专题07 函数的性质——单调性、奇偶性、周期性讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义围绕函数单调性、奇偶性、周期性等高考核心考点，按定义-性质-应用逻辑梳理知识，构建“知识点+题型+方法”体系。通过考点精析（如复合函数“同增异减”）、真题精讲（2024新高考Ⅰ卷等）、分层变式训练，帮助学生系统突破难点，体现复习的针对性。 资料采用“问题链驱动”教学法，以单调性判断、奇偶性应用等题型为载体，培养学生数学思维（逻辑推理）和数学语言（符号表达）能力。如通过对比一次函数与三角函数周期性，设计双对称问题专题突破，配合基础到综合分层练习，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控节奏提供清晰指引。

专题07 函数的性质—单调性、奇偶性、周期性 知识点一　函数的单调性 1.单调性的定义 定 义 要求x1，x2 一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，如果　∀　x1，x2∈I， 要求 f（x1）与f（x2） 当x1＜x2时都有　f（x1）＜f（x2） 当x1＜x2时都有　f（x1）＞f（x2） 结论 函数f（x）在区间I上　单调递增　 函数f（x）在区间I上　单调递减　 图象描述 自左向右看图象是　上升的 自左向右看图象是　下降的 2.单调区间的定义 如果函数y＝f（x）在区间I上　单调递增　或　单调递减　，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，　区间I　叫做y＝f（x）的单调区间. 结论 （1）函数单调性的两个等价结论 ①若,，且，有 在区间 上单调递增； ②若,，且，有 在区间 上单调递减.（2）若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： ①在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数； ②若k＞0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k＜0，则kf（x）与f（x）单调性相反； ③函数y＝f（x）（f（x）＞0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝的单调性相反. （3）复合函数 的单调性与 和 的单调性有关,简记“同增异减”. 题型一：函数单调性的定义及判断 【例1】（1）〔多选〕下列函数在（0，＋∞）上单调递增的是（　 　） A.y＝ex－e－x　 B.y＝｜x2－2x｜ C.y＝2x＋2cos x D.y＝ （2）函数y＝lo（x2－2x＋3）的单调递增区间为（　 　） A.（－∞，1）　 B.（－1，0） C.（－1，1） D.（1，＋∞） 规律方法 1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2.函数单调性的判断方法 （1）定义法；（2）图象法；（3）利用已知函数的单调性；（4）导数法. （5）复合函数法：①求函数的定义域;②求简单函数的单调区间;③求复合函数的单调区间,依据是“同增异减”. 提醒 函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不能用“∪”. 【变式1-1】下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）. A. B. C. D. 【变式1-2】函数f（x）＝（x－4）·｜x｜的单调递增区间是（　 ） A.（－∞，0）　 B.（－∞，0）∪（2，＋∞） C.（－∞，0）和（2，＋∞）　 D.（2，＋∞） 【变式1-3】设，都是上的单调函数，有如下四个命题，正确的是（    ） ①若单调递增，单调递增，则单调递增； ②若单调递增，单调递减，则单调递增； ③若单调递减，单调递增，则单调递减； ④若单调递减，单调递减，则单调递减. A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 题型二：函数单调性的应用 角度1　比较函数值的大小 【例2】已知定义在上的函数满足以下条件：①函数的图象关于直线对称；②对任意,，当时，都有，，的大小关系为（ ）. A. B. C. D. 规律方法 利用单调性比较函数值大小的方法 （1）若题目条件中有具体函数，比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，或采用插值法比较大小； （2）若题目条件中无具体函数，则需根据数值的结构特征构造函数，再利用其单调性比较大小. 角度2　解函数不等式 【例3】（1）函数y＝f（x）是定义在[－2，2]上的减函数，且f（a＋1）＜f（2a），则实数a的取值范围是（　　） A.[－1，0）　　　　　　　 B.（－1，0） C.[－1，1）　 D.（－1，1） （2）已知函数f（x）＝若f（a）＜f（6－a2），则实数a的取值范围是（　 　） A.（－∞，－2）∪（3，＋∞）　 B.（－2，3） C.（－∞，－3）∪（2，＋∞）　 D.（－3，2） 规律方法 角度3 求函数的最值 【例4】函数在上的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 角度4　求参数的值（范围） 【例5】（2024·新高考Ⅰ卷6题）已知函数f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（　 　） A.（－∞，0]　 B.[－1，0] C.[－1，1]　 D.[0，＋∞） 规律方法 利用函数的单调性求参数的方法 （1）根据函数的单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解；（2）对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值. 【变式2-1】 已知函数f（x）是R上的减函数，若f（ax2－2x）在（1，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是　 　. 【变式2-2】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知函数在上单调递减，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 知识点二　函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 结论 （1）如果函数f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0；如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（｜x｜）； （2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性； （3）设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 题型三：函数的奇偶性的判断 【例5】（2024·天津高考4题）下列函数是偶函数的是（　 　） A.f（x）＝　 B.f（x）＝ C.f（x）＝ D.f（x）＝ 方法总结 判断函数奇偶性的方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间,则可立即判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的区间,再判断是否等于或. （2）图象法：奇（或偶）函数的充要条件是它的图象关于原点（或轴）对称. （3）性质法：公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 注意：一些重要类型的奇偶函数模型 （1）函数，且是偶函数. （2）函数，且是奇函数. （3）函数，且是奇函数. （4）函数，且是奇函数. 【变式3-1】已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x＋m，则f（－3）＝（　 　） A.－7　 B.－1 C.1 D.7 【变式3-2】（2023·新高考Ⅱ卷4题）若f（x）＝（x＋a）ln为偶函数，则a＝（　 　） A.－1　 B.0 C. D.1 【变式3-3】已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g（x）≠0，则下列说法正确的是（　　） A.f（x）＋g（x）为R上的奇函数 B.f（x）－g（x）为R上的偶函数 C.为R上的偶函数 D.｜f（x）g（x）｜为R上的偶函数 知识点三 函数的对称性 （1）若函数为偶函数，则函数关于对称． （2）若函数为奇函数，则函数关于点对称． （3）若，则函数关于对称． （4）若，则函数关于点对称． 结论（1）函数的图象关于直线对称． （2）若函数满足，则的图象关于直线对称． （3）函数的图象关于点对称． （4）若函数满足，则的图象关于点，中心对称． 【例6】（1）已知函数的定义域为，且为偶函数，在上单调递减，则不等式的解集为 （2）设是定义在上的奇函数，且，当时，，则 方法总结 双对称问题 双对称问题的周期，可类比三角函数. （1）若的图象关于直线,对称，则； （2）若的图象关于点,对称，则； （3）若的图象关于直线,点对称，则. 知识点四 函数的周期性 （1）周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期． （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期． 结论 对f（x）定义域内任一自变量x： （1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a＞0）； （2）若f（x＋a）＝，则T＝2a（a＞0）； （3）若f（x＋a）＝－，则T＝2a（a＞0）. 题型四：函数的对称性周期性的应用 【例7】（1）已知函数f（x）的图象关于原点对称，且周期为4，若f（－1）＝2，则f（2 025）＝（　　） A.2　 B.0 C.－2 D.－4 （2）已知f（x）是定义域为R的奇函数且满足f（x）＋f（2－x）＝0，则f（20）＝（　 　） A.－1　 B.0　 　C.1　 D.±1 专题07 函数的性质—单调性、奇偶性、周期性 例1解析：（1）∵y＝ex与y＝－e－x均为R上的增函数，∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确；由y＝｜x2－2x｜的图象（图略）知，B不正确；对于C，y'＝2－2sin x≥0，∴y＝2x＋2cos x在（0，＋∞）上单调递增，故C正确；y＝的定义域为（－∞，－2]∪[1，＋∞），故D不正确. （2）因为y＝lo（x2－2x＋3），且x2－2x＋3＝（x－1）2＋2＞0，所以函数y＝lo（x2－2x＋3）的定义域为R，设u＝x2－2x＋3，所以u在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，而y＝lou在（0，＋∞）上单调递减，由复合函数的单调性可知，函数y＝lo（x2－2x＋3）的单调递增区间为（－∞，1）. 变式1-1【解析】 在区间 上单调递减，故 不符合题意； 在 上单调递增，所以在区间 上单调递增，故 符合题意； 在 上单调递减，所以在区间 上单调递减，故 不符合题意； 在区间 上单调递减，故 不符合题意. 故选. 变式1-2解析：（1）f（x）＝（x－4）·｜x｜＝函数图象如图所示，由图可知函数的单调递增区间为（－∞，0）和（2，＋∞），故选C. 变式1-3【解析】对命题①，令，均为增函数，而为减函数，①错误； 对命题②，设，则，，∴，∴，故单调递增，命题②正确； 对于命题③，设，则，， ∴，∴，故单调递减，命题③正确. 对于命题④，令，均为减函数，而为增函数，故④错误. 故选：C 例2【解析】 函数 的图象关于直线 对称，且对任意,，当 时，都有， 在 上单调递减，在 上单调递增. 又，.故选. 例3解析：（1）依题意得⇒－1≤a＜1.所以实数a的取值范围是[－1，1）. （2）函数f（x）的图象如图，由图可知f（x）在R上单调递增.因为f（a）＜f（6－a2），所以a＜6－a2，解得－3＜a＜2，故选D. 例4【解析】由 在 上单调递增，且 在 上单调递减，可得 在 上单调递增，所以最大值为. 例5解析：因为f（x）在R上单调递增，且x≥0时，f（x）＝ex＋ln（x＋1）单调递增，则需满足解得－1≤a≤0，即a的取值范围是[－1，0].故选B. 变式2-1解析：由题意知函数y＝ax2－2x在（1，＋∞）上单调递减，故或a＝0，解得a≤0. 变式2-2【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 变式2-3【解析】由已知得解得. 故选:C. 例5解析：（1）法一 对于A，f（－x）＝＝≠f（x），故f（x）不是偶函数；对于B，f（－x）＝＝＝f（x），故f（x）是偶函数；对于C，f（x）的定义域为{x｜x≠－1}，不关于原点对称，故f（x）不是偶函数；对于D，f（－x）＝＝＝－＝－f（x），故f（x）是奇函数.故选B. 法二（特殊值法） 对于A，f（1）＝＝，f（－1）＝＝，f（1）≠f（－1），故f（x）不是偶函数；对于B，f（－x）＝＝＝f（x），故f（x）是偶函数；对于C，f（x）的定义域为{x｜x≠－1}，不关于原点对称，故f（x）不是偶函数；对于D，f（π）＝＝，f（－π）＝＝，f（π）≠f（－π），故f（x）不是偶函数.故选B. 法三（性质法） 易知y＝x2＋1与y＝e｜x｜均为偶函数，且恒为正.对于A，由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f（x）也是非奇非偶函数；对于B，y＝cos x＋x2是偶函数，所以f（x）是偶函数；对于C，易知f（x）的定义域不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数；对于D，y＝sin x＋4x是奇函数，所以f（x）是奇函数，故选B. 变式3-1解析：由结论知f（0）＝0，即f（0）＝20＋m＝0，解得m＝－1，故f（x）＝2x－1（x≥0），则f（－3）＝－f（3）＝－（23－1）＝－7. 变式3-2解析：（1）法一 要使函数f（x）有意义，必须满足＞0，解得x＜－或x＞.因为函数f（x）是偶函数，所以对任意x∈（－∞，－）∪（，＋∞），都有f（－x）＝f（x），即（－x＋a）·ln＝（x＋a）ln，则（x－a）ln＝（x＋a）ln对任意x∈（－∞，－）∪（，＋∞）恒成立，所以a＝0.故选B. 法二 因为f（x）＝（x＋a）ln为偶函数，f（－1）＝（a－1）ln 3，f（1）＝（a＋1）ln ＝－（a＋1）ln 3，所以（a－1）ln 3＝－（a＋1）ln 3，解得a＝0，故选B. 变式3-3解析：（3）因为f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，所以f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x）.对于A，x∈R，设F（x）＝f（x）＋g（x），则F（－x）＝f（－x）＋g（－x）＝－f（x）＋g（x）≠－f（x）－g（x）＝－F（x），故错误；对于B，x∈R，设N（x）＝f（x）－g（x），则N（－x）＝f（－x）－g（－x）＝－f（x）－g（x）≠f（x）－g（x）＝N（x），故错误；对于C，x∈R，g（x）≠0，设M（x）＝，M（－x）＝＝－＝－M（x）≠M（x），故错误；对于D，x∈R，设H（x）＝｜f（x）g（x）｜，H（－x）＝｜f（－x）g（－x）｜＝｜－f（x）g（x）｜＝｜f（x）g（x）｜＝H（x），所以H（x）为偶函数，故正确. 故选：D 例6【解析】（1） 是偶函数， 的图象关于直线 对称.又 在 上单调递减， 在 上单调递增.又，，，，即，， 原不等式的解集为. （2）因为 是定义在 上的奇函数，所以 因为，即，所以 的周期为4，故. 例7解析：（1）因为函数f（x）的图象关于原点对称，且周期为4，所以f（x）为奇函数，所以f（2 025）＝f（506×4＋1）＝f（1）＝－f（－1）＝－2，故选C. （2）由f（x）是定义域为R的奇函数，则f（－x）＝－f（x），且f（0）＝0，又由f（x）满足f（x）＋f（2－x）＝0，即f（2－x）＝－f（x），则有f（2－x）＝f（－x），可得f（x＋2）＝f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，故f（20）＝f（0）＝0，故选B. 1 学科网（北京）股份有限公司 $