第5讲 多边形的面积（专项提升训练）五年级数学寒假专项提升（青岛版）

第5讲 多边形的面积 知识回顾 单元知识框架： 温馨提示：图片放大更清晰。 单元知识点梳理： 1、 平行四边形面积相关知识点： ①知识储备：用转化法计算图形的面积：一转化：通过切割、平移等方法把不规则图形转化成规则的长方形、正方形等图形。二计算：计算规则图形的面积，也就是原来不规则图形的面积。 ②把平行四边形转化成长方形的方法：沿着平行四边形的任意一条边上的任意一条高剪成两个图形后，通过平移都可以把平行四边形转化成一个长方形。 ③平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高，用字母表示为S=a×h。 强调：使用公式计算平行四边形面积时，应注意底一定要乘以其所对应的高。 2、 三角形面积相关知识点： ①知识储备：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是两个完全一样的三角形所拼成的平行四边形的面积的一半，即三角形的面积=平行四边形的面积÷2或平行四边形的面积=三角形的面积×2。 强调：用两个完全一样的三角形拼成的平行四边形，存在等底等高的关系。及三角形的面积是与它等底等高平行四边形面积的一半；平行四边形的面积是与它等底等高三角形面积的两倍。 ②三角形的面积计算公式：三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为S=a×h÷2。 强调：①使用公式计算三角形面积时，应注意底一定要乘以其所对应的高。 ②如果已知三角形面积，求底和高时，三角形的面积应先乘以2再去除以它的底或着高就可以求出相关量。 3、 梯形面积相关知识点： ①知识储备：两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，梯形的面积是两个完全一样的梯形所拼成的平行四边形的面积的一半，也就是：梯形的面积=平行四边形的面积÷2或平行四边形的面积=梯形的面积×2。 强调：两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底等于梯形上下底的和，平行四边形的高与梯形的高相等。 ②梯形的面积：梯形的面积=（上底＋下底）×高÷2。用字母表示：S=（a＋b）×h÷2。 4、 认识公顷相关知识点： ①公顷的认识：测量或计量土地面积，通常用公顷作单位，公顷可以写成hm²。边长100米的正方形土地，面积是1公顷。 公顷和平方米之间的进率是10000，1公顷=10000平方米。 ②公顷的使用场景：广场、小区面积、校园面积、耕地面积等。 5、 平方千米相关知识点： ①平方千米的认识：测量或计量大面积的土地，通常用平方千米作单位。平方千米可以写成km²。边长1000米的正方形土地，面积是1平方千米。 平方千米和平方米之间的进率是1000000，平方千米和公顷之间的进率是100。即：1平方千米=1000000平方米=100公顷。 ②平方千米的使用场景：大型城市、大型湖泊、大型土地、国家等。 6、 组合图形面积计算方法： ①运用“分割”“添补”求组合图形的面积：计算组合图形的面积，一般是先把它分割成已学过的简单图形，分别计算出各个简单图形的面积，然后把它们加起来；也可以把整个图形补成一个长方形、正方形等图形，再用补成的图形的面积减去缺少部分图形的面积。 ②不规则图形的面积估算方法：求不规则图形的面积，可以用数方格的方法进行估算。估算时，先数整格的，再数不满整格的，不满整格的按半格计算。 易错点剖析 1、如图，一个三角形的底是6米，如果把底延长2米，那么面积就增加5平方米。原来三角形的面积是( )平方米。 【答案】15 【分析】首先利用三角形的面积公式计算增加部分三角形的高，原来三角形和增加部分三角形等高，根据S三角形＝底×高÷2，即可求得。 【详解】（2×5÷2）×6÷2 ＝5×6÷2 ＝15（平方米） 【点睛】灵活运用三角形的面积公式计算三角形的高是解答本题的关键。 2、一个梯形的面积是122.4cm2，上、下底之和是36cm，这个梯形的高是( )cm。 【答案】6.8 【分析】根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，则梯形的高＝面积×2÷（上底＋下底），代入数据计算即可。 【详解】122.4×2÷36 ＝244.8÷36 ＝6.8（cm） 所以一个梯形的面积是122.4cm2，上、下底之和是36cm，这个梯形的高是6.8cm。 【点睛】本题主要考查的是梯形的面积计算公式，熟记公式是解题关键。 3、一堆呈梯形摆放的钢管最下层有7根，最上层有2根，每相邻的两层都相差1根，这堆钢管共有( )根。 【答案】27 【分析】钢管的总根数＝（最上层根数＋最下层根数）×层数÷2，其中层数＝最下层根数－最上层根数＋1，据此解答。 【详解】（7＋2）×（7－2＋1）÷2 ＝9×6÷2 ＝27（根） 这堆钢管共有27根。 【点睛】掌握梯形的面积计算公式，并学会灵活运用。 4、下图是一块红布，王老师准备在这块红布上裁剪出两条直角边分别是0.7m、0.4m的三角形小红旗。最多可以裁剪出多少面这样的小红旗？ 【答案】36面 【分析】两个这样的三角形可以拼出一个长方形，长为0.4厘米，宽为0.7厘米，再根据红布的宽是1.4米，长是3.6米，发现宽可以裁两个，长可以裁9个，则红布可以裁18个长方形，即36面这样的小红旗。 【详解】（1.4÷0.7）×（3.6÷0.4）×2 ＝2×9×2 ＝36（面） 答：最多可以裁剪出36面这样的小红旗。 【点睛】本题考查三角形、长方形的特征、小数除法，解答本题的关键是理解两个这样的三角形可以拼出一个长方形。 5、一个木条钉成的长方形框架，长是28厘米，宽是15厘米，将它拉伸成一个平行四边形后面积减少了56平方厘米。平行四边形较长边上的高是多少厘米？ 【答案】13厘米 【知识点】长方形的面积、平行四边形的面积 【分析】由题意，先求出长方形的面积，并减去减少的部分56平方厘米，就得到了平行四边形的面积，因为在拉伸的过程中，底没变，变的是高，再用平行四边形的面积÷底，就得到平行四边形较长边上的高了。 【详解】（28×15－56）÷28 ＝（420－56）÷28 ＝364÷28 ＝13（厘米） 答：平行四边形较长边上的高是13厘米。 【点睛】由题意，在将长方形拉伸成平行四边形的时候，面积会减少；这是因为长方形的长（平行四边形的底）没有变，而长方形的宽（平行四边形的高）变小了的缘故。 强化练习 一、填空题 1．5.5公顷＝( )平方米    8500平方米＝( )公顷 0.75平方千米＝( )公顷    3800公顷＝( )平方千米 【答案】 55000 0.85 75 38 【分析】根据1公顷＝10000平方米，1平方千米＝100公顷，进行换算即可。 【详解】5.5×10000＝55000（平方米）；8500÷10000＝0.85（公顷） 0.75×100＝75（公顷）；3800÷100＝38（平方千米） 【点睛】单位大变小乘进率，单位小变大除以进率。 2．一个平行四边形的面积是3.5平方米，如果把它的底和高都扩大到原来的2倍，那么得到的平行四边形的面积是( )平方米。 【答案】14 【分析】平行四边形的底和高同时扩大到原来的a倍，面积扩大到原来的倍，据此解答。 【详解】假设原平行四边形底为0.5 m，高为7 m，S原来面积＝3.5m2 S现在面积＝ （0.5×2）×（7×2） S现在面积＝ 1×14 S现在面积＝ 14（m2） 则现在平行四边形面积是14m2。 【点睛】掌握平行四边形底和高与面积之间的关系是解答此类题目的关键。 3．一个三角形和一个平行四边形面积相等，底也相等。如果平行四边形的高是12厘米，三角形的高就是( )厘米。 【答案】24 【分析】根据平行四边形的面积公式S＝ah及三角形的面积公式S＝ah÷2，推导出在一个平行四边形和一个三角形的面积相等，底边长相等时，高的关系，再列式解答即可。 【详解】平行四边形的面积是：S＝ah1 三角形的面积是：S＝ah2÷2 所以ah1＝ah2÷2 h2＝h1×2 三角形的高是：12×2＝24（厘米） 则三角形的高就是24厘米。 【点睛】本题主要是灵活利用平行四边形的面积公式及三角形的面积公式推导：一个平行四边形和一个三角形的面积相等，底边长相等时，平行四边形的高是三角形的高的一半。 4．如图，正方形的面积是25平方厘米，平行四边形的面积是( )平方厘米。 【答案】25 【分析】平行四边形的底和高都与正方形边长相等，平行四边形面积＝正方形面积。 【详解】平行四边形的面积是25平方厘米。 【点睛】平行四边形面积＝底×高，正方形面积＝边长×边长。 5．如图，一个三角形的底是6米，如果把底延长2米，那么面积就增加5平方米。原来三角形的面积是( )平方米。 【答案】15 【分析】首先利用三角形的面积公式计算增加部分三角形的高，原来三角形和增加部分三角形等高，根据S三角形＝底×高÷2，即可求得。 【详解】（2×5÷2）×6÷2 ＝5×6÷2 ＝15（平方米） 【点睛】灵活运用三角形的面积公式计算三角形的高是解答本题的关键。 6．如果梯形的上底增加3厘米，下底减少3厘米，高不变 ，那么面积将 ；如果一个三角形的高不变，底扩大到原来的2倍，那么面积将扩大到原来的 倍。 【答案】 不变 2 【分析】假设梯形的上底为a，下底为b，高为h，求出变化前后的面积再进行比较即可； 假设三角形的底为a，高为h，求出变化前后的面积再进行比较即可。 【详解】假设梯形的上底为a，下底为b，高为h；变化前面积：（a＋b）h÷2；变化后面积：（a＋3＋b－3）h÷2＝（a＋b）h÷2； 所以梯形的面积不变； 假设三角形的底为a，高为h； 变化前面积：ah÷2； 变化后面积：a×2h÷2＝ah； 三角形面积扩大到原来的2倍。 【点睛】熟练掌握梯形和三角形的面积公式是解答本题的关键。 7．在括号里填合适的数。 2.9平方米＝( )平方分米    1800平方米＝( )公顷 0.07公顷＝( )平方米    5.7公顷＝( )平方千米 【答案】 290 0.18 700 0.057 【分析】根据1平方米＝100平方分米，1公顷＝10000平方米，1平方千米＝100公顷，换算即可。 【详解】2.9×100＝290（平方分米）；1800÷10000＝0.18（公顷） 0.07×10000＝700（平方米）；5.7÷100＝0.057（平方千米） 【点睛】关键是知道进率，熟悉单位换算的方法，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率。 8．一个直角三角形，三条边分别是5cm，4cm，3cm，它的面积是( )平方厘米。 【答案】6 【分析】直角三角形两直角边可以看作底和高，较短的两条边是直角边，根据三角形面积＝底×高÷2，列式计算即可。 【详解】4×3÷2＝6（cm2） 它的面积是6cm2。 【点睛】关键是熟悉直角三角形的特征，掌握并灵活运用三角形面积公式。 9．一个三角形和一个平行四边形的面积相等，高也相等，如果三角形的底是12.8cm，那么平行四边形的底是( )cm。 【答案】6.4 【分析】一个三角形和一个平行四边形的面积相等，高也相等，那么三角形的底是平行四边形的底的2倍，据此解答。 【详解】12.8÷2＝6.4（厘米） 平行四边形的底是6.4厘米。 【点睛】三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，要学会灵活运用其面积计算公式。 10．一堆呈梯形摆放的钢管最下层有7根，最上层有2根，每相邻的两层都相差1根，这堆钢管共有( )根。 【答案】27 【分析】钢管的总根数＝（最上层根数＋最下层根数）×层数÷2，其中层数＝最下层根数－最上层根数＋1，据此解答。 【详解】（7＋2）×（7－2＋1）÷2 ＝9×6÷2 ＝27（根） 这堆钢管共有27根。 【点睛】掌握梯形的面积计算公式，并学会灵活运用。 11．一个直角梯形的上底、下底、高分别为8cm、11cm、6cm，在这个梯形中画一个最大的三角形，这个三角形的面积为( )平方厘米。 【答案】33 【分析】在这个直角梯形中画一个最大的三角形，那么以这个直角梯形中较长的下底为三角形的底，以直角梯形的高为三角形的高，三角形的面积＝底×高÷2；据此解答。 【详解】根据分析： 11×6÷2 ＝66÷2 ＝33（cm2） 所以这个三角形的面积为33cm2。 12．在退耕还林工程中，某景区新增一片杨树林，长600米，宽250米，这片杨树林的面积有( )公顷，如果每公顷有850棵树，这片杨树林共有( )棵树。 【答案】 15 12750 【分析】根据长方形的面积＝长×宽，求出杨树林面积，再根据1公顷＝10000平方米进行换算；用杨树林的公顷数×每公顷棵数＝这片杨树林所有的棵数。 【详解】600×250＝150000（平方米）＝15（公顷） 15×850＝12750（棵） 【点睛】关键是知道公顷和平方米的进率，单位小变大除以进率。 二、判断题 13．两个面积相等的三角形都可以拼成一个平行四边形。( ) 【答案】× 【分析】只有两个一模一样的三角形，才可以拼成一个平行四边形。据此解题。 【详解】两个面积相等的三角形，形状不一定相等，那么不一定能拼成一个平行四边形。 故答案为：× 14．在平行四边形内画一个最大的三角形，三角形的面积一定等于平行四边形面积的一半。( ) 【答案】√ 【分析】由“在一个平行四边形内画一个最大的三角形，”得出最大的三角形与平行四边形等底等高，由此根据等底等高的三角形的面积是平行四边形的面积的一半。 【详解】由“在一个平行四边形内画一个最大的三角形，”得出最大的三角形与平行四边形等底等高，由此根据等底等高的三角形的面积是平行四边形的面积的一半。 故答案为：√ 【点睛】关键是明白如何在一个平行四边形内画一个最大的三角形，再利用等底等高的三角形的面积与平行四边形的面积的关系解决问题。 15．图中阴影部分的面积是大平行四边形面积的一半。( ) 【答案】√ 【分析】根据图可知，三个阴影部分的三角形的底边和是平行四边形的底，三个阴影部分三角形的高和平行四边形的高相等，根据三角形的面积公式：底×高÷2，平行四边形的面积公式：底×高，由此即可知道阴影部分的面积是大平行四边形面积的一半，据此即可判断。 【详解】由分析可知：图中阴影部分的面积是大平行四边形面积的一半，原题说法正确。 故答案为：√。 【点睛】本题主要考查平行四边形和三角形的面积公式，熟练掌握它们的面积公式并灵活运用。 16．在梯形 中，阴影①的面积与阴影②的面积相等。( ) 【答案】√ 【分析】图中阴影①和下面白色三角形与阴影②和下面白色三角形等底等高，所以它们的面积相等，都去掉下面白色三角形，剩下的面积也相等，所以阴影①的面积与阴影②的面积相等。 【详解】图中阴影①的面积与阴影②的面积相等。 故答案为：√ 【点睛】解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为两个三角形面积的差。 17．一个平行四边形的底是5厘米，高是底的2倍，它的面积是50平方厘米。  ( ) 【答案】√ 18．三角形的底越长，面积就越大。( ) 【答案】× 【分析】根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，据此进行判断影响其面积的因素是哪些即可。 【详解】由分析可得： 从三角形面积公式中，可知决定它面积大小的因素有两个，那就是它的底和对应底上的高。其中底这个因数越长，但是没有说明另外一个因数高如何变化，所以说三角形底越长，面积就越大的说法不正确。 故答案为：× 【点睛】本题考查了三角形面积公式，需要学生熟练掌握积和因数之间的变化关系。 19．两个完全相同的梯形一定能拼成一个平行四边形。( ) 【答案】√ 【分析】 如图所示，平行四边形的两组对边平行且相等，一个平行四边形能分成两个完全一样的梯形，则两个完全一样的梯形一定能拼成一个平行四边形，据此判断。 【详解】由分析得： 两个完全相同的梯形一定能拼成一个平行四边形。题干说法正确。 故答案为：√ 20．如果平行四边形的面积是三角形面积的2倍，那么它们一定等底等高。( ) 【答案】× 【详解】底3，高4的三角形面积是3×4÷2＝6，底4，高3的平行四边形面积是3×8＝12，此时平行四边形的面积是三角形面积的2倍，但平行四边形和这个三角形不是等底等高。 故答案为：× 21．一个梯形的上底、下底和高都扩大到原来的2倍，则它的面积就扩大到原来的8倍。( ) 【答案】× 【分析】根据梯形的面积公式：S＝（a＋b）h÷2，再根据积的变化规律，两个数相乘，一个因数扩大a倍，另一个因数扩大b倍，积就扩大它们的乘积倍。据此判断。 【详解】根据分析可知：梯形的上底、下底和高都扩大到原来的2倍，梯形的面积就扩大到原来的2×2＝4倍。 故答案为：× 【点睛】此题考查的目的是理解掌握梯形的面积公式、积的变化及应用。 22．两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。( ) 【答案】√ 【分析】因平行四边形的对边平行且相等，两个完全一样的梯形可以以腰为公共边，其上底和下底分别对另一梯形的下底和上底，因梯形的上底和下底平行，组成后图形的对边（上底＋下底）等于（下底＋上底），且平行，据此解答。 【详解】如图所示： 因梯形的上底和下底平行，组成后图形的对边（上底＋下底）等于（下底＋上底），且平行，所以组成后的图形是平行四边形，故原题的说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题的关键是根据平行四边形的特征来判断，组合后图形是不是符合平行四边形的特征。 三、选择题 23．大约在两千年前，我国数学名著《九章算术》中“方田章”就讲述了平面图形面积的算法。书中说：“方田术曰，广从步数相乘得积步”，所指的是（    ）面积的计算方法。 A．平行四边形 B．长方形 C．三角形 D．梯形 【答案】B 【分析】根据长方形的面积公式判断即可。 【详解】方田术曰，广从步数相乘得积步，是指长方形的田地。 故答案为：B。 【点睛】本题考查长方形的面积，解答本题的关键是掌握长方形的面积计算公式。 24．如图所示，阴影部分甲、乙两个梯形的面积的大小关系是（    ）。 A．S甲＜S乙 B．S甲＝S乙 C．S甲＞S乙 D．无法判断 【答案】B 【分析】由图分析可知，S长方形＝S甲＋S空白，S平行四边形＝S乙＋S空白，S长方形＝S平行四边形，据此解答。 【详解】因为S长方形＝S平行四边形，所以S甲＋S空白＝S乙＋S空白 则S甲＋S空白－S空白＝S乙＋S空白－S空白 S甲＝S乙 故答案为：B 【点睛】找出隐含条件S长方形＝S平行四边形是解答问题的关键。 25．如图，平行四边形ABCD与直角三角形EBC有一部分区域重叠在一起，未重叠区域中阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米。下列说法正确的是（    ）。 A．平行四边形ABCD的面积等于直角三角形EBC的面积 B．三角形EFG的面积加10平方厘米等于阴影三角形AFB的面积 C．平行四边形ABCD的面积比直角三角形EBC的面积大10平方厘米 D．梯形FBCG的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米 【答案】C 【分析】分析图形可知，S平行四边形ABCD＝S梯形FBCG＋S阴影，S△EBC＝S梯形FBCG＋S△EFG，S阴影－S△EFG＝10平方厘米，据此解答。 【详解】A．S平行四边形ABCD＝S梯形FBCG＋S阴影，S△EBC＝S梯形FBCG＋S△EFG，因为S阴影≠S△EFG，所以S平行四边形ABCD≠S△EBC，错误； B．S阴影－S△EFG＝10平方厘米，S阴影＝S△EFG ＋10平方厘米，S阴影＝S△ABF ＋ S△CDG，，错误； C．S平行四边形ABCD－S△EBC＝（S梯形FBCG＋S阴影）－（S梯形FBCG＋S△EFG）＝S阴影－S△EFG＝10平方厘米，正确； D．S阴影－S△EFG＝10平方厘米，因为S梯形FBCG≠S阴影，所以S梯形FBCG－S△EFG≠10平方厘米，错误。 故答案为：C 【点睛】分析找出图形之间面积关系是解答本题的关键。 26．一堆圆木，最上层5根，最下层10根，每往下一层都比上一层多1根，这堆圆木共（　　）根。 A．50 B．45 C．40 D．55 【答案】B 【详解】10﹣5＋1＝6（层）， （5＋10）×6÷2 ＝15×6÷2 ＝45（根）， 答：这堆圆木一共有45根。 故选B。 27．如图，图中圆的半径为r，长方形的长为2r，图中甲乙两块阴影部分的面积相比较，(        )。 A．甲的面积大    B．乙的面积大    C．一样大     D．无法比较 【答案】A 【分析】甲的面积是所在圆面积的， 根据圆面积公式用含有r的式子表示甲的面积；根据长方形面积公式用式子表示出乙的面积；然后比较大小即可。 【详解】甲的面积：π×r²×＝2.355r²；乙的面积：2r×r＝2r²；2.355r²＞2r²，所以甲的面积大。 故答案为：A 28．一个梯形的上底是4cm，下底是6cm，高是3cm。沿直线只剪一刀，剪出一个最大的平行四边形，这个平行四边形的面积是（　　）cm2。 A．9 B．12 C．16 【答案】B 【详解】4×3＝12（cm2） 答：这个平行四边形的面积是12cm2。 故选：B 29．一个梯形的上底、下底和高都扩大到原来的2倍，则面积就扩大到原来的（    ）倍。 A．6 B．4 C．8 D．2 【答案】B 【分析】梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，上底、下底和高到扩大到原来的2倍。（上底×2＋下底×2）×高×2÷2，整理得：（上底＋下底）×2×高×2÷2，即（上底＋下底）×高÷2×4，所以面积应该是扩大了4倍。 【详解】我们可以举个例子。比如上底＝1米，下底＝2米，高＝2米，则面积＝（1＋2）×2÷2＝3平方米。如果上底、下底和高都扩大到原来得2倍，上底＝1×2＝2米，下底＝2×2＝4米，高＝2×2＝4米，扩大2倍后得面积＝（2＋4）×4÷2＝12平方米。面积由3平方米变成12平方米，扩大到原来的4倍。 故答案为：B 【点睛】此题主要考查：当梯形的上底、下底和高扩大a倍，面积扩大a的平方倍。 30．一个等腰梯形的周长是48cm，面积是96cm2，高是8cm，则腰长是（    ）厘米。 A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】C 【分析】根据“梯形的上底＋下底＝梯形的面积×2÷高”，据此求出上底与下底的和，用周长减去上底与下底的和，再除以2即可求出腰长多少厘米。 【详解】96×2÷8 ＝192÷8 ＝24（厘米）； （48－24）÷2 ＝24÷2 ＝12（厘米）； 故答案为：C。 【点睛】熟练掌握梯形面积和周长的公式并能灵活利用是解答本题的关键。 31．一个梯形的上底增加2cm，下底减少2dm，高不变，这时的面积与原来的面积相比（    ）。 A．变大了 B．变小了 C．不变 D．无法比较 【答案】B 【分析】根据梯形的面积公式，结合题意，判断出变化后的面积和原来的面积相比是增加了还是减少了。 【详解】变化前：（上底＋下底）×高÷2 变化后：2dm＝20cm （上底＋2＋下底－20）×高÷2＝（上底＋下底－18）×高÷2 所以，变化后的面积变小了。 故答案为：B 【点睛】本题考查了梯形的面积，灵活运用梯形的面积公式是解题的关键。 32．把一个平行四边形拉成一个长方形，周长不变，面积（    ）。 A．变小了 B．变大了 C．不变 D．不确定 【答案】B 【解析】把一个平行四边形拉成一个长方形，拉伸后底不变，高变大，根据公式S＝ah，所以面积变大，据此解答。 【详解】把一个平行四边形拉成一个长方形，周长不变，面积变大了。 故答案为：B。 【点睛】自制教具动手试一试，能更好的理解此题。 四、计算题 33．计算下列各图形的面积。 【答案】（1）63cm2 （2）48cm2 （3）78.72cm2 【分析】（1）运用三角形的面积公式； （2）运用平行四边形的面积公式； （3）运用梯形和平行四边形的面积公式，据此解答。 【详解】（1）8.4×15÷2 ＝125÷2 ＝63（cm2） （2）8×6＝48（cm2） （3）12.1×4.2＋（12.1＋6.5）×3÷2 ＝12.1×4.2＋18.6×3÷2 ＝50.82＋55.8÷2 ＝50.82＋27.9 ＝78.72（cm2） 34．求下列图形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】216平方厘米；50平方厘米 【分析】（1）S阴影＝S平行四边÷2 （2）S阴影＝S总－ S等腰直角三角形－S直角三角形，据此解答 【详解】（1）S阴影：24×18÷2＝216（平方厘米） （2）S阴影：10×10＋6×6＋（10－6）×6÷2－10×10÷2－6×（10＋6）÷2 ＝10×10＋6×6＋4×6÷2－10×10÷2－6×16÷2 ＝100＋36＋12－50－48 ＝50（平方厘米） 五、作图题 35．在方格纸中画出面积为12的三角形、平行四边形和梯形各一个。（每个小方格的面积表示1）。 【答案】见详解（答案不唯一） 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，梯形的面积＝（上底十下底）×高÷2，只要面积是12cm2，画出相应图形即可。 【详解】画图如下：（答案不唯一） 【点睛】熟练掌握三角形、平行四边形、梯形的面积公式，是解答此题的关键。 六、解答题 36．王伯伯用浮标绳和池塘边的堤岸围成了如下图所示的一块梯形区域，并打算在围成的区域内种上莲花，浮标绳总长85米，围成的梯形区域的面积是多少？ 【答案】750平方米 【分析】用浮标绳长度－梯形的高＝上下底的和，根据梯形面积＝上下底的和×高÷2，列式解答即可。 【详解】（85－25）×25÷2 ＝60×25÷2 ＝750（平方米） 答：围成的梯形区域的面积是750平方米。 【点睛】关键是掌握和灵活运用梯形面积公式。 37．下图是一块红布，王老师准备在这块红布上裁剪出两条直角边分别是0.7m、0.4m的三角形小红旗。最多可以裁剪出多少面这样的小红旗？ 【答案】36面 【分析】两个这样的三角形可以拼出一个长方形，长为0.4厘米，宽为0.7厘米，再根据红布的宽是1.4米，长是3.6米，发现宽可以裁两个，长可以裁9个，则红布可以裁18个长方形，即36面这样的小红旗。 【详解】（1.4÷0.7）×（3.6÷0.4）×2 ＝2×9×2 ＝36（面） 答：最多可以裁剪出36面这样的小红旗。 【点睛】本题考查三角形、长方形的特征、小数除法，解答本题的关键是理解两个这样的三角形可以拼出一个长方形。 38．一个木条钉成的长方形框架，长是28厘米，宽是15厘米，将它拉伸成一个平行四边形后面积减少了56平方厘米。平行四边形较长边上的高是多少厘米？ 【答案】13厘米 【分析】由题意，先求出长方形的面积，并减去减少的部分56平方厘米，就得到了平行四边形的面积，因为在拉伸的过程中，底没变，变的是高，再用平行四边形的面积÷底，就得到平行四边形较长边上的高了。 【详解】（28×15－56）÷28 ＝（420－56）÷28 ＝364÷28 ＝13（厘米） 答：平行四边形较长边上的高是13厘米。 【点睛】由题意，在将长方形拉伸成平行四边形的时候，面积会减少；这是因为长方形的长（平行四边形的底）没有变，而长方形的宽（平行四边形的高）变小了的缘故。 39．实验小学有一块劳动基地，如图，A地种白菜，B地种萝卜，C地种辣椒。 （1）如果种辣椒的面积是20m2，那么种萝卜的面积是多少平方米？ （2）如果这块地每平方米能收白菜12kg，那么A地能收白菜多少千克？ 【答案】（1）48m2；（2）576kg 【分析】（1）C地是个三角形，通过三角形面积公式求出高，就是B地的高，B地是平行四边形，根据平行四边形的面积公式，列式解答即可。 （2）A地是个梯形，高与C地的高相同，根据梯形的面积公式，列式解答即可。 【详解】（1）20×2÷5＝8（米） 6×8＝48（平方米） 答：种萝卜的面积是48平方米。 （2）（3＋9）×8÷2×12 ＝12×8÷2×12 ＝48×12 ＝576（千克） 答：A地能收白菜576千克。 【点睛】平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。 40．如图，一块长方形草地，长方形的长是16米，宽是10米，中间铺了一条石子路。那么草地部分面积有多大？ 【答案】128平方米 【分析】先观察石子路的形状，是一个平行四边形，其中，它的底为2米，高可看作长方形的长，是16米；那么平行四边形面积可求。再看长方形，长和宽都已知，面积也可求。则最后用长方形的面积减去平行四边形的面积就是草地部分面积。 【详解】16×10－16×2 ＝16×（10－2） ＝16×8 ＝128（平方米） 答：草地面积有128平方米。 【点睛】关键是找到平行四边形的底和高，如图所示，平行四边形只有一条短边是已知的，则两条短边之间垂直的线段的长度可看作它的高。 41．一个直角梯形的下底为8厘米，如果把上底延长2厘米，原来的梯形就变成了正方形，原来梯形的面积是多少平方厘米？ 【答案】56平方厘米 【详解】[(8－2)＋8]×8÷2＝56(平方厘米) 42．求下面图形中阴影部分的面积．(单位：dm)   【答案】梯形的面积：（26+54）×30÷2=1200（dm2） 空白处的面积：26×30÷2=390（dm2） 阴影部分的面积：1200-390=810（dm2） 43．一块平行四边形麦田，底是75米，高是45米，一共收小麦2210千克．平均每平方米收小麦多少千克？ 【答案】0.65千克 【详解】75×45=3375（平方米） 2210÷3375≈0.65（千克） 44．一块梯形玻璃，上底2.18米，下底3.24米，高2.8米，每平方米玻璃35元．买这样的一块玻璃需要多少钱？ 【答案】265.58元 【详解】（2.18+3.24）×2.8÷2×35=265.58（元） 45．一块三角形玫瑰园，底是70米，高是30米，每棵玫瑰占地0.5平方米，这个玫瑰园能种多少棵玫瑰？种一棵玫瑰需要5元，种玫瑰一共需要多少钱？ 【答案】2100棵   10500元 【详解】70×30÷2=1050（平方米） 1050÷0.5=2100（棵） 2100×5=10500（元） 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 多边形的面积 知识回顾 单元知识框架： 温馨提示：图片放大更清晰。 单元知识点梳理： 1、 平行四边形面积相关知识点： ①知识储备：用转化法计算图形的面积：一转化：通过切割、平移等方法把不规则图形转化成规则的长方形、正方形等图形。二计算：计算规则图形的面积，也就是原来不规则图形的面积。 ②把平行四边形转化成长方形的方法：沿着平行四边形的任意一条边上的任意一条高剪成两个图形后，通过平移都可以把平行四边形转化成一个长方形。 ③平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高，用字母表示为S=a×h。 强调：使用公式计算平行四边形面积时，应注意底一定要乘以其所对应的高。 2、 三角形面积相关知识点： ①知识储备：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是两个完全一样的三角形所拼成的平行四边形的面积的一半，即三角形的面积=平行四边形的面积÷2或平行四边形的面积=三角形的面积×2。 强调：用两个完全一样的三角形拼成的平行四边形，存在等底等高的关系。及三角形的面积是与它等底等高平行四边形面积的一半；平行四边形的面积是与它等底等高三角形面积的两倍。 ②三角形的面积计算公式：三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为S=a×h÷2。 强调：①使用公式计算三角形面积时，应注意底一定要乘以其所对应的高。 ②如果已知三角形面积，求底和高时，三角形的面积应先乘以2再去除以它的底或着高就可以求出相关量。 3、 梯形面积相关知识点： ①知识储备：两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，梯形的面积是两个完全一样的梯形所拼成的平行四边形的面积的一半，也就是：梯形的面积=平行四边形的面积÷2或平行四边形的面积=梯形的面积×2。 强调：两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底等于梯形上下底的和，平行四边形的高与梯形的高相等。 ②梯形的面积：梯形的面积=（上底＋下底）×高÷2。用字母表示：S=（a＋b）×h÷2。 4、 认识公顷相关知识点： ①公顷的认识：测量或计量土地面积，通常用公顷作单位，公顷可以写成hm²。边长100米的正方形土地，面积是1公顷。 公顷和平方米之间的进率是10000，1公顷=10000平方米。 ②公顷的使用场景：广场、小区面积、校园面积、耕地面积等。 5、 平方千米相关知识点： ①平方千米的认识：测量或计量大面积的土地，通常用平方千米作单位。平方千米可以写成km²。边长1000米的正方形土地，面积是1平方千米。 平方千米和平方米之间的进率是1000000，平方千米和公顷之间的进率是100。即：1平方千米=1000000平方米=100公顷。 ②平方千米的使用场景：大型城市、大型湖泊、大型土地、国家等。 6、 组合图形面积计算方法： ①运用“分割”“添补”求组合图形的面积：计算组合图形的面积，一般是先把它分割成已学过的简单图形，分别计算出各个简单图形的面积，然后把它们加起来；也可以把整个图形补成一个长方形、正方形等图形，再用补成的图形的面积减去缺少部分图形的面积。 ②不规则图形的面积估算方法：求不规则图形的面积，可以用数方格的方法进行估算。估算时，先数整格的，再数不满整格的，不满整格的按半格计算。 易错点剖析 1、如图，一个三角形的底是6米，如果把底延长2米，那么面积就增加5平方米。原来三角形的面积是( )平方米。 【答案】15 【分析】首先利用三角形的面积公式计算增加部分三角形的高，原来三角形和增加部分三角形等高，根据S三角形＝底×高÷2，即可求得。 【详解】（2×5÷2）×6÷2 ＝5×6÷2 ＝15（平方米） 【点睛】灵活运用三角形的面积公式计算三角形的高是解答本题的关键。 2、一个梯形的面积是122.4cm2，上、下底之和是36cm，这个梯形的高是( )cm。 【答案】6.8 【分析】根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，则梯形的高＝面积×2÷（上底＋下底），代入数据计算即可。 【详解】122.4×2÷36 ＝244.8÷36 ＝6.8（cm） 所以一个梯形的面积是122.4cm2，上、下底之和是36cm，这个梯形的高是6.8cm。 【点睛】本题主要考查的是梯形的面积计算公式，熟记公式是解题关键。 3、一堆呈梯形摆放的钢管最下层有7根，最上层有2根，每相邻的两层都相差1根，这堆钢管共有( )根。 【答案】27 【分析】钢管的总根数＝（最上层根数＋最下层根数）×层数÷2，其中层数＝最下层根数－最上层根数＋1，据此解答。 【详解】（7＋2）×（7－2＋1）÷2 ＝9×6÷2 ＝27（根） 这堆钢管共有27根。 【点睛】掌握梯形的面积计算公式，并学会灵活运用。 4、下图是一块红布，王老师准备在这块红布上裁剪出两条直角边分别是0.7m、0.4m的三角形小红旗。最多可以裁剪出多少面这样的小红旗？ 【答案】36面 【分析】两个这样的三角形可以拼出一个长方形，长为0.4厘米，宽为0.7厘米，再根据红布的宽是1.4米，长是3.6米，发现宽可以裁两个，长可以裁9个，则红布可以裁18个长方形，即36面这样的小红旗。 【详解】（1.4÷0.7）×（3.6÷0.4）×2 ＝2×9×2 ＝36（面） 答：最多可以裁剪出36面这样的小红旗。 【点睛】本题考查三角形、长方形的特征、小数除法，解答本题的关键是理解两个这样的三角形可以拼出一个长方形。 5、一个木条钉成的长方形框架，长是28厘米，宽是15厘米，将它拉伸成一个平行四边形后面积减少了56平方厘米。平行四边形较长边上的高是多少厘米？ 【答案】13厘米 【知识点】长方形的面积、平行四边形的面积 【分析】由题意，先求出长方形的面积，并减去减少的部分56平方厘米，就得到了平行四边形的面积，因为在拉伸的过程中，底没变，变的是高，再用平行四边形的面积÷底，就得到平行四边形较长边上的高了。 【详解】（28×15－56）÷28 ＝（420－56）÷28 ＝364÷28 ＝13（厘米） 答：平行四边形较长边上的高是13厘米。 【点睛】由题意，在将长方形拉伸成平行四边形的时候，面积会减少；这是因为长方形的长（平行四边形的底）没有变，而长方形的宽（平行四边形的高）变小了的缘故。 强化练习 一、填空题 1．5.5公顷＝( )平方米    8500平方米＝( )公顷 0.75平方千米＝( )公顷    3800公顷＝( )平方千米 2．一个平行四边形的面积是3.5平方米，如果把它的底和高都扩大到原来的2倍，那么得到的平行四边形的面积是( )平方米。 3．一个三角形和一个平行四边形面积相等，底也相等。如果平行四边形的高是12厘米，三角形的高就是( )厘米。 4．如图，正方形的面积是25平方厘米，平行四边形的面积是( )平方厘米。 5．如图，一个三角形的底是6米，如果把底延长2米，那么面积就增加5平方米。原来三角形的面积是( )平方米。 6．如果梯形的上底增加3厘米，下底减少3厘米，高不变 ，那么面积将 ；如果一个三角形的高不变，底扩大到原来的2倍，那么面积将扩大到原来的 倍。 7．在括号里填合适的数。 2.9平方米＝( )平方分米    1800平方米＝( )公顷 0.07公顷＝( )平方米    5.7公顷＝( )平方千米 8．一个直角三角形，三条边分别是5cm，4cm，3cm，它的面积是( )平方厘米。 9．一个三角形和一个平行四边形的面积相等，高也相等，如果三角形的底是12.8cm，那么平行四边形的底是( )cm。 10．一堆呈梯形摆放的钢管最下层有7根，最上层有2根，每相邻的两层都相差1根，这堆钢管共有( )根。 11．一个直角梯形的上底、下底、高分别为8cm、11cm、6cm，在这个梯形中画一个最大的三角形，这个三角形的面积为( )平方厘米。 12．在退耕还林工程中，某景区新增一片杨树林，长600米，宽250米，这片杨树林的面积有( )公顷，如果每公顷有850棵树，这片杨树林共有( )棵树。 二、判断题 13．两个面积相等的三角形都可以拼成一个平行四边形。( ) 14．在平行四边形内画一个最大的三角形，三角形的面积一定等于平行四边形面积的一半。( ) 15．图中阴影部分的面积是大平行四边形面积的一半。( ) 16．在梯形 中，阴影①的面积与阴影②的面积相等。( ) 17．一个平行四边形的底是5厘米，高是底的2倍，它的面积是50平方厘米。  ( ) 18．三角形的底越长，面积就越大。( ) 19．两个完全相同的梯形一定能拼成一个平行四边形。( ) 20．如果平行四边形的面积是三角形面积的2倍，那么它们一定等底等高。( ) 21．一个梯形的上底、下底和高都扩大到原来的2倍，则它的面积就扩大到原来的8倍。( ) 22．两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。( ) 三、选择题 23．大约在两千年前，我国数学名著《九章算术》中“方田章”就讲述了平面图形面积的算法。书中说：“方田术曰，广从步数相乘得积步”，所指的是（    ）面积的计算方法。 A．平行四边形 B．长方形 C．三角形 D．梯形 24．如图所示，阴影部分甲、乙两个梯形的面积的大小关系是（    ）。 A．S甲＜S乙 B．S甲＝S乙 C．S甲＞S乙 D．无法判断 25．如图，平行四边形ABCD与直角三角形EBC有一部分区域重叠在一起，未重叠区域中阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米。下列说法正确的是（    ）。 A．平行四边形ABCD的面积等于直角三角形EBC的面积 B．三角形EFG的面积加10平方厘米等于阴影三角形AFB的面积 C．平行四边形ABCD的面积比直角三角形EBC的面积大10平方厘米 D．梯形FBCG的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米 26．一堆圆木，最上层5根，最下层10根，每往下一层都比上一层多1根，这堆圆木共（　　）根。 A．50 B．45 C．40 D．55 27．如图，图中圆的半径为r，长方形的长为2r，图中甲乙两块阴影部分的面积相比较，(        )。 A．甲的面积大    B．乙的面积大    C．一样大     D．无法比较 28．一个梯形的上底是4cm，下底是6cm，高是3cm。沿直线只剪一刀，剪出一个最大的平行四边形，这个平行四边形的面积是（　　）平方厘米。 A．9 B．12 C．16 29．一个梯形的上底、下底和高都扩大到原来的2倍，则面积就扩大到原来的（    ）倍。 A．6 B．4 C．8 D．2 30．一个等腰梯形的周长是48cm，面积是96cm2，高是8cm，则腰长是（    ）厘米。 A．6 B．8 C．12 D．24 31．一个梯形的上底增加2cm，下底减少2dm，高不变，这时的面积与原来的面积相比（    ）。 A．变大了 B．变小了 C．不变 D．无法比较 32．把一个平行四边形拉成一个长方形，周长不变，面积（    ）。 A．变小了 B．变大了 C．不变 D．不确定 四、计算题 33．计算下列各图形的面积。 34．求下列图形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 五、作图题 35．在方格纸中画出面积为12的三角形、平行四边形和梯形各一个。（每个小方格的面积表示1）。 六、解答题 36．王伯伯用浮标绳和池塘边的堤岸围成了如下图所示的一块梯形区域，并打算在围成的区域内种上莲花，浮标绳总长85米，围成的梯形区域的面积是多少？ 37．下图是一块红布，王老师准备在这块红布上裁剪出两条直角边分别是0.7m、0.4m的三角形小红旗。最多可以裁剪出多少面这样的小红旗？ 38．一个木条钉成的长方形框架，长是28厘米，宽是15厘米，将它拉伸成一个平行四边形后面积减少了56平方厘米。平行四边形较长边上的高是多少厘米？ 39．实验小学有一块劳动基地，如图，A地种白菜，B地种萝卜，C地种辣椒。 （1）如果种辣椒的面积是20m2，那么种萝卜的面积是多少平方米？ （2）如果这块地每平方米能收白菜12kg，那么A地能收白菜多少千克？ 40．如图，一块长方形草地，长方形的长是16米，宽是10米，中间铺了一条石子路。那么草地部分面积有多大？ 41．一个直角梯形的下底为8厘米，如果把上底延长2厘米，原来的梯形就变成了正方形，原来梯形的面积是多少平方厘米？ 42．求下面图形中阴影部分的面积．(单位：dm)   43．一块平行四边形麦田，底是75米，高是45米，一共收小麦2210千克．平均每平方米收小麦多少千克？ 44．一块梯形玻璃，上底2.18米，下底3.24米，高2.8米，每平方米玻璃35元．买这样的一块玻璃需要多少钱？ 45．一块三角形玫瑰园，底是70米，高是30米，每棵玫瑰占地0.5平方米，这个玫瑰园能种多少棵玫瑰？种一棵玫瑰需要5元，种玫瑰一共需要多少钱？ 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $