专题07 期末真题百练通关（压轴60题17大压轴题型）（含几何和函数）（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材沪科版

专题05 期末真题百练通关（60题17大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 坐标系中的规律探究问题 题型10 一次函数实际应用的方案分配问题 题型2 从函数图象获取信息 题型11 一次函数实际应用的最大利润问题 题型3 动点问题的函数图象 题型12 全等三角形的综合问题 题型4 多结论问题 题型13 坐标系中的全等三角形问题 题型5 一次函数与几何综合问题 题型14 等腰三角形的性质与判定综合 题型6 全等三角形综合 题型15 坐标系中的等腰三角形问题 题型7 等腰三角形性质与判定综合运用 题型16 等边三角形的性质与判定综合问题 题型8 坐标中的综合题 题型17 坐标系中的等边三角形问题 题型9 一次函数与几何综合 题型一 坐标系中的规律探究问题（共3小题） 1．（24-25八年级下·江西南昌·期末）如图，小球起始时位于处，沿图中所示方向击球，小球在球桌上的运动轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来的方向击球，小球第1次碰到球桌边时，小球的位置是 ，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标位置，解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在的位置变化特点，即可得到小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置． 【详解】解：根据题意，可以画出相应的图形，罗列前几次小球的位置如下： 小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第二次碰到球桌边时，位置是， 小球第三次碰到球桌边时，位置是， 小球第四次碰到球桌边时，位置是， 小球第五次碰到球桌边时，位置是， 小球第六次碰到球桌边时，位置是， ……， ∵， ∴小球第2025次碰到球桌边时，位置是． 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，，， 都是等腰直角三角形，点，， ，按图中规律，的坐标是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点坐标规律探索，等腰直角三角形的定义，勾股定理等知识点，通过计算发现、、、，在的基础上每个一循环再次回到轴的负半轴是解题的关键． 由等腰直角三角形的定义及勾股定理可得，，，，，再利用、、、，在的基础上每个一循环再次回到轴负半轴的规律即可得出的坐标． 【详解】解：，，，都是等腰直角三角形，点，，，， 根据勾股定理可得：，，，，， 、、、，在的基础上每个一循环，再次回到轴的负半轴， ， 在的基础上每个一循环，刚好循环了次，又循环到了轴的负半轴， 横坐标是， 的坐标为， 故选：A． 3．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，将向左平移2个单位长度，得到；将关于原点中心对称，得到；将向右平移2个单位长度，得到；将关于原点中心对称，得到；将向左平移2个单位长度，得到……若按此规律作图形的变换，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称，坐标与图形变化-平移，以及规律型—点的坐标.正确求出 的坐标，进而得出点的规律是解题的关键. 【详解】由题意可知， 、 , 的纵坐标以， 为一个周期依次循环， ∴ ， 的坐标为， 故选: B 题型二 从函数图象获取信息（共4小题） 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）甲、乙两车从A地沿直路同向匀速行驶行往B地，现甲车在乙车前500米处，设x秒后两车相距y米，y与x的函数关系如图所示，则乙车在整个运动过程中行驶的路程是（   ） A．3500米 B．3200米 C．4375米 D．4000米 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的实际应用以及行程问题中速度、时间和路程的关系，解题关键是从图象中获取关键信息，明确甲、乙两车的运动时间和路程关系，进而计算出两车的速度． 主要解题思路：从图象得知 100 秒时乙追上甲，此时乙比甲多走 500 米，算出乙比甲快 5 米 / 秒；根据 100 到 160 秒的时间差，得这段乙比甲多走 300 米即 a 的值；由甲 160 到 175 秒走完 a 的路程，算出甲速，进而得乙速，最后求出乙行驶的总路程． 【详解】解：观察图象可知：从开始出发至第100秒，乙车追上甲车，说明在此段时间内乙车比甲车多走500米，因此乙车比甲车的速度快（米/秒）， ∴从第100秒至第160秒，乙车比甲车多走（米）， ∵至第160秒，乙走完全程；甲从第160秒至175秒也走完全程，此段时间经过的路程也是（米）． ∴甲车的行驶速度为（米/秒）， ∴乙车的行驶速度为（米/秒）， 因此乙车在整个运动过程中行驶的路程是：（米）． 故选：D． 5．（24-25八年级下·内蒙古兴安盟·期末）A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则以下结论：①乙比甲提前出发；②甲行驶的速度为；③时，甲、乙两人相距；④或时，乙比甲多行驶．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据图象获得信息后，利用待定系数法，路程，速度，时间的关系等处理信息解答即可． 本题考查了一次函数的图象，待定系数法，根据解析式计算，熟练掌握一次函数的性质，待定系数法是解题的关键． 【详解】解：根据可得，时间过了甲的路程为0，即乙比甲提前出发， 故①正确； 甲个小时行驶了， 故甲的速度为， 故②正确； 设甲的解析式为， 根据题意，得， 解得， 所以， 设乙的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故乙的解析式为， 当时，，， 故， 时，甲、乙两人相距， 故③错误； 当甲运动前，乙比甲多行驶时，根据题意，得， 解得； 当甲运动后，乙比甲多行驶时，根据题意，得， 解得； 故或时，乙比甲多行驶． 故④正确， 故选：C． 6．（24-25八年级上·山东青岛·期末）某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往．如图，、分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程（千米）与所用时间（分钟）之间的函数图象，则以下四个结论中正确的有 （填序号）． ①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟； ②步行的速度是千米/时； ③骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟； ④骑车的同学和步行的同学同时到达目的地． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据一次函数的图象上特殊点的坐标和实际意义逐项判断即可求解，熟练掌握函数图象信息是解题的关键． 【详解】解：①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟，①正确； ②，步行的速度是（千米/时），②正确； ③骑车的同学从出发到追上步行的同学用了（分钟），③正确； ④骑车的同学到达目的地时间为54分钟，步行的同学到达目的地时间为60分钟，不同时到达目的地，④不正确． ∴正确的有①②③， 故答案为：①②③． 7．（24-25八年级下·北京朝阳·期末）同一条公路连接A，B，C三地，地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶，乙车休息前、后的速度不变（乙车加、减速时间忽略不计）．甲、乙两车之间的距离与时间的函数关系如图所示．两地相距 km；甲车行驶 h，甲、乙两车相距． 【答案】20 【分析】（1）根据图象的信息即可解答； （2）求出点E的坐标，分甲车在线段段、甲车在线段段、甲车在线段段三种情况解答即可求解． 【详解】解：由图象得，当时，， 两地相距， 故答案为：20； 当时，乙车开始休息，当时，乙车重新出发， 乙车中途休息，22,60 从点过程中，只有甲车行驶， 甲车的速度为， 点甲行驶的时间为， ， 设线段所在直线的函数解析式为， 把，代入得， ， 解得， 线段所在直线的函数解析式为， 把代入得， 解得； 设线段所在直线的函数解析式为， 把，代入得， ， 解得， 线段所在直线的函数解析式为， 把代入得， 解得； 设线段所在直线的函数解析式为， 把，代入得， ， 解得， 线段所在直线的函数解析式为， 把代入得， 解得， 综上，甲车行驶小时或小时或小时，甲、乙两车相距． 题型三 动点问题的函数图象（共4小题） 8．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图1（图中各角均为直角），动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积与点运动的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示，则的长度为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查函数图象问题，将动点的运动状态与函数图象对应，关注图象中的拐点，给合函数图象给定的信息确定等量关系即可求解． 【详解】解：如图，点P运动至点B时，即， 的面积，解得：， ∴， 时，点P运动至点E，即， ∴， ∴故选：A． 9．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，在矩形中，，，点P沿路线运动，设点P的运动路程为x，的面积为y，则能大致刻画y与x之间的关系图象的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查动点有关函数图象问题，矩形的性质，分析分析在不同边上的面积变化情况即可求解． 【详解】解：由题得： 当点在上时，不存在， 当点在上时，的面积随的增大而增大， 当点在上时，的面积等于矩形的一半，固定不变， 当点在上时，的面积随的增大而减小， 综上所述，只有符合题意， 故选：D． 10．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，点从菱形的顶点出发，沿方向运动到对角线的中点，如图2是的面积随点运动的路程变化的图象，则的值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的实际应用，找到函数图像上特殊点对应的点在菱形图形上运动过程中的特殊点，根据菱形的面积的两种表示方式即可得到答案； 【详解】解：由图1和图2可知，当时，点与点重合，相当于， ∴， 当时，点和点重合，相等于， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 11．（24-25八年级下·四川乐山·期末）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形．直线由原点开始向上平移，所得的直线与矩形两边分别交于两点，设面积为与函数关系的图象如图2所示． （1）点的坐标为 ； （2）当时，函数与函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，求出相应的各段的函数解析式，明确各自对应的函数图象． （1）根据图象可知，当点在上运动时，面积对应的函数图象为这 段图象，故由时可求出点的坐标； （2）由图象可知，当时，点在上运动，此时点N到的距离不变为4，再根据三角形面积得结论． 【详解】解：（1）当点N从点O移动到点A时，如图所示， ∵与矩形两边分别交于M、N两点， ∴点M的坐标是，点N的坐标是，面积为S， ∴S与b函数关系式是：； ∴当时，直线经过点， ∴； 当点时，如图所示， 此时点N到的距离不变为4， ∴； 故答案为：；． 题型四 一次函数与几何综合问题（共3小题） 12．（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知直线与直线都经过，直线交y轴于点B，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接、，则以下结论： ①方程组的解为； ②若点是直线上的点，点是直线上的点，则当时，； ③的面积为6； ④当点P从点O运动到点B时，的值先减小再增大； ⑤当的值最小时，点P的坐标为． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】①由题意得两条直线的交点坐标即为直线表达式组成方程组的解； ②由图象得，当时，直线在直线上面，进而求解即可； ③首先求出已知两直线的表达式，进而可得点A，B，D的坐标，进一步即可求出的面积； ④如图所示，作点关于y轴的对称点，连接，得到，当点A，P，三点共线时，有最小值，即的长度，然后由图象即可判断； ⑤首先求出过点A，的直线为，然后将代入求解即可． 【详解】①∵直线与直线都经过 ∴ 方程组的解为，故①正确； ②∵直线与直线交于点 ∴由图象得，当时，直线在直线上面 ∵点是直线上的点，点是直线上的点， ∴当时，，故②正确； ③将代入得， 解得， ∴ ∴当时， ∴； ∴当时， 解得 ∴ ∴ 将代入得， 解得， ∴ ∴当时， ∴； ∴ ∴ 的面积为：，故③错误； ④如图所示，作点关于y轴的对称点，连接， ∴ ∴ ∴当点A，P，三点共线时，有最小值，即的长度 ∴由图象可得，当点P从点O运动到点B时，的值先减小再增大，故④正确； ⑤设过点A，的直线为： 将点A，的坐标代入，得 解得 ∴过点A，的直线为， ∴当时， ∴ 点P的坐标为，故⑤错误． 综上所述，其中正确结论的序号是①②④． 故答案为：①②④． 13．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点坐标分别为，直线l：． （1）当直线l经过点D时，k的值为 ； （2）当直线l与菱形的边有公共点时，k的取值范围为 ． 【答案】 1 【分析】此题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与系数的关系，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）依次将各顶点坐标代入解析式，求出比例系数的值，然后对比求取值范围即可． 【详解】解：（1）将代入得， ， 解得， 故答案为：1； （2）当直线经过点时， 将代入得， ； 当直线经过点时， 将代入得， , 解得； 当直线经过点时， 将代入得， , 解得； ∴k的取值范围为， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点，点P是直线AB上方第一象限内的动点． （1）点P是直线：上一动点，当的面积与的面积相等时，点P的坐标为 ； （2）当为等腰直角三角形时，点P的坐标为 ． 【答案】 或或 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线围成的三角形面积，全等三角形的判定与性质，数形结合是解题的关键． （1）把B的坐标代入直线的解析式，即可求得k的值，进而求出点的坐标，根据的面积与的面积相等列方程即可得答案； （2）分三种情况：当，时，过点P作轴，，根据条件证明，根据对应边相等求解即可；当，时，过点P作轴，当，时，过点P作轴，同理可求． 【详解】解：（1）∵直线交y轴于点A，交x轴于点， ∴ 解得 ∴直线的解析式是； 将代入，解得， ， ， ， 点P是直线上一动点，D点在上，令，则， 则， 设， 的面积与的面积相等 解得或（不合题意，舍去） ； 故答案为：； （2）解：当，时，过点P作轴，，如图， ∵轴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， 设 ∴，，，， ∴，解得：， ∴； 当，时，过点P作轴，如图， 同理可得： ， ∵，， 设 ∴，，，， ∴，，解得：， ∴； 当，时，过点P作轴，如图， 同理可得： ∴， ∵，， 设 ∴，，，， ∴，，解得：， ∴； 或或． 题型五 全等三角形中的动点问题 （共3小题） 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（   ）． A．8或15 B．4 C．4或5 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的概念和性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 由题意得，设，，则，分两种情况讨论：①，，；②，，，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， 运动的速度之比， 设，， ， ∴， ①当，，， ， 解得：， ； ②当，，， ， 解得：， ； 故选：A 16．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点于点，则点的运动时间等于_______秒时，与全等． A．2 B．6 C．2或6 D．2或6或16 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，一元一次方程与几何动点，分情况讨论是解题的关键．分类讨论，分四种情况分析，①点P在上，点Q在上；②点P、Q都在上；③点P在上，点Q在上；④当点Q到A点，点P在上，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：∵与全等， ∴斜边=斜边， 分四种情况： 当点P在上，点Q在上，如图： ∵， ∴, ∴， 当点P、Q都在上时，此时P、Q重合，如图： ∵， ∴， ∴， 当点P到上，点Q在上时，如图： 则（秒）， 此时， ∵， ∴， ∴，不符合题意， 当点Q到A点，点P在上时，如图： 则 ∵， ∴， ∴， 综上所述：点P的运动时间等于2或或16秒时，与全等， 故选：D． 17．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则 ； （2）当点在直线上运动时，，，则 ． 【答案】 5 16或4/4或16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”． （1）证明，则，可得； （2）分三种情况讨论，证明，再根据线段和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 过点作平行线，再过点作平行线的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点线段延长线上不成立，舍， 综上：或， 故答案为：16或4． 题型六 全等三角形综合（共3小题） 18．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，两个外角的平分线与相交于点，于点，于点，且，小明同学得出了下列结论：①；②点在的平分线上；③；④.其中错误的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题综合考查角平分线的性质与判定、平行线的性质及三角形内角和定理．解题关键是灵活运用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，结合平行线的内错角关系推导角度与线段的等量关系． 通过角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）、平行线的性质（内错角相等）以及三角形内角和定理，逐一分析四个结论的正确性，统计错误结论的个数． 【详解】解：过点P作于点G，连接， ∵平分平分于点N，于点M， ∴， ∴，故①正确； ∵，于点N，于点M， ∴点P在的平分线上，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴，由图可知，故③错误； ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故选：A． 19．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造“三垂直”全等模型． 过点分别作，交直线于点，证明，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】解：过点分别作，交直线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积 ， 故选：C． 20．（25-26八年级上·四川眉山·期中）如图，在长方形中（），点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了长方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握长方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 先根据已知条件判定，再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴，故①结论正确； 由①知， ， ，故②结论正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③结论正确； ∵， ∴， ∵，， ∴，故④结论正确； 故选：D． 题型七 等腰三角形性质与判定综合运用（共5小题） 21．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，已知在等腰中，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的是（   ） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． ①连接，利用等边对等角，即可证得：，，则，据此即可求解；②因为点O是线段上一点，所以不一定是的角平分线，可作判断；③证明且，即可证得是等边三角形；④首先证明，则，． 【详解】解：①如图1，连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴；故①正确； ②由①知：，， ∵点O是线段上一点， ∴与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形；故③正确； ④如图2，在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴；故④正确； 综上正确的结论有：①③④， 故选：A． 22．（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确的结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】解题时，首先针对每个结论，结合已知条件逐步分析： ①利用“是高”得直角三角形两锐角互余，再结合角平分线定义，求出的度数，最后根据三角形内角和定理算出，判断结论①错误． ②根据现有条件，没有足够依据证明三边相等，所以判定不是等边三角形． ③延长构造全等三角形和，得出，将转化为，再利用三角形外角性质和“大角对大边”，得出，从而判断结论③错误． ④证明，得到面积相等关系，再结合和是角平分线的性质，对三角形面积进行转化，得出，判定结论④正确．通过这样逐一分析每个结论，最终确定正确结论的个数． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∴，故①错误； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为等腰三角形，条件不足，无法得到为等边三角形，故②错误； 如图，延长交于点， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在和中， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有④，共个， 故选：A． 23．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，于，平分，且于，与相交于点，于，交于，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①③④ B．①②③④ C．①③ D．① 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据，可得出，可判断①；连接，根据垂直平分线的性质与判定得到，再利用的斜边大于直角边得到，可判断②；利用判定，从而得出，．则，即，可判断③；再利用判定，得出，又因为，所以，可判断④，即可得出结论． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形． ． 故①正确； 连接． 是等腰直角三角形， 又， 垂直平分， ， 在中，是斜边，是直角边， ， ， ．故②错误． 在和中， ，，且， ． 又，， ． ；． ， ；故③正确； 平分， ． 又，， ． ． 又， ；故④正确； 综上所述，其中正确的是①③④． 故选：A． 24．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论：①；②；③其中正确的有（　　）个． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 本题由，于点D，于点M，得，则，所以，推导出，进而证明，得，可判断①正确；由，得，推导出，进而证明，得，可判断②正确；作于点F，则，所以，再证明，得，，则，所以，则，可判断③正确，然后即可求解． 【详解】解：∵，于点D，于点M， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故②正确； 作于点F，如图： ， 则，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故③正确， 故选：A； 25．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知中为钝角，以边，所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于G，交于H，连接．有如下结论：①若，则；②若，则；③平分；④．其中错误的结论是（   ）． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，角平分线的判定．根据对称得到，，则，，，，，，据此逐个判断即可． 【详解】解：∵以边，所在直线为对称轴作的对称图形和， ∴，， ∵， ①若，则， ∴， ∴，故①正确； ②若，设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∵， ∴的边与的边上的高相等，即点到和的距离相等， ∴平分；，故③正确； 在上截取，连接， 由，，不能证明，故无法证得， ∴不能确定，故④错误； 故选：D． 题型八 坐标中的综合题（共3小题） 26．（24-25八年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，对于点，，记，，将称为点的横纵偏差，记为，即．若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的横纵偏差，记为． (1)，， ①的值是______； ②点在轴上，若，则点的坐标是______． (2)点在轴上，点在点的上方，，点的坐标为． ①当点的坐标为时，求的值； ②当线段在轴上运动时，直接写出的最小值． 【答案】(1)①5；②或 (2)①4；②3 【分析】（1）①根据定义计算即可得解； ②设，根据定义得出关于的一元一次方程，解方程即可得解； （2）①设点为线段上任意一点，则，再根据定义计算即可得解； ②根据题意可得，再根据定义列出方程，当时，有最小值，进行求解即可． 【详解】（1）解：①，， ，， 则， 故答案是：5． ②，点在轴上，设， ，， ， ， 或， 解得，或， 的坐标是或． 故答案是：或； （2）解：①点在y轴上，点在点的上方，，点的坐标为， 点的坐标为， 设点为线段上任意一点，则； 点的坐标为， ，， ； 由，可得； ， 的最大值是4， ∴． ②， 设点，则， ， ，， 当时，有最小值，即时，有最小值， ，则有最小值为3． 的最小值为3． 27．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）读理解：“转化思想”和“数形结合思想”是解决数学实际问题常用的两种思想方法，通常将几何问题转化为代数问题，将代数问题转化为几何问题，便于更好的理解问题本质，或将未知问题转化为已知问题，复杂问题转化为简单问题进行解决，请合理应用数学思想方法依次解决下列问题． 【基础强化】 （1）如图①，点，，，平行于轴，平行于轴，则_____，_____； 【问题解决】 （2）如图②，点，，连接，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，点，，连接，点为上的任意一点，若，，求的最小值． 【答案】（1）3，；（2）；（3）10 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，熟知勾股定理是解题的关键． （1）根据题意可得，则由勾股定理可得的长； （2）过点A作轴，过点B作轴交于C，则，求出，再由勾股定理求解即可； （3）取，连接，由勾股定理得，，则，故当P、C、D三点共线时，有最小值，最小值为的长，由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，，，， ∴， ∴； （2）如图所示，过点A作轴，过点B作轴交于C， ∵，， ∴， ∴， ∴；    （3）如图所示，取，连接， ∴，，且B、D、E三点共线， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴当P、C、D三点共线时，有最小值，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， ∴的最小值为10．    28．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点．为线段上一动点（不与，重合），点为轴上异于的一点，且，设点的横坐标为． (1)求点的坐标；（用含的代数式表示） (2)若点到轴距离与点到轴距离相等，求的值； (3)若为线段上一动点（不与，重合），直线与直线交于点，设点的横坐标为． ①若随着点运动，存在点在线段的延长线上，直接写出的取值范围； ②若点与点关于原点对称，求满足条件的整数的值． 【答案】(1)； (2)； (3)①；②，． 【分析】本题考查一次函数，解不等式，熟练掌握一次韩素的图象和性质是解题的关键； （1）设点横坐标为，然后用表示即可求解； （2）根据点到轴距离与点到轴距离相等，可得，求解即可； （3）①若在的延长线上时，和在线段上，分别求解即可； ②分别求出直线解析表达式，直线解析表达式，直线解析表达式，根据点与点关于原点对称，进而求解即可； 【详解】（1）解：设点的横坐标为， ， 设点横坐标为， 则， 故； （2）解：点到轴距离与点到轴距离相等， 则， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（舍去）； 综上可知：； （3）解：①若在的延长线上时，如图，在轴负半轴上， ，， 解得：； 在线段上， ， ， ； ②解：设所在直线表达式为：，，， ， 解得：， 所在直线表达式为：， 设 ， 设直线表达式为：， ， 直线表达式为 设解析式为：，，， ， 解得：， 直线解析式为：， 与关于对称， ， ， 在直线上， ， ， ，， ， ， ， ， 为线段上动点， ， ， ， ， ， 为整数， 的值为或； 题型九 一次函数与几何综合（共5小题） 29．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点在轴上，，一次函数的图象经过点，且与的图象交于点，连接． (1)求的解析式； (2)求的面积； (3)如图2，直线交轴于点，作直线，点为直线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)点或 【分析】（1）先根据已知条件求得，，再利用待定系数法求解的函数解析式即可； （2）设直线交轴于点，先求得，再利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可； （3）根据题意，分两种情况：当点P在点E的左侧时和当点P在点E的右侧时，分别画出对应图形，利用数形结合思想，结合等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、待定系数法分别求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点， ∴当时，，当时，由得， ∴，,， ∵， ∴，则， ∵点在函数的图象上， ∴，解得， ∴， ∵函数的图象经过点C、D， ∴，解得， ∴； （2）解：解：设直线交轴于点， 当时，，则， ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：根据题意，分两种情况： 当点P在点E的左侧时，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 则点P为直线和直线的交点， 设直线的函数解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为； 设直线的函数解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得， ∴； 当点P在点E的右侧时，如图， ∵，，， ∴， 过点E作交于F，则， ∴， ∴， 设， 由得， 解得， ∴， 设直线的函数解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为； 由可设直线的函数解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得， ∴， 综上，满足条件的点P坐标为或． 30．（24-25八年级下·吉林·期末）如图1，矩形的顶点A，C分别在y，x轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边，分别交于点D，E，并且满足，点P是线段上的一个动点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点P在的平分线上，求点P的坐标； (3)连接，若把四边形面积分成两部分，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，坐标与图形的性质等知识，根据待定系数法求出一次函数解析式是解决本题的关键． （1）先令，即可求得，然后利用求出E的坐标，代入一次函数解析式求得m的值即可求解； （2）设，根据角平分线的性质得到，解方程即可得到答案； （3）先求得四边形的面积，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：对于，令，解得， 则D的坐标是，即， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴，则E的坐标是， 把E的坐标代入得， 解得， ∴； （2）解：∵点P是线段上的一个动点． ∴设， 过点P作轴于点M，轴于点N，连接，如图， ∴，， ∵点P在平分线上，轴，轴， ∴， ∴，解得， ∴； （3）解：设， 四边形面积， 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可知，点P的坐标为或． 31．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，． (1)求直线的解析式： (2)点为直线上一动点，若，请求出点的坐标： (3)如图，将直线水平向下平移个单位得直线，直线与轴交于点，连接，若点为轴上一动点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)存在，的坐标为或 【分析】（）根据直线的解析式可得，进而由得，再利用待定系数法解答即可求解； （）过点作轴交于点，设，则，即得，再联立直线和直线得，可得，得到，进而由即可求解； （）由平移可得直线的解析式为，进而得，，由等腰直角三角形的性质得，即得，求出的值即可求解． 【详解】（1）解：∵把代入，得， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵直线与轴交于点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过点作轴交于点， 设，则， ∴， 联立直线和直线，得， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在． ∵将直线水平向下平移个单位得直线， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴，， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为或． 32．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与直线交于点C．点D在线段上（不与点C重合），过点D作x轴的平行线，与直线相交于点E，连接．记的面积为，的面积为． (1)当时，求点C的坐标； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)当，过点A作平行于的直线，直线（）与直线交于点M，与x轴于点N．试探究的值是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的值是定值，为2，理由见解析 【分析】（1）联立两函数解析式，解方程组，即可求解； （2）连接，根据轴，可得，从而得到，然后求出点，可得的长，即可解答； （3）根据，同理（2）可得：，求出点，可得点C的坐标为，再由点C在上，可得，然后求出直线的解析式，可求出点M的坐标为，再求出点N的坐标为，然后用a表示出，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 联立得：，解得：， ∴点C的坐标为； （2）解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， 即， 对于， 当时，，当时，， ∴点， ∵点C的坐标为， ∴， ， ∴， ∴， 即； （3）解：的值是定值，为2，理由如下： 如图， ∵， 同理（2）得：， 当时，，当时，， ∴点， ∵， ∴点C的坐标为， ∵点C在上， ∴， 解得：， ∴直线，点C的坐标为，点A的坐标为， 设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：， ∴点M的坐标为， 对于， 当时，， ∴点N的坐标为， ∵， ∴ ∴． 33．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线分别交轴，轴于，两点，与直线交于点． (1)求的值和直线的函数解析式； (2)点是线段上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线，交直线于点．设点的横坐标为，以线段，为邻边作，直线与轴交于点． ①设，两点间的距离为（当两点重合时距离为0），求与之间的关系式； ②连接，，当时，求的值． 【答案】(1)， (2)①，②或 【分析】本题考查了一次函数综合，待定系数法求解析式，三角形的面积，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式是解题的关键． （1）根据过点，即可得出，得出，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）①根据题意表示出，当时，点与点重合，得，当时，，当时，，进而求得与之间的关系式； ②由解得．所以．根据得出，进而分，两种情况建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∴ 因为直线经过，两点， 所以 解得， 所以直线的解析式为． （2）①． 当时，点与点重合， ，解得． 如图1，当时，， 如图2，当时，， 所以 ②由解得． 所以． 所以． 所以． 所以． 当时，由解得． 当时，由解得． 综上可知，或． 题型十 一次函数实际应用的方案分配问题（共4小题） 34．（24-25八年级下·广东肇庆·期末）2025年，在国家实行报废补贴、以旧换新利好政策的推动下，李明的爸爸准备换车，看中了两款价格相同的国产车，请帮李明父子解决以下问题： 燃油车 油箱容积：40升 油价：元/升 续航里程：m千米 每千米行驶费用： 元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：m千米 每千米行驶费用： ______元 (1)用含m的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用； (2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为4000元和7200元，设一年内李明爸爸的行驶里程为x千米，燃油车和纯电动汽车所需的年费用分别为和元，请分别写出和关于x的函数表达式（年费用=年行驶费用+年其它费用），假如你是李明，你会给爸爸提出怎样的购车建议？ 【答案】(1) (2)①燃油车每千米行驶费用为元，纯电动汽车每千米行驶费用为元； ②，，建议：若行驶里程小于5000千米，则买燃油车； 若行驶里程等于5000千米，则两种均可； 若行驶里程大于5000千米，则买纯电动汽车. 【分析】本题考查列代数式，分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）根据表中的信息，可以表示纯电动汽车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比纯电动汽车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； ②根据①中结论结合题意直接列出表达式，比较两表达式，即可提出建议． 【详解】（1）解：纯电动汽车的每千米行驶费用为：元， 故答案为：元； （2）①由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 元，元， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，纯电动汽车的每千米行驶费用为元； ②由题意得：；． 当，即时，解得； 当，即时，解得； 当，即时，解得； 建议：若行驶里程小于5000千米，则买燃油车； 若行驶里程等于5000千米，则两种均可； 若行驶里程大于5000千米，则买纯电动汽车. 35．（24-25八年级下·天津·期末）某学校计划租用汽车外出参加集体活动，现有甲、乙两种大客车租供选择．公司报价为：每辆甲种大客车载客量为45人，每辆乙种大客车的载客量为30人，每辆甲种大客车比乙种大客车贵120元，3辆甲种大客车和2辆乙种大客车共计 1760元． (1)甲种大客车和乙种大客车每辆的租金分别为多少元？ (2)学校计划在总费用2300元的限额内，送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有一名教师，设共租用了汽车m辆，其中租用甲种客车x辆，租车费用为y元． ①其中m的值为 ； ②求y关于x的函数解析式及x的取值范围； ③运用上述关系，求花费最少的租车方案及最少费用，并说明理由． 【答案】(1)甲种大客车每辆车的租金为400元，则乙种大客车每辆的租金为280元 (2)①6；②（或）；③租甲种客车4辆，乙种客车2辆时，最节省费用，最小费用为2160元，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次不等式，一次函数与一次不等式组的综合应用，由题意得出租用x辆甲种客车与总租金用y的函数关系是解决问题的关键． （1）甲种大客车每辆车的租金为x元，则乙种大客车每辆的租金为元，根据题意，列出方程进行计算即可； （2）①根据租用5辆车不能将学生和老师运送完，且每辆汽车上至少要一名教师，所以只能租6辆得出结果； ②根据题意可列出y与x的等式关系，再化简整理得出x，y的表达式；再根据共有师生240人，费用不超过2300元，列不等式组求解出x的取值范围； ③由②中结论计算比较即可解答． 【详解】（1）解：设甲种大客车每辆车的租金为x元，则乙种大客车每辆的租金为元， 根据题意得：， 解得：， 则， 答：甲种大客车每辆车的租金为400元，则乙种大客车每辆的租金为280元； （2）①需要运送的总人数为（人）， ， 则租用5辆车不能将学生和老师运送完，且每辆汽车上至少要一名教师，所以只能租6辆，即， 故答案为：6； ②设租甲种客车x（辆）、学校租车所需的总费用y（元），依题意， 得 整理，得． 所以y与x的函数关系式为：； 由题意得， 解得， 为整数， 的值为4或5， （或）； ③则有两种租车方案： 甲种客车4辆，乙种客车2辆，租车需花费：（元）； 甲种客车5辆，乙种客车1辆，租车需花费：（元）． ， ∴最少租车费用是2160元， 则租甲种客车4辆，乙种客车2辆时，最节省费用，最小费用为2160元． 36．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）理论源于实践，理论指导实践．请你阅读以下案例，尝试用所学知识解决实际问题． 东区有肥料，西区有肥料．现要把这些肥料全部运往南，北两区，从东区往南，北两区运肥料的费用分别为30元/t和35元/t；从西区往南、北两区运肥料的费用分别为24元/和32元/．已知南区需要肥料，北区需要肥料． (1)设从东区往南区运吨肥料，则从东区往北区运__________吨肥料，从西区往南区运_______吨肥料，从西区往北区运__________吨肥料；（用含的式子表示，并化简结果） (2)的取值范围是______________； (3)设调运的总运费为元，求关于的函数解析式以及调运总费用最少的方案． 【答案】(1)；；； (2) (3)，从东区城运往南区0吨，运往北区250吨；从西区运往南区280吨，运往北区70吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元． 【分析】此题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，根据已知得出城和城运往各地的肥料吨数是解题的关键． （1）根据题意列表，列代数式即可得出结果； （2）由运量不能为负数，建立不等式组，即可求解； （3）根据题意得总费用与之间的函数关系式，再利用一次函数的增减性即可求解； 【详解】（1）解：设从东区往南区运吨肥料，分析列表如下（单位：吨）： 东区 西区 合计 南区 北区 合计 ∴从东区往北区运吨肥料，从西区往南区运吨肥料，从西区往北区运吨肥料； 故答案为：；；； （2）解：根据题意得： ， 解得：； 故答案为：； （3）解：由题意可得： 整理得： ∵，随的增大而增大，， ∴当时，， ∴从东区城运往南区0吨，运往北区250吨；从西区运往南区280吨，运往北区70吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元． 37．（24-25八年级下·广西南宁·期末）某学校组织八年级学生外出参加研学活动，计划租用客车若干辆．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下： 客车类型 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 400 280 此次研学活动，学校共有322名学生和8名教师需要乘车，每辆车至少安排1名教师跟车管理． (1)共需租___________辆车？（直接写答案） (2)设租用甲型客车辆，租车总费用为元，求出与的函数关系式，并求出共有哪几种可行的租车方案． (3)租车公司为了回馈学校，将甲型客车每辆租金下调3元，乙型客车每辆租金下调元（），若租车的最低费用是2160元，求的值． 【答案】(1)8 (2)；共有3种可行的租车方案．方案一：租用甲型客车6辆，乙型客车2辆．方案二：租用甲型客车7辆，乙型客车1辆．方案三：租用甲型客车8辆，乙型客车0辆 (3)40 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 【详解】（1）解：如果全部租用甲型客车，则需要（辆）， 如果全部租用乙型客车，则需要（辆）， ∵客车辆数为整数，且有8名教师，每辆客车上至少要有1名教师， ∴共需租8辆客车． 故答案为：8； （2）租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆 得 得 又为整数且不超过8辆， 解得 共有3种可行的租车方案． 方案一：租用甲型客车6辆，乙型客车2辆． 方案二：租用甲型客车7辆，乙型客车1辆． 方案三：租用甲型客车8辆，乙型客车0辆． （3）下调后的租车费用为： ， ①当，即时，随的增大而增大， 则时，有最小值2160元，求得， ②当，即时，与题意不符，舍去． ③当，即时，随的增大而减小， 则时，有最小值2160元， 求得，不符题意，舍去． 综上所述，若租车的最低费用是2160元，的值为40． 题型十一 一次函数实际应用的最大利润问题（共3小题） 38．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元. (1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共300个，且甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，已知甲种型号头盔每个售价为65元，乙种型号头盔每个售价为70元，设甲种型号头盔购进了个，全部售出后的利润为元. ①求的最大值. ②受原材料和工艺调整等影响，商场实际采购时，甲种头盔进货单价上调了元，同时乙种头盔进货单价下调了元，该商场决定不调整两种头盔的售价，发现将300个头盔全部卖出获得的最低利润是4200元，求的值. 【答案】(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元，元； (2)①；② 【分析】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数的应用，根据题意正确列出二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数是关键． （1）设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元，根据题意列出方程组解方程组即可； （2）①设甲种型号头盔购进了个，则甲种型号头盔购进了个，根据题意得到，求出，根据一次函数的性质进行解答即可；②列出一次函数解析式，分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元， 则， 解得 答：甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元，元； （2）①设甲种型号头盔购进了个，则乙种型号头盔购进了个， ∴， 由题意可得， 解得， ∵，其中，， ∴随着x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为． ②由题意可得，， ∵， ∴当即时，随着x的增大而增大，当时，w取得最小值，最小值为， ∴， 解得， 当即时，随着x的增大而减小，当时，w取得最小值，最小值为， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴． 39．（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）某自行车商行销售10台A型和20台B型自行车的利润为4000元，销售20台A型和10台B型自行车的利润为3500元． (1)求每台A型自行车和B型自行车的销售利润； (2)该商行计划一次购进两种型号的自行车共100台，设购进A型自行车x台，这100台自行车的销售总利润为y元，求y关于x的函数关系式； (3)在（2）的条件下，若B型自行车的进货量不超过A型自行车的2倍，该商行购进A型、B型自行车各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)每台A型自行车销售利润为100元，每台B型自行车的销售利润为150元 (2) (3)商店购进34台A型自行车、66台B型自行车，才能使销售总利润最大，最大利润是13300元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一次函数关系式；（3）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每台A型自行车销售利润为a元，每台B型自行车的销售利润为b元，根据某自行车商行销售10台A型和20台B型自行车的利润为4000元，销售20台A型和10台B型自行车的利润为3500元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据（1）的结果列出一次函数关系式即可； （3）设购进A型自行车x台，则购进B型自行车台，根据B型自行车的进货量不超过A型自行车的2倍，列出一元一次不等式，解不等式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设每台A型自行车销售利润为a元，每台B型自行车的销售利润为b元， 根据题意得：， 解得：， 答：每台A型自行车销售利润为100元，每台B型自行车的销售利润为150元； （2）解：根据题意得：， 即y关于x的函数关系式为； （3）解：设购进A型自行车x台，则购进B型自行车台， 根据题意得：， 解得：， 由（2）可知，， ， 随x的增大而减小， 为正整数， 当时，y取最大值，最大值， 此时，， 答：商店购进34台A型自行车、66台B型自行车，才能使销售总利润最大，最大利润是13300元． 40．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）清华附中合肥学校C22级学生在暑期职业探究课程中，有学生选择了到某商店体验当“小店长”的一天，进货时与厂家沟通了解到，购进4件A商品和12件B商品共需360元，购进8件A商品和6件B商品共需270元． (1)请你算出A，B两种商品每件的进价； (2)店里计划将5000元全部用于购进A，B这两种商品，设购进A商品件，B商品件． ①求与之间的关系式： ②店里进货时，厂家要求A商品的购进数量不少于100件，已知A商品每件售价为20元，B商品每件售价为35元，设店里全部售出这两种商品可获利W元，请你算出W与之间的关系式和该店所获利润的最大值． 【答案】(1)每件A商品的进价是15元，每件B商品的进价是25元； (2)①(，且为5的正整数倍)；②W与之间的关系式为(，且为5的正整数倍)；该店所获利润的最大值为1900元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组，利用一次函数的性质求最值是解题的关键； （1）设每件A商品的进价是元，每件B商品的进价是元，根据题中等量关系可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据各数量之间的关系，找出与之间的关系式，再结合，均为正整数，即可得出的取值范围； 根据各数量之间的关系，找出与之间的关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）设每件A商品的进价是元，每件B商品的进价是元， 根据题意，得， 解方程组，得． 答：每件A商品的进价是15元，每件B商品的进价是25元． （2）（2）根据题意，得， ， ， ， ， 又，为正整数， ， 与之间的关系式为(，且为5的正整数倍) ． 根据题意，得 ， ， ， 随的增大而减小， 又， 当时，取得最大值，最大值为， 答：与之间的关系式为(，且为5的正整数倍)，该店所获利润的最大值为1900元． 题型十二 全等三角形的综合问题（共3小题） 41．（24-25八年级上·山东德州·期末）【教材呈现】数学教材中有这样一道习题：“如图，，，，，垂足分别为，，若，，求的长．”请写出此题的解答过程； 【类比探究】如图，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角，已知：，．猜想：线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】【小题1】； 【小题2】，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是找全等三角形，利用全等三角形对应边相等找边之间的关系． 根据垂直的定义可得：，根据同角的余角相等可证，利用可证，根据全等三角形对应边相等可得：，，从而可得； 根据，，，可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ； 解：， 理由如下， ，，， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ． 42．（24-25八年级上·山东济宁·期末）（1）问题：如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是14，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，，； （2）同理（1）证明即可； （3）同理（2）可得，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】（1）证明：直线，直线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：结论成立；理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：同理（2）可得，， ∴， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ∴，， ， ∴， ∴， ∴与的面积之和为． 43．（24-25八年级下·广东东莞·期末）《几何原本》中提供了一种证明勾股定理的方法． 已知：如图， 中，． 求证：． 证明思路如下： 【步骤一】分别以为边长向外作正方形，连接．可证； 【步骤二】过点作，交于点，由，易得矩形与面积之间的数量关系，同理也可得正方形与面积之间的数量关系； 【步骤三】证明； 【步骤四】同理可证，． 所以， 又因为， 所以． (1)请写出【步骤一】中证明的过程； (2)请直接写出【步骤二】中矩形与，正方形与面积之间的数量关系； (3)请写出【步骤三】中证明的过程． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定以及由图形面积的关系来证明勾股定理和面积的知识，需熟练掌握三角形全等中边角边的证明方法；且熟知平行线间的距离相等，即三角形同底是解决本题的关键． （1）由正方形的性质可得边相等，再由边角边的证明方程证明即可． （2）由平行线之间的距离相等，可得三角形的高与矩形的宽相等，再由三角形的面积公式以及矩形的面积公式代入求解即可． （3）由数量关系可将矩形的面积转化为的面积来求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ． ，即． ， ． （2）解：，且， ，， ； 同理可知，，， ． 故数量关系为：． （3）解：由（1）得，， ， 在正方形中，， ． 由（2）得，， ． 题型十三 坐标系中的全等三角形问题（共6小题） 44．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）综合与实践 在数学实践探究课上，王老师让同学们将等腰直角三角尺放在平面直角坐标系中展开探究： 【操作猜想】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，顶点恰好落在点处，则顶点的坐标为； 【类比探究】 （2）如图②，直线与轴、轴分别交于点，，过点作线段且，直线交轴于点． ①求直线的函数表达式和点的坐标； 【拓展探究】 ②如图③，点'是点关于轴的对称点，，分别为直线，轴上的动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点，的坐标． 【答案】（1）；（2）①，；②点P，Q的坐标分别为或 【分析】（1）通过作辅助线构造全等三角形（），利用全等三角形对应边相等求出点的坐标． （2）①先求出直线与坐标轴交点、坐标，再作辅助线构造全等三角形（）得到点坐标，最后用待定系数法求直线的函数表达式． ②先根据对称得到坐标，设出、坐标，分两种情况（且；且 等，解析中是通过构造全等三角形求解），利用全等三角形性质列方程求出、坐标． 【详解】解：（1）分别过点，作轴于点，轴于点，则， ， 又， ， ， 又， ， ， ， 点； （2）①令，解得； 令，则， 点，点， ，， 过点作轴于点，则， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， 点， 设直线的函数表达式为， 将点，分别代入， 得， 解得， 直线的函数表达式为， 当时， 解得， 点； ②点是点关于轴的对称点， 点， 设点，， 若是以点为直角顶点的等腰直角三角形， 分如下两种情况讨论： (i)当在点左侧时， 如答图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，则同①可得， ，， ，， 解得，， 此时点，； (ii)当在点右侧时，如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，则同①可得， ，， ，， 解得，， 此时点，， 综上所述，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，点，的坐标分别为或 45．（24-25八年级下·四川成都·期末）一次函数（为常数，且）分别与轴，轴交于两点，点是一次函数图象上一动点，设点的横坐标为． (1)若点的纵坐标为2，求的值； (2)在（1）的条件下，如图1，将一次函数的图象向下平移，交轴于点，交轴于点，连接交x轴于点，过作轴于点，当时，问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)如图2，过点作轴于点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交y轴于点，记的面积为，的面积为，点在运动过程中，当是的中点且时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)是定值，为 (3) 【分析】（1）根据题意可得，求出即可； （2）先求直线的解析式为，则，再求直线的解析式为，则 ，分别求出，可得 ； （3）过点作轴，过点作于，过点作于，可证明，求出 ），再由是的中点，求出，从而确定各点坐标，最后由，求出即可求点坐标． 本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）∵点的纵坐标为2， ∴， 解得； （2）为定值，理由如下： ∵轴于点 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线的解析式为， 代入得， ∴为， ∴， 设直线的解析式为， 代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 令，求得， ∴， ∴， 一次函数中，当时，，解得， ∴， ∴， ∴； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴， 解得或（舍）， ∴， ∴， 解得， ∴． 46．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，点，． (1)点B在直线上，连接，将的面积分成相等的两部分，求点B的坐标； (2)点P从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度的速度从点N向x轴正半轴运动，设点P，Q运动的时间为t秒．如图，直线，交于第四象限的点D，已知点D的坐标是，求点P，Q运动的时间以及点P的速度． 【答案】(1) (2)点P，Q运动的时间为秒，点P的速度是每秒2个单位长度 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，一次函数的应用，一元一次方程的应用． （1）根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”及中点坐标计算公式计算即可； （2）设运动时间为t，点P的运动速度为每秒v个单位长度，用含t的代数式分别把点P、Q的坐标表示出来，利用待定系数法分别求出直线、的解析式，根据直线与坐标轴的交点可得点P、Q的坐标，再得到关于v和t的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点B是线段的中点， ∵，， ∴点B的横坐标为，点B的纵坐标为， ∴点B的坐标为； （2）解：设运动时间为t，点P的运动速度为每秒v个单位长度， 根据题意，，， 设直线的函数解析式为，代入、得， ， 解得， 直线的函数解析式为， 令，则， 解得， ∴， ∴， 解得， 设直线的函数解析式为，代入、得， ， 解得， 直线的函数解析式为， 令，则， ∴， ∴， 解得． 答：点P，Q运动的时间为秒，点P的速度是每秒2个单位长度． 47．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线；与直线交于点，与y轴交于点 (1)求直线的函数表达式； (2)若点P是直线上一点，且点P在y轴左侧，，求点P的坐标； (3)若点M在射线OA上，且∘，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）设直线的函数表达式为，把，代入解出k，b的值，即可得直线的函数表达式为； （2）设，其中，利用面积公式建立方程求出； （3）在x轴正半轴上取点K，使，连接，过A作于H，过H作轴，过B作于T，过A作于G，延长交x轴于N，证明，得，设，建立方程组求出点的坐标，即可求得直线的解析式为，求出点的坐标，再根据角的关系可得，即知和N关于y轴的对称点，即，故直线的解析式为，联立求出点M的坐标 【详解】（1）设直线的函数表达式为， 把，代入得：， 解得， 直线的函数表达式为； （2）设，其中，如图： ，， ， ∵， ∴； ∴， 解得 ， ∴； （3）在x轴正半轴上取点K，使，连接，过A作于H，过H作轴，过B作于T，过A作于G，延长交x轴于N，如图： ∴，AH⊥BK， 是等腰直角三角形， ，， ∴， ∵， ， ∴， 设， 又，， ∴， 解得， ∴， 由，得直线的解析式为， 令得，， 解得， ∴， ∵，，即， ∴， 为关于y轴的对称点， ∴， 由，得直线BM的解析式为， 联立，解得， 点M的坐标为． 48．（24-25八年级下·湖南常德·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴和y轴于A，B两点，点A坐标为，点B坐标为．点在直线上． (1)求直线的表达式； (2)点D是x轴上的一个动点，当时，求点D坐标； (3)如图2，点E坐标为，连接，在直线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为 (2)D的坐标为或 (3)存在，P的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法可得直线的表达式为； （2）求出，，知，故，得，即可得D的坐标为或； （3）分两种情况：当P在下方时，过C作于H，过H作轴，过C作于M，过E作于N，证明，设，可得，从而，直线解析式为，联立，解得；当P在上方时，同理可得． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：把代入得：， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴D的坐标为或； （3）解：在直线上存在一点P，使得，理由如下： 分以下两种情况讨论： 当P在下方时，过C作于H，过H作轴，过C作于M，过E作于N，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， 由，可得直线解析式为， 联立， 解得， ∴； 当P在上方时，过C作于H，过H作轴，过C作于M，过E作于N，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， 由，可得直线解析式为， 联立， 解得， ∴； 同理可得， 综上所述，P的坐标为或． 49．（24-25八年级下·广东惠州·期末）数学建模 【模型建立】如图，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用． 【模型探索】 （）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于：，两点．以线段为直角边在的右边作等腰直角，直接写出点的坐标：_____，______，_____． （）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，，是直线上的两动点，连接，．若，，求长的最小值． 【模型应用】 （）如图，在（）的情况下，经过点的直线与轴交于点，为线段上的一点，作射线．若，求直线的函数解析式． 【答案】（），，；（）；（） 【分析】（）过点作轴于点，由一次函数解析式可得，，即得，，再证明，得到，，进而即可求解； （）当时，最小，由一次函数解析式可得，，即得，进而证明，得到，利用勾股定理求出即可求解； （）过点作于点，过点作轴于点，交过点和轴的平行线于点，可得为等腰直角三角形，即得，同理（）可证，得到，，又由四边形为矩形可得，，由一次函数解析式得，即得，设， 则，，由，列出方程组求出的值，进而得到点的坐标，最后再利用待定系数法解答即可求解． 【详解】解：（）如图，过点作轴于点，则， ∵一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， ∴，， ∴，， ∵是以为直角边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，，； （）如图，当时，最小， ∵， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴长的最小值为； （）如图，过点作于点，过点作轴于点，交过点和轴的平行线于点， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理（）可证， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵直线与轴交于点， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵，， ∴， 解得， ∴， 设直线的函数解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为． 题型十四 等腰三角形的性质与判定综合（共3小题） 50．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）（1）问题发现：如图1，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______； ②线段、之间的数量关系为______． （2）拓展探究：如图2，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 【答案】（1）①，②；（2），，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答； （2）证明，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到；，从而得，，由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，进而即可得到结论； （3）由等腰三角形的性质得： ，结合和是等腰三角形，即可得到答案 【详解】解：（1）①∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴； ② ∵， ∴；                （2），理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，为中边上的高， ∴， ∵， ∴； （3）∵是等腰三角形，， ∴ ， ∴， 同（1）可得：， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴， ∴． 51．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”， (1)如图1，三角形内角分别为，，，这个三角形 （填“存在”或“不存在”）“黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D．求证：是的一条“黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 【答案】(1)存在 (2)见解析 (3)符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数是或或或． 【分析】（1）根据给定的将分为和即可双腰三角形； （2）根据垂直平分线得，可得是等腰三角形，利用三角形外角定理，即可证得是等腰三角形，那么结论成立； （3）当是一个等腰三角形，且它是“准黄金三角形”时，有四种情形，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，作的垂直平分线交于点D，连接， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴这个三角形存在“黄金线”； 故答案为：存在； （2）证明：∵线段的垂直平分线交于点E， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是的一条“黄金线”； （3）解：一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，有以下四种情况： ①如图3，，， ∴， ∵是一个“准黄金三角形”， ∴和都是等腰三角形， ∴， 此时等腰三角形的顶角为； ②如图4，设， ∵， ∴，， 则， 解得， 此时等腰三角形的顶角为； ③如图5，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 此时等腰三角形的顶角为； ④如图6，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时等腰三角形的顶角为； 综上，符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数是或或或． 52．（25-26八年级上·天津北辰·期中）如图，在中，，． (1)平分，交于点，，交的延长线于点，求证：；（提示：分别延长、交于点） (2)点为的中点，交于点，求的度数； (3)点，分别是，上的动点，且，当的值最小时，的度数是_______．（直接写结果） 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理、外角定理等等，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）延长、交于点，利用证，得到，由可知，即可得出结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，根据同角的余角相等得到，根据三角形的外角性质解答即可； （3）过点作，使，证明，求得，当点、、共线时，最短，即取最小值，证明是等腰三角形，据此求解即可． 【详解】（1）解：延长、交于点，如图1， 则， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作，使， ∵，，， ∴， ∴， 当点、、共线时，最短，即取最小值， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十五 坐标系中的等腰三角形问题（共3小题） 53．（24-25八年级上·广东汕头·期末）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线于于E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线于于，求的长； (3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，在平面直角坐标系中是否存在一点B，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出B点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，点B的坐标为或或或或或 【分析】（1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：①当时，；②当时，；③当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：在平面平面直角坐标系中存在点B，使得为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ①当时，，如图3，过点A作轴，过点C作于E，过点B作于F， 同（1）得：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； ∵点B在平面直角坐标系中， ∴点关于点对称的点也满足条件； ②当时，，如图4，过点C作轴，过点A作于E，过点B作于F， 同（1）得：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； ∵点B在平面直角坐标系中， ∴点关于点对称的点也满足条件； ③当时，，如图5，过点B作轴，交x轴于F，过点C作于E， 同（1）得：， ∴，， 设，则， ∵，， ∴，， ∴， 解得：， ∴； ∵点B在平面直角坐标系中， ∴点关于线段中点对称的点也满足条件； 综上，使为等腰直角三角形，点B的坐标为或或或或或． 54．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于两点，过轴正半轴上一点作直线交轴正半轴于点，且． (1)求出直线对应的函数解析式； (2)点是线段上一动点（不与点重合），交于点，连接，判断的形状，并说明理由； (3)若点为直线上的点，点为轴上的点．请问：直线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)等腰直角三角形，理由见解析 (3)存在，点坐标为 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，涉及待定系数法求一次函数解析式、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定与性质是解题的关键． （1）根据全等求出，，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）证明，即可得到是等腰直角三角形； （3）设，当点在点上方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，则，可得，再由点在直线上，得到，即可求；当点在点下方时，同理可得． 【详解】（1）解：当时，，则， ， 当时，，则， ， ， ，， ，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得： ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：， ， ， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形， 理由如下： 为直线上的点， ， ， 设， 当点在点上方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，如图所示： ， ， ， ， ， ，， 令， 则点到轴距离为，点到轴距离为， ， 点在直线上， ， 解得， ； 当P点在E点下方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，如图所示： ， ， ， ， ， ，， 令， 则点到轴距离为，点到轴距离为， ， 点在直线上， ， 解得， ； 综上所述：点坐标为． 55．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，点在轴的负半轴上，且，点为内一点． (1)求直线的函数表达式； (2)如图，点D，直线交于点，求的值 ． (3)如图，点是线段上的动点点不与，重合，连接，，若是以为斜边的等腰三角形，点是线段的中点，连接，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值为 【分析】（）在直线求出交点，进而得出的值，根据已知求得点，用待定系数法可得直线的函数表达式； （）先求出直线表达式，联立 与的方程得坐标，再分别计算 和的面积，即可解答． （）利用中点性质延长到，构造全等三角形，根据如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．≌，根据全等三角形的对应角相等，等量代换得；再证明≌利用等腰直角三角形性质证明为等腰直角三角形，从而确定的度数． 【详解】（1）解：在中，令得， ， ， ， 设直线的函数表达式为， 把点，代入，得： ， 解得， ； （2）设直线的函数表达式为， ， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵直线交于点， ∴联立， 解得， ∴Q点坐标为（1，3）， ∵在中，令，，得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ． （3）是定值，的度数为，理由如下： 延长到，使，连接，，如图： 设，，， ∵点是线段的中点， ，， 在和中， ≌， ，， ∵， ∴，即， ∵是以为斜边的等腰三角形， ∴， ∵， ∴ ∵是的外角， ， ， ， ∵， ， ， ， ∴， ，， ， 在与中， ， ≌， ，， ， ． 题型十六 等边三角形的性质与判定综合问题（共3小题） 56．（24-25八年级上·四川乐山·期末）在等边的两边所在直线上分别有两点为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系． (1)如图1，当点在边上，且时，之间的数量关系是 ；此时 ； (2)如图2，点在边上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； (3)如图3，当分别在边的延长线上时，若，则 （用、表示）． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等，综合性强，难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法. （1）先证是等边三角形，再证然后根据特殊直角三角形的性质即可求出、、之间的数量关系； （2）在的延长线上截取，可证，可得，再证△，由全等三角形的性质可得结论仍成立； （3）在上截取，连接，可证△，可得，然后证得∠，可证，即可得出，据此计算即可求解. 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，，， ∴，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：，； （2）（1）问的两个结论还成立； 证明：如图②，在的延长线上截取，连接， ，， ， ， ∴， ， ， ∵， ， ， 的周长为：， ； （3）如图③，在上截取，连接， 同（2）可证， ， ∴， ， ， ， 又， ， ， ， ， ∵等边的周长为， ， 的周长 ， ∴， 故答案为：． 57．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）在中，点为上一点，为上一点，连接、、，已知． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，点是的中点，过点作的垂线，分别交于点，交于点，交于点．求证：． (3)如图3，中，若，为线段上一点，为线段上一点，且，点在下方，若，，连接，当取最小值时，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3)4 【分析】（1）先证明，则，再由等边对等角得到，然后通过即可求解； （2）过点作的平行线交的延长线于点，先证明，则，再证明，则，得到，由可知，则，故； （3）连接，可得为等边三角形，然后证明，则，故当时，最短，再根据角直角三角形性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）证明：过点作的平行线交的延长线于点， 由（1）得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，最短， ∴， ∴， ∴． 58．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知是边长为10的等边三角形，P是边上一点，点Q在射线上．设的长为x． (1)如图1，当，且时．求证：； (2)当时，连接，交边于点D，且D是线段的中点． ①如图2，作交于点E，且，求x的值； ②如图3，作于点F．随着x的增大，线段的长是否发生变化？若不变，求线段的长；若发生变化、请说明理由； ③如图4，长为1的木条在边上，且．若②中的点F恰好落在木条上（不包括端点），请直接写出x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①13；②不变，；③ 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）结合等边三角形性质证明全等即可； （2）①由（1）知，，先证明是等边三角形，得到，再证明，得到，即可得解； ②作，交于E，由①知，是等边三角形，，则，再根据等边三角形三线合一的性质可得，即可得解； ③分两种情况讨论：当点F在M处时，作，交于E；当F在N处时，结合上述结论求解即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， ， ； （2）解：①由（1）知，， ， ，，， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ， ； ②如图1，的长不变，理由如下， 作，交于E， 由①知，是等边三角形，， ， ， ， ， 的长不变； ③如图2，当点F在M处时，作，交于E， 由上知，是等边三角形，， ， 此时， 当F在N处时，此时， ， ， ． 题型十七 坐标系中的等边三角形问题（共2小题） 59．（24-25八年级上·江苏南通·期末）已知，，且，满足，，点关于轴的对称点为． (1)求，的值和点的坐标； (2)如图1，点在的延长线上，点在边上，且，连接，若点为的中点，求证：； (3)如图2，若点在线段上，点在线段上，满足，试探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识及利用非负性求值，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由非负性可求，的值，可求得点的坐标，再根据关于轴对称坐标的特征，即可求得点的坐标； （2）根据（1）中所求坐标，可知是等边三角形，过点作交于，可得也是等边三角形，利用垂直平分线的性质可得，，，可得（），从而得到，延长至，使得，连接，可得（），从而得到，，可证得（），即可证得； （3）在上截取，连接，在的延长线上截取，连接，由“”可证，可得由外角的性质可得，可得结论． 【详解】（1）解：∵，即 ∴，， ∴ ∵点关于轴的对称点为 ∴点的坐标为： （2）由（1）可知，，， ∴，，由勾股定理，得：， ∴是等边三角形，则， 过点作交于，可得也是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵点为的垂直平分线与的交点， ∴， ∴ 在与中， ∴（）， 又∵ ∴， 延长至，使得，连接， 又∵点为的中点， ∴ 又∵ ∴（） ∴， ∴ 又∵， ∴，即， 在与中， ∴（） ∴ （3），理由如下： 如图2，在上截取，连接，在的延长线上截取，连接， 由（2）可知是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 60．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． (1)如图1，判断的形状，并说明理由； (2)如图1，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； (3)如图2，，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 【答案】(1)为等边三角形；理由见解析 (2)见解析 (3)；证明见解析 【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得结论； （2）根据证明，得，由8字形可得，最后由含角的直角三角形的性质可得结论； （3）如图2，在上截取，先证，方法是根据题意得到三角形为等边三角形，三角形为等腰直角三角形，确定出度数，根据，且，得到度数，进而确定出为，再由，得到，再由，且夹角，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，得到三角形为等边三角形，得到，由，等量代换即可得证． 【详解】（1）证明：，， ， ， 是等边三角形； （2）证明：由（1）知：是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3）解：，证明如下： 如图，在上截取，连接， ∴，即， ， ， 为的中点，， 平分，即， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 1．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的格点，其顺序按图中箭头的方向排列，如第一个格点为，以下依次为，其中记第个格点的坐标值为，前个格点的坐标值之和为，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题考查了坐标的规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键． 根据图形可得推出是前8个为一组，后面16个为一组，再是24个为一组，以此类推，推出第2025个格点为第几组的第几个，再推出的值即可，同理可求． 【详解】解：根据图形上的点分为为第一圈，有个点，即个点， 为第二圈，有个点，即个点， 为第三圈，有个点，即个点， 则第圈有个点， 则总计为个点， 当时，， 则第2025个格点是第23圈的第1个点， ∵第一圈的第一个点为，第二圈的第一个点为，第三圈的第一个点为，第四圈的第一个点为， 则第圈的第一个点为个点， ∴第23圈的第一个点为， ， 根据图形上的点分为为第一圈，根据对称性可得坐标值之和为0，为第二圈，同理坐标值之和为0， 以此类推，第三圈的坐标值之和为0，第圈的坐标值之和为0， ∵第2025个格点在第23圈的第1个点，且前22圈的坐标值之和为0， ∴， 故选：B． 2．在，两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离站的路程，(km)与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：①，两地相距为；②两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为；③客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一次函数的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键； 根据函数图象提供的信息即可判断①；分别利用待定系数法求出函数解析式即可判断②③；再由求出的值即可判断④； 【详解】解：由图象可得：，两地相距为，故①正确； ∵货车的速度为：， ∴货车到达地一共需要， 设两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为， ∵在图象上， ∴， 解得：， ∴两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：， 故②正确； 设客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：， ∵在图象上， ∴，解得：， ∴客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：， 故③正确； 由相遇得：， ∴， ∴， ∵，∴符合题意， 即客、货两车在小时相遇，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共个， 故选：D． 3．如图，，，，分别平分的外角、内角、外角，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定与性质．根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴，故②不正确； ③在中，， ∵平分的外角， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故正确的结论有①③④． 故选：C． 4．如图，是的中线，点E是的三等分点（点E靠近A），F是延长线上一点，，连接、、，G是的中点，连接．下列说法：①；②；③和的面积相等；④与的面积之比是．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形全等的判定和性质和三角形的中线，灵活运用知识点是解决本题的关键． 根据三角形中线可得，再根据全等三角形判定定理及性质可判断①；根据全等三角形性质可得，根据角之间的关系，结合三角形内角和定理可判断②；根据三角形面积之间的关系及全等三角形性质可判断③；根据三角形中线求三角形面积即可求出答案． 【详解】解：①∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，①正确， ②∵， ∴， ∴ ，②正确 ③， ∵， ∴， ∴，③正确； ④∵点E是的三等分点（点E靠近A），是的中线， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵G是的中点， ∴， ∴与的面积之比是，④错误． 综上所述，正确的有①②③，共3个． 故选：C． 5．如图，中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和、交于点，，连接．若，，，．则下列结论中正确的结论是（    ） ①；②是等边三角形；③；④． A．①④ B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】先求出，再根据角平分线的定义得，根据三角形内角和定理解答①；先说明平分，可得，再根据“角边角”证明，得出，解答②；根据含直角三角形的性质解答③；先说明，在根据解答④即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵的角平分线交于点O， ∴， ∴， ∴． 则①正确； ∵的角平分线交于点O，， ∴平分， ∴． ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 则②正确； ∵， ∴． 在中，． 则③正确； 由上述可知， ∵平分， ∴， ∴． 则④不正确． 所以正确的有①②③． 故选：B． 6．如图，在中，，，为中点，，分别是，两边上的动点，且，下列结论： ①； ②； ③，分别表示和的面积，则； ④的周长不变． 其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质可证，根据全等三角形的性质可证①结论正确；根据可证是等腰直角三角形，根据三角形外角的性质可证，根据角之间的关系可知，可得②结论正确；当点与点重合时，点与点重合，可得，当时，，可得：，可证③结论正确；的长度随的变化而变化，所以的周长是变化的，可知④结论错误． 【详解】解： ，，为中点， ，，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故①结论正确； ， ， ， ， 是的外角， ， ，故②结论正确； ， 当点与点重合时，点与点重合，此时取得最大值，即最大， 此时与重合， 则， 当时，，此时取得最小值，即最小， 此时，， 则， ，故③结论正确； ， ， ， 的周长， ，，即为等腰直角三角形， 斜边的长度随长度的变化而变化， 即的周长是变化的，故④结论错误； 综上所述，正确的结论有①②③． 故选：A． 7．如图，中，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点，若．下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正确的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识．由，，可得，从而得出，通过证明，得出，证明是等腰直角三角形，从而得到，证明，再证明，得出，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由②知，， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①②③④， 故选：D． 8．在平面直角坐标系中，对于点，若点Q为，则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且），例如：点的“2阶智慧点”为点，即点．若点的“阶智慧点”到x轴的距离为1，则m的值 ． 【答案】或 【详解】本题考查了点的坐标，理解“a阶智慧点”的定义是解题的关键．先求出点C的“阶智慧点”，再根据点到坐标轴的距离的意义求解即可． 【解答】解：∵，， ∴点的“阶智慧点”的坐标是， ∵点的“阶智慧点”到x轴的距离为1， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 9．已知一次函数和一次函数（为常数且）． （1）不论为任何不等于零的数时，一次函数（为常数且）的图象都经过一个定点，则这个定点坐标是 ； （2）若一次函数和一次函数（为常数且）图象的交点在第三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）将函数解析式变形，令参数系数为零，求解定点坐标； （2）联立方程求交点坐标，根据第三象限点特征列不等式组求解． 【详解】解：（1）由，变形为， 令， 解得， 把代入得， 故定点坐标为； （2）由题意得：， 联立方程：， 整理得：， 解得：， 代入得： ， ∵交点在第三象限， ∴且， 由于，不等式等价于： 且， 解不等式组，得或； 故答案为或． 10．在教材第23页综合与实践“确定匀质薄板的重心位置”中，我们发现长方形的重心在两条对角线的交点处，则如图a所示，长方形中，点，易知a图的重心坐标为（1，2）；而对于复杂的几何图形而言我们有分割法，可以将几何图形分割成若干个规则图形，求出各自的重心，再找其所在的关系．例如，对于正方形而言可以分割成两个长方形面积分别为，，则正方形的面积为，正方形的重心坐标与两个长方形的重心坐标，之间的关系为，，已知图b中，，，，则求出b图形的重心坐标 （结果保留小数点后一位）． 【答案】 【分析】本题主要考查图形与坐标，理解题意是解题的关键．延长交于点，根据题意分别求出长方形、长方形的重心坐标和面积，再代入复杂图形的重心坐标公式即可． 【详解】解：根据题意可知，图中长方形的重心坐标为， 延长交于点，如图， ∵， ∴， 由条件可知长方形的重心坐标为，面积为， ∵，，， ∴ 长方形的重心横坐标为， ∴ 长方形的重心坐标，面积为， ∴图形重心的横坐标， 纵坐标， 故答案为： 11．如图，，于点，于点，，分别是，上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤，其中正确的结论有 ． 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查角平分线的定义，线段的和与差运算，角的和与差运算，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 连接，可证明，得到，故① 正确；由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断，②错误；延长到点G，使，连接，先证明得，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：如图所示，连接， ∵于点于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，   ∴ ∴， ∴平分，故③⑤正确； 若平分，而， ∴，与题干信息矛盾，故④错误； 故答案为：①③⑤． 12．如图，中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和，交于点G，H，连接．若，，，．则下列结论中正确的有 （填序号） ①； ②是等边三角形； ③与互相垂直平分； ④． 【答案】①② 【分析】根据三角形的角平分线交于一点可得为的平分线，利用角平分线的定义和三角形的内角和定理，通过计算即可得出即可判断①正确；通过证明即可判断②正确；，为的角平分线，得到垂直平分，可证明，则不垂直平分，据此可判断③；根据角平分线的性质得到到的距离相等，设到的距离为，可求出，根据可判断④． 【详解】解：∵和的角平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵三角形的三条角平分线相交于一点， ∴为的角平分线， ∴， ∵以为边向两侧作等边和等边， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形，故②正确； ∵，为的角平分线， ∴垂直平分， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴点G不在线段的垂直平分线上， ∴不垂直平分，故③错误； ∵，，，为的角平分线， ∴到的距离相等， 设到的距离为， ∵ ∴， ∴ ，故④错误； ∴正确的有①② 故答案为：①②． 13．【感知】（1）如图1，在中，，点，分别在的边，上，以为边作，使点在内，则___________； 【特例探究】（2）在【感知】的条件下，若，则___________； 【类比探究】（3）在【感知】的条件下，之间有怎样的数量关系？请给予证明： 【变式探究】（4）如图2，在中，，点分别在的边上，以为边作，若点在外，且点与点位于异侧，则，之间的数量关系是___________ 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】本题考查三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）直接根据三角形内角和定理计算即可解答； （2）先求出，再根据角之间的关系得出即可解答； （3），根据特例探究，由特殊到一般的思想即可用一样的方法解答； （4）．先由直角三角形的性质得出，化简得到，再根据即可解答． 【详解】解：（1）在中， ； 故答案为：； （2）在中，， ， ，， ， ； 故答案为：； （3） 证明：，， ， ， ， ． 故答案为：； （4）． ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14．中，，点在直线上运动，点在的延长线上，点在平面内，且． 问题解决：如图1，若点运动到边的延长线上时，当时，___________； 类比探究：如图2，若点在线段上，猜想的关系并证明； 拓展延伸：如图3，若点在线段的延长线上，当时，请直接写出的面积． 【答案】问题解决：；类比探究：，理由见解析；拓展延伸： 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平角的定义等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键； 问题解决：先证，再由证得，得出，，即可得出结论； 类比探究：先证，再由证得，得出，，即可得出结论； 拓展延伸：先证，再由证得，进一步证明为直角三角形，即可求解． 【详解】问题解决： 解：，， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：3； 类比探究：线段、与之间是，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 拓展延伸：，， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， 为直角三角形， ． 15．如图1，在中，，过点C作射线．点M从点 B出发，以的速度沿匀速移动；点N从点C出发，以的速度沿匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接， 设移动时间为． (1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为 s； (2)当与全等时，①若点M、N的移动速度相同， 求t的值； ②若点M、N的移动速度不同，求a的值； (3)如图2，当点M、N开始移动时，点P 同时从点A 出发，以的速度沿向点B匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿返回．当点 M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)4 (2)①秒；②6． (3)2或 【分析】本题主要考查了行程问题、全等三角形的判定和性质、一元一次方程的应用等知识点，理解题意、灵活运用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． （1）根据时间、速度、路程的关系列式计算即可． （2）①利用全等三角形的性质，构建方程解决问题即可．②当时，两个三角形全等，求出运动实际t和a的值即可． （3）分两种情形分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解：点M的运动时间（秒）， 故答案为：4． （2）解：①∵点M、N的移动速度相同， ， ∵ ， 当时，与全等， ∴，解得：秒 ②∵点M、N的移动速度不同， ， ∴时，两个三角形全等， ∴，解得：， ∴a的值为6． （3）解：若点M、N的移动速度不同，则时，两个三角形有可能全等， ∴，解得： 若点M、N的移动速度相同，则，， ∴或，解得（舍弃）或， 综上所述，满足条件的t的值为2或． 16．【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： (1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． (2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； (3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 【答案】(1)B； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的中线的性质，勾股定理． （1）根据题干证明即可； （2）延长至点，使得，连接，根据中线的性质，全等三角形的判定和性质，则，可得，根据三角形三边的关系，可，即可； （3）延长至点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，根据平行线的性质，则，，根据角平分线的性质，可得，根据等量代换，等角对等边，即可证明． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B； （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明，如图，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．【发现结论】（1）如图①，在中，，，过点作于点．求证：． 【结论应用】如图②，在和中，，，且，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接． （2）的度数为 ； （3）猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （4）在中，，，在同一平面内有一点，满足，．且，请求出的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）（4）或 【分析】（1）证明，即可证明． （2）先证明，得到 ，即可． （3）证明，结合，即可得证． （4）过点A作于点M，连接，过点A作交于点H，设的交点为点N，证明，，，过点A作于点F，连接，过点A作交于点E，，，，解答即可． 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：在中，，， ∴ ∵, ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）解：的度数为；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 故答案为：． （3）解：，，之间的数量关系为． 理由如下：在中，，， ∴ ∵, ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （4）解：过点A作于点M，连接，过点A作交于点H， ∵， ∴， 设的交点为点N， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，，， ∴ ∵, ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 过点A作于点F，连接，过点A作交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，，， ∴ ∵, ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的面积为或． 18．【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E使，连接． 由已知和作图能得到，所以． 【思考发现】（1）如图1，的理由是（   ） A．       B．     C．     D． (2)请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为___________(写一个值即可)； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求(求证、证明)的结论集中到同一个三角形之中． (3)如图2，是的中线，交于E，交于F，． 探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】(4)如图3，在和中，，，且，连接，F为中点，连接并延长交于H，，则_______． 【答案】（1）B；（2）1（或3，5，7，9，11）；（3），理由见解析；（4）8 【分析】（1）由题意知，，，可得； （2）由得，在中，根据三角形三边关系可得，进而即可求解； （3）倍长至E，连 ，同（1），可证， 推出，结合，可得，由等边对等角可得，等量代换后可得； （4）倍长 至G，连，同（1），可证，进而证明，可得.最后根据即可求解． 【详解】解：（1）在和中， ， ， 故选：B； （2） ， ， 在中，，，， ∴， 即， ∵为奇数，， ∴的长可以为 1，3，5，7，9，11 中之一, 故答案为：1（或3，5，7，9，11）； （3），理由如下： 如图，倍长至E，连 ， 同（1），可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）如图，倍长 至G，连， 同（1），可证， ∴. ∵， ∴. 在 中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴. ∴， 故答案为：8． 19．已知是等边三角形，点是的中点，，两边分别交直线、于点、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当的两边分别交线段、延长线于点、时，作垂直于，求证： (3)如图3，当的两边分别交线段、延长线于点、时，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）取的中点，连接，可得是等边三角形，进而证明，即可得证； （2）取的中点，连接，同理可得，则，即可得证； （3）取的中点，连接，得出，设，则，，，得出，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，取的中点，连接， 同（1）可得是等边三角形， ∵ ∴ 同理可得， ∴， ∴ ∴ （3）解：如图，取的中点，连接， 同理可得， ∴， ∵，， 设，则，，， ∴ ∴ 解得： ∴ 20．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图1，直线的函数表达式为：，直线与轴，轴分别交于点，点，与直线交于点，直线与轴，轴分别交于点，点． (1)求直线函数表达式； (2)如图2，点是轴上的一个动点，过点作直线垂直于轴于点，交直线，直线分别于点，点，设点的纵坐标为，当时，求的值； (3)在直线上存在另一点，使得的面积是面积的2倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）求直线的解析式：先将交点的纵坐标代入的表达式，求出的横坐标，得到的完整坐标；再结合上的点，用待定系数法设出的表达式，代入两个点的坐标列方程组，求解得到的函数式． （2）求的值：先根据“垂直于轴”可知的纵坐标与的纵坐标相等，分别将代入、的表达式，求出的横坐标；再用横坐标的差的绝对值表示的长度，结合的长度（由、与轴的交点坐标差得到），根据“”列方程，求解得到的值． （3）求点的坐标：先求出的面积（以为底，的纵坐标为高），再根据“的面积是其倍”得到的面积；设出的坐标（利用的表达式用横坐标表示纵坐标），以为底，的纵坐标与的纵坐标的差的绝对值为高，列面积方程，求解得到的坐标． 【详解】（1）解：将点代入中，得，解得 ． ∴点的坐标为 设直线函数表达式为 将点、代入中，得 解得 ∴直线函数表达式为． （2）解：如图所示： 中，当时， ∴点的坐标为 在直线中，当时， ∴点A的坐标为 ∴． ∵直线轴于点，点的纵坐标为 ∴点，点的纵坐标都为 ∵点在直线上 ∴点的坐标为． ∵点在直线上 ∴点的坐标为． ∴ ∵ ∴ 解得，或． （3）解：令的得， ∴， ， 故面积为． 设，， ，得， 即，对应或． 21．如图，在等腰直角三角形中，，点A，C分别在x轴、y轴上，斜边交y轴于点D，直角边交x轴于点E． (1)如图1，若，，求点B的坐标． (2)如图2，y轴正半轴上有一点F，连接，则．当E恰为的中点时，连接，求证． (3)若是的平分线，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过点作轴于点，证明，得到，从而得到答案； （2）由（1）可知，，，接着证明，得到，，结合中点，得到，接着证明，，得到，从而得证； （3）由（1）可知，，，，，接着证明，，得到再证明，从而得到，最后得出结论． 【详解】（1）解：过点作轴于点，如图所示： 三角形是等腰直角形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ； （2）证明：由（1）可知，，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作轴于点，如图所示： 由（1）可知，， ，，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ． 22．如图，已知，，连接，过点作的垂线段，使，连接． (1)如图1，求点坐标； (2)如图2，若点从点出发沿轴向左平移，连接，作等腰直角，，连接，当点在线段（不与、重合）上，求证：； (3)在（1）的条件下若、，三点共线，请直接写出的度数及点坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)， 【分析】（1）作轴于H，证明，根据全等三角形的性质得到，，求出，得到C点坐标； （2）证明，根据全等三角形的性质得到，即可作答． （3）根据C、P，Q三点共线，得到，根据全等三角形的性质得到，求出，根据等腰直角三角形的性质求出，得到P点坐标． 【详解】（1）解：作轴于H，则，    ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴C点坐标为； （2）证明：如图，作轴于H，    ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， （3）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴当C、P，Q三点共线时，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴P点坐标为． 23．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）已知是等腰直角三角形，，点A在x轴的负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1，若点A的坐标是，点B的坐标是，过点C作轴于点H，则线段______，点C的坐标为______； (2)如图2，过点C作轴于点D，请猜想线段之间的等量关系并写出证明过程； (3)如图3，若x轴恰好平分，与x轴交于点E，过点C作轴于点F，请直接写出与之间的等量关系． 【答案】(1)；； (2)或，理由见解析 (3) 【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，解本题的关键是构造全等三角形． （1）先求出，，再判断出，，进而得出，即可得出结论； （2）同（1）的方法，进行分类讨论，即可得出结论； （3）先判断出，再判断出，进而判断出，得出，最后判断出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 故答案为：；； （2）解：或，理由如下： 当点在轴下方时，如图， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 当点在轴上方时，如图， 同（1）原理可得， ，， ， ； 综上，或； （3）解：如图，延长，相交于点， ， 轴， ， ， ， 在和中， ， ， ， 轴平分，轴， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05期末真题百练通关(60题17大压轴题型) 真题实战，百练通关 选填小压轴 解答压轴 题型1，坐标系中的规律探究间题 题型10一次函数实际应用的方案分配间题 题型2从函数图象获取信息 题型11一次函数实际应用的最大利润问题 题型3动点问题的函数图象 题型12全等三角形的综合问题 题型4多结论问题 题型13坐标系中的全等三角形问题 题型5一次函数与几何综合间题 题型14等腰三角形的性质与判定综合 题型6全等三角形综合 题型15坐标系中的等腰三角形间题 题型7等腰三角形性质与判定综合运用 题型16等边三角形的性质与判定综合问题 题型8坐标中的综合题」 题型17坐标系中的等边三角形问题 题型9一次函数与几何综合 题型一坐标系中的规律探究▣题（共3小题） 1.(24-25八年级下·江西南昌·期末)如图，小球起始时位于(3,0)处，沿图中所示方向击球，小球在球桌 上的运动轨迹如图所示.如果小球起始时位于(2,0)处，仍按原来的方向击球，小球第1次碰到球桌边时， 小球的位置是(0,2)，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是() 4 012345678x A.(2,4) B.(6,0) C.(8,2) D.(6,4) 2.(24-25八年级上·河南驻马店·期末)如图，△OA1A2,△OA2A3,△0A3A4.都是等腰直角 三角形，点A-10”A-1,1A10,21…按图中现律，An的坐标是（ A A 1/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-202,0 B.0,202 C.(-202,2102) D.-21013,0 3.(23-24八年级下山东枣庄·期末)如图，在平面直角坐标系中，A1,3,B1,1,C2,1,将 △ABC向左平移2个单位长度，得到△A1BC1:将△AB,C1关于原点中心对称，得到△A2B2C2:将 △A2B2C2向右平移2个单位长度，得到△A3B3C3:将△A3B3C3关于原点中心对称，得到△A4B,C4: 将△A4B,C4向左平移2个单位长度，得到△ABC5…若按此规律作图形的变换，则A2o24的坐标为 () 0 B2 Cs Bx A.2023,3 B.-2023,3 C.2023,-3 D.-2021,-3 题型二丛函数图象获取值息（共4小题） 4.(24-25八年级下·湖北武汉·期末)甲、乙两车从A地沿直路同向匀速行驶行往B地，现甲车在乙车前 500米处，设x秒后两车相距y米，y与x的函数关系如图所示，则乙车在整个运动过程中行驶的路程是( /米 500 100160175x/秒 A.3500米 B.3200米 C.4375米 D.4000米 5.(24-25八年级下·内蒙古兴安盟·期末)A,B两地相距80k,甲、乙两人沿同一条路从A地到B地. 甲、乙两人离开A地的距离s(单位：km)与时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则以下结论：① 乙比甲提前出发1h;②甲行驶的速度为40km/h;③3h时，甲、乙两人相距80km:④0.75h或1.125h时， 乙比甲多行驶10km.其中正确的个数为( ) 2/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 个s/km 甲 20 11.52 3 t/h A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.(24-25八年级上·山东青岛·期末)某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游，一部分同学步行，另 一部分同学骑自行车，沿相同路线前往.如图，11、12分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程 y(千米)与所用时间x(分钟)之间的函数图象，则以下四个结论中正确的有（填序号）· Ay(千米) 6 O 30 505460x(分钟) ①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟： ②步行的速度是6千米时： ③骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟： ④骑车的同学和步行的同学同时到达目的地. 7.(24-25八年级下·北京朝阳·期末)同一条公路连接A,B,C三地，B地在A,C两地之间.甲、乙两 车分别从A地、B地同时出发前往C地.甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶，乙 车休息前、后的速度不变（乙车加、减速时间忽略不计）·甲、乙两车之间的距离y(km)与时间x(h)的 函数关系如图所示.A,B两地相距 km;甲车行驶h,甲、乙两车相距10km. y/km 60 50 40 30 20 10 1 2 3 4 x/h 3/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三动点问题的函数图象（共4小题） 8.(24-25八年级下四川广安·期末)如图1（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位 长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y与点P运动的时间x(秒)之间的函数 关系图象如图2所示，则CD的长度为( ) 16x(秒) 图1 图2 A.6 B.7 C.8 D.9 9.(24-25八年级下…河北邢台·期末)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,点P沿 A一B一C→DA路线运动，设点P的运动路程为x,△ABP的面积为y,则能大致刻画y与x之间 的关系图象的是( ) B 6812元 02 B 12 12 A D 026812 10.(24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末)如图1，点E从菱形ABCD的顶点A出发，沿A-D-B方向 运动到对角线BD的中点O,如图2是△ECD的面积y随点E运动的路程x变化的图象，则m的值为( 12 m 5 E 6 B 图1 图2 4/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.4 C.5 D.6 11.(24-25八年级下·四川乐山期末)如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形.直线 ys、1 1 x由原点开始向上平移，所得的直线y= X+b与矩形OABC两边分别交于M、N两点，设 △OMN面积为S,S与b函数关系的图象如图2所示. SA B M 23 图1 图2 (1)点A的坐标为 (2)当2≤b≤3时，函数S与b函数解析式为 题型四一次函数与几何综合问题（共3小题） 2.（2425八年级下吉林长春期末)尼知直线yKx+6与直线，：y三x+m都经过C92 5'51 直线l交y轴于点B,交x轴于点A,直线2交y轴于点D,P为y轴上任意一点，连接PA、PC,则以下 结论： B y=kx+6 X=- 9 5 ①方程组 2x+m 的解为 2 y-5 ②若点Mm,a是直线，上的点，点Nm,b是直线，上的点，则当m>- 时，a>b: 5 ③△ABD的面积为6： ④当点P从点O运动到点B时，PA+PC的值先减小再增大； 5/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ⑤当PA+PC的值最小时，点P的坐标为0,1. 其中正确结论的序号是 13.(24-25八年级下·河北唐山期末)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的四个顶点坐标分别为 A1,2、B3,1、C5,2、D3,3直线：y=kxk≠0 y本 B (1)当直线1经过点D时，k的值为 _； (2)当直线l与菱形ABCD的边有公共点时，k的取值范围为 14.(24-25八年级上·安徽安庆·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线AB:y=kx+1k≠0交y轴于 点A,交x轴于点B3,0,点P是直线AB上方第一象限内的动点. B (1)点P是直线：X=2上一动点，当△ABP的面积与△ABO的面积相等时，点P的坐标为： (2)当△ABP为等腰直角三角形时，点P的坐标为—。 题型五全等三角形中的动点问题（共3小题） 15.(25-26八年级上·安微合肥期末)如图所示，AB=20cm,AP,BQ足够长，PA⊥AB于点A, QB⊥AB于点B,点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M,N运动的速度之比为2：3， 当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C,使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长 为( cm. P A.8或15 B.4 C.4或5 D.8 6/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.(25-26八年级上·河北石家庄·期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=10,点C在直 线I上.点P从点A出发，在三角形边上沿A一C一B的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边 上沿B→C→A的路径向终点A运动.点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运 动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点 时整个运动才能停止.在某时刻，分别过P和Q作PE⊥1于点E,QF⊥1于点F,则点P的运动时间等于 秒时，△PEC与△CFQ全等. A A.2 B.6 C.2或6 D.2或6或16 17.(25-26八年级上·安徽合肥期末)已知：△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D为直线BC上一 点，过点B作BG⊥直线AD于点G,过点C作CF⊥直线AD于点F. 图1 备用图 (1)如图1，若BG=7,CF=2,则GF= (2)当点D在直线BC上运动时，FG=10,BG=6,则CF= 题型六全等三角形综合（共3小题） 18.(23-24八年级上山东滨州·期末)如图，△ABC两个外角的平分线BD与CE相交于点P,PN⊥AC 于点N,PM⊥AB于点M,且BD‖AC,小明同学得出了下列结论：①PM=PN;②点P在∠CAB的平 分线上；③∠CPB=90°-∠A;④AB=CB.其中错误的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 19.(25-26八年级上·安徽合肥·期末)如图，四边形ABCD中， 7/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB‖CD,AB=4,CD=10,AD=AE,BF=BC,∠DAE=∠CBF=90°，则四边形AFBE的面积为 ⊙ E A.6 B.7 C.12 D.20 20.(25-26八年级上·四川眉山·期中)如图，在长方形ABCD中(AD>AB),点E是BC上一点，且 DE=DA,AF⊥DE,垂足为点F,在下列结论中，正确的个数是( ①△AFD△DCE:②∠BAF=∠DEC;③AB=AF;④BE=AD-DF D E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型七等腰三角形性质与判定综合运用（共5小题】 21.(25-26八年级上·河北邢台·期末)如图，已知在等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°， AD⊥BC于点D,点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC,下面的结论：① ∠APO+∠DCO=30°；②∠APO=∠DCO:③△OPC是等边三角形：④AC=AO+AP.其中正确的 是() A M B D A.①③④ B.①②③ C.①③ D.①②③④ 22.(24-25八年级上·重庆铜梁期中)如图，AD,CF分别是△ABC的高和角平分线，AD与CF相交 8/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于G,AE平分∠CAD交BC于E,交CF于M,连接BM交AD于H,且BM⊥AE.有下列结论：① ZCMA=I2D:②△ABC是等边三角形：③BC=BH+2NMH:④SAAM+SAAw+SAc)SA ABG 中，正确的结论的个数是() G E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 23.(24-25八年级上辽宁盘锦·期末)如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D,BE平分 ∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,DH⊥BC于H,交BE于G,下列结论：①BD=CD:② AE=BG:@AD+CF=BD:@CE=BF.其中正确的是( E G A.①③④ B.①②③④ C.①③ D.① 24.(24-25八年级上·江苏扬州·期末)如图，在△ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点 D,过点B作BM⊥AC于点M,连接MD,过点D作DN⊥MD,交BM于点N.CD与BM相交于点 E,若点E是CD的中点，则下列结论：①AC=BE;②DM=DN;③SADEN=3 SAEMC其中正确的有( )个. yy D M E B A.3 B.2 C.1 D.0 9/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25.(24-25八年级上·安微合肥期末)如图，已知△ABC中△ACB为钝角，以边AC,BC所在直线为 对称轴作△ABC的对称图形△ACD和△BCE,线段BE与AD相交于点F,CE交AD于G,CD交BE于 H,连接CF.有如下结论：①若∠ACB=150°，则∠BFD=60°；②若∠ECD=90°，则∠ACB=150°； ③CF平分∠AFB;④AF=CF+EF.其中错误的结论是( B A.① B.② C.③ D.④ 题型八坐标中的综合题（共3小题） 26.(24-25八年级上·北京·期末)在平面直角坐标系xOy中，对于点Ax1,y1,BX2,y2,记 dx=X,x2,d,y1y2,将d-dy称为点A,B的横纵偏差，记为A,B,即μA,B=d-dy 若点B在线段PQ上，将μA,B的最大值称为线段PQ关于点A的横纵偏差，记为A,PQ. (1)A0,-2,B1,4, ①μA,B的值是： ②点K在x轴上，若μB,K=O,则点K的坐标是 (2)点P,Q在y轴上，点P在点Q的上方，PQ=6,点M的坐标为-5,0. ①当点Q的坐标为0,1时，求μM,PQ的值： ②当线段PQ在y轴上运动时，直接写出μM,PQ的最小值. 27.(24-25八年级上·贵州六盘水·期末)读理解：“转化思想”和“数形结合思想”是解决数学实际问 题常用的两种思想方法，通常将几何问题转化为代数问题，将代数问题转化为几何问题，便于更好的理 解问题本质，或将未知问题转化为己知问题，复杂问题转化为简单问题进行解决，请合理应用数学思想 方法依次解决下列问题. 10/36