精品解析：辽宁省鞍山市部分学校2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度上学期月考试卷 高三数学B 满分：150分 时间：120分钟 命题范围：选必三+必修一，必修二函数部分+复数集合不等式+三角函数+平面向量+立体几何与空间向量 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据集合交集的定义求解. 【详解】． 故选：． 2. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则，结合复数对应点的坐标进行判断即可. 【详解】因为， 所以复数对应的点坐标为，它在第四象限， 故选：D 3. 已知，且，则实数（ ） A. -3 B. 6 C. -1或-2 D. 1或2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得或2. 故选：D. 4. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数及幂函数的性质判断即可. 【详解】因为，，， 又， 因为在上单调递增，且， 所以，即， 综上可得. 故选：A 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由常数的代换，和基本不等式即可求解. 【详解】因为， 则， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为3， 故选：A 6. 已知为等差数列，前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的前n项和公式，可求得；由，可得，从而求得，再由等差数列的通项公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以； 又因为， 即，解得， 所以等差数列的公差， 所以. 故选；A. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到函数的图象，则的一个单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换即可求解函数，再由正弦函数的性质求解单调递减区间. 【详解】由题意函数的图象向左平移个单位长度后，得到 ， 把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到函数 ， 的一个单调递减区间， 解得，当时，在上单调递减. 故选：B. 8. 已知函数，则的单调递增区间为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的定义域，解不等式，即可得出函数的增区间. 【详解】函数的定义域为，则， 因为，由，可得， 故函数的单调递增区间为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平行六面体中，各棱长均为2，.则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. 不是空间的一组基底 D. 直线与底面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由向量的线性运算及模长公式求解即可；对于B，可证明即可判断；对于C，由题可得即可判断；对于D，连接交于点，过作交于，可证平面，则就是直线与底面所成角，再求边长确定余弦值即可． 【详解】对于A，， ，故A错误； 对于B，，， ， ，故B正确； 对于C，，即共面， 即不是空间的一组基底，故C正确； 对于D，连接交于点， 易知，又，平面， 平面，又平面，所以， 过作交于， 平面，， 又平面， 所以平面， 则就是直线与底面所成角， ， ， ，则， ， 即直线与底面所成角的正弦值为，故D正确； 故选：BCD． 10. 已知数列的前项和，则（ ） A. 为中的最小项 B. C. 数列是等差数列 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据可判断A选项；根据即可求出数列的通项，再根据等差数列的定义和前项和公式即可判断BCD. 【详解】选项A ，已知，这是一个二次函数，开口向上，对称轴为， 由于是正整数，计算前几项： 当时，； 当时，；  当​时，； 当​时，；  可见，当时，取得最小值，即是数列中的最小项，故A正确； 由题意得，当时， ， 当时，， 当时，上式也成立，所以，故B正确； 选项C，由题意得， 因为，所以数列是等差数列，故C正确； 选项D，令，则解得， 所以当时，，当时，， 故，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. 有两个极值点 C. 有三个零点 D. 直线是曲线的切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的对称性判断A；求导，利用导数研究函数的单调性、极值和零点，即可判断BC；利用导数的几何意义求的切线方程，即可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以，所以关于对称，故A正确； 对于B，由得，令得：， 令得或，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以有两个极值点(为极大值点，为极小值点），故B正确； 又，， 而趋向于负无穷大时也趋向于负无穷大；趋向于正无穷大时也趋向于正无穷大； 所以仅有1个零点(如图所示)，故C错误； 对于D，设切点，在处的切线为， 即， 若是其切线，则，则，此时切点为时， 切线方程为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由即可求值 【详解】， . 故答案为： 13. 函数的值域为 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】令，转换成二次函数值域问题求解. 【详解】令，则，， 因为，开口向上且对称轴为， 所以在上是增函数，所以， 所以的值域为. 故答案为： 14. 已知各项均为正数的等比数列的前项和为，其中是和的等差中项，则_______________. 【答案】#### 【解析】 【分析】利用等差中项来求等比数列公比，即可求解结果. 【详解】由题可知，即 所以，解得或（舍） 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线斜率； （2）当时，求证：． 【答案】（1）1 （2）证明：令， 则， 当时，所以在上单调递减， 当时，所以在上单调递增， 所以当时，有最小值为， 所以当时，，即当时，． 【解析】 【分析】（1）求导得，再代入计算求出即可； （2）设，再求导得到其最小值即可证明. 【小问1详解】 由，可得， 所以切线斜率为． 【小问2详解】 略 16. 已知函数的最小正周期为． （1）求及； （2）若的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数式，结合三角函数的周期性可计算参数并求值； （2）根据三角函数图像变换先得解析式，再利用正弦函数的性质计算值域即可. 【小问1详解】 易知， 又最小正周期为，所以， 即，则 【小问2详解】 的图象向右平移个单位长度得到， 因为时，， 根据正弦函数的单调性可知即时，， 时即，，即，则. 17. 已知数列的前项和满足条件，其中是正整数． （1）求证：数列成等比数列； （2）设数列满足．若，求数列的前项和． 【答案】（1） 证明：由题意得， ∴， 又，解得， ∴， ∴ 数列是首项为3，公比为3的等比数列； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用化简，易得结论； （2）通过（1）求出，进而求出，再利用裂项相消的方法求数列的前项和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得：， 故， 所以， 令数列的前项和为， 则， 计算得， 综上：数列的前项和为. 18. 四棱锥中，平面平面，，，，，是中点． （1）求证：平面； （2）若二面角的平面角的正弦值为，求出的值； （3）在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），是中点，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，， ，是中点，， ，，， ，， ，， 在上取点，使得，且， 四边形为矩形，，， ，，， 在中，，，， ，， ，，平面，平面， 平面； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由平面平面得到平面从而得到， 在上取点，使得，得到四边形为矩形，求出的长度， 在中，利用勾股定理的逆定理得到，从而得到平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解； （3）假设在侧棱上存在点，使得平面，设，，利用空间向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，则， 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 设，，， 则，，，，，， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，则， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，， ，，，， ，， 设二面角的平面角为，则，， ，，，， 【小问3详解】 假设在侧棱上存在点，使得平面， 设，，， 设，，， ，， ， ，， 平面的法向量为， ，，， 存在点，使得平面， . 19. 已知函数，其中为常数. （1）若函数的极小值点为，求的值； （2）若在时恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分析其单调性，求出极小值点； （2）将问题转化为在时恒成立，构造函数，研究其最大值； （3）将问题转化为在上有两个不同的交点，通过求导研究的性质，画出图象即可. 【小问1详解】 因，则， 易知当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故函数的极小值点为，得； 【小问2详解】 在时恒成立，等价于在时恒成立， 令，则， 因，则在上单调递减， 则，， 则实数的取值范围是； 【小问3详解】 当时，，则， 令，则， 令，则， 因，则， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 故， 易知，当时，，时，， 当时，，当且时，， 作出的大致图象（如图）： 因在上恰有两个不同的零点， 即在上有两个不同的交点，故， 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期月考试卷 高三数学B 满分：150分 时间：120分钟 命题范围：选必三+必修一，必修二函数部分+复数集合不等式+三角函数+平面向量+立体几何与空间向量 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，且，则实数（ ） A. -3 B. 6 C. -1或-2 D. 1或2 4. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 6. 已知为等差数列，前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到函数的图象，则的一个单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则的单调递增区间为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平行六面体中，各棱长均为2，.则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. 不是空间的一组基底 D. 直线与底面所成角的正弦值为 10. 已知数列的前项和，则（ ） A. 为中的最小项 B. C. 数列是等差数列 D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. 有两个极值点 C. 有三个零点 D. 直线是曲线的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_____. 13. 函数的值域为 ______ ． 14. 已知各项均为正数的等比数列的前项和为，其中是和的等差中项，则_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线斜率； （2）当时，求证：． 16. 已知函数的最小正周期为． （1）求及； （2）若的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域． 17. 已知数列的前项和满足条件，其中是正整数． （1）求证：数列成等比数列； （2）设数列满足．若，求数列的前项和． 18. 四棱锥中，平面平面，，，，，是中点． （1）求证：平面； （2）若二面角的平面角的正弦值为，求出的值； （3）在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数，其中为常数. （1）若函数的极小值点为，求的值； （2）若在时恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $