24.2解一元二次方程（基础篇）练习2025-2026学年冀教版数学九年级上册

24.2解一元二次方程 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 直接开平方法 1. 适用形式：方程可化为（）或（）的形式。 2. 求解步骤： · 对于（），直接开平方得，即，。 · 对于（），开平方得，进而解得，即，。 配方法 1. 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法。 2. 求解步骤： · 化二次项系数为1：方程两边同时除以二次项系数(a)，得。 · 移项：把常数项移到方程右边，得。 · 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得，左边化为完全平方式，右边合并同类项。 · 开平方：如果右边是非负数，即，则开平方得。 · 求解：解一元一次方程，得。 公式法 1. 求根公式：对于一元二次方程（），当时，方程的两个根为。 2. 判别式：。 · 当时，方程有两个不相等的实数根。 · 当时，方程有两个相等的实数根。 · 当时，方程没有实数根。 3. 求解步骤： · 确定方程中(a)、(b)、(c)的值。 · 计算判别式，判断方程根的情况。 · 若，代入求根公式计算方程的根。 因式分解法 1. 原理：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式中至少有一个等于0，那么它们的积等于0。即若，则或。 2. 求解步骤： · 移项：把方程化为右边为0的形式，即。 · 因式分解：将方程左边分解成两个一次因式的乘积形式，如。 · 转化为一元一次方程：令每个因式等于0，得到两个一元一次方程和。 · 求解：解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根。 型 习 练 题 根据判别式判断根的情况 1．下列关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程的是（ ） A． B． C． D． 2．方程的根的情况是（  ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 3．不解方程，判断一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 5．关于的一元二次方程中，实数、、满足，则（    ） A．此方程有两个相等的实数根 B．此方程有两个不相等的实数根 C．此方程有两个实数根 D．此方程无实数根 直接开平方法解方程 6．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．下列方程中可用直接开平方法求解的是(　　) A． B． C． D． 8．方程的解是（   ） A．， B． C．， D．， 9．下列方程一定有实数解的是（    ） A． B． C． D． 10．若是方程的一个根，则方程的另一个根为（   ） A． B．3 C． D．9 配方法解方程 11．用配方法解方程时，配方后正确的是（    ）． A． B． C． D． 12．用配方法解一元二次方程得，则b的值为（    ） A． B． C．6 D．2 13．用配方法解方程时，配方的结果是（   ） A． B． C． D． 14．把方程配方，化成的形式可以为（   ） A． B． C． D． 15．解方程经过配方后，其结果正确的是（    ） A． B． C． D． 公式法解方程 16．在用求根公式求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 17．是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 18．关于x的一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 19．用公式法解方程时，得，则“”处应填（） A． B．5 C． D．7 20．下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（   ）． A． B． C． D． 因式分解法解方程 21．若实数x，y满足，则的值为（   ） A．8或 B．5 C． D．8 22．一元二次方程的解是（       ） A． B． C．， D．， 23．以下是某同学用当下两款热门豆包、都解方程，解答过程如下所示： 豆包 DeepSeek 两边同时除以（），得． 移项，得． ∴． ∴或，解得． 其中完全正确的是（   ） A．豆包 B．豆包和 C． D．都不正确 24．解方程的适当方法是（   ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 25．小聪在解方程时，只得到一个根，则被漏掉的一个根是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.2解一元二次方程 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 直接开平方法 1. 适用形式：方程可化为（）或（）的形式。 2. 求解步骤： · 对于（），直接开平方得，即，。 · 对于（），开平方得，进而解得，即，。 配方法 1. 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法。 2. 求解步骤： · 化二次项系数为1：方程两边同时除以二次项系数(a)，得。 · 移项：把常数项移到方程右边，得。 · 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得，左边化为完全平方式，右边合并同类项。 · 开平方：如果右边是非负数，即，则开平方得。 · 求解：解一元一次方程，得。 公式法 1. 求根公式：对于一元二次方程（），当时，方程的两个根为。 2. 判别式：。 · 当时，方程有两个不相等的实数根。 · 当时，方程有两个相等的实数根。 · 当时，方程没有实数根。 3. 求解步骤： · 确定方程中(a)、(b)、(c)的值。 · 计算判别式，判断方程根的情况。 · 若，代入求根公式计算方程的根。 因式分解法 1. 原理：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式中至少有一个等于0，那么它们的积等于0。即若，则或。 2. 求解步骤： · 移项：把方程化为右边为0的形式，即。 · 因式分解：将方程左边分解成两个一次因式的乘积形式，如。 · 转化为一元一次方程：令每个因式等于0，得到两个一元一次方程和。 · 求解：解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根。 型 习 练 题 根据判别式判断根的情况 1．下列关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，准确的计算是解决本题的关键． 根据一元二次方程根的判别式进行逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，， ∴， ∴无实数根，不符合题意； B、在中，， ∴， ∴有两个相等实数根，不符合题意； C、在中，， ∴， ∴无实数根，不符合题意； D、在中，， ∴， ∴有两个不相等的实数根，符合题意； 故选D． 2．方程的根的情况是（  ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，当Δ<0时，方程无实数根．通过计算判别式的值判断根的情况． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴方程没有实数根． 故选：C． 3．不解方程，判断一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；通过计算得出，由此即可得解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴有两个相等的实数根， 故选：B． 4．下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根的情况与判别式的关系，掌握知识点是解题的关键． 通过计算每个一元二次方程的判别式，若，则方程没有实数根，即可解答． 【详解】解： A：， ， ∴，故没有实数根，符合题意． B：， 展开为， ， ∴，故有实数根，不符合题意． C：， ， ∴，故有实数根，不符合题意． D：， ， ∴，故有实数根，不符合题意． 故选：A． 5．关于的一元二次方程中，实数、、满足，则（    ） A．此方程有两个相等的实数根 B．此方程有两个不相等的实数根 C．此方程有两个实数根 D．此方程无实数根 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式． 通过给定条件代入判别式，化简得，因此方程总有实数根． 【详解】解：∵， ∴， 代入判别式：， ∴方程总有实数根， 故选：C． 直接开平方法解方程 6．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键． 方程左边为平方项，始终非负，因此右边也必须非负，方程才有实数根． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 解得 ． 故选：D． 7．下列方程中可用直接开平方法求解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程．直接开平方法适用于形如 (其中 为常数)的方程，可直接取平方根求解．选项A符合此形式，其他选项需先配方或因式分解，不能直接使用开平方法． 【详解】解：∵直接开平方法要求方程为 的形式，选项A：，符合条件，可直接开平方求解； 选项B：，需配方，且判别式为负，无法直接开平方； 选项C：，需因式分解，非直接开平方形式； 选项D：，需配方成 后才能开平方，非直接可用． ∴ 只有选项A可用直接开平方法求解． 故选：A． 8．方程的解是（   ） A．， B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程．通过直接开平方的方法求解方程，将方程转化为两个一次方程分别求解． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴ 方程的解为， 故选：C． 9．下列方程一定有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查用直接开平方法解一元二次方程，根据非负数的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，则一定有解，故该选项正确，符合题意；     B. ，即，无实数解，故该选项不正确，不符合题意； C. 当时，无实数解，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，即，无实数解，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 10．若是方程的一个根，则方程的另一个根为（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程--直接开平方法．根据一元二次方程的解的定义，将代入方程，求得c的值；然后利用直接开平方法求得方程的另一根． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴ 解得，； 故方程的另一根是； 故选：A． 配方法解方程 11．用配方法解方程时，配方后正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 先把移到方程的右边，然后方程两边都加1，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 12．用配方法解一元二次方程得，则b的值为（    ） A． B． C．6 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程−配方法，将一元二次方程配成的形式是解题关键． 根据配方法的结果，推出方程的标准形式，再与原方程比较系数求b． 【详解】∵配方法得， ∴， 展开得， 整理得． 原方程两边除以2得． 比较系数，得， ∴， ∴． 故选C． 13．用配方法解方程时，配方的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解决本题的关键．通过配方法将二次方程转化为完全平方形式，需计算一次项系数一半的平方，并平衡等式． 【详解】∵ ， ∴ （移常数项）． ∴ （加一次项系数一半的平方）． ∴（形成完全平方）． 故配方的结果为 ． 故选：A． 14．把方程配方，化成的形式可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，通过配方法将二次方程转化为完全平方形式，解题的关键步骤是添加一次项系数一半的平方． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即． 故选：B． 15．解方程经过配方后，其结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题的关键．先移项，然后左右两边加上一次项系数一半的平方，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 公式法解方程 16．在用求根公式求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式的结构，比较给定表达式，直接确定系数a、b、c的值，即可得到原方程． 【详解】解：∵求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到， ∴，，， ∴ 原方程为 ． 故选：B 17．是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程公式法求解，通过对比一元二次方程的求根公式，直接确定系数a、b、c的值，从而匹配对应方程 【详解】解：一元二次方程， ， ， ，即；，即； ， ， 故方程为 ， 故选：A 18．关于x的一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，熟记求根公式是解题的关键．直接应用一元二次方程求根公式，代入对应系数计算． 【详解】解：方程 中，，一次项系数为，常数项为． 代入求根公式 ，得： 与选项 A 一致， 故选：A． 19．用公式法解方程时，得，则“”处应填（） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 将方程化为标准形式，确定系数、、，再根据求根公式判断“□”处应填． 【详解】解：∵原方程， 移项得， ∴，，． 求根公式为， ∴“□”处应填． 故选A． 20．下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式． 通过对比一元二次方程的求根公式，直接确定公式中的系数a、b、c，从而匹配对应方程． 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且给定公式为， ∴，， 因此，方程为， 故选：C． 因式分解法解方程 21．若实数x，y满足，则的值为（   ） A．8或 B．5 C． D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的乘法运算，平方的非负性，得出，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 或 ， 若 ，则 ， 但 为实数，， 故 ，与 矛盾，舍去， ∴ ，即 ， 故选 D 22．一元二次方程的解是（       ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了运用因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键，注意不要两边同时约去，需要移项后运用因式分解法求解． 将方程移项为标准形式后因式分解，利用零乘积性质求解． 【详解】解：移项得： ， 因式分解得：， ∴ 或 ， ∴ ， ． 故选：C． 23．以下是某同学用当下两款热门豆包、都解方程，解答过程如下所示： 豆包 DeepSeek 两边同时除以（），得． 移项，得． ∴． ∴或，解得． 其中完全正确的是（   ） A．豆包 B．豆包和 C． D．都不正确 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 豆包在解方程时直接两边除以 ，未考虑 的情况，导致漏解；DeepSeek通过移项和因式分解求解，正确无误． 【详解】解：∵ ∴ 移项得 ∴ 提取公因式 得 ∴ 或 ∴， 豆包解法中，两边除以 时，若 ，则除零错误，且漏解，故不正确．DeepSeek解法完整正确． 故选：C 24．解方程的适当方法是（   ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，方程两边均含有表达式，通过移项后因式分解，可简化为两个一次方程求解，因此因式分解法最适当． 【详解】解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴或， 解得：或， 解该方程的适当方法是因式分解法， 故选：D． 25．小聪在解方程时，只得到一个根，则被漏掉的一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．通过因式分解法解一元二次方程，利用零乘积性质求根． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 即或． 小聪只得到，故被漏掉的根是． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $