第5讲 圆（专项提升训练）六年级数学寒假专项提升（青岛版）

第5讲 圆 知识回顾 单元知识框架： 温馨提示：图片放大更清晰。 单元知识点梳理： 知识点一：圆的认识： ①圆是一种曲线图形。 ②画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示； ③连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示； ④通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。 ⑤因为同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等。通过对折，就可知圆是轴对称图形，有无数条对称轴。 ⑥注意点：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 ⑦半径和直径的关系：在同一个圆中，半径（r）是直径（d）的一半。用字母表示为：d=2r或r=。 知识点二：画圆 先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动；两脚间的距离必须保持不变；要旋转一周。 知识点三：在长方形和正方形中画最大的圆： ①正方形里最大的圆。两者联系：边长＝直径 画法：（1）画出正方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 ②长方形里最大的圆。两者联系：宽＝直径 画法：（1）画出长方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 知识点四：扇形的认识： ①圆上两点之间的部分叫作弧。 ②一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。 ③顶点在圆心的角叫作圆心角。 ④在同一个圆中，圆心角越大，扇形就越大。 ⑤在同一个圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形就越大。 知识点五：圆周长相关知识点 ①实际上，任何一个圆的周长除以对应的直径的商都是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母π(pài)表示。π是一个无限不循环小数。 ②π=3.141592653…… ③在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。 ④如果用C表示圆的周长，那么C与直径d或半径r的关系是： C=πd 或 C=2πr d=C÷π r=C÷π÷2 ⑤半圆周长计算公式： 已知半圆的半径求半圆周长：=πr+2r 已知半圆的直径求半圆周长：=πd÷2+d 知识点六：常用3.14倍数 1π=3.14 2π=6.28 3π=9.42 4π=12.56 5π=15.7 6π=18.84 7π=21.98 8π=25.12 9π=28.26 10π=31.4 知识点七：圆面积的推导 ①在推导圆的面积公式的过程中，把一张圆形纸片分成若干等份，然后把它剪开，照如图的样子拼成一个近似的长方形。 (1)拼成的长方形的长相当于圆的( )，宽相当于圆的( )。 (2)如果圆的半径是8cm，则这个长方形的长是( )cm，面积是( ）。 (3)如果圆的周长比长方形的周长少10cm，那么圆的半径是( )cm，面积是( )。 ②圆的面积计算相关公式： （1） 已知半径（r）求圆的面积：=π （2）已知直径（d）求圆的面积：r=d÷2，=π （3）半圆面积公式：S半圆=πr²÷2 （4）圆面积公式：=πr²÷4 （5）圆环面积公式：=（-)π（其中R表示大圆的半径，r表示小圆的半径） 知识点八：常用平方 11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225 16² =256 17²=289 18²=324 19²=361 20²=400 易错点剖析 1、一座体育馆的围墙是圆形的，淘气沿着围墙走了一圈，一共是628步，淘气每步长0.6米。这座体育馆的占地面积是多少？ 【答案】11304平方米 【分析】因为体育馆的围墙是圆形的，要求这座体育馆的占地面积是多少，应求出圆形体育馆的半径．根据题意，体育馆的周长是0.6×628＝376.8（米），然后求出半径，再运用圆的面积公式解答即可。 【详解】体育馆的周长： 0.6×628＝376.8（米） 体育馆的占地面积： 3.14×（376.8÷3.14÷2）2 ＝3.14×602 ＝3.14×3600 ＝11304（平方米） 答：这座体育馆的占地面积是11304平方米。 【点睛】此题考查了运用圆的周长和面积公式解答实际问题的能力。 2、为美化校园环境，学校准备在周长是37.68米的花坛(如图)外围铺一条2米宽的环形小路． (1)这条小路的面积是多少平方米？ (2)如果每平方米用水泥15千克，铺这条小路一共需要水泥多少千克？ 【答案】（1）87.92平方米（2）1318.8千克 【详解】(1)37.68÷3.14÷2＝6(米) (平方米) (2)87.92×15＝1318.8(千克) 3、小方拿一张长方形的纸，长18厘米，宽16厘米，用这张纸剪掉一个最大的圆，剩下的面积是多少平方厘米？ 【答案】87.04平方厘米 【详解】(平方厘米) 4、一条小路长47.1米，小明在路上玩滚铁环，铁环直径为30厘米，从小路的一端滚到另一端，铁环要转多少圈？ 【答案】50圈 【详解】47.1米＝4710厘米 3.14×30＝94.2(厘米) 4710÷94.2＝50(圈) 5、有一个直径是1.2米的旧圆桌，李叔叔准备要重新整修一下，他想给圆桌边上钉上金属保护条，并给桌面油漆一下． (1)李叔叔至少需要多长的金属保护条？ (2)至少需要油漆多大的面积？ 【答案】（1）3.768米（2）1.1304平方米 【知识点】圆的周长及应用、圆的面积及应用 【详解】(1)3.14×1.2＝3.768(米) (2)(平方米) 强化练习 一、填空题 1．边长是的正方形中放置一个最大的圆，这个圆的半径是( )，直径是( )。 【答案】 5 10 【分析】正方形中放置一个最大的圆，圆的直径等于正方形边长，直径÷2＝半径，据此分析。 【详解】10÷2＝5（厘米） 边长是的正方形中放置一个最大的圆，这个圆的半径是5，直径是10。 【点睛】本题考查了圆的认识，同一个圆内，直径是半径的2倍。 2．用一根长18.84米的铁丝围成一个正方形，边长是( )米；若围成一个圆，半径是( )米。 【答案】 4.71 3 3．大小两个圆，如果大圆周长是C，直径是D，小圆周长是c，直径是d，那么 C∶D和c∶d这两个比的比值( )。 【答案】相等 【分析】圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。 【详解】大小两个圆，如果大圆周长是C，直径是D，小圆周长是c，直径是d，那么 C∶D和c∶d这两个比的比值都是圆周率，所以比值相等。 【点睛】关键是知道圆周率的含义。 4．画圆时，把圆规两脚之间的距离定为4厘米，画出圆的半径是( )，周长是( )，面积是( )。 【答案】 4 25.12 50.24 【分析】由题意知，画出的圆的半径是5厘米，要求所画圆的直径、周长和面积，可直接利用d＝2r，C＝2πr及S＝πr2解答即可。 【详解】圆的半径是4厘米， 周长：3.14×4×2＝25.12（厘米）， 面积：3.14×42＝50.24（平方厘米）； 【点睛】此题考查了圆的周长＝2πr和圆的面积＝πr2的计算应用。 5．把一个圆分成若干（偶数）等份，剪开后，将这些近似等腰三角形照如图的样子拼起来。如果拼成图形的周长比原来圆的周长增加了，那么原来圆的周长是( )，面积是( )。 【答案】 12.56 12.56 【分析】把圆分成若干个等腰三角形，那么拼成的图形的上下两个底相当于圆的周长，即这个图形的周长比原来圆的周长多了两个半径的长度，因为拼成图形的周长比原来圆的周长增加了4厘米，那么可以知道2个半径的长度是4厘米，一个半径是2厘米，利用圆的周长公式：C＝πd和圆的面积公式：S＝πr2，求出圆的周长和面积即可。 【详解】因为拼成图形的周长比原来圆的周长增加了4厘米，即直径＝4厘米 圆的周长：3.14×4＝12.56（厘米） 圆的面积：3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 【点睛】本题主要考查了圆的周长公式和面积公式，熟练掌握圆的周长和面积的公式并灵活运用。 6．一个环形的外圆半径是5厘米，内圆半径是4厘米，它的面积是( )平方厘米。 【答案】28.26 7．一个小圆和一个大圆的直径比是2∶3，小圆和大圆的周长比是( )，面积比是( )。 【答案】 【分析】一个小圆和一个大圆的直径比是2∶3，说明一个小圆和一个大圆的半径比是2∶3，则根据圆的周长公式可得小圆和大圆的周长比是2∶3，根据圆的面积公式可得，面积比是4∶9。 【详解】小圆和大圆的周长比是2∶3，面积比是4∶9。 【点睛】本题考查比的意义、圆的周长和面积，解答本题的关键是掌握圆的面积和周长公式。 8．在一块长10分米、宽5分米的长方形铁板上，最多能截取( )个直径是2分米的圆形铁板。剩下部分的面积是( )。 【答案】 10 18.6平方分米 【分析】求出长和宽分别能截取多少个直径为2分米的圆，再相乘求出，最多能截取几个直径是2分米的圆形铁板；用长方形铁板的面积减去所有圆形铁板的面积，求出剩下部分的面积。 【详解】10÷2＝5（个） 5÷2＝2（个）……1（分米） 5×2＝10（个） （平方分米） 【点睛】本题考查长方形、圆的面积，解答本题的关键是掌握在长方形中截取圆形的方法。 9．一个圆扩大后，面积比原来多8倍，周长比原来多50.24厘米，这个圆原来的面积是 ( )平方厘米。 【答案】50.24 【分析】先判断出扩大后圆面积是原来的9倍，那么周长就是原来的3倍，比原来多（3－1）倍，用周长多的长度除以多的倍数求出原来的周长；用原来的周长除以3.14再除以2求出半径，然后根据圆面积公式计算面积即可。 【详解】50.24÷（3－1）＝25.12（厘米） 25.12÷3.14÷2＝4（厘米） 3.14×4²＝50.24（平方厘米） 【点睛】圆周长扩大的倍数与半径扩大的倍数相等，圆面积扩大的倍数是半径扩大倍数的平方倍。 10．一个圆的周长正好比它的半径多了15.84厘米，这个圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 18.84 28.26 二、判断题 11．任意一个圆的周长都是它直径的π倍。( ) 【答案】√ 【分析】根据圆的周长公式，分析解题即可。 【详解】圆的周长＝π×直径，所以任意一个圆的周长都是它直径的π倍。 所以判断正确。 【点睛】本题考查了圆的周长，掌握圆的周长公式是解题的关键。 12．圆的半径扩大到原来的3倍，它的面积就扩大到原来的6倍。( ) 【答案】× 【分析】根据圆的面积＝π，即可解答。 【详解】圆的面积＝π×r×r，如果半径扩大3倍，则现在的半径就为3r，现在圆的面积＝π×3r×3r，即面积扩大了3×3＝9倍。 故答案为：× 【点睛】掌握圆的面积公式是解题的关键 13．半径是2厘米的圆，它的周长和面积相等。( ) 【答案】× 【分析】围成圆的曲线的长叫做圆的周长；围成圆的平面的大小叫做圆的面积。两者意义不同，不能比较大小。 【详解】圆的周长和面积不是同类量，无法比较大小。 原题说法错误。 故答案为：× 14．因为圆的周长等于，所以半圆的周长是。( ) 【答案】× 【分析】半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，据此解答。 【详解】由分析可知，半圆的周长为＋，原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题考查了半圆的周长计算，记得加上直径。 15．任意一个圆，都只有一个圆心，不可能有两个圆心。（    ） 【答案】√ 【分析】根据圆心的含义：把圆中心的一点，叫做圆心；所有一个圆中，圆心只有一个；由此判断。 【详解】根据分析可知，任意一个圆，都只有一个圆心，不可能有两个圆心，所以上面的说法是正确的。 故答案为：√ 【点睛】此题考查了圆的特征及圆心的含义，应注意灵活运用。 16．大圆的圆周率大于小圆的圆周率。( ) 【答案】× 【分析】根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率；圆周率用“π”表示，π是一个无限不循环小数；进而判断即可。 【详解】根据分析可知，圆周率是一个定值，不存在大圆的圆周率大于小圆的圆周率。 原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】明确圆周率的意义是解答本题的关键。 17．在同一个圆中，圆的周长与直径成正比例，圆的面积与半径成反比例。( ) 【答案】× 【分析】根据圆的周长公式C＝πd可知：C÷d＝π（一定），所以圆的周长与它的直径成正比例关系； 根据圆的面积公式S＝πr2，S÷r2＝π（一定），比值一定，所以圆的面积和半径的平方成正比例，而圆的面积与半径不成比例。 【详解】在同一个圆中，圆的周长与直径成正比例，圆的面积与半径不成比例。原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定。如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 18．把一个圆分成两个半圆，这个圆的周长等于两个半圆周长的和．( ) 【答案】错误   【详解】因为半圆的周长等于圆周长的一半加直径，所以把一个圆分成两个半圆，这个圆的周长小于两个半圆周长的和,故答案为错误. 19．圆形就是圆球。( ) 【答案】× 【详解】本题把立体图形和平面图形混为一谈。故答案为：× 20．车轮的直径一定，车轮的转数和它前进的距离成正比例。( ) 【答案】√ 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此解答。 【详解】根据分析：车轮前进的距离∶转数＝车轮的周长，周长＝直径×π，因为车轮的直径一定，则车轮的周长就一定，是比值一定，所以车轮的转数和它前进的距离成正比例，原题说法正确。 故答案为：√ 三、选择题 21．下列关于圆周率的说法，错误的是（    ）。 A．是圆的周长与其半径的比值 B．是一个无限不循环小数 C．在实际运用中一般取3.14 D．用字母π表示 【答案】A 【分析】可结合圆周率的相关知识点来逐项分析，并作出判断即可。 【详解】A．圆周率是周长与直径的比值，原题说法错误； B．圆周率3.1415926…，是一个无限不循环小数，原题说法正确； C．在实际运用中，为了计算简便，通常取近似值3.14，原题说法正确； D．圆周率用字母π来表示，原题说法正确。 故答案为：A。 【点睛】本题要求我们不仅要熟知圆周率的近似值是3.14，同时要了解与之相关的一些知识点，以丰富我们数学的内涵。 22．下面三幅图的阴影部分的面积相比较，（    ）的面积大。 A．图（1）大 B．图（2）大 C．图（3）大 D．同样大 【答案】D 【分析】依次分析三幅图的阴影部分面积的组成即可解答。 【详解】图（1）阴影部分的面积等于正方形的面积减去4个空白扇形的面积，4个空白扇形可以组成一个整圆，则阴影部分面积＝正方形面积－圆的面积； 图（2）阴影部分面积等于正方形面积减去两个空白半圆面积，两个空白半圆组成一个整圆，则阴影部分面积＝正方形面积－圆的面积； 图（3）阴影部分面积＝正方形面积－圆的面积。 观察可知，三幅图的正方形面积和空白圆的面积同样大，所以三幅图的阴影部分面积同样大。 故答案为：D 【点睛】本题考查含圆的阴影部分的面积，明确三幅图中的空白部分都是一个整圆是解题的关键。 23．如图两个图中阴影部分相比较（    ）。 A．周长相等，面积不相等 B．周长和面积都不相等 C．周长不相等，面积相等 D．周长和面积都相等 【答案】C 【分析】两个图形中的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，将数据代入圆的面积公式：S＝πr2及正方形的面积公式：S＝a2，即可求出阴影部分的面积； 圆的周长公式：C＝πd，前一个图形阴影部分的周长等于直径是4cm的圆的周长；后一个图形阴影部分的周长等于直径是4cm的圆的周长＋两条正方形边长；将数据代入即可求出周长；最后结合选项选择即可。 【详解】前一个图形阴影部分的面积：4×4－3.14×（4÷2）2 ＝16－3.14×22 ＝16－3.14×4 ＝16－12.56 ＝3.44（cm2） 周长：3.14×4＝12.56（cm） 后一个图形阴影部分的面积：4×4－3.14×（4÷2）2 ＝16－3.14×22 ＝16－3.14×4 ＝16－12.56 ＝3.44（cm2） 周长：3.14×4＋4×2 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 综上可得：两个图中阴影部分相比较周长不相等，面积相等。 故答案为：C。 24．下面半圆的周长是（ ）。 A．25.12厘米 B．12.56厘米 C．20.56厘米 D．30.56厘米 【答案】C 【详解】半圆的周长等于圆周长的一半再加上直径：即πd×＋d所以列式计算为：3.14×8×＋8＝20.56（厘米） 25．在长12cm、宽7cm的长方形纸中，剪半径是1cm的圆，最多能剪（    ）个。 A．9 B．18 C．28 D．72 【答案】B 【分析】在长方形中剪半径是1厘米的圆，相当于剪边长是1×2厘米的正方形，据此分析。 【详解】1×2＝2（厘米） （12÷2）×（7÷2） ≈6×3 ＝18（个） 故答案为：B 【点睛】关键是熟悉圆的特征，直径＝半径×2。 26．圆的半径由3分米增加到5分米，圆的面积增加了（    ）平方分米。 A． B． C． 【答案】C 【分析】根据圆的面积公式，用π表示出半径3分米和半径5分米圆的面积，相减，再化简即可。 【详解】5²π－3²π＝25π－9π＝16π 故答案为：C 【点睛】本题考查了圆的面积，圆的面积＝πr²。 27．如图所示，赛车甲、乙分别按两种跑线进行比赛，则下列说法正确的是（ ） A．赛车甲走的路程长，比赛不公平． B．赛车乙走的路程长，比赛不公平． C．赛车甲、乙走的路程相同． D．无法确定． 【答案】C 28．如下图，圆的直径是10cm。它从1号位开始沿直线无滑动地滚到2号位，正好滚了2圈。那么A、B两点之间的距离是（    ）厘米。（π取3.14） A．62.8 B．67.8 C．72.8 D．82.8 【答案】C 【分析】A、B两点之间的距离包含两个圆的周长和一条直径，根据圆的周长＝πd，求出圆的周长，乘2，再加直径即可。 【详解】3.14×10×2＝62.8（厘米） 62.8＋10＝72.8（厘米） 故答案为：C 【点睛】关键是看懂图意，掌握圆的周长公式。 29．在400米道上进行200米赛跑，弯道部分是半圆，半径为36米，每条跑道宽1.2米，第4道与第1道起跑线相差（ ）米。 A．1.21 B．2.4 C．3.6 D．36 【答案】C 【分析】因为跑道跑200米，所以只跑路程的一半，所以第4道与第1道起跑线相差（4－1）个1.2米，据此解答即可。 【详解】解：1.2×（4－1）× ＝3.6× ＝3.6 故答案为：C 30．圆周率是圆的周长与直径的比值，公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，公元480年左右，南北朝数学家祖冲之进一步得到圆周率小数点后7位的结果。如果下图中线段AF表示一个圆的周长，那么这个圆的直径可能是（    ）。 A．线段AB B．线段AC C．线段AD D．线段CE 【答案】D 【分析】圆的周长与直径的比值约为3.14，即圆的周长为直径的3倍多点，据此判断可知线段CE符合。 【详解】根据圆的周长为直径的3倍多可知，这个圆的直径可能是线段CE； 故答案为：D。 【点睛】明确周长和直径的关系并能灵活利用是解答本题的关键。 四、计算题 31．求图中阴影部分的面积（单位：厘米） 【答案】10.935平方厘米 【分析】根据图形可知，图中阴影部分的面积＝梯形的面积－圆的面积即可，梯形的上底和下底分别为3厘米和9厘米，高为3厘米，圆的半径为3厘米，然后根据梯形的面积公式：S＝（a＋b）h÷2，圆的面积公式S＝πr2，进行解答即可。 【详解】梯形的面积：（3＋9）×3÷2 ＝12×3÷2 ＝36÷2 ＝18（平方厘米） 圆的面积：×3.14×32 ＝×3.14×9 ＝×28.26 ＝7.065（平方厘米） 阴影部分的面积：18－7.065＝10.935（平方厘米） 32．求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 【答案】6.28平方厘米 【详解】观察图形可以发现，阴影部分的面积是这个大圆面积的一半，所以阴影部分的面积＝大圆的面积÷2＝πr2÷2。 2×2×3.14÷2＝6.28（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积时6.28平方厘米。 33．求周长。 【答案】25.7厘米 【分析】半圆周长＝圆周长的一半＋直径，可用πr＋2r直接列式计算。 【详解】3.14×5＋5×2 ＝15.7＋10 ＝25.7（厘米） 五、解答题 34．一个花坛，直径8米，在它的周围有一条宽1米的环形小路，小路的面积是多少平方米？ 【答案】28.26平方米 【分析】由题意可知，就是求圆环的面积，大圆半径为8÷2＋1，再根据进行解答即可。 【详解】8÷2＋1 ＝4＋1 ＝5（米）； 8÷2＝4（米）； 3.14×（5²－4²） ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：小路的面积是28.26平方米。 【点睛】明确本题是求圆环的面积是解答本题的关键。 35．位于广东省潮州市饶平县三饶镇的新韵楼，是我国一座非常大的圆形土楼。只可惜，该楼已经倒塌了一部分，其直径大约为100米。你能算出新韵楼大概占地多少平方米吗？ 【答案】7850平方米 【分析】根据“s＝πr²”求出圆的面积即可。 【详解】3.14×（100÷2）² ＝3.14×2500 ＝7850（平方米）； 答：新韵楼大概占地7850平方米。 【点睛】熟练掌握圆的面积公式是解答本题的关键。 36．杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径为40厘米，要骑过100米长的钢丝，车轮大约转动多少周？ 【答案】解：（厘米），100米等于10000厘米 （圈） 答：车轮大约要转动80圈． 【详解】此题考查同学们对圆周长在实际生活中的应用，要深刻理解车轮转动一周经过的长度即为车轮的周长． 37．某景区有一个圆形的观景台，周长是25.12m，现要给观景台的上面镶上木板，如果每平方米的成本是35元。整个观景台的木板共需要多少钱？ 【答案】1758.4元 【详解】3.14×（25.12÷3.14÷2）2×35＝1758.4（元） 答：共需要1758.4元。 38．一辆自行车的车轮半径是40厘米，车轮每分钟转100圈，要通过2512米的桥，大约需要几分钟？ 【答案】10分钟 【分析】先求车轮一圈的长度，再求出自行车的速度，用路程除以速度等于时间，据此解答即可。 【详解】3.14×40×2×100 ＝251.2×100 ＝25120（厘米） 25120厘米＝251.2米 2512÷251.2＝10（分钟） 答：大约需要10分钟。 【点睛】本题考查圆的周长、行程问题，解答本题的关键是掌握圆的周长计算公式。 39．爷爷的茶杯中部有一圈装饰（如图），是笑笑怕烫伤爷爷的手特意贴上的。这条装饰圈宽5cm，装饰圈的面积是多少平方厘米？（接头处长度忽略不计） 【答案】94.2平方厘米 【详解】3.14×6×5 ＝3.14×30 ＝94.2（平方厘米） 答：装饰圈的面积是94.2平方厘米． 40．用一根长125.6分米的绳子，正好绕一棵树的树干10圈，这棵树树干的横截面积是多少平方分米？ 【答案】12.56平方分米 【分析】用绳子的总长度除以圈数即可求出树干的周长，再根据“r＝c÷π÷2”、“s＝πr²”求出圆的半径和面积即可。 【详解】125.6÷10÷3.14÷2 ＝12.56÷3.14÷2 ＝2（分米）； 3.14×2²＝12.56（平方分米）； 答：这棵树树干的横截面积是12.56平方分米。 【点睛】熟练掌握圆的周长和面积公式是解答本题的关键。 41．小明骑自行车通过一座长816.4米的大桥．已知车轮直径约是0.65米，车轮平均每分钟转80圈，求小明通过这座大桥需要多少分钟？ 【答案】5分钟 【详解】816.4÷（3.14×0.65×80） =816.4÷163.28 =5（分钟） 答：小明通过这座大桥需要5分钟. 42．一座体育馆的围墙是圆形的，淘气沿着围墙走了一圈，一共是628步，淘气每步长0.6米。这座体育馆的占地面积是多少？ 【答案】11304平方米 【分析】因为体育馆的围墙是圆形的，要求这座体育馆的占地面积是多少，应求出圆形体育馆的半径．根据题意，体育馆的周长是0.6×628＝376.8（米），然后求出半径，再运用圆的面积公式解答即可。 【详解】体育馆的周长： 0.6×628＝376.8（米） 体育馆的占地面积： 3.14×（376.8÷3.14÷2）2 ＝3.14×602 ＝3.14×3600 ＝11304（平方米） 答：这座体育馆的占地面积是11304平方米。 【点睛】此题考查了运用圆的周长和面积公式解答实际问题的能力。 43．一个挂钟的分针长15 cm，经过15分钟，分针尖端走过的路程是多少厘米？分针扫过的面积是多少平方厘米？ 【答案】23.55cm；176.625cm2 【分析】求分针尖端走过的路程就是求所在圆周长的；求分针扫过的面积就是求所在圆面积的。 【详解】15÷60＝ 3.14×15×2×＝23.55（cm） 3.14×152×＝176.625（cm2） 【点睛】本题的关键是根据题意求出相应的圆的周长与面积。 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 圆 知识回顾 单元知识框架： 温馨提示：图片放大更清晰。 单元知识点梳理： 知识点一：圆的认识： ①圆是一种曲线图形。 ②画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示； ③连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示； ④通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。 ⑤因为同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等。通过对折，就可知圆是轴对称图形，有无数条对称轴。 ⑥注意点：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 ⑦半径和直径的关系：在同一个圆中，半径（r）是直径（d）的一半。用字母表示为：d=2r或r=。 知识点二：画圆 先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动；两脚间的距离必须保持不变；要旋转一周。 知识点三：在长方形和正方形中画最大的圆： ①正方形里最大的圆。两者联系：边长＝直径 画法：（1）画出正方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 ②长方形里最大的圆。两者联系：宽＝直径 画法：（1）画出长方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 知识点四：扇形的认识： ①圆上两点之间的部分叫作弧。 ②一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。 ③顶点在圆心的角叫作圆心角。 ④在同一个圆中，圆心角越大，扇形就越大。 ⑤在同一个圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形就越大。 知识点五：圆周长相关知识点 ①实际上，任何一个圆的周长除以对应的直径的商都是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母π(pài)表示。π是一个无限不循环小数。 ②π=3.141592653…… ③在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。 ④如果用C表示圆的周长，那么C与直径d或半径r的关系是： C=πd 或 C=2πr d=C÷π r=C÷π÷2 ⑤半圆周长计算公式： 已知半圆的半径求半圆周长：=πr+2r 已知半圆的直径求半圆周长：=πd÷2+d 知识点六：常用3.14倍数 1π=3.14 2π=6.28 3π=9.42 4π=12.56 5π=15.7 6π=18.84 7π=21.98 8π=25.12 9π=28.26 10π=31.4 知识点七：圆面积的推导 ①在推导圆的面积公式的过程中，把一张圆形纸片分成若干等份，然后把它剪开，照如图的样子拼成一个近似的长方形。 (1)拼成的长方形的长相当于圆的( )，宽相当于圆的( )。 (2)如果圆的半径是8cm，则这个长方形的长是( )cm，面积是( ）。 (3)如果圆的周长比长方形的周长少10cm，那么圆的半径是( )cm，面积是( )。 ②圆的面积计算相关公式： （1） 已知半径（r）求圆的面积：=π （2）已知直径（d）求圆的面积：r=d÷2，=π （3）半圆面积公式：S半圆=πr²÷2 （4）圆面积公式：=πr²÷4 （5）圆环面积公式：=（-)π（其中R表示大圆的半径，r表示小圆的半径） 知识点八：常用平方 11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225 16² =256 17²=289 18²=324 19²=361 20²=400 易错点剖析 1、一座体育馆的围墙是圆形的，淘气沿着围墙走了一圈，一共是628步，淘气每步长0.6米。这座体育馆的占地面积是多少？ 【答案】11304平方米 【分析】因为体育馆的围墙是圆形的，要求这座体育馆的占地面积是多少，应求出圆形体育馆的半径．根据题意，体育馆的周长是0.6×628＝376.8（米），然后求出半径，再运用圆的面积公式解答即可。 【详解】体育馆的周长： 0.6×628＝376.8（米） 体育馆的占地面积： 3.14×（376.8÷3.14÷2）2 ＝3.14×602 ＝3.14×3600 ＝11304（平方米） 答：这座体育馆的占地面积是11304平方米。 【点睛】此题考查了运用圆的周长和面积公式解答实际问题的能力。 2、为美化校园环境，学校准备在周长是37.68米的花坛(如图)外围铺一条2米宽的环形小路． (1)这条小路的面积是多少平方米？ (2)如果每平方米用水泥15千克，铺这条小路一共需要水泥多少千克？ 【答案】（1）87.92平方米（2）1318.8千克 【详解】(1)37.68÷3.14÷2＝6(米) (平方米) (2)87.92×15＝1318.8(千克) 3、小方拿一张长方形的纸，长18厘米，宽16厘米，用这张纸剪掉一个最大的圆，剩下的面积是多少平方厘米？ 【答案】87.04平方厘米 【详解】(平方厘米) 4、一条小路长47.1米，小明在路上玩滚铁环，铁环直径为30厘米，从小路的一端滚到另一端，铁环要转多少圈？ 【答案】50圈 【详解】47.1米＝4710厘米 3.14×30＝94.2(厘米) 4710÷94.2＝50(圈) 5、有一个直径是1.2米的旧圆桌，李叔叔准备要重新整修一下，他想给圆桌边上钉上金属保护条，并给桌面油漆一下． (1)李叔叔至少需要多长的金属保护条？ (2)至少需要油漆多大的面积？ 【答案】（1）3.768米（2）1.1304平方米 【知识点】圆的周长及应用、圆的面积及应用 【详解】(1)3.14×1.2＝3.768(米) (2)(平方米) 强化练习 一、填空题 1．边长是的正方形中放置一个最大的圆，这个圆的半径是( )，直径是( )。 2．用一根长18.84米的铁丝围成一个正方形，边长是( )米；若围成一个圆，半径是( )米。 3．大小两个圆，如果大圆周长是C，直径是D，小圆周长是c，直径是d，那么 C∶D和c∶d这两个比的比值( )。 4．画圆时，把圆规两脚之间的距离定为4厘米，画出圆的半径是( )，周长是( )，面积是( )。 5．把一个圆分成若干（偶数）等份，剪开后，将这些近似等腰三角形照如图的样子拼起来。如果拼成图形的周长比原来圆的周长增加了，那么原来圆的周长是( )，面积是( )。 6．一个环形的外圆半径是5厘米，内圆半径是4厘米，它的面积是( )平方厘米。 7．一个小圆和一个大圆的直径比是2∶3，小圆和大圆的周长比是( )，面积比是( )。 8．在一块长10分米、宽5分米的长方形铁板上，最多能截取( )个直径是2分米的圆形铁板。剩下部分的面积是( )。 9．一个圆扩大后，面积比原来多8倍，周长比原来多50.24厘米，这个圆原来的面积是 ( )平方厘米。 10．一个圆的周长正好比它的半径多了15.84厘米，这个圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 二、判断题 11．任意一个圆的周长都是它直径的π倍。( ) 12．圆的半径扩大到原来的3倍，它的面积就扩大到原来的6倍。( ) 13．半径是2厘米的圆，它的周长和面积相等。( ) 14．因为圆的周长等于，所以半圆的周长是。( ) 15．任意一个圆，都只有一个圆心，不可能有两个圆心。（    ） 16．大圆的圆周率大于小圆的圆周率。( ) 17．在同一个圆中，圆的周长与直径成正比例，圆的面积与半径成反比例。( ) 18．把一个圆分成两个半圆，这个圆的周长等于两个半圆周长的和．( ) 19．圆形就是圆球。( ) 20．车轮的直径一定，车轮的转数和它前进的距离成正比例。( ) 三、选择题 21．下列关于圆周率的说法，错误的是（    ）。 A．是圆的周长与其半径的比值 B．是一个无限不循环小数 C．在实际运用中一般取3.14 D．用字母π表示 22．下面三幅图的阴影部分的面积相比较，（    ）的面积大。 A．图（1）大 B．图（2）大 C．图（3）大 D．同样大 23．如图两个图中阴影部分相比较（    ）。 A．周长相等，面积不相等 B．周长和面积都不相等 C．周长不相等，面积相等 D．周长和面积都相等 24．下面半圆的周长是（ ）。 A．25.12厘米 B．12.56厘米 C．20.56厘米 D．30.56厘米 25．在长12cm、宽7cm的长方形纸中，剪半径是1cm的圆，最多能剪（    ）个。 A．9 B．18 C．28 D．72 26．圆的半径由3分米增加到5分米，圆的面积增加了（    ）平方分米。 A． B． C． 27．如图所示，赛车甲、乙分别按两种跑线进行比赛，则下列说法正确的是（ ） A．赛车甲走的路程长，比赛不公平． B．赛车乙走的路程长，比赛不公平． C．赛车甲、乙走的路程相同． D．无法确定． 28．如下图，圆的直径是10cm。它从1号位开始沿直线无滑动地滚到2号位，正好滚了2圈。那么A、B两点之间的距离是（    ）厘米。（π取3.14） A．62.8 B．67.8 C．72.8 D．82.8 29．在400米道上进行200米赛跑，弯道部分是半圆，半径为36米，每条跑道宽1.2米，第4道与第1道起跑线相差（ ）米。 A．1.21 B．2.4 C．3.6 D．36 30．圆周率是圆的周长与直径的比值，公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，公元480年左右，南北朝数学家祖冲之进一步得到圆周率小数点后7位的结果。如果下图中线段AF表示一个圆的周长，那么这个圆的直径可能是（    ）。 A．线段AB B．线段AC C．线段AD D．线段CE 四、计算题 31．求图中阴影部分的面积（单位：厘米） 32．求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 33．求周长。 五、解答题 34．一个花坛，直径8米，在它的周围有一条宽1米的环形小路，小路的面积是多少平方米？ 35．位于广东省潮州市饶平县三饶镇的新韵楼，是我国一座非常大的圆形土楼。只可惜，该楼已经倒塌了一部分，其直径大约为100米。你能算出新韵楼大概占地多少平方米吗？ 36．杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径为40厘米，要骑过100米长的钢丝，车轮大约转动多少周？ 37．某景区有一个圆形的观景台，周长是25.12m，现要给观景台的上面镶上木板，如果每平方米的成本是35元。整个观景台的木板共需要多少钱？ 38．一辆自行车的车轮半径是40厘米，车轮每分钟转100圈，要通过2512米的桥，大约需要几分钟？ 39．爷爷的茶杯中部有一圈装饰（如图），是笑笑怕烫伤爷爷的手特意贴上的。这条装饰圈宽5cm，装饰圈的面积是多少平方厘米？（接头处长度忽略不计） 40．用一根长125.6分米的绳子，正好绕一棵树的树干10圈，这棵树树干的横截面积是多少平方分米？ 41．小明骑自行车通过一座长816.4米的大桥．已知车轮直径约是0.65米，车轮平均每分钟转80圈，求小明通过这座大桥需要多少分钟？ 42．一座体育馆的围墙是圆形的，淘气沿着围墙走了一圈，一共是628步，淘气每步长0.6米。这座体育馆的占地面积是多少？ 43．一个挂钟的分针长15 cm，经过15分钟，分针尖端走过的路程是多少厘米？分针扫过的面积是多少平方厘米？ 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $