专题01 集合讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义围绕集合专题，覆盖元素特性、表示方法、关系与运算等高考核心考点，按“知识点梳理-题型分类-规律总结”逻辑组织，通过考点解析、方法提炼、真题演练环节，帮助学生突破集合互异性、子集个数计算等难点，体现复习系统性和针对性。 资料采用“题型-方法-素养”三维设计，如集合表示题通过列举法与描述法转化训练数学语言表达，集合运算题用韦恩图培养数学思维直观性。分层设置例题、变式真题、强化测试，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师提供精准复习指导。

专题01 集合 知识点一　元素与集合 1.集合中元素的三个特性：　确定性　、　无序性　、　互异性　. 2.集合的三种表示方法：　列举法　、　描述法　、　图示法　. 3.元素与集合的两种关系：属于，记为　∈　；不属于，记为　∉　. 4.五个特定的集合及其关系图：N* 或N＋表示　正整数　集，N表示非负整数集（自然数集），Z表示　整数　集，Q表示　有理数　集，R表示实数集. 提醒 N为自然数集（即非负整数集），包含0，而N*（N＋）表示正整数集，不包含0. 说明： ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．给定集合，可知，在该集合中，，不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的． 集合应满足． ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分．集合和是同一个集合． ④列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． ⑤描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法． 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 题型一：集合的表示：列举法、描述法 【例1】已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-1】（2012年课标卷）已知集合,则中所含元素的个数为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2018年新课标II卷）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．9 B．8 C．5 D．4 题型二：元素与集合间的关系 【例2】（2022年全国乙卷）设全集，集合M满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 规律方法 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义. 2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 知识点二　集合间的基本关系 　　表示 关系　　 自然语言 符号语言 图形语言 子集 集合A中　任意一个　元素都是集合B中的元素 A⊆B （或B⊇A） 或 真子集 集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A A⫋B （或B⫌A） 集合相等 集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素 A＝B 空集 不含任何元素的集合 ⌀ 结论 （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 题型三：集合与集合之间的关系 【例3】(2023·新高考Ⅱ卷)设集合,，,,，若，则（ ）. A. 2 B. 1 C. D. 知识点三　集合的基本运算 类别 表示 并集 交集 补集 图形语言 符号语言 A∪B＝{x｜x∈A，或x∈B}　 A∩B＝{x｜x∈A,且x∈B}　 ＝{x｜x∈U,且x∉A}　 结论 A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔⊇. 题型四：集合的交、并、补运算 【例4】（2024年北京卷）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024年天津卷）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024年新课标Ⅰ卷）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2023年全国乙卷）设全集，集合，则=（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（2025浙江三模）集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 规律方法 集合基本运算的方法技巧 集合基本运算的方法 【强化测试】 1．已知全集，集合，则=（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合和，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·高三·湖南长沙·开学考试）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·高三·安徽淮北·开学考试）若集合，集合，则的非空真子集个数为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川·一模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·高三·湖南长沙·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·高三·广东·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·江西南昌·一模）已知集合，,则的元素个数为 ． 专题01 集合 例1【解析】由题意知，，， 当，时，， 当，时，， 所以， 所以集合中的元素个数为4. 故选：C. 变式1-1【解析】列举法得出集合，共含个元素． 故答案选 变式1-2【解析】 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有9个， 故选：A. 例2【解析】由题知,对比选项知，正确,错误 故选: 变式2-1【解析】由题设， 结合各选项，A、B、D错，C对. 故选：C 例3 因为，所以若，则，此时,，，不符合题意；若，则，此时,，,,，符合题意.综上所述，.故选. 例4【解析】由题意得. 故选：C. 变式4-1【解析】因为集合，，所以， 故选：B 变式4-2【解析】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 变式4-3【解析】由题意可得，则. 故选：A. 变式4-4【解析】由，解得，即，，.故选：C. 【强化测试】 1．【解析】全集，集合，则. 故选：C. 2．【解析】由题意知，，， ．故选：B. 3．【解析】由题意得，所以. 故选：C. 4．【解析】由题意可知，， 故. 故选:B. 5．【解析】因为集合 ， 集合， 则，所以的非空真子集个数为：个．故选：B 6．【解析】由于，故，故选：B 7．【解析】解不等式，则其解为.又因为，所以. 求解集合：解不等式，则，得， 所以. 那么或. 所以. 故选：B. 8．【解析】因为集合，得. 故选：C. 9．【解析】因为，，则. 因此，集合的元素个数为. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $