一元二次不等式与其他不等式的解法(6大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习

一元二次不等式与其它不等式解法 题型一：不含参数一元二次不等式的解法 【解题方法总结】 解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集. 例1．（2025·全国·高三专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·高三课时练习）不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集为（　　） A． B． C． D． 例3．（2024·高三课时练习）函数的定义域为______． 例4．（2025·全国·高三专题练习）解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 题型二：含参数一元二次不等式的解法 【解题方法总结】 1、数形结合处理． 2、含参时注意分类讨论． 例5．（2024·全国·高三专题练习）若，则关于的不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 例6．（2024秋•高州市期末）解关于x的不等式：6x2+ax﹣a2＜0． 例7．（2025春•南充期末）当a≤0时，解关于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0． 例8．（2024·全国·高三专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式 【解题方法总结】 1、一定要牢记二次函数的基本性质． 2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换． 例9．（2025春•赤峰期末）二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是（2，3），则的值为（　　） A． B． C． D． 例10．（2025春•让胡路区校级期末）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则ax+b＞0的解集为（　　） A． B． C． D． 例11．（2024秋·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）若一元二次方程的两不等实根都是负数，求实数的取值范围为___________. 例12．（2024·北京海淀·101中学校考模拟预测）已知关于x的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是（    ） A． B． C．若关于x的不等式的解集为，则 D．若关于x的不等式的解集为，且，则 例13．（2025春·河北保定·高三河北省唐县第二中学校考阶段练习）若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四：其他不等式解法 【解题方法总结】 1、分式不等式化为二次或高次不等式处理． 2、根式不等式绝对值不等式平方处理． 例14．（2025·全国·高三专题练习）不等式的解集为________. 例15．（2024·全国·高三专题练习）已知全集，集合，，则______，______. 例16．（2025·全国·高三专题练习）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例17．（2024·上海浦东新·统考三模）不等式的解集是__________． 例18．（2024·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知集合，则___________． 题型五：二次函数根的分布问题 【解题方法总结】 解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向． 例19．（2025·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______． 例20．（2024·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______． 例21．（2025春·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考期中）方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____． 例22．（2024·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围为________. 题型六：一元二次不等式恒成立问题 【解题方法总结】 恒成立问题求参数的范围的解题策略 （1）弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． （2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论． 例23．（2025•西青区模拟）已知关于x的不等式kx2﹣6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是（　　） A．0≤k≤1 B．0＜k≤1 C．k＜0或k＞1 D．k≤0或k≥1 例24．（2025春•双流区校级期末）关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞） 例25．（2024秋•南阳期末）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2] D．（﹣∞，2） 例26．（2025春•石泉县校级期末）对任意实数x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，则a的取值范围是（　　） A．（﹣2，2] B．[﹣2，2] C．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞） 例27．（2024·全国·高三专题练习）若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是_____. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元二次不等式与其它不等式解法 题型一：不含参数一元二次不等式的解法 【解题方法总结】 解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集. 例1．（2025·全国·高三专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得，解得， 故选：A 例2．（2024·高三课时练习）不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据不等式的解法直接求解． 【解答过程】解：方程（x+2）（2x﹣1）＝0的根，x＝﹣2或x， 函数y＝（x+2）（2x﹣1）的开口方向向上， ∴不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集为， 故选：B． 例3．（2024·高三课时练习）函数的定义域为______． 【答案】 【解析】要使函数有意义，则 ，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 例4．（2025·全国·高三专题练习）解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2).(3)(4) 【详解】（1），即，配方可得，解得 （2），即，解得； （3），即，而，从而不等式无解，即解集为； （4）且同时成立. 由解得 由，即，解得. 于是 题型二：含参数一元二次不等式的解法 【解题方法总结】 1、数形结合处理． 2、含参时注意分类讨论． 例5．（2024·全国·高三专题练习）若，则关于的不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，所以. 原不等式可化为所以，解得. 所以，不等式的解集为. 故选：A. 例6．（2024秋•高州市期末）解关于x的不等式：6x2+ax﹣a2＜0． 【解题思路】对于含参数的不等式，先不用考虑参数，看是什么不等式，按照解这类不等式的方法去解，不等式6x2+ax﹣a2＜0是一元二次不等式，先因式分解，在讨论两根的大小，因含参数，再按参数大小讨论，得出结果． 【解答过程】解：原不等式化为；（2x+a）（3x﹣a）＜0 当a＞0时，∵，∴ 当a＜0时，∵，∴ 当a＝0时，无解． 综上所述， 当a＞0时，原不等式的解集为{x|} 当a＝0时，原不等式的解集为∅ 当a＜0时，原不等式的解集为（x|}. 例7．（2025春•南充期末）当a≤0时，解关于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0． 【解题思路】对于二次项含参的一元二次不等式，需要对二次项系数a是否为零进行讨论，进而求解即可． 【解答过程】解：由不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0化简可得（ax+1）（x﹣2）≥0． 由于二次项系数含参，故进行如下讨论： ①当a＝0时，原不等式化简为：x﹣2≥0，解得x≥2． ②当a＜0时，不等式为：（ax+1）（x﹣2）≥0． 解得方程（ax+1）（x﹣2）＝0的两根分别为为，x2＝2． 则：当时，解为：x＝2． 当时，，解为；． 当时，，解为：． 综上所述，当a＝0时，解集为{x|x≥2}． 当时，解集为{x|x＝2}． 当时，解集为：． 当时，解集为：． 例8．（2024·全国·高三专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】原不等式可以转化为：， 当时，可知，对应的方程的两根为1，， 根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：. 故选：A. 题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式 【解题方法总结】 1、一定要牢记二次函数的基本性质． 2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换． 例9．（2025春•赤峰期末）二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是（2，3），则的值为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】由一元二次不等式的性质得2和3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，利用韦达定理求出b＝﹣5a，c＝6a，由此能求出的值． 【解答过程】解：∵不等式ax2+bx+c＜0的解集是（2，3）， ∴2和3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根， ∴，解得b＝﹣5a，c＝6a， ∴． 故选：B． 例10．（2025春•让胡路区校级期末）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则ax+b＞0的解集为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】利用根于系数的关系先求出a，b，再解不等式即可． 【解答过程】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是．则根据对应方程的韦达定理得到：． 解得， 则解集为（﹣∞，）． 故选：A． 例11．（2024秋·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）若一元二次方程的两不等实根都是负数，求实数的取值范围为___________. 【答案】或 【详解】首先，设方程的两根为，则， 所以，，又，解得或． 故答案为：或． 例12．（2024·北京海淀·101中学校考模拟预测）已知关于x的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是（    ） A． B． C．若关于x的不等式的解集为，则 D．若关于x的不等式的解集为，且，则 【答案】C 【解析】由题意，所以正确; 对于:，当且仅当，即时成立, 所以正确; 对于,由韦达定理，可知，所以错误; 对于,由韦达定理，可知， 则，解得， 所以正确, 故选：. 例13．（2025春·河北保定·高三河北省唐县第二中学校考阶段练习）若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，设两根为， 则，解得， 故选：A 题型四：其他不等式解法 【解题方法总结】 1、分式不等式化为二次或高次不等式处理． 2、根式不等式绝对值不等式平方处理． 例14．（2025·全国·高三专题练习）不等式的解集为________. 【答案】 【详解】原不等式可化为， 即， 即，即， 解得， ∴原不等式的解集为， 故答案为： 例15．（2024·全国·高三专题练习）已知全集，集合，，则______，______. 【答案】 或 或 【详解】由 得 , 整理得 , 解得 或 , 即 或 因为或 或 所以或; 或. 故答案为：或;或. 例16．（2025·全国·高三专题练习）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，得， 解得； 由，得，得 因为当时，一定可以推出， 而当时，不能推出。 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 例17．（2024·上海浦东新·统考三模）不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】当时，，解得，此时解集为空集， 当时，，即，符合要求，此时解集为， 当时，，解得，此时解集为空集， 综上：不等式的解集为. 故答案为： 例18．（2024·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知集合，则___________． 【答案】 【解析】， . 故. 故答案为： 题型五：二次函数根的分布问题 【解题方法总结】 解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向． 例19．（2025·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______． 【答案】. 【详解】方程   方程两根为， 若要满足题意，则，解得， 故答案为：. 例20．（2024·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______． 【答案】. 【解析】方程   方程两根为， 若要满足题意，则，解得， 故答案为：. 例21．（2025春·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考期中）方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：由题意，方程的两根都大于， 令， 可得，即，解得． 故答案为：. 例22．（2024·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】，故， ，， 将看成方程的两根，则， 即，故，解得. 故答案为： 题型六：一元二次不等式恒成立问题 【解题方法总结】 恒成立问题求参数的范围的解题策略 （1）弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． （2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论． 例23．（2025•西青区模拟）已知关于x的不等式kx2﹣6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是（　　） A．0≤k≤1 B．0＜k≤1 C．k＜0或k＞1 D．k≤0或k≥1 【解题思路】对k进行分类讨论，当k＝0时恒成立，k＜0时不等式不能恒成立，当k＞0时，只需△≤0求得k的范围，最后综合得到答案． 【解答过程】解：当k＝0时，不等式kx2﹣6kx+k+8≥0化为8≥0恒成立， 当k＜0时，不等式kx2﹣6kx+k+8≥0不能恒成立， 当k＞0时，要使不等式kx2﹣6kx+k+8≥0恒成立， 需Δ＝36k2﹣4（k2+8k）≤0， 解得0≤k≤1， 故选：A． 例24．（2025春•双流区校级期末）关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞） 【解题思路】关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，等价于a，x∈[1，4]，求出f（x）x在x∈[1，4]的最大值即可． 【解答过程】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解， 等价于a，x∈[1，4]； 设f（x）x，x∈[1，4]， 则函数f（x）在x∈[1，4]单调递减， 且当x＝1时，函数f（x）取得最大值f（1）＝1； 所以实数a的取值范围是（﹣∞，1）． 故选：A． 例25．（2024秋•南阳期末）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2] D．（﹣∞，2） 【解题思路】由题意问题等价于（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，讨论a的取值，从而求得实数a的取值范围． 【解答过程】解：关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0的解集为∅， 即 （a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立． 当a﹣2＝0时，即a＝2时，不等式即﹣4＜0，显然满足条件． 当a﹣2≠0时，应满足，解得﹣2＜a＜2． 综上知，实数a的取值范围是（﹣2，2]． 故选：C． 例26．（2025春•石泉县校级期末）对任意实数x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，则a的取值范围是（　　） A．（﹣2，2] B．[﹣2，2] C．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞） 【解题思路】结合二次函数的图象与性质解决，注意对二次项系数分类讨论． 【解答过程】解：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0 当a﹣2＝0，即a＝2时，﹣4＜0恒成立，合题意． 当a﹣2≠0时，要使不等式恒成立，需a﹣2＜0，且Δ＜0 解得﹣2＜a＜2． 所以a的取值范围为（﹣2，2]． 故选：A． 例27．（2024·全国·高三专题练习）若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是_____. 【答案】 【解析】可转化为. 设，则是关于m的一次型函数. 要使恒成立，只需， 解得. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$