专题11 指对幂比较大小讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦指对幂比较大小高考核心考点，按特殊值法、单调性法等六种方法系统架构知识，通过方法梳理、例题解析、规律总结等教学环节，帮助学生构建解题框架，突破比较大小难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以方法创新为亮点，如构造函数法培养数学思维，特殊值法发展数学眼光，设计分层例题（如例4构造函数对比大小），配合规律方法提炼，在有限时间内提升学生解题效率，助力教师精准把控复习节奏，有效提升应考能力。

专题11 指对幂比较大小 一、特殊值法比较大小 【例1】已知a＞b＞1，0＜c＜，则下列结论正确的是（　　） A.ac＜bc　 B.abc＜bac C.alogbc＜blogac　 D.logac＜logbc 规律方法 　　特殊值法是“小题小做”的重要策略，这种方法既可以提高做题速度和效率，又能提高准确性. 二、单调性法比较大小 【例2】（1）已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则a，b，c的大小关系为（　 　） A.a＜b＜c　 B.c＜a＜b C.b＜c＜a　 D.c＜b＜a （2）（2025·天津南开质检）设a＝log0.42，b＝log0.32，c＝0.30.4，则（　 　） A.a＜c＜b　 B.b＜a＜c C.c＜b＜a　 D.a＜b＜c 规律方法 单调性法比较大小的应用技巧 （1）底数相同，指数不同，如和，利用指数函数y＝ax的单调性比较大小； （2）指数相同，底数不同，如和，利用幂函数y＝xa的单调性比较大小； （3）底数相同，真数不同，如logax1和logax2，利用对数函数y＝logax的单调性比较大小. 三、中间值法比较大小 【例3】（1）若a＝（，b＝（，c＝log3，则a，b，c的大小顺序是（　 　） A.b＜a＜c　 B.c＜a＜b C.b＜c＜a　 D.c＜b＜a （2）（2025·广西高三开学考试）已知a＝sin，b＝20.1，c＝log2，则（　 　） A.b＞c＞a　 B.b＞a＞c C.a＞c＞b　 D.a＞b＞c 规律方法 　　在指数、对数中通常可优先选择“－1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计. 四、构造函数法比较大小 【例4】已知log2a＝（a≠2），log3b＝（b≠3），log4c＝（c≠4），则（　　） A.a＜b＜c　 B.c＜a＜b C.c＜b＜a　 D.a＜c＜b 规律方法 构造函数法比较大小的常见构造方法 （1）同形构造：根据结构构造统一函数，通过导数判断单调性，再根据单调性来比较数的大小； （2）不同形构造：可以两两做差构造新函数，再通过导数判断单调性，根据单调性来比较数的大小. 五、放缩法比较大小 【例5】（1）已知a＝0.8－0.4，b＝log53，c＝log85，则（　 　） A.a＜b＜c　 B.b＜c＜a C.c＜b＜a　 D.a＜c＜b （2）已知a，b，c 均为大于0的实数，且2a＝3b＝log5c，则a，b，c 大小关系正确的是（　 　） A.a＞b＞c　 B.a＞c＞b C.c＞a＞b　 D.c＞b＞a 规律方法 放缩法比较大小的常见放缩技巧 （1）利用平方法等寻找接近已知数的数进行放缩； （2）利用基本不等式进行放缩. 六、指、对互化法比较大小 【例6】（1）设a＝log23，b＝2log32，c＝2－log32，则a，b，c的大小关系为（　 　） A.b＜c＜a　 B.c＜b＜a C.a＜b＜c　 D.b＜a＜c （2）〔多选〕已知正数x，y，z满足3x＝8y＝15z，则下列说法正确的是（　 　） A.2x－3y＞0　 B.2x－3y＜0 C.x－5z＞0　 D.x－5z＜0 规律方法 当题目条件中出现连等式时，把连等式设为一个常参数，通过指数式与对数式的相互转化，进行大小比较.关键是熟悉指、对数运算公式，变形，及指数函数和对数函数的图象及性质. 专题11 指对幂比较大小 例1解析：C　取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝，则ac＝，bc＝，∴ac＞bc，故A错误；abc＝4×＝，bac＝2×＝，∴abc＞bac，故B错误；logac＝log4＝－1，logbc＝log2＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2，∴alogbc＜blogac，logac＞logbc，故C正确，D错误. 例2解析：（1）根据函数y＝0.3x在R上单调递减可知a＝0.30.6＜b＝0.30.5，根据函数y＝x0.5在R上单调递增可知b＝0.30.5＜c＝0.40.5，故a＜b＜c，故选A. （2）a＝log0.42＝，b＝log0.32＝，由y＝log2x在（0，＋∞）上单调递增，得log20.3＜log20.4＜0，所以＜＜0，所以a＜b＜0，由c＝0.30.4＞0，得a＜b＜c. 例3解析：（1）a＝（＝（＞b＝（＞1＝log3＞c＝log3，所以c＜b＜a，故选D. （2）a＝sin＝，因为20＜20.1＜21，所以1＜b＜2，因为log2＜log2＜log22，所以＜c＜1，所以b＞c＞a，故选A. 例4解析：C　由log2a＝⇒＝⇒＝，同理＝，＝，构造函数f（x）＝，f'（x）＝，当x＞e时，f'（x）＝＜0，当0＜x＜e时，f'（x）＝＞0，可得函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，而2＜e＜3＜4，又由＝，a≠2，c≠4，可得a＝4，c＝2，9＞8⇒2ln 3＞3ln 2⇒＞，又由e＜3，b≠3及f（x）的单调性，可知2＜b＜e，故c＜b＜a.故选C. 例5解析：（1）由＝＝＜＝＜1，得b＜c，又∵c＜1＜a＝0.8－0.4，∴b＜c＜a. （2）∵a，b，c均为大于0的实数，∴令2a＝3b＝log5c＝t＞1，进而将问题转化为函数y＝2x，y＝3x，y＝log5x的图象与直线y＝t＞1 的交点的横坐标的关系，故作出函数图象，如图，由图可知c＞a＞b. 例6解析：（1）c＝2－log32＝log39－log32＝log3＞log34＝2log32＝b，即c＞b，a－c＝log23＋log32－2＞2－2＝2－2＝0，∴a＞c，∴b＜c＜a. （2）∵x，y，z为正数，∴可设3x＝8y＝15z＝k＞1，则x＝log3k，y＝log8k，z＝log15k；对于A、B，2x－3y＝2log3k－3log8k＝logk－log2k＝lg k（－），∵lg 2＞lg ，∴＞，又lg k＞lg 1＝0，∴2x－3y＞0，A正确，B错误；对于C、D，x－5z＝log3k－5log15k＝log3k－lok＝lg k（－），∵lg＞lg，∴＜，又lg k＞lg 1＝0，∴x－5z＜0，C错误，D正确.故选A、D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $