第6讲 分数四则混合运算（专项提升训练）六年级数学寒假专项提升（青岛版）

第6讲 分数四则混合运算 知识回顾 单元知识框架： 温馨提示：图片放大更清晰。 单元知识点梳理： 知识点01：分数的乘除法的混合运算 运算顺序：与整数混合运算的运算顺序相同，都是先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的。 转换方法：当遇到分数乘除混合运算时，要先把除法转换成乘法（即除以一个数等于乘上这个数的倒数）。 约分与计算：在转换成乘法后，可以根据需要进行约分，再进行计算。 知识点02：分数的连乘运算 运算顺序：从左到右依次计算。 约分：如果是分数连乘，可先进行约分（交叉约分），再进行计算。 知识点03：连续求一个数的几分之几是多少的问题 解题思路：首先确定单位“1”的量，然后根据题目描述，确定需要求解的未知数是单位“1”的几分之几。 解题方法： 方法一：先求出多或少的具体量，再用单位“1”的量加或减去多或少的部分，求出要求的问题。 方法二：用单位“1”加或减去多或少的几分之几，求出未知数占单位“1”的几分之几，再用单位“1”的量乘这个分数。 知识点04：分数的连除运算 转换方法：分数连除可以转化为乘法运算，即除以一个数等于乘上这个数的倒数。 计算方法： 方法一：可以先分步转化为乘法，再约分计算。 方法二：可以一次都转化成乘法，再约分计算。 知识点05：求比一个数多或少几分之几的数是多少 这个知识点主要考察的是对分数增减运算的理解。假设我们有一个数A，要求比A多或少几分之几（例如）的数，我们可以按照以下步骤进行计算： 确定基数A。确定增减的分数（例如）。 如果要求比A多的数，则计算 A + A ×；如果要求比A少的数，则计算 A - A ×。 知识点06：整数乘法运算定律推广到分数乘法 整数乘法的运算定律（如交换律、结合律、分配律）在分数乘法中同样适用。这些定律的推广使得分数乘法的计算更加简便和灵活。 交换律：a × b = b × a（其中a和b都是分数）。 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)（其中a、b、c都是分数）。 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c（其中a、b、c都是分数）。 知识点07：分数除法相关的简便计算 分数除法的简便计算主要依赖于将除法转换为乘法的逆运算。即，除以一个数等于乘以这个数的倒数。例如，a ÷ b = a ×（其中a和b都是分数，且b不为0）。 此外，当遇到多个分数连续相除时，可以一次性地将所有除数转换为它们的倒数，然后进行乘法运算。例如，a ÷ b ÷ c = a × × 。 易错点剖析 1、一辆汽车从甲城开往乙城，第一小时行驶了全程的，第二小时行驶了120千米，这时距乙城还有全程的，甲、乙两城相距多少千米？ 【答案】360千米 【分析】第一小时行驶了全程的，第二小时行驶了120千米，这时距乙城还有全程的，根据分数减法的意义，第二小时行驶的120千米占全程的1－－，根据分数除法的意义，用这120千米除以其占全程的分率，即得全程是多少千米。 【详解】120÷（1－－） ＝120÷ ＝360（千米） 答：甲、乙两城相距360千米。 【点睛】首先根据已知条件求出已知数量占全程的分率是完成本题的关键。 2、泉南立交桥工程队三周修一条1200米长的路，第一周和第二周修了全长的，第二周和第三周修了700米，第二周修了多少米？ 【答案】答：第二周修了300米 【详解】700﹣1200×（1﹣） =700﹣1200× =700﹣400=300（米） 答：第二周修了300米 3、一个160人的旅行团乘坐三辆大巴车到当阳市玉泉山风景区旅游。已知第一、二辆车上的人数之和占总人数的，第二、三辆车上的人数之和占总人数的，第二辆车上有多少人？ 【答案】45人 【分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法，用总人数160人乘求出第一、二辆车上的人数之和为100人，用总人数160人乘求出第二、三辆车上的人数之和为105人，即第一辆车的人数＋第二辆车的人数＝100，第二辆车的人数＋第三辆车的人数＝105，可得第一辆车的人数＋第二辆车的人数×2＋第三辆车的人数＝100＋105，已知第一辆车的人数＋第二辆车的人数＋第三辆车的人数＝160，用100＋105的和减去160即是第二辆车上的人数。 【详解】160×＝100（人） 160×＝105（人） 100＋105－160＝45（人） 答：第二辆车上有45人。 【点睛】此题主要考查分数乘法的意义。掌握求一个数的几分之几是多少的计算方法，利用数量关系求出第二辆车上的人数是解题关键。 4、六（1）班有36名学生，其中女生占，第二学期转来了几名女生，这时女生人数占总人数的。第二学期转来了几名女生？ 【答案】2名 【分析】设第二学期转来了x名女生，根据原来全班人数×女生对应分率＋转来的女生人数＝现在全班人数×现在女生对应分率，列出方程解答即可。 【详解】解：设第二学期转来了x名女生。 36×＋x＝（36＋x）× 16＋x＝（36＋x）× 304＋19x＝324＋9x 10x＝20 x＝2 答：第二学期转来了2名女生。 【点睛】用方程解决问题的关键是找到等量关系。 5、篝火晚会上,同学们围成三圈跳集体舞,最里面一圈有36人,外面每一圈的人数都依次比里面一圈多．跳集体舞的一共有多少人? 【答案】171人 【详解】36+36×=36+18=54(人) 54+54×=54+27=81(人) 36+54+81=171(人) 答:跳集体舞的一共有171人． 强化练习 一、填空题 1．朝阳村去年种植黄豆36公顷，今年黄豆的种植面积比去年增加了。今年黄豆的种植面积是( )公顷。 【答案】44 【分析】已知朝阳村去年种植黄豆36公顷，今年黄豆的种植面积比去年增加了，则今年黄豆的种植面积占去年的（1＋），求今年黄豆种植面积可列式为：36×（1＋）。 【详解】由分析得： 36×（1＋） ＝36× ＝44（公顷） 【点睛】充分理解“比去年增加了”这句话的意思，就是把去年黄豆的种植面积看作单位“1”，求比单位“1”多的数是多少，这是解题关键。 2．一个长方形的长是米，宽是长的，周长是( )米，面积是( )平方米。 【答案】 【分析】求一个数的几分之几用乘法计算；长方形周长＝（长＋宽）×2，长方形面积＝长×宽，据此求出这个长方形的周长和面积即可。 【详解】宽：（米） 周长： （米） 面积：（平方米） 周长是米，面积是平方米。 3．小明和一些同学排成一队做游戏,排在小明前面的同学占这一队总人数的,排在小明后面的同学占这一队总人数的,这一队共有( )人,从前往后数,小明排在第( )． 【答案】 15 6 【详解】小明就是其中1个人，把排队的总人数看作单位“1”，小明前面的是，小明后面的是，小明所对应的分率是，用对应的数量除以对应的分率，就是总人数，列式是（人），所以小明前面的人数是（人），所以小明排第6位。 4．我国移动支付的普及率位居全球第一。某校共有教职员工180人，使用移动支付的教职员工人数比全校教职员工总数的多6人，使用移动支付的教职员工人数是( )人。 【答案】166 【分析】由题意可知，把全校教职员工总数看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用全校教职员工总数乘，再加6，即可得解。 【详解】 （人） 我国移动支付的普及率位居全球第一。某校共有教职员工180人，使用移动支付的教职员工人数比全校教职员工总数的多6人，使用移动支付的教职员工人数是166人。 5．( )米的是15米；( )米比15米短；( )米比15米长；( )米比15米长米． 【答案】 20 12 18 15 6．一个数的是，这个数的是( )；甲数的和乙数的相等，乙数是100，甲数是( )。 【答案】 /0.4 80 【分析】（1）已知一个数的是，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算先求出这个数；再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算求出这个数的是多少。 （2）已知乙数是100，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算求出乙数的是多少；再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用乙数的除以，求出甲数。 【详解】（1）÷× ＝×× ＝× ＝ 一个数的是，这个数的是（）； （2）100×÷ ＝20÷ ＝20×4 ＝80 甲数的和乙数的相等，乙数是100，甲数是（80）。 7．学校食堂三月份买来450千克大米，四月份比三月份多买，这里是把( )看作单位“1”，则450×表示( )，450×（1＋）表示( )。 【答案】 三月份购买大米的质量 四月份比三月份多购买大米的质量 四月份购买大米的质量 【分析】一般将分数“的”字前面的量看作单位“1”，把“是”“占”“比”后面的量看作单位“1”，四月份比三月份多买，是把三月份购买大米的质量看作单位“1”，三月份购买大米的质量×＝四月份比三月份多购买大米的质量，已知一个数，求比这个数多几分之几的数是多少用分数乘法计算，三月份购买大米的质量×（1＋）＝四月份购买大米的质量，据此解答。 【详解】 分析可知，学校食堂三月份买来450千克大米，四月份比三月份多买，这里是把三月份购买大米的质量看作单位“1”，则450×表示四月份比三月份多购买大米的质量，450×（1＋）表示四月份购买大米的质量。 450×（1＋） ＝450× ＝540（千克） 所以，四月份购买大米540千克。 【点睛】掌握求比一个数多（少）几分之几的数是多少的计算方法是解答题目的关键。 8．苹果、梨、柿子和桔子共630千克，其中苹果和梨占，苹果和柿子占，苹果和桔子占。苹果有( )千克，桔子有( )千克。 【答案】 229 121 【分析】把总千克数看作单位“1”，已知苹果和梨占，苹果和柿子占，苹果和桔子占，则用（＋＋－1）÷2即可求出苹果占的分率，再根据分数乘法的意义，用630千克乘苹果占的分率，即可求出苹果的千克数，然后用减去苹果占的分率，即可求出桔子占的分率，再用630千克乘桔子占的分率，即可求出桔子的千克数。 【详解】（＋＋－1）÷2 ＝÷2 ＝× ＝ 630×＝229（千克） －＝ 630×＝121（千克） 苹果有229千克，桔子有121千克。 【点睛】本题主要考查了分数乘除法的混合应用，掌握相应的计算方法是解答本题的关键。 9．甲乙两包糖的质量比是4∶1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲乙两包糖的质量比变成7∶8，那么两包糖的质量和是( )克。 【答案】30 【分析】由题意可知，两包糖的总数不变，根据比的意义，原来的总份数是（份），后来的总份数是（份），统一总份数为15，即原来甲乙两包糖的质量比是12∶3，从甲包取出10克，它的份数就变为7，可知10克有（份），用10除以5可得每份是多少，再乘12即可得解。 【详解】4∶1＝（4×3）∶（1×3）＝12∶3 （克） 甲乙两包糖的质量比是4∶1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲乙两包糖的质量比变成7∶8，那么两包糖的质量和是30克。 10．师傅与徒弟两人共加工零件105个，已知师傅加工零件个数的与徒弟加工零件个数的的和为49个，师傅加工了( )个零件。 【答案】56 【分析】师傅加工零件×＋徒弟加工零件×＝49，据此列出方程解答即可。 【详解】解：设师傅加工零件x个，则徒弟加工（105－x）个。 ＝49 ＋60－＝49 x＝56 答：师傅加工了56个零件。 【点睛】认真分析题中的数量关系，找出等量关系式是列方程解答问题的关键。 11．学校合唱队女生人数原来占总人数的，后来有6名女生加入，这样女生人数就占总人数的．现在合唱队共有( )人． 【答案】30 【详解】6÷（） ＝6÷（） ＝ ＝6×3 ＝18（人） 18÷（1） ＝ ＝ ＝30（人） 答：现在合唱队共有30人． 故答案为：30． 二、判断题 12．一根彩带长3米，用去后，还剩米。( ) 【答案】× 【分析】把彩带的全长看作单位“1”，用去，则剩下全长的（1－）。用彩带的全长乘（1－）即可求出剩下的长度。 【详解】3×（1－） ＝3× ＝1（米） 则用去后，还剩1米。 故答案为：× 【点睛】表示用去的占全长的分率，不是具体的长度，不能直接用全长减去它。 13．。( ) 【答案】× 【分析】，先把除法化为乘法，然后计算乘法，再计算加法。 【详解】 所以原题干说法错误。 故答案为：× 14．。( ) 【答案】× 【分析】，先算乘法，再算减法，据此进行计算。 【详解】，原题计算顺序和结果错误。 故答案为：× 15．一堆煤，烧去后，又送来剩下煤的，现在的煤与原来的同样多。( ) 【答案】× 16．冰化成水体积减少，3立方米的水结成冰，体积是立方米。( ) 【答案】√ 【分析】把冰的体积看作单位“1”，则水的体积是冰的（1－），用水的体积÷水占冰的体积即可求出冰的体积。 【详解】3÷（1－） ＝3÷ ＝（立方米），原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题考查了分数除法的应用，找准单位“1”，明确已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法。 三、选择题 17．一根绳子长3米，用去米后，还剩多少米？列式正确的是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】根据题意，一根长3米的绳子用去米，用绳子的全长减去用去的长度，即是还剩的长度，据此列式。 【详解】（米） 还剩米。 列式正确的是：。 故答案为：A 18．如果7－（÷□＋）＝5，那么□＝（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】7－（÷□＋）＝5根据题目可知，7减去括号里的数等于5，则括号里的数是：7－5＝2，即÷□＋＝2，把□可以当成一个x，即÷x＋＝2，根据等式的性质1和等式的性质2解出x的值即□的值。 【详解】由分析可知，把□看成x 即原式变为：7－（÷x＋）＝5 解：÷x＋＝7－5 ÷x＋＝2 ÷x＝2－ ÷x＝ x＝÷ x＝ 故答案为：B。 【点睛】本题主要考查解方程，熟练掌握等式的性质1和等式的性质2，并灵活运用。 19．用一根米长的铁丝围成一个正方形，它的面积是（    ）平方米。 A． B． C． 【答案】B 【分析】根据正方形的周长÷4＝边长，代入数据求出正方形的边长，再根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据求出面积。 【详解】÷4 ＝× ＝（米） ×＝（平方米） 正方形的面积是平方米。 故答案为：B 20．小芳买学习用具用了28元，小兰买学习用具的钱数比小芳多。小兰买学习用具用了多少钱？列式正确的是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】已知小兰买学习用具的钱数比小芳多，把小芳买学习用具用的钱数看作单位“1”，则小兰比小芳多用的钱数是小芳的，根据求一个数的几分之几是多少，用小芳用的钱数乘，即是小兰比小芳多用的钱数，再加上小芳用的钱数，求出小兰买学习用具用的钱数。 【详解】A．，表示小兰买学习用具用的钱数，符合题意； B．，表示小兰买学习用具的钱数比小芳少，不符合题意； C．，表示小兰买学习用具比小芳多用的钱数，不符合题意； 列式正确的是：。 故答案为：A 21．儿童平均每分钟心跳约为90次，成人每分钟心跳的次数比儿童少。成人每分钟心跳约多少次？列式正确的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】将儿童每分钟心跳次数看作单位“1”，成人每分钟心跳次数是儿童的，儿童每分钟心跳次数×成人对应分率＝成人每分钟心跳次数，据此分析。 【详解】 （次） 成人每分钟心跳约72次。 故答案为：B 22．要打2500个字，已经完成了，还差多少个字没有打？列式正确的是（    ）。 A．2500× B．2500－ C．2500×（1－） 【答案】C 【分析】把打字的总字数看作单位“1”，没打的字数占总字数的（1－），根据分数乘法的意义，用打字的总字数×（1－）即可求出没打的字数。 【详解】2500×（1－） ＝2500× ＝625（个） 列式正确的是2500×（1－）。 故答案为：C 23．将第一车间人数的调入第二车间后，两个车间的人数正好相等。原来第二车间的人数是第一车间人数的（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】把第一车间原有的人数看成单位“1”，将第一车间人数的调入第二车间后，两个车间的人数正好相等，说明第二车间原有人数比第一车间原有人数少2个，用第一车间原有人数减去2个，即是原来第二车间的人数是第一车间人数的几分之几。 【详解】1－×2 ＝1－ ＝ 原来第二车间的人数是第一车间人数的。 故答案为：C 24．算式可以解决的问题是（    ）。 A．公鸡有320只，母鸡的只数比公鸡多，母鸡有多少只 B．果园里有320棵苹果树，梨树的棵数比苹果树少，梨树有多少棵 C．一本书共有320页，琪琪已经看了这本书的，琪琪看了多少页 【答案】B 【分析】A．把公鸡的只数看作单位“1”，母鸡的只数比公鸡多，则母鸡的只数是公鸡的（1＋），单位“1”已知，用公鸡的只数乘（1＋），即是母鸡的只数； B．把苹果树的棵数看作单位“1”，梨树的棵数比苹果树少，则梨树的棵数是苹果树的（1－），单位“1”已知，用苹果树的棵数乘（1－），即是梨树的棵数； C．把这本书的总页数看作单位“1”，琪琪已经看了这本书的，单位“1”已知，用总页数乘，即是琪琪看的页数。 【详解】A．求母鸡有多少只，列式为：320×（1＋），不符合题意； B．求梨树有多少棵，列式为：320×（1－），符合题意； C．求琪琪看了多少页，列式为：320×，不符合题意。 故答案为：B 25．计算时，运用（    ）计算比较简便。 A．乘法分配律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 【答案】A 【分析】两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，得数不变，所以计算时，运用乘法分配律计算比较简便。 【详解】计算时，运用乘法分配律计算比较简便 ＝ ＝14＋15 ＝29 故答案为：A 【点睛】此题主要考查了运算定律与简便运算，要熟练掌握，注意运算顺序。 26．两箱苹果，如果从甲箱取出放入乙箱，两箱苹果数正好一样。原来甲箱苹果数比乙箱多（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把甲箱苹果数看作单位“1”，则乙箱有苹果（1－×2），求原来甲箱苹果数比乙箱多几分之几，用两箱苹果数之差除以乙箱苹果数即可。 【详解】×2÷（1－×2） ＝ ÷ ＝ 原来甲箱苹果数比乙箱多。 故选择：D 【点睛】求一个数比另一个数多几分之几，用两数之差除以较小数即可。找准单位“1”分别表示出甲、乙两箱苹果数是解题关键。 四、计算题 27．直接写出得数。                                                   【答案】6.2；2；；0； 126；；3； 28．计算，能用简便方法的要用简便方法。 4÷－÷4        ×＋÷        －×－ 4×（－）×6      ÷（－）        43－43× ×99          ＋÷＋         ÷（＋） 【答案】；； 4；； ；； 【分析】4÷－÷4，把除法化成乘法，原式化为：4×－×，先计算乘法，再计算减法； ×＋÷，把除法化成乘法，原式化为：×＋×，再根据乘法分配律，原式化为：×（＋），再进行计算； －×－，先计算乘法，原式等于：－－，再根据减法性质，原式化为：－（＋），再进行计算； 4×（－）×6，先计算括号里的减法，再计算乘法； ÷（－），先计算括号里的减法，再计算除法； 43－43×，根据乘法分配律，原式化为43×（1－），再进行计算 ×99，把99化为（100－1），原式化为：×（100－1），再根据乘法分配律，原式化为：×100－1×，再进行计算； ＋÷＋，把除法化为乘法，原式化为：＋×＋，根据加法结合律，原式化为（＋）＋×，再进行计算； ÷（＋），先计算括号里的加法，再计算除法。 【详解】4÷－÷4 ＝4×－× ＝5－ ＝ ×＋÷ ＝×＋× ＝×（＋） ＝ －×－ ＝－－ ＝－（＋） ＝－1 ＝ 4×（－）×6 ＝4×（－）×6 ＝4××6 ＝×6 ＝4 ÷（－） ＝÷（－） ＝÷ ＝× ＝ 43－43× ＝43×（1－） ＝43× ＝ ×99 ＝×（100－1） ＝×100－1× ＝99－ ＝ ＋÷＋ ＝＋×＋ ＝（＋）＋× ＝1＋ ＝ ÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝× ＝ 29．脱式计算，能简算的要简算。                      【答案】8；；； ；8；36 【分析】（1）（2）根据乘法分配律，进行简便运算。 （3）把除以转换为乘，再根据乘法分配律，进行简便运算。 （4）先算括号里面的加法，再算括号外面的乘法。 （5）先算小括号里面的减法，再计算中括号里面的乘法，最后计算括号外面的除法。 （6）先根据乘法交换率，把乘15调到前面，看成一个乘数，再根据乘法分配律，进行简便运算。 【详解】 30．计算下面各题。 【答案】 ；； 3； 【分析】（1）将除法变为乘法，从左往右依次计算； （2）先算括号里的加法，再算括号外的乘法； （3）先算除法，再算加法； （4）先算括号里的乘法，再算括号里的减法，最后算括号外的除法。 【详解】（1） （2） （3） （4） 31．解方程。 x÷＝      x－x＝       x×＝     ＋x＝4 【答案】； ； 【分析】根据等式的性质，方程两边同时乘即可； 先将方程的左边进行化简，再根据等式的性质，方程两边同时除以即可； 先将方程的左边进行化简，再根据等式的性质，方程两边同时除以即可； 根据等式的性质，方程两边同时减去再除以即可。 【详解】x÷＝ 解：x÷×＝× x＝ x－x＝ 解：x＝ x÷＝÷ x＝ x×＝ 解：x＝ x÷＝÷ x＝ ＋x＝4 解：＋x－＝4－ x＝ x÷＝÷ x＝ 32．解方程。           【答案】；； 【分析】（1）根据运算顺序，先算乘法，把原方程化简为，再将等式两边同时加上，把方程变为，然后将方程两边同时减去16，最后将方程两边同时除以，计算即可； （2）先计算减法，把原方程化简为，再将等式两边同时除以，计算即可； （3）根据运算顺序，先算乘法，把原方程化简为，再计算加法，把原方程化简为，再将等式两边同时除以，计算即可。 【详解】 解： 解： 解： 33．看图列式计算。 【答案】250吨 【分析】观察可知，把甲仓库的吨数看作单位“1”，已知乙仓库比甲仓库少，根据求一个数比另一个数少几分之几，先用求出乙仓库对应的分率，再用甲仓库乘乙仓库对应的分率；根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，先求出甲仓库的是多少，再用甲仓库的吨数减其，即可得解。 【详解】 （吨） 或 （吨） 即乙仓库有250吨。 34．看图列式计算。 【答案】120双 【分析】线段图的意思是，共有280双，售出，还剩下多少双？ 把总数看作单位“1”，售出，则还剩下总数的（1－），单位“1”已知，用总数乘（1－），即可求出还剩下的数量。 【详解】280×（1－） ＝280× ＝120（双） 还剩下120双。 五、解答题 35．鸵鸟是现在世界上最大的鸟，身高可达2.5米。一只成年企鹅的身高比鸵鸟少。成年企鹅的身高是多少米？ 【答案】1.2米 【分析】把鸵鸟的身高看作单位“1”，一只成年企鹅的身高相当于鸵鸟身高的（1－），单位“1”已知，根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法，用鸵鸟的身高乘（1－）即可求出成年企鹅的身高是多少米。 【详解】2.5×（1－） ＝2.5× ＝1.2（米） 答：成年企鹅的身高是1.2米。 【点睛】此题的解题关键是理解分数乘法的意义，掌握求比一个数少几分之几的数是多少的计算方法，从而解决问题。 36．一批零件有600个，第一天完成了全部的，第二天完成了全部的，第二天比第一天多完成多少个零件？ 【答案】70个 【分析】把这批零件的总数看作单位“1”，第一天完成全部的，第二天完成全部的，第二天比第一天多完成全部的﹣，根据分数乘法的意义列式解答即可。 【详解】600×（﹣） ＝600× ＝70（个）， 答：第二天比第一天多完成70个零件。 【点睛】本题考查了负数四则复合应用题，关键是得出第二天比第一天多完成总数的几分之几。 37．体育场上有120人在跳广场舞,经调查,有喜欢跳《小苹果》,有喜欢跳《中国年》,没有人既不喜欢跳《小苹果》,也不喜欢跳《中国年》．既喜欢跳《小苹果》,也喜欢跳《中国年》的有多少人? 【答案】120×+120×-120=52(人) 38．红灯笼、黄灯笼一共24盏，红灯笼占两种灯笼总数的，黄灯笼有多少盏？ 方法一：先求红灯笼有多少盏。 方法二：先求黄灯笼占两种灯笼总数的几分之几。 【答案】9盏 【分析】方法一：红灯笼占两种灯笼总数的，用红灯笼和黄灯笼的总数×，求出红灯笼的盏数，再用红灯笼和黄灯笼的总数－红灯笼的盏数，求出黄灯笼的盏； 方法二：把红灯笼和黄灯笼的总数看作单位“1”，红灯笼占两种灯笼总数的，黄灯笼占总数的（1－），再用两种灯笼的总数×（1－），就是黄灯笼的有多少盏。 【详解】方法一：24－24× ＝24－15 ＝9（盏） 方法二：24×（1－） ＝24× ＝9（盏） 答：黄灯笼有9盏。 【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少。 39．你知道吗？企鹅有“海洋之舟”的美称，它主要以磷虾、乌贼、小鱼为食。小明参观了动物园，收集了下面的信息。 ①动物园里有48只企鹅； ②麦哲伦企鹅占企鹅总数的； ③斑嘴环企鹅占企鹅总数的； ④加岛环企鹅比麦哲伦企鹅的只数多； ⑤洪堡企鹅比斑嘴环企鹅的只数少。 （1）要想求出加岛环企鹅有多少只，需要的条件是（    ）。（先填序号再列式计算） （2）要想求出洪堡企鹅有多少只，需要的条件是（    ）。（先填序号再列式计算） 【答案】（1）①②④ 12只 （2）①③⑤ 12只 【分析】（1）利用倒推法，找出与加岛环企鹅有关的信息，④加岛环企鹅比麦哲伦企鹅的只数多，将麦哲伦企鹅数量看作单位“1”，加岛环企鹅数量是麦哲伦企鹅的（1＋），麦哲伦企鹅数量×加岛环企鹅对应分率＝加岛环企鹅数量；要想求出麦哲伦企鹅数量，根据②麦哲伦企鹅占企鹅总数的，将企鹅总数看作单位“1”，企鹅总数×麦哲伦企鹅对应分率＝麦哲伦企鹅数量，再知道企鹅总数①动物园里有48只企鹅，即可求出加岛环企鹅数量。 （2）利用倒推法，找出与洪堡企鹅有关的信息，洪堡企鹅比斑嘴环企鹅的只数少，将斑嘴环企鹅数量看作单位“1”，洪堡企鹅数量是斑嘴环企鹅的，斑嘴环企鹅数量×洪堡企鹅对应分率＝洪堡企鹅数量；要想求出斑嘴环企鹅数量，根据③斑嘴环企鹅占企鹅总数的，将企鹅总数看作单位“1”，企鹅总数×斑嘴环企鹅对应分率＝斑嘴环企鹅数量，再知道企鹅总数①动物园里有48只企鹅，即可求出洪堡企鹅数量。 【详解】（1）要想求出加岛环企鹅有多少只，需要的条件是①②④。 ①动物园里有48只企鹅，②麦哲伦企鹅占企鹅总数的，④加岛环企鹅比麦哲伦企鹅的只数多，加岛环企鹅有多少只？ （只） 答：加岛环企鹅有12只。 （2）要想求出洪堡企鹅有多少只，需要的条件是①③⑤。 ①动物园里有48只企鹅，③斑嘴环企鹅占企鹅总数的，⑤洪堡企鹅比斑嘴环企鹅的只数少，洪堡企鹅有多少只？ （只） 答：洪堡企鹅有12只。 40．我国北斗系统第55颗卫星的成功发射，标志着我国自主卫星导航系统全面建成。欧洲伽利略导航系统卫星颗数是我国北斗的，美国的GPS导航系统卫星颗数比欧洲伽利略少。美国GPS导航系统有多少颗卫星？ 【答案】24颗 【分析】由题意可知，是把国北斗卫星的颗数看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算，可求得欧洲伽利略导航系统卫星颗数；是把欧洲伽利略导航系统卫星颗数看作单位“1”，根据求一个数比另一个数少几分之几，先计算少的分率，再用欧洲伽利略导航系统卫星颗数乘美国的GPS导航系统卫星颗数对应的分率，即可得解。 【详解】 （颗） 答：美国GPS导航系统有24颗卫星。 41．一位体重100千克的人，经过一段时间的锻炼后，体重下降了，后来由于他没有继续坚持锻炼，体重又增长了，此人现在的体重是多少千克？ 【答案】96千克 【分析】将原来的体重看作单位“1”，体重下降了，是原来体重的；再将下降后体重看作单位“1”，体重又增长了，是下降后体重的，原来体重×下降后对应分率×又增长后对应分率＝现在的体重，据此列式解答。 【详解】 （千克） 答：此人现在的体重是96千克。 42．白腹锦鸡是世界上最漂亮的观赏雉，在中国传统文化中是富贵吉祥的象征，也是国家重点保护动物。一只成年白腹锦鸡的尾长比其身长的还要多，若自腹锦鸡的尾长，则其身长是多少厘米？ 【答案】140厘米 【分析】本题用方程解答比较简便。设其身长是x厘米，白腹锦鸡的身长×＋12＝白腹锦鸡的尾长，据此列方程解答。 【详解】解：设白腹锦鸡的身长是x厘米。 x＋12＝112 x＝100 x＝140 答：白腹锦鸡的身长是140厘米。 【点睛】求单位“1”用方程解答比较简便，找出题目中的等量关系式是列方程解应用题的关键。 43．泉南立交桥工程队三周修一条1200米长的路，第一周和第二周修了全长的，第二周和第三周修了700米，第二周修了多少米？ 【答案】答：第二周修了300米 【详解】700﹣1200×（1﹣） =700﹣1200× =700﹣400=300（米） 答：第二周修了300米 44．一辆汽车从甲城开往乙城，第一小时行驶了全程的，第二小时行驶了120千米，这时距乙城还有全程的，甲、乙两城相距多少千米？ 【答案】360千米 【分析】第一小时行驶了全程的，第二小时行驶了120千米，这时距乙城还有全程的，根据分数减法的意义，第二小时行驶的120千米占全程的1－－，根据分数除法的意义，用这120千米除以其占全程的分率，即得全程是多少千米。 【详解】120÷（1－－） ＝120÷ ＝360（千米） 答：甲、乙两城相距360千米。 【点睛】首先根据已知条件求出已知数量占全程的分率是完成本题的关键。 45．果园里有苹果树和梨树一共800棵，其中苹果树占，后来又栽了一些苹果树，这时苹果树占总棵数的。那么后来又栽了多少棵苹果树？ 【答案】200棵 【分析】苹果树、梨树一共800棵，其中苹果树占，则梨树占总数的1－，根据分数乘法的意义可知，梨树有800×（1－）棵，后来又栽了一些苹果树，这时苹果树占总数的，则此时梨树占总数的1－，根据分数除法的意义，此时共有果树800×（1－）÷（1－）棵，再减去原来苹果树和梨树的棵数即可求出后来又栽了多少棵苹果树。 【详解】800×（1－）÷（1－）－800 ＝320÷－800 ＝1000－800 ＝200（棵） 答：后来又栽了200棵苹果树。 【点睛】明确这一过程中梨树的棵数没有发生变化，根据前后梨树所占总数的分率进行析解答是完成本题的关键。 46．一根绳子对折3次去量一口井，余出米；如果对折4次去量，又缺米，绳长和井深各多少米？ 【答案】绳长米，井深米 【分析】绳子对折一次分为等长的2段，对折3次分为等长的8段，对折4次分为等长的16段． 【详解】绳长：÷＝（米） 井深：（米） 47．一个160人的旅行团乘坐三辆大巴车到当阳市玉泉山风景区旅游。已知第一、二辆车上的人数之和占总人数的，第二、三辆车上的人数之和占总人数的，第二辆车上有多少人？ 【答案】45人 【分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法，用总人数160人乘求出第一、二辆车上的人数之和为100人，用总人数160人乘求出第二、三辆车上的人数之和为105人，即第一辆车的人数＋第二辆车的人数＝100，第二辆车的人数＋第三辆车的人数＝105，可得第一辆车的人数＋第二辆车的人数×2＋第三辆车的人数＝100＋105，已知第一辆车的人数＋第二辆车的人数＋第三辆车的人数＝160，用100＋105的和减去160即是第二辆车上的人数。 【详解】160×＝100（人） 160×＝105（人） 100＋105－160＝45（人） 答：第二辆车上有45人。 【点睛】此题主要考查分数乘法的意义。掌握求一个数的几分之几是多少的计算方法，利用数量关系求出第二辆车上的人数是解题关键。 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 分数四则混合运算 知识回顾 单元知识框架： 温馨提示：图片放大更清晰。 单元知识点梳理： 知识点01：分数的乘除法的混合运算 运算顺序：与整数混合运算的运算顺序相同，都是先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的。 转换方法：当遇到分数乘除混合运算时，要先把除法转换成乘法（即除以一个数等于乘上这个数的倒数）。 约分与计算：在转换成乘法后，可以根据需要进行约分，再进行计算。 知识点02：分数的连乘运算 运算顺序：从左到右依次计算。 约分：如果是分数连乘，可先进行约分（交叉约分），再进行计算。 知识点03：连续求一个数的几分之几是多少的问题 解题思路：首先确定单位“1”的量，然后根据题目描述，确定需要求解的未知数是单位“1”的几分之几。 解题方法： 方法一：先求出多或少的具体量，再用单位“1”的量加或减去多或少的部分，求出要求的问题。 方法二：用单位“1”加或减去多或少的几分之几，求出未知数占单位“1”的几分之几，再用单位“1”的量乘这个分数。 知识点04：分数的连除运算 转换方法：分数连除可以转化为乘法运算，即除以一个数等于乘上这个数的倒数。 计算方法： 方法一：可以先分步转化为乘法，再约分计算。 方法二：可以一次都转化成乘法，再约分计算。 知识点05：求比一个数多或少几分之几的数是多少 这个知识点主要考察的是对分数增减运算的理解。假设我们有一个数A，要求比A多或少几分之几（例如）的数，我们可以按照以下步骤进行计算： 确定基数A。确定增减的分数（例如）。 如果要求比A多的数，则计算 A + A ×；如果要求比A少的数，则计算 A - A ×。 知识点06：整数乘法运算定律推广到分数乘法 整数乘法的运算定律（如交换律、结合律、分配律）在分数乘法中同样适用。这些定律的推广使得分数乘法的计算更加简便和灵活。 交换律：a × b = b × a（其中a和b都是分数）。 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)（其中a、b、c都是分数）。 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c（其中a、b、c都是分数）。 知识点07：分数除法相关的简便计算 分数除法的简便计算主要依赖于将除法转换为乘法的逆运算。即，除以一个数等于乘以这个数的倒数。例如，a ÷ b = a ×（其中a和b都是分数，且b不为0）。 此外，当遇到多个分数连续相除时，可以一次性地将所有除数转换为它们的倒数，然后进行乘法运算。例如，a ÷ b ÷ c = a × × 。 易错点剖析 1、一辆汽车从甲城开往乙城，第一小时行驶了全程的，第二小时行驶了120千米，这时距乙城还有全程的，甲、乙两城相距多少千米？ 【答案】360千米 【分析】第一小时行驶了全程的，第二小时行驶了120千米，这时距乙城还有全程的，根据分数减法的意义，第二小时行驶的120千米占全程的1－－，根据分数除法的意义，用这120千米除以其占全程的分率，即得全程是多少千米。 【详解】120÷（1－－） ＝120÷ ＝360（千米） 答：甲、乙两城相距360千米。 【点睛】首先根据已知条件求出已知数量占全程的分率是完成本题的关键。 2、泉南立交桥工程队三周修一条1200米长的路，第一周和第二周修了全长的，第二周和第三周修了700米，第二周修了多少米？ 【答案】答：第二周修了300米 【详解】700﹣1200×（1﹣） =700﹣1200× =700﹣400=300（米） 答：第二周修了300米 3、一个160人的旅行团乘坐三辆大巴车到当阳市玉泉山风景区旅游。已知第一、二辆车上的人数之和占总人数的，第二、三辆车上的人数之和占总人数的，第二辆车上有多少人？ 【答案】45人 【分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法，用总人数160人乘求出第一、二辆车上的人数之和为100人，用总人数160人乘求出第二、三辆车上的人数之和为105人，即第一辆车的人数＋第二辆车的人数＝100，第二辆车的人数＋第三辆车的人数＝105，可得第一辆车的人数＋第二辆车的人数×2＋第三辆车的人数＝100＋105，已知第一辆车的人数＋第二辆车的人数＋第三辆车的人数＝160，用100＋105的和减去160即是第二辆车上的人数。 【详解】160×＝100（人） 160×＝105（人） 100＋105－160＝45（人） 答：第二辆车上有45人。 【点睛】此题主要考查分数乘法的意义。掌握求一个数的几分之几是多少的计算方法，利用数量关系求出第二辆车上的人数是解题关键。 4、六（1）班有36名学生，其中女生占，第二学期转来了几名女生，这时女生人数占总人数的。第二学期转来了几名女生？ 【答案】2名 【分析】设第二学期转来了x名女生，根据原来全班人数×女生对应分率＋转来的女生人数＝现在全班人数×现在女生对应分率，列出方程解答即可。 【详解】解：设第二学期转来了x名女生。 36×＋x＝（36＋x）× 16＋x＝（36＋x）× 304＋19x＝324＋9x 10x＝20 x＝2 答：第二学期转来了2名女生。 【点睛】用方程解决问题的关键是找到等量关系。 5、篝火晚会上,同学们围成三圈跳集体舞,最里面一圈有36人,外面每一圈的人数都依次比里面一圈多．跳集体舞的一共有多少人? 【答案】171人 【详解】36+36×=36+18=54(人) 54+54×=54+27=81(人) 36+54+81=171(人) 答:跳集体舞的一共有171人． 强化练习 一、填空题 1．朝阳村去年种植黄豆36公顷，今年黄豆的种植面积比去年增加了。今年黄豆的种植面积是( )公顷。 2．一个长方形的长是米，宽是长的，周长是( )米，面积是( )平方米。 3．小明和一些同学排成一队做游戏,排在小明前面的同学占这一队总人数的,排在小明后面的同学占这一队总人数的,这一队共有( )人,从前往后数,小明排在第( )． 4．我国移动支付的普及率位居全球第一。某校共有教职员工180人，使用移动支付的教职员工人数比全校教职员工总数的多6人，使用移动支付的教职员工人数是( )人。 5．( )米的是15米；( )米比15米短；( )米比15米长；( )米比15米长米． 6．一个数的是，这个数的是( )；甲数的和乙数的相等，乙数是100，甲数是( )。 7．学校食堂三月份买来450千克大米，四月份比三月份多买，这里是把( )看作单位“1”，则450×表示( )，450×（1＋）表示( )。 8．苹果、梨、柿子和桔子共630千克，其中苹果和梨占，苹果和柿子占，苹果和桔子占。苹果有( )千克，桔子有( )千克。 9．甲乙两包糖的质量比是4∶1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲乙两包糖的质量比变成7∶8，那么两包糖的质量和是( )克。 10．师傅与徒弟两人共加工零件105个，已知师傅加工零件个数的与徒弟加工零件个数的的和为49个，师傅加工了( )个零件。 11．学校合唱队女生人数原来占总人数的，后来有6名女生加入，这样女生人数就占总人数的．现在合唱队共有( )人． 二、判断题 12．一根彩带长3米，用去后，还剩米。( ) 13．。( ) 14．。( ) 15．一堆煤，烧去后，又送来剩下煤的，现在的煤与原来的同样多。( ) 16．冰化成水体积减少，3立方米的水结成冰，体积是立方米。( ) 三、选择题 17．一根绳子长3米，用去米后，还剩多少米？列式正确的是（    ）。 A． B． C． 18．如果7－（÷□＋）＝5，那么□＝（    ）。 A． B． C． D． 19．用一根米长的铁丝围成一个正方形，它的面积是（    ）平方米。 A． B． C． 20．小芳买学习用具用了28元，小兰买学习用具的钱数比小芳多。小兰买学习用具用了多少钱？列式正确的是（    ）。 A． B． C． 21．儿童平均每分钟心跳约为90次，成人每分钟心跳的次数比儿童少。成人每分钟心跳约多少次？列式正确的是（    ）。 A． B． C． 22．要打2500个字，已经完成了，还差多少个字没有打？列式正确的是（    ）。 A．2500× B．2500－ C．2500×（1－） 23．将第一车间人数的调入第二车间后，两个车间的人数正好相等。原来第二车间的人数是第一车间人数的（    ）。 A． B． C． 24．算式可以解决的问题是（    ）。 A．公鸡有320只，母鸡的只数比公鸡多，母鸡有多少只 B．果园里有320棵苹果树，梨树的棵数比苹果树少，梨树有多少棵 C．一本书共有320页，琪琪已经看了这本书的，琪琪看了多少页 25．计算时，运用（    ）计算比较简便。 A．乘法分配律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 26．两箱苹果，如果从甲箱取出放入乙箱，两箱苹果数正好一样。原来甲箱苹果数比乙箱多（    ）。 A． B． C． D． 四、计算题 27．直接写出得数。                                                   28．计算，能用简便方法的要用简便方法。 4÷－÷4        ×＋÷        －×－ 4×（－）×6      ÷（－）        43－43× ×99          ＋÷＋         ÷（＋） 29．脱式计算，能简算的要简算。                      30．计算下面各题。 31．解方程。 x÷＝      x－x＝       x×＝     ＋x＝4 32．解方程。           33．看图列式计算。 34．看图列式计算。 五、解答题 35．鸵鸟是现在世界上最大的鸟，身高可达2.5米。一只成年企鹅的身高比鸵鸟少。成年企鹅的身高是多少米？ 36．一批零件有600个，第一天完成了全部的，第二天完成了全部的，第二天比第一天多完成多少个零件？ 37．体育场上有120人在跳广场舞,经调查,有喜欢跳《小苹果》,有喜欢跳《中国年》,没有人既不喜欢跳《小苹果》,也不喜欢跳《中国年》．既喜欢跳《小苹果》,也喜欢跳《中国年》的有多少人? 38．红灯笼、黄灯笼一共24盏，红灯笼占两种灯笼总数的，黄灯笼有多少盏？ 方法一：先求红灯笼有多少盏。 方法二：先求黄灯笼占两种灯笼总数的几分之几。 39．你知道吗？企鹅有“海洋之舟”的美称，它主要以磷虾、乌贼、小鱼为食。小明参观了动物园，收集了下面的信息。 ①动物园里有48只企鹅； ②麦哲伦企鹅占企鹅总数的； ③斑嘴环企鹅占企鹅总数的； ④加岛环企鹅比麦哲伦企鹅的只数多； ⑤洪堡企鹅比斑嘴环企鹅的只数少。 （1）要想求出加岛环企鹅有多少只，需要的条件是（    ）。（先填序号再列式计算） （2）要想求出洪堡企鹅有多少只，需要的条件是（    ）。（先填序号再列式计算） 40．我国北斗系统第55颗卫星的成功发射，标志着我国自主卫星导航系统全面建成。欧洲伽利略导航系统卫星颗数是我国北斗的，美国的GPS导航系统卫星颗数比欧洲伽利略少。美国GPS导航系统有多少颗卫星？ 41．一位体重100千克的人，经过一段时间的锻炼后，体重下降了，后来由于他没有继续坚持锻炼，体重又增长了，此人现在的体重是多少千克？ 42．白腹锦鸡是世界上最漂亮的观赏雉，在中国传统文化中是富贵吉祥的象征，也是国家重点保护动物。一只成年白腹锦鸡的尾长比其身长的还要多，若自腹锦鸡的尾长，则其身长是多少厘米？ 43．泉南立交桥工程队三周修一条1200米长的路，第一周和第二周修了全长的，第二周和第三周修了700米，第二周修了多少米？ 44．一辆汽车从甲城开往乙城，第一小时行驶了全程的，第二小时行驶了120千米，这时距乙城还有全程的，甲、乙两城相距多少千米？ 45．果园里有苹果树和梨树一共800棵，其中苹果树占，后来又栽了一些苹果树，这时苹果树占总棵数的。那么后来又栽了多少棵苹果树？ 46．一根绳子对折3次去量一口井，余出米；如果对折4次去量，又缺米，绳长和井深各多少米？ 47．一个160人的旅行团乘坐三辆大巴车到当阳市玉泉山风景区旅游。已知第一、二辆车上的人数之和占总人数的，第二、三辆车上的人数之和占总人数的，第二辆车上有多少人？ 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $