第2讲 线与角（专项提升训练）四年级数学寒假专项提升（青岛版）

第2讲 线与角 知识回顾 单元知识框架： 温馨提示：图片放大更清晰。 单元知识点梳理： 知识点01：线的认识 1. 线段、射线、直线的特点。 三者都是直的，但线段的长度有限（可测量），有两个端点（不能向两个方向无限延长）；射线无限长（不可测量），有一个端点（可以向一个方向无限延长）；直线无限长（不可测量），没有端点（可以向两个方向无限延长）。线段、射线都是直线的一部分。 2. 线段、射线、直线的读法。 线段有两个端点，有两种读法；射线有一个端点，只有一种读法(从端点读起)；直线没有端点，直线用两个大写字母表示时有两种读法，用一个小写字母表示时有一种读法。 3. 线段的基本性质。 两点之间所有连线中线段最短。 4. 两点间距离。 连接两点的线段的长度，叫作这两点之间的距离。 知识点02：相交、垂直与平行 1.相交的意义。 在同一平面内，如果两条直线只有一个交点，那么就说这两条直线相交。 2.垂直的意义。 当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。两条直线互相为对方的垂线。 3.垂线的画法和检验。 可以用三角尺画垂线以及检验两条直线是否垂直。 4.从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂直线段最短。这条垂直线段的长度叫作点到直线的距离。 5.平行线的意义。 在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，这两条直线叫平行线。 6.平行线的画法和检验。 可以用三角尺和尺子画平行线以及判断两条直线是否平行。 7. 用一副三角尺（或用直尺和三角尺）画平行线的方法。 （1）把左边直尺(或三角尺)固定，右边三角尺的一条直角边靠紧直尺(或三角尺的一条直角边)。 （2）沿右边三角尺另一条直角边画一条直线，然后平移右边三角尺。 （3）再沿三角尺最初画直线的那条直角边，最后画一条直线，平移前后画的两条直线就是一组平行线。 知识点03：角的定义与分类 角的定义。 由一个顶点引出的两条射线所组成的图形叫做角，角也可以看成是一条射 线围绕它的端点旋转而成的。 1.平角和周角的意义。 （1）当角的两条边旋转成一条直线时，所形成的角叫平角。 （2）当一条射线绕着它的端点旋转一周，与原来的射线重合时，所形成的角叫周角。 2.锐角、直角、钝角、平角、周角的关系。 锐角<直角<钝角<平角<周角，1个周角=2个平角=4个直角。 知识点04：角的度量与画法 1.度量角的单位。 将圆平均分成360份，其中的１份所对的角的大小叫作１度（记作１°），通常用１°作为度量角的单位。 2.测量角的工具。 用来测量角的工具叫量角器。 3.测量角的方法。 测量角时，一定要让量角器的中心点和角的顶点重合，零刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的该零刻度线所在圈上的刻度，就是角的度数。 4.画角。 （1）用量角器可以画出指定度数的角。 a.画一条射线，使量角器的中心点和射线的端点重合，０°刻度线和射线重合； b.在量角器指定度数的刻度线上点一个点，一定要看准该用哪一圈的刻度； c.以画出的射线的端点为端点，通过刚点的点，画一条射线。 （2）用三角尺可以画出一些特殊度数的角，如15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°等。 易错点剖析 1、仔细观察下图,你知道∠1和∠2分别是多少度吗? ∠1=(　　)　　　∠2=(　　) 【答案】∠1=45°　∠2=135° 2、观察角的大小,并归类． 【答案】锐角：A、C、E 直角：D、H　 钝角：B、F　 平角：I 周角：G、J 3、根据要求，在括号里填合适的序号。 (1)两条直线相交的图形有( )。 (2)两条直线互相垂直的图形有( )。 (3)两条直线互相平行的图形有( )。 【答案】(1)①③ (2)③ (3)②④ 【分析】（1）同一平面内两条直线的位置关系：在同一平面内的两条不重合的直线，只有两种位置关系，不是相交就是平行，垂直是相交的特殊情况； （2）垂直的概念：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足； （3）平行的概念：同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线；据此解答。 【详解】（1）两条直线相交的图形有①③。 （2）两条直线互相垂直的图形有③。 （3）两条直线互相平行的图形有②④。 4、如图梯形中有a、b、c、d、e，5条线段，线段( )和线段( )互相垂直；线段( )和线段( )互相平行。 【答案】 c e b d 【分析】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直，它们的交点叫做垂足；据此解答即可。 【详解】如图梯形中有a、b、c、d、e，5条线段，线段c和线段e互相垂直；线段b和线段d互相平行。 【点睛】明确平行和垂直的性质，是解答此题的关键。 强化练习 一、填空题 1．强强说他用了一个2 倍的放大镜看一个30°的角，结果变成了60°。他说的( )（填“对”或“ 不对”），理由是( ) 。 【答案】 不对 角的大小只与两条边张开的大小有关，与两边的长短无关。 【分析】角的大小和边长无关，更和放大无关，只和两条边张开的度数有关，据此解答即可。 【详解】强强说他用一个2倍的放大镜看一个30°的角，结果变成了60°，他说的不对，理由是角的大小只和两条边张开大小有关。 【点睛】放大镜的特性，只改变所画边的长度，而不能改变角的两边叉开的大小。 2．下面的图形各有几个角． 个； 个； 个. 【答案】 4 3 6 【详解】观察图可知，平行四边形有4个角；三角形有3个角；六边形有6个角． 3．红领巾一共有( )个角，其中有( )个钝角、( )个锐角。 【答案】 3 1 2 【分析】从一点引出两条射线所形成的图形叫做角。和书本、黑板的角相同大小的是直角，比直角大的是钝角，比直角小的是锐角，由此解答。 【详解】 如图：，用三角板的直角比一比和数一数，发现红领巾一共有3个角，其中有1个钝角、2个锐角。 4．将一个圆形的纸对折一次，得到的角是 角；对折两次，得到的角是 角；对折三次，得到的角是 角．(圆心为顶点) 【答案】 平 直 锐 【详解】一个圆形的圆心所对的角是360°，对折一次，就是将360°平均分成2份，其中一份的角是360°÷2=180°，平角是180°，所以得到的角是平角；对折两次，就是将360°平均分成4份，其中一份的角是360°÷4=90°，直角是90°，所以得到的角是直角；对折三次，就是将360°平均分成2×3=6份，其中一份的角是360°÷6=60°，锐角小于90°，所以得到的角是锐角． 故答案为平；直；锐． 5．下图中一共有(　　)个角，其中最大的角是最小的角的(　　)倍． 【答案】6；6 【分析】根据题意，要求一共有几个角，可以分类统计，单独的1个角有3个，两个角组合起来的新角有2个，三个角组合的角有1个，最大的是三个角组成的平角，平角=180°，最小的角是30°，要求最大角是最小角的几倍，用除法计算. 【详解】观察可知，图中一共有6个角，最大的角是平角，最小的角是30°角，180°÷30°=6. 故答案为6；6. 6．已知∠1=50°，那么∠2= (　　)，∠3=(　　)，∠4=(　　)．   【答案】 130° 50° 130° 【详解】∠2=180°-∠1=180°-50°=130°； ∠3=180°-∠2=180°-130°=50°； ∠4=180°-∠3=180°-50°=130°． 故答案为130°；50°；130°． 【点睛】此题主要考查了角的计算，观察图可知，∠1与∠2组成一个平角，∠2和∠3组成一个平角，∠3和∠4组成一个平角，平角=180°，用平角减去一个角的度数等于与它相邻的另一个角的度数，据此列式解答． 7．∠1＋∠2＝90°，∠1＝53°，∠2＝(　　)度。 ∠1＋∠2＝180°，∠2＝120°，∠1＝(　　)度。 【答案】 37 60 【分析】已知两个角的和与其中的一个角，求另一个角用减法算式计算： （1）∠2＝90°－∠1； （2）∠1＝180°－∠2，据此解答。 【详解】（1）∠2＝90°－53°＝37° （2）∠1＝180°－120°＝60° 【点睛】掌握求角的度数的计算方法是解答本题的关键。 8．下面图形中各有几个角？有几个直角？几个锐角？几个钝角？请你写出来？ 共有( )个角。( )个锐角，( )个直角，( )个钝角。 【答案】 8 3 1 4 【详解】根据对角的认识求解。 9．经过一点，可以画( )条直线，经过两点可以画( )条直线。 【答案】 无数 1 【分析】 根据直线的性质，经过一点，可以画无数条直线，如图：，经过两点可以画1条直线，如图：，据此解答即可。 【详解】由分析可知，经过一点，可以画无数条直线，经过两点可以画1条直线。 10．量一量，再分类。 ∠A＝ (　　)°，∠B＝(　　)°，∠C＝(　　) °，∠D＝(　　) °，∠E＝(　　)° 锐角：(　　)，钝角：(　　) ，直角：(　　) 。 【答案】 67 90 35 115 135 ∠A、∠C ∠D、∠E ∠B 【分析】用量角器先将各个角度量出来：量角器的中心对准角的顶点，0刻度线与角的一边重合，看另一边指向的度数就是这个角的度数。直角为90°，小于直角的角是锐角，大于直角小于平角的角是钝角。 【详解】经测量： ∠A＝67°，∠B＝90°，∠C＝35°，∠D＝115°，∠E＝135° 锐角：∠A、∠C，钝角：∠D、∠E，直角：∠B。 【点睛】本题考查的是角的度量，先量角，再分类，注意测量角的度数一般是测量较小角的度数。 二、判断题 11．量角器上内圈30°的刻度线同时也是外圈150°的刻度线。( ) 【答案】√ 【分析】根据量角器一条线商内圈和外圈的度数和是180°，据此即可进行判断。 【详解】因为30°＋150°＝180°，所以内圈30°刻度线同时是外圈150°刻度线。 故判断正确。 【点睛】本题考查的是量角器构造的特点。 12．都是线段．( ) 【答案】× 【分析】线段有两个端点，长度有限；射线有一个端点，长度无限；直线没有端点，长度无限，据此解答． 【详解】图中，左起的第1条是线段，第2条是射线，第3条是曲线，第4条是直线，原题说法错误． 故答案为错误． 13．在9°与10°之间还有其他的角。( ) 【答案】√ 【分析】度是用来度量角的单位，在实际应用中，有时需要更准确的量度，可以用小数表示度，还可以把度分为分和秒，相邻的度、分、秒之间是60进制，1度为60分（60′）；1分为60秒（60″）。 【详解】在9°与10°之间还有其他的角的说法正确； 故答案为：√。 【点睛】本题考查角度的认识，关键掌握度量角的单位有度，还有分、秒。 14．用量角器量角时要读内刻度线．       ( ) 【答案】错误 【详解】量角器既有外刻度线，又有内刻度线，要根据角的一条边所对应的起始位置确定读角时是读外刻度线还是内刻度线． 故答案为错误． 15．大于90°的角叫作钝角。( ) 【答案】× 【分析】大于0°小于90°的角叫作锐角，大于90°且小于180°的角叫作钝角。直角的度数等于90°，平角的度数等于180°。据此解答。 【详解】根据钝角的定义可知，大于90°且小于180°的角叫作钝角。原题说法错误。 故答案为：× 16．一条射线长15厘米。( ) 【答案】× 【分析】根据直线、射线和线段的含义：线段有2个端点，有限长，可以度量；射线有一个端点，无限长，不可度量；直线无端点，无限长，不可度量；进而解答即可。 【详解】根据分析可知，射线无法度量长度，原题说一条射线长15厘米，原题说法错误。 故答案为：× 17．直线比射线长，射线比线段长。    ( ) 【答案】× 【详解】根据线段、射线和线段的含义：线段有两个端点，长度有限；射线只有一个端点，另一端无限长；直线无端点，无限长；所以直线比射线长，射线比线段长的说法是错误的，无法比较。 故答案为：× 18．一个平角等于两个直角。( ) 【答案】√ 【分析】角的分类：0°＜锐角＜90°，直角＝90°，90°＜钝角＜180°，平角＝180°，周角＝360°，据此解答。 【详解】因为180°÷90°＝2，所以一个平角等于两个直角，原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】熟练掌握角的分类知识，是解答此题的关键。 19．判断一个图像是不是角，可以看是否有一个顶点，两条射线先交于这个顶点。( ) 【答案】√ 【分析】角：由一点引出两条射线所组成的图形叫做角，据此解答。 【详解】角的特点：一个角有一个顶点和两条边，两条边交于一点。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查学生对角的认识和判断。 20．周角就是一条射线，平角就是一条直线。( ) 【答案】× 【分析】从一点引出两条射线所形成的图形叫做角，平角是指角的两边在一条直线上，周角是指角的两边完全重合了，据此解答。 【详解】平角的特点是两条射线成一条直线，不能说平角就是一条直线；周角的特点是两条边重合成射线，但不能说成周角是一条射线，原题表达错误。 故答案为：× 三、选择题 21．图中是一个三角板在一个长方形纸上拼的图，∠1、∠2分别等于（    ）。 A．30°、120° B．30°、150° C．30°、60° D．60°、150° 【答案】B 【分析】由图知，该三角板中有30°、60°和90°的角，求∠1用90°－60°即可，求∠2，由于∠2与三角板的30°的角组成一个平角，所以可用180°－30°来求，据此解答。 【详解】∠1＝90°－60°＝30° ∠2＝180°－30°＝150° 故答案为：B 【点睛】解答此题要明确三角板中各角的度数及直角是90°、平角是180°。 22．下面四个角，不能用一副三角板准确画出来的角是（ ） A．15° B．80° C．105° D．150° 【答案】B 【分析】用三角板画出角，无非是用角度加减法．根据选项一一分析，排除错误答案即可解答．本题主要考查画指定度数的角，要根据三角板的所有度数的和或差判断． 【详解】A、15°的角，45°﹣30°=15°； B、80°的角，无法用三角板中角的度数拼出 C、105°的角，60°+45°=105°； D、150°的角，90°+60°=150°． 故选B． 23．下图中∠1与∠2的关系是：（ ）。 A．∠1等于∠2 B．∠1小于∠2 C．∠1大于∠2 【答案】A 【分析】根据∠1、∠2与重叠部分角的关系判断∠1与∠2的大小。 【详解】∠1与重叠的角组成直角，∠2与重叠的角组成直角，那么∠1与∠2相等。 故答案为：A 24．如下图，长度为12cm的线段AD的中点为B，BC∶CD＝1∶2，那么线段AC的长度为（    ）。 A．6cm B．8cm C．10cm 【答案】B 【分析】因为中点为B，所以可以求出一半长度AB和BD的长是多少，又因为BC∶CD＝1∶2可以求出BC的长度，将AB＋BC即可求出AC的长度。 【详解】AB＝BD＝12÷2＝6（cm）； BC＝6÷（1＋2）×1＝6÷3×1＝2（cm）； AB＋BC＝6＋2＝8（cm）； 故答案为：B。 【点睛】本题考查的是两点间的距离，在解题是要能根据两点间的距离，求出线段的长是本题的关键。 25．下面说法错误的是（  ） A．大于90°的角叫做钝角 B．角的两边叉开的越大角就越大 C．钟面上4时整，分针和时针成钝角 【答案】A 【详解】A、大于90°而小于180度的角叫做钝角，所以A说法错误。 B、角的大小与两边叉开的大小有关系，角的两边叉开的越大角就越大，说法正确。 C、钟面一周为360°，共分12大格，每格为360÷12＝30°，4时整，分针与时针相差4个整大格，所以钟面上时针与分针形成的夹角是：30°×4＝120°是钝角，说法正确。 故答案为：A 26．同一平面内，A、B、C三点不在同一条直线上，通过这三点可以画（　　）条线段． A．2 B．3          C．无数 【答案】B 27．两个角正好组成一个平角，如果其中一个角是锐角，另一个角一定是（    ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 【答案】C 【分析】小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，等于180°的角是平角，可假设这个锐角是89°，依此计算并选择。 【详解】180°－89°＝91°，91°＞90°，即另一个角一定是钝角。 故答案为：C 【点睛】熟练掌握平角、直角、钝角的特点是解答此题的关键。 28．把平角分成两个角，其中一个是锐角，另一个是（    ）。 A．钝角 B．锐角 C．直角 【答案】A 【分析】平角是180度，其中锐角是大于0度而小于90度的角，180度－90度＝90度，用180度减去一个小于90度的锐角，所得的角的度数大于90度且小于180度，钝角是大于90度而小于180度，所以另一个角是钝角。 【详解】根据分析可知：把平角分成两个角，其中一个是锐角，另一个是钝角。 故答案为：A 29．用一副三角板拼角，下面三幅图中，选项（    ）拼出的角是150°。 A． B． C． 【答案】C 【分析】因一副三角板中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°，根据题干要求组合角度，据此解答。 【详解】A. 30°＋45°＝75°，不符合题意； B．90°＋45°＝135°，不符合题意； C．60°＋90°＝150°，符合题意； 故答案为：C 【点睛】本题考查了学生用三角板进行组合成角的能力，熟记三角板上各个角的度数是解题的关键。 30．下面几句话中，正确的是（    ）。 A．小于90度的角是锐角，大于90度的角叫钝角 B．在乘法算式中一个因数乘4，要使积不变，另一个因数也乘4才行 C．100张A4纸摞起来的高度是1厘米，1亿张A4纸摞起来大约100米高 D．两个完全相同的直角梯形，能拼成一个平行四边形，也能拼成一个等腰梯形 【答案】D 【分析】A选项，根据锐角和钝角的定义判断； B选项，根据积的变化规律判断； C选项，先算1亿张纸里面有多少个100张，有多少个100张就有多少厘米，再根据1米＝100厘米，将厘米化成米； D选项，两个完全相同的直角梯形，拼在一起，如下所示： 。 【详解】A．小于90度大于0度的角叫做锐角，大于90度小于180度的角叫钝角，故A选项错误； B．在乘法计算中，一个因数乘4，要使积不变，另一个因数应该除以4，故B选项错误； C．1亿张纸中有100000000÷100＝1000000个1厘米，即1000000×1＝1000000（厘米）＝10000（米），故C选项错误。 D．两个完全相同的直角梯形，能拼成一个平行四边形，也能拼成一个等腰梯形。如下所示： ，故D选项正确。 故答案为：D 【点睛】积的变化规律：如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同倍数，那么积不变。 四、计算题 31．如图，已知∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数。 【答案】∠2＝25°，∠3＝65°，∠4＝115° 【分析】观察图形可知∠1和∠2组成的是直角90°，用90°减去∠1的度数即可得到∠2的度数；∠1与∠4组成的是平角，用180°减去∠1的度数即可得到∠4的度数；∠3和∠4组成的也是平角，用180°减去∠4的度数即可得到∠3的度数。 【详解】∠2＝90°－65°＝25°； ∠4＝180°－65°＝115°； ∠3＝180°－115°＝65°。 32．如图所示，求∠1，∠2，∠3各是多少度？ 【答案】∠1＝118°，∠2＝126°，∠3＝116° 【分析】三角形的内角和是180度，则∠3的邻补角＝180°－54°－62°＝64°，再根据平角等于180°，求出∠1、∠2、∠3各是多少度即可。 【详解】180°－54°－62° ＝126°－62° ＝64° ∠1＝180°－62°＝118° ∠2＝180°－54°＝126° ∠3＝180°－64°＝116° 答：∠1＝118°，∠2＝126°，∠3＝116°。 五、作图题 33．画一条比5厘米短的线。 【答案】见详解 【分析】1.先确定一个端点。 2.用直尺的“0”刻度和这点重合。 3.在直尺上找出比5厘米短的都可以，取个4厘米的刻度，点上一个点，连接这两点画线段即可。 【详解】如图： （答案不唯一） 【点睛】本题考查了根据长度画线段，经过两个点可以画一条直线，并且只能画一条直线（两点确定一条直线）。 34．量出下面角的度数。 【答案】见详解 【分析】测量时用量角器的中心对准角的顶点，0刻度线与角的一条边重合，看另一条边指向的刻度即可测量出角的度数。 【详解】 【点睛】本题主要考查学生对用量角器测量角的度数方法的掌握。 35．用量角器画一个115°的角。 【答案】见详解 【分析】画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。在量角器115°刻度线的地方点一个点。以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。据此画出115°的角。 【详解】 【点睛】熟练掌握角的画法。注意画角时，量角器的中心和射线的端点要重合。 六、解答题 36．想一想，上午8：00到9：00这一小时内，钟面上分针和时针有几次重合，大概在什么时刻？分针和时针有几次成一条直线，大概在什么时刻？分针和时针有几次成直角，大概在什么时刻？ 【答案】1次，8：43；2次，8：10和8：43；2次，8：28和9：00 【分析】上午8：00到9：00这一小时内，钟面上分针和时针有1次重合，重合时，时针、分针约在从12起顺时针方向第43小格处，即大概8时43分；分针和时针有2次成一条直线，时针刚过8时，分针指向约10分，即大概8时10分，另外重合时候也是一次在同一条直线上；分针和时针有2次成直角，一次是时针约在8、9中间，分针指向28分，既大概8时28分，一次在9时整。 【详解】根据分析可知： 上午8：00到9：00这一小时内，钟面上分针和时针有1次重合，大概在8时43分；分针和时针有2次成一条直线，大概在8时10分和8时43分；分针和时针有2次成直角，一次是大概在8时28分，一次在9时整。 答：钟面上分针和时针有1次重合，大概在8：43；分针和时针有2次成一条直线，大概在8：10和8：43；分针和时针有2次成直角，一次是大概在8：28，一次是9：00。 【点睛】解答此题最好方法是找一钟表（指针式）亲自拨动分针看一看。 37．如下图，将长方形纸的一角折叠过来，已知∠1＝50°，那么∠2是多少度？ 【答案】80° 【详解】∠2＝180°－2∠1＝180°－100°＝80° 答：∠2是80°。 38．下图是一张长方形纸折起来以后的图形．请你动手照样子折一折，你能算出∠2的度数吗？(已知∠1=30°) 【答案】75° 【分析】根据题意可知，∠1与∠2的2倍相加的和等于平角，先求出∠2的两倍是多少度，然后除以2即可得到∠2的度数，据此解答. 【详解】∠2=(180°-∠1)÷2 =(180°-30°)÷2 =150°÷2 =75° 故答案为75°. 39．看下图已知∠1＝60°，求∠2、∠3和∠4的度数。 【答案】∠3＝60°  ∠2＝∠4＝120° 40．从0时到12时之间，在钟面上，时针和分针成60°角共有多少次？（先看看1个小时之内有几次成60°角） 【答案】22次 【分析】设分针的速度为每分钟1个单位长度，则时针的速度为每分钟个单位长度，将时针、分针看成两个不同速度的人在环形跑道上同时（从0时开始）开始同向而行，要求两者相距10个单位长度所用的时间。设从0时开始，过x分钟后分针与时针成60°的角，此时分针比时针多走了n圈（n＝0，1，2，……，11），则或 化简这两个方程，再讨论n的取值，从而解决问题。 【详解】设分针的速度为每分钟1个单位长度，则时针的速度为每分钟个单位长度根据上面的分析，可得： 或 解得：或 分别令n＝0，1，2，3，……，11，即得本题的所有解（精确到秒），共22个： 0∶10∶55 1∶16∶22 2∶21∶49 3∶27∶16 4∶32∶44 5∶38∶11 6∶43：38 7∶49∶05 8∶54∶33 10∶00∶00 11∶05∶27 0：54∶33 2∶00∶00 3∶05∶27 4：10∶55 5∶16∶22 6∶21∶49 7∶27∶16 8∶32∶44 9∶38∶11 10∶43∶38   11∶49∶05 答：钟面上的时针与分针成60°角共有22次。 【点睛】本题考查了钟表分针所转过的角度计算。在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形。 41．如图，妈妈在钟面所示的时间开始小憩一会儿，并告诉荣荣：“分针转动60°后，叫醒我。”荣荣应该在什么时间叫醒妈妈？ 【答案】5：10 【分析】妈妈小憩时，时针指向5，分针指向12，此时的时刻是5时；钟面上12个数字把钟面平均分成12大格，每大格所对应的圆心角是360°÷12＝30°，每两个相邻数字间的夹角是30°，分针转动60°，即分针从12转动到2，此时的时刻是5时10分。 【详解】据分析可得： 妈妈在5时整时开始小憩一会儿，并告诉荣荣：“分针转动60°后，叫醒我。”荣荣应该在5时10分的时候叫醒妈妈。 【点睛】本题考查钟表的认识，钟面上12个数字把钟面平均分成12大格，每个大格所对应的角的度数是30°，这是解答本题的关键。 42．运用平角或周角的知识能解决许多折纸中有关角的度数问题。 （1）下面是一张长方形纸折起来以后的图形，如果∠1＝32°，你能算出∠2的度数吗？ （2）把一张长方形纸按下面的样子折起来，如果∠1＝30°，你能算出∠2的度数吗？ 【答案】（1）74°； （2）30° 【分析】（1）根据折叠的特征，∠1与2∠2的和正好是一个平角的度数，即180°，用180°减去∠1，再除以2，就是∠2的度数。 （2）根据折叠的特征，2∠1与∠2的和正好是一个直角的度数，即90°，用90°减去2个∠1的度数，就是∠2的度数。 【详解】（1）（180°－32°）÷2 ＝148°÷2 ＝74° 答：∠2 是74°。 （2）90°－30°×2 ＝90°－60° ＝30° 答：∠2 是30°。 【点睛】正确理解折叠的特征，是解答此题的关键。 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 线与角 知识回顾 单元知识框架： 温馨提示：图片放大更清晰。 单元知识点梳理： 知识点01：线的认识 1. 线段、射线、直线的特点。 三者都是直的，但线段的长度有限（可测量），有两个端点（不能向两个方向无限延长）；射线无限长（不可测量），有一个端点（可以向一个方向无限延长）；直线无限长（不可测量），没有端点（可以向两个方向无限延长）。线段、射线都是直线的一部分。 2. 线段、射线、直线的读法。 线段有两个端点，有两种读法；射线有一个端点，只有一种读法(从端点读起)；直线没有端点，直线用两个大写字母表示时有两种读法，用一个小写字母表示时有一种读法。 3. 线段的基本性质。 两点之间所有连线中线段最短。 4. 两点间距离。 连接两点的线段的长度，叫作这两点之间的距离。 知识点02：相交、垂直与平行 1.相交的意义。 在同一平面内，如果两条直线只有一个交点，那么就说这两条直线相交。 2.垂直的意义。 当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。两条直线互相为对方的垂线。 3.垂线的画法和检验。 可以用三角尺画垂线以及检验两条直线是否垂直。 4.从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂直线段最短。这条垂直线段的长度叫作点到直线的距离。 5.平行线的意义。 在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，这两条直线叫平行线。 6.平行线的画法和检验。 可以用三角尺和尺子画平行线以及判断两条直线是否平行。 7. 用一副三角尺（或用直尺和三角尺）画平行线的方法。 （1）把左边直尺(或三角尺)固定，右边三角尺的一条直角边靠紧直尺(或三角尺的一条直角边)。 （2）沿右边三角尺另一条直角边画一条直线，然后平移右边三角尺。 （3）再沿三角尺最初画直线的那条直角边，最后画一条直线，平移前后画的两条直线就是一组平行线。 知识点03：角的定义与分类 角的定义。 由一个顶点引出的两条射线所组成的图形叫做角，角也可以看成是一条射 线围绕它的端点旋转而成的。 1.平角和周角的意义。 （1）当角的两条边旋转成一条直线时，所形成的角叫平角。 （2）当一条射线绕着它的端点旋转一周，与原来的射线重合时，所形成的角叫周角。 2.锐角、直角、钝角、平角、周角的关系。 锐角<直角<钝角<平角<周角，1个周角=2个平角=4个直角。 知识点04：角的度量与画法 1.度量角的单位。 将圆平均分成360份，其中的１份所对的角的大小叫作１度（记作１°），通常用１°作为度量角的单位。 2.测量角的工具。 用来测量角的工具叫量角器。 3.测量角的方法。 测量角时，一定要让量角器的中心点和角的顶点重合，零刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的该零刻度线所在圈上的刻度，就是角的度数。 4.画角。 （1）用量角器可以画出指定度数的角。 a.画一条射线，使量角器的中心点和射线的端点重合，０°刻度线和射线重合； b.在量角器指定度数的刻度线上点一个点，一定要看准该用哪一圈的刻度； c.以画出的射线的端点为端点，通过刚点的点，画一条射线。 （2）用三角尺可以画出一些特殊度数的角，如15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°等。 易错点剖析 1、仔细观察下图,你知道∠1和∠2分别是多少度吗? ∠1=(　　)　　　∠2=(　　) 【答案】∠1=45°　∠2=135° 2、观察角的大小,并归类． 【答案】锐角：A、C、E 直角：D、H　 钝角：B、F　 平角：I 周角：G、J 3、根据要求，在括号里填合适的序号。 (1)两条直线相交的图形有( )。 (2)两条直线互相垂直的图形有( )。 (3)两条直线互相平行的图形有( )。 【答案】(1)①③ (2)③ (3)②④ 【分析】（1）同一平面内两条直线的位置关系：在同一平面内的两条不重合的直线，只有两种位置关系，不是相交就是平行，垂直是相交的特殊情况； （2）垂直的概念：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足； （3）平行的概念：同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线；据此解答。 【详解】（1）两条直线相交的图形有①③。 （2）两条直线互相垂直的图形有③。 （3）两条直线互相平行的图形有②④。 4、如图梯形中有a、b、c、d、e，5条线段，线段( )和线段( )互相垂直；线段( )和线段( )互相平行。 【答案】 c e b d 【分析】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直，它们的交点叫做垂足；据此解答即可。 【详解】如图梯形中有a、b、c、d、e，5条线段，线段c和线段e互相垂直；线段b和线段d互相平行。 【点睛】明确平行和垂直的性质，是解答此题的关键。 强化练习 一、填空题 1．强强说他用了一个2 倍的放大镜看一个30°的角，结果变成了60°。他说的( )（填“对”或“ 不对”），理由是( ) 。 2．下面的图形各有几个角． 个； 个； 个. 3．红领巾一共有( )个角，其中有( )个钝角、( )个锐角。 4．将一个圆形的纸对折一次，得到的角是 角；对折两次，得到的角是 角；对折三次，得到的角是 角．(圆心为顶点) 5．下图中一共有(　　)个角，其中最大的角是最小的角的(　　)倍． 6．已知∠1=50°，那么∠2= (　　)，∠3=(　　)，∠4=(　　)．   7．∠1＋∠2＝90°，∠1＝53°，∠2＝(　　)度。 ∠1＋∠2＝180°，∠2＝120°，∠1＝(　　)度。 8．下面图形中各有几个角？有几个直角？几个锐角？几个钝角？请你写出来？ 共有( )个角。( )个锐角，( )个直角，( )个钝角。 9．经过一点，可以画( )条直线，经过两点可以画( )条直线。 10．量一量，再分类。 ∠A＝ (　　)°，∠B＝(　　)°，∠C＝(　　) °，∠D＝(　　) °，∠E＝(　　)° 锐角：(　　)，钝角：(　　) ，直角：(　　) 。 二、判断题 11．量角器上内圈30°的刻度线同时也是外圈150°的刻度线。( ) 12．都是线段．( ) 13．在9°与10°之间还有其他的角。( ) 14．用量角器量角时要读内刻度线．       ( ) 15．大于90°的角叫作钝角。( ) 16．一条射线长15厘米。( ) 17．直线比射线长，射线比线段长。    ( ) 18．一个平角等于两个直角。( ) 19．判断一个图像是不是角，可以看是否有一个顶点，两条射线先交于这个顶点。( ) 20．周角就是一条射线，平角就是一条直线。( ) 三、选择题 21．图中是一个三角板在一个长方形纸上拼的图，∠1、∠2分别等于（    ）。 A．30°、120° B．30°、150° C．30°、60° D．60°、150° 22．下面四个角，不能用一副三角板准确画出来的角是（ ） A．15° B．80° C．105° D．150° 23．下图中∠1与∠2的关系是：（ ）。 A．∠1等于∠2 B．∠1小于∠2 C．∠1大于∠2 24．如下图，长度为12cm的线段AD的中点为B，BC∶CD＝1∶2，那么线段AC的长度为（    ）。 A．6cm B．8cm C．10cm 25．下面说法错误的是（  ） A．大于90°的角叫做钝角 B．角的两边叉开的越大角就越大 C．钟面上4时整，分针和时针成钝角 26．同一平面内，A、B、C三点不在同一条直线上，通过这三点可以画（　　）条线段． A．2 B．3          C．无数 27．两个角正好组成一个平角，如果其中一个角是锐角，另一个角一定是（    ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 28．把平角分成两个角，其中一个是锐角，另一个是（    ）。 A．钝角 B．锐角 C．直角 29．用一副三角板拼角，下面三幅图中，选项（    ）拼出的角是150°。 A． B． C． 30．下面几句话中，正确的是（    ）。 A．小于90度的角是锐角，大于90度的角叫钝角 B．在乘法算式中一个因数乘4，要使积不变，另一个因数也乘4才行 C．100张A4纸摞起来的高度是1厘米，1亿张A4纸摞起来大约100米高 D．两个完全相同的直角梯形，能拼成一个平行四边形，也能拼成一个等腰梯形 四、计算题 31．如图，已知∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数。 32．如图所示，求∠1，∠2，∠3各是多少度？ 五、作图题 33．画一条比5厘米短的线。 34．量出下面角的度数。 35．用量角器画一个115°的角。 六、解答题 36．想一想，上午8：00到9：00这一小时内，钟面上分针和时针有几次重合，大概在什么时刻？分针和时针有几次成一条直线，大概在什么时刻？分针和时针有几次成直角，大概在什么时刻？ 37．如下图，将长方形纸的一角折叠过来，已知∠1＝50°，那么∠2是多少度？ 38．下图是一张长方形纸折起来以后的图形．请你动手照样子折一折，你能算出∠2的度数吗？(已知∠1=30°) 39．看下图已知∠1＝60°，求∠2、∠3和∠4的度数。 40．从0时到12时之间，在钟面上，时针和分针成60°角共有多少次？（先看看1个小时之内有几次成60°角） 41．如图，妈妈在钟面所示的时间开始小憩一会儿，并告诉荣荣：“分针转动60°后，叫醒我。”荣荣应该在什么时间叫醒妈妈？ 42．运用平角或周角的知识能解决许多折纸中有关角的度数问题。 （1）下面是一张长方形纸折起来以后的图形，如果∠1＝32°，你能算出∠2的度数吗？ （2）把一张长方形纸按下面的样子折起来，如果∠1＝30°，你能算出∠2的度数吗？ 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $