专题05 一元二次不等式与其他常见不等式的解法讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习资料聚焦一元二次不等式及分式、绝对值不等式解法等核心考点，以知识点（解法步骤、三个“二次”关系）为基础，按题型（不含参数、含参数、三个二次关系等）分层组织，通过考点梳理、方法指导（如含参分类讨论）、真题训练（例题、变式、强化测试）帮助学生构建逻辑体系，突破难点。 资料采用分类讨论与图表结合的教学策略，如含参数不等式按二次项系数、判别式、根大小分层讲解，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置基础到综合的分层练习，配合即时反馈，确保高效突破考点，为教师把控复习进度、提升学生应考能力提供有力支持。

专题05 一元二次不等式与其他常见不等式的解法 知识点一　一元二次不等式 1．解不含参数一元二次不等式的步骤 一元二次不等式 (1)化标准．(2)判别式．(3)求实根．(4)画草图．(5)写解集． 2.（x－a）（x－b）＞0或（x－a）（x－b）＜0型不等式的解集 不等式 解集 a＜b a＝b a＞b （x－a）·（x－b）＞0 {x｜x＜a或x＞b} {x｜　x≠a　} {x｜　x＜b或x＞a　} （x－a）·（x－b）＜0 {x｜　a＜x＜b　} ⌀ {x｜b＜x＜a} 题型一：不含参数一元二次不等式的解法 【例1】（2019年天津卷） 设，使不等式成立的的取值范围为 . 【变式1-1】（2015年广东卷）不等式的解集为 ．（用区间表示） 【变式1-2】关于x的不等式≥1的解集为（　B　） A.{x｜＜x＜2}　 B.{x｜≤x＜2} C.{x｜x＜或x＞2} D.{x｜x＜或x＞2} 题型二：含参数一元二次不等式的解法 【例2】（1）解关于（a∈R）; （2）解关于x的不等式（a∈R）. 规律方法 　　对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有： （1）当二次项系数中含有参数时,应根据二次项系数为正、负及零进行分类； （2）当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时,讨论判别式 与0的关系； （3）确定无实根时，可直接写出解集;确定方程有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 3.三个“二次”的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} {x｜x≠－} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 题型三：三个二次之间的关系 【例3】已知二次函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【变式3-1】若关于的不等式的解集是，则（ ）. A. B. 且 C. D. 不等式的解集是或 方法总结 已知一元二次不等式的解集,就能够得到相应的一元二次方程的两根,由根与系数的关系,可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负. 知识点二 分式不等式 （1） （2） （3） （4） 题型四：分式不等式以及高次不等式的解法 【例4】（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（大纲卷Ⅱ））不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2001年普通高等学校招生考试数学试题（广东卷））不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【变式4-2】（2006年普通高等学校招生考试数学（文）试题（浙江卷））不等式的解是 ． 知识点三 绝对值不等式 （1） （2）； ； 4.绝对值不等式 绝对值不等式｜x｜＞a（a＞0）的解集为（－∞，－a）∪（a，＋∞）； ｜x｜＜a（a＞0）的解集为（－a，a）. 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 题型五：绝对值不等式的解法 【例5】（2025·上海·模拟预测）设，则不等式的解集为 . 【变式5-1】不等式的解集为 . 【变式5-2】（2025·高三·上海·期中）不等式 的解集为 ． 【变式5-3】（2025·高三·上海·期中）不等式的解集为集合A，不等式的解集为集合B，则 . 【强化测试】 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．已知集合,，若， 则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 4．若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（多选题）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的解集为 6．若命题“”为真命题，则实数m的取值范围为 ． 7．已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 专题05 一元二次不等式与其他常见不等式的解法 例1【解析】， 即，即， 故的取值范围是． 变式1-1【解析】由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：． 变式1-2解析：由≥1得≥0，其解集等价于解得≤x＜2，故选B. 例2【解析】（1）一元二次方程 的根的判别式. ①当,即 时,原不等式无解. ②当,即 或 时,方程 的两个根为,,则原不等式的解集为. 综上所述,当 时,原不等式的解集为 ; 当 或 时,原不等式的解集为. （2）若,则原不等式等价于,解得. 若,则原不等式等价于,解得 或. 若,则原不等式等价于. ①当 时,,无解; ②当 时,,由,得; ③当 时,,由,得. 综上所述,当 时,原不等式的解集为 或; 当 时,原不等式的解集为; 当 时,原不等式的解集为; 当 时,原不等式的解集为 ; 当 时,原不等式的解集为. 例3【解析】由图象及二次函数性质的对称轴为，又图象开口向上， 所以在区间上单调递减，A对； 由图知：不等式的解集为，B对； 由图知：，C错； 根据二次函数与一元二次方程的关系，是的两个根， 所以，，且， 所以，解集为，D对. 故选：C. 变式3-1【解析】由题意知，所以 正确； 由题意可得,是方程 的两个根，所以 所以 得,，所以 不正确； 因为 是方程 的根，所以将 代入方程得，所以 不正确； 把,代入不等式，可得，因为，所以，即，此时不等式的解集为 或，所以 正确.故选. 例4【解析】由，解得或. 故选：C 变式4-1【解析】由题设，可得或， 所以不等式解集为或. 故选：C 变式4-2【解析】不等式等价于，解得或， 故不等式的解集为：或． 故答案为或 例5【解析】由. 所以不等式的解集为：. 故答案为： 变式5-1【解析】由不等式，得，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 变式5-2【解析】由，可得：， 解得：， 所以原不等式的解集为：，故答案为： 变式5-3【解析】不等式，解得或，即， 不等式，解得，即， 所以. 故答案为： 【强化测试】 1．【解析】，所以不等式的解集为．故选：C. 2．【解析】由题意可得． 因为，所以，即． 故选：. 3．【解析】不等式变形为， 方程有两个根，即和1，则的解集为或， 即不等式的解集为或， 故选：C． 4．【解析】因为是一元二次不等式，所以． 因为对一切实数都成立， 所以，解得． 故选：D. 5．【解析】因为不等式的解集为或， 可知，且的根为，故A正确； 则，可得， 则，，B正确；C正确； 因为，即，且， 则0，解得， 所以的解集为，D错误． 故选：ABC． 6【解析】由题意可知，不等式有解， 实数m的取值范围为． 故答案为： 7．【解析】由于一元二次不等式的解集为，故是方程的两个实数根，故，解得， 故为，故，解得， 故解集为， 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $