由轴对称的性质可得：，，，， ∴， ∴当、、、在同一直线上时，最小，为， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 故选：A． 15．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，是锐角，M，N分别是上的定点，P，Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则 （用含、的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题、三角形外角的性质．作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小易知，，根据三角形内角和定理和外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，当四点共线时，最小， ，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，，点，是边上的两个定点，点，分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是 ． 【答案】 【分析】本题考查利用轴对称结合线段和最小问题，三角形的内角和定理，作过于的对称点，作关于的对称点，连接，当在线段上时，四边形的周长最小，根据对称性结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：作过于的对称点，作关于的对称点，连接， 则：， ∴四边形的周长， ∴当在线段上时，四边形的周长最小，如图， ∵对称， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 17．（25-26八年级上·北京西城·期中）已知：如图，中，，，点是边上的定点，点、点、点分别是边、边和边上的动点．当最小时，与的度数和是 ． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 作点关于的对称点，作线段、关于对称，则点关于的对称点在上，连接交于点，交于点，则，当时，最小，根据三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，计算即可得的度数． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作线段、关于对称，则点关于的对称点在上，连接交于点，交于点，则，当时，最小， ， ， ， ， ，， ，， ， 故答案为：． 18．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，当取最小值时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一次函数的性质，最短路径问题，熟知利用轴对称求最短距离、两点之间线段最短是解答此题的关键． 作点A关于x轴的对称点D，连接，作点B关于直线的对称点E，连接，则，可得当点D，P，Q，E四点共线时，取最小值，最小值为的长，再求出直线的解析式，即可求解． 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点D，连接，作点B关于直线的对称点E，连接，则， ∴， 即当点D，P，Q，E四点共线时，取最小值，最小值为的长， ∵、， ∴点， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点． 故答案为： 题型四 三动点模型（共3小题） 19．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，在中，，P、M、N分别是AB、AC、BC边上的动点，当的周长最小时，下列关于P点位置的描述中正确的是（   ） A．P在AB边的中点处 B．连接CP，CP是的角平分线 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称与最短路径问题（将军饮马模型），解题的关键在于正确构造对称点并识别出特殊图形，易错点主要在于对称模型应用错误；作出点关于和的对称点和，将周长最小转化为最短，再由对称可得，，所以在等腰中，顶角固定，要使得底边最短，可转化为最短，最短时为垂线段，即时，再根据角度计算得出． 【详解】作出点关于和的对称点和，连接，，； 由对称性可得，， 周长为，即最小即为． ∵，， ∴． 由对称可得： ，，， ∴． ∵在中，，， ∴要使最小，则最短， 最短时为垂线段，即， ∴在中，， 则． 故选：D． 20．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在直角中，，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称路径最短问题，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．，推出，可得、、共线，由，，可知、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题理解转化思想是解题的关键． 【详解】解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴ ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小，最小值， ， ， 即 ∴的最小值为， 故答案为：． 21．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，中，，，的面积14．点、、分别是三边，，上的动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称-最短距离、等腰三角形的性质，熟练掌握利用轴对称的性质解决最短距离问题是解题的关键． 过点作于点，作点关于的对称点，关于的对称点， 连接，交于点，交于点，证得是等边三角形，则，进而证得周长的最小值为的长，根据的面积，求得，进而得到周长的最小值即可． 【详解】解：过点作于点，作点关于的对称点，关于的对称点， 连接，交于点，交于点，如图： 、， 、， ， ， ， 是等边三角形， ， 、， 周长的最小值为的长， ，即， 解得， ， 因此周长的最小值为， 故答案为：． $