学易金卷：九年级数学上学期期末模拟卷01（北师大版九上+九下全部）

2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷01 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2012九年级数学上册+下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图所示的几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 3．小明做两道数学单选题都有A、B、C、D四个选项，小明不会做，于是瞎猜这两道单选题，则都猜对的概率是（    ） A． B． C． D． 4．请判断关于的一元二次方程根的情况，其中k为常数且（    ） A．两个实数根 B．两个不相等的实数根 C．两个相等的实数根 D．没有实数根 5．如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则线段的长为(   ) A．10 B．9 C．6 D．5 6．如图，在矩形中对角线相交于点O，有以下结论：①；②若，则是等边三角形；③；④；⑤平分．正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．如图，分别与的外接圆相切，为切点，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．在锐角中，边上的高的长为h，设，则下列数据中，错误的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，内接于，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交内于点，连接，并延长交于点，连接，，连接，与交于点，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论： ①；②方程必有一个根大于2且小于3；③；④对于任意实数m，都有．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如果是锐角，，那么为 ． 12．平行于墙面的三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示．若，，则三角尺与它在墙上影子的周长比是 ． 13．如图，在正十边形中，连接， 则 ． 14．如图，在平面直角坐标系第二象限中作等腰直角三角形， 使得，，恰好经过双曲线上的A和B，求B点横坐标与纵坐标的比值为    15． 两本完全相同的书侧放在长方体形书柜中，其截面如图所示．已知书的长度为，厚度为．书角到书柜底部的距离比书角到书柜底部的距离少，则书角与书角的距离为    16．如图，菱形的边长为2，，点M是边的中点，点N在边上移动，把沿折叠，使点A落在点E处，连接．若是直角三角形，则线段的长为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）（1）计算：； （2）解方程：． 18．（8分）如图，在中，，边上的高，矩形的顶点、分别在边、上，顶点、在边上，若设，． (1)求出与之间的函数表达式； (2)直接写出当取何值时，矩形面积最大． 19．（8分）如图1是珠江纵队司令部旧址的红色雕塑实物图，为宣扬红色精神，某红色文化主题公园要复刻一座置于园内，将其抽象成如图2所示的示意图，在底座中，，底座上沿到地面的距离为，雕塑主体，，点，的连线平行于，，，，（图中所有点均在同一平面内）． (1)求的度数； (2)求点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 20．（8分）如图，在四边形中，对角线，交于点，，垂直平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知四边形的面积为20，，点在线段上，，射线交于点，交的延长线于点，求线段的长． 21．（8分）去年6月，李克强总理提倡搞地摊经济，张明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%． （1）如果张明想要每月获得的利润为2000元，那么张明每月的单价定为多少元？ （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 22．（10分）如图，为的直径，内接于，且，连接，在的延长线上取一点E，使得． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为2，时，求图中阴影部分的面积． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点的坐标分别为，点在第四象限内． (1)点的坐标为 ； (2)将正方形以每秒2个单位的速度沿轴向上平移，所得四边形记为正方形． 若秒后，点、的对应点、正好落在某反比例函数在第一象限内的图像上，请求出此时值以及这个反比例函数的表达式； (3)在（2）的情况下，是否存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，与y轴交点坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点B的横坐标为，点A的横坐标为m．将此抛物线上A、B两点之间的部分（含A、B两点）记为图象G． ①当点A在x轴上方，图象G的最高与最低点的纵坐标差为6时，求m的值； ②设点，点，将线段绕点D逆时针旋转90°后得到线段，连结，当（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出n的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷01 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2012九年级数学上册+下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图所示的几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 3．小明做两道数学单选题都有A、B、C、D四个选项，小明不会做，于是瞎猜这两道单选题，则都猜对的概率是（    ） A． B． C． D． 4．请判断关于的一元二次方程根的情况，其中k为常数且（    ） A．两个实数根 B．两个不相等的实数根 C．两个相等的实数根 D．没有实数根 5．如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则线段的长为(   ) A．10 B．9 C．6 D．5 6．如图，在矩形中对角线相交于点O，有以下结论：①；②若，则是等边三角形；③；④；⑤平分．正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．如图，分别与的外接圆相切，为切点，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．在锐角中，边上的高的长为h，设，则下列数据中，错误的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，内接于，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交内于点，连接，并延长交于点，连接，，连接，与交于点，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论： ①；②方程必有一个根大于2且小于3；③；④对于任意实数m，都有．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如果是锐角，，那么为 ． 12．平行于墙面的三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示．若，，则三角尺与它在墙上影子的周长比是 ． 13．如图，在正十边形中，连接， 则 ． 14．如图，在平面直角坐标系第二象限中作等腰直角三角形， 使得，，恰好经过双曲线上的A和B，求B点横坐标与纵坐标的比值为    15． 两本完全相同的书侧放在长方体形书柜中，其截面如图所示．已知书的长度为，厚度为．书角到书柜底部的距离比书角到书柜底部的距离少，则书角与书角的距离为    16．如图，菱形的边长为2，，点M是边的中点，点N在边上移动，把沿折叠，使点A落在点E处，连接．若是直角三角形，则线段的长为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）（1）计算：； （2）解方程：． 18．（8分）如图，在中，，边上的高，矩形的顶点、分别在边、上，顶点、在边上，若设，． (1)求出与之间的函数表达式； (2)直接写出当取何值时，矩形面积最大． 19．（8分）如图1是珠江纵队司令部旧址的红色雕塑实物图，为宣扬红色精神，某红色文化主题公园要复刻一座置于园内，将其抽象成如图2所示的示意图，在底座中，，底座上沿到地面的距离为，雕塑主体，，点，的连线平行于，，，，（图中所有点均在同一平面内）． (1)求的度数； (2)求点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 20．（8分）如图，在四边形中，对角线，交于点，，垂直平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知四边形的面积为20，，点在线段上，，射线交于点，交的延长线于点，求线段的长． 21．（8分）去年6月，李克强总理提倡搞地摊经济，张明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%． （1）如果张明想要每月获得的利润为2000元，那么张明每月的单价定为多少元？ （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 22．（10分）如图，为的直径，内接于，且，连接，在的延长线上取一点E，使得． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为2，时，求图中阴影部分的面积． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点的坐标分别为，点在第四象限内． (1)点的坐标为 ； (2)将正方形以每秒2个单位的速度沿轴向上平移，所得四边形记为正方形． 若秒后，点、的对应点、正好落在某反比例函数在第一象限内的图像上，请求出此时值以及这个反比例函数的表达式； (3)在（2）的情况下，是否存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，与y轴交点坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点B的横坐标为，点A的横坐标为m．将此抛物线上A、B两点之间的部分（含A、B两点）记为图象G． ①当点A在x轴上方，图象G的最高与最低点的纵坐标差为6时，求m的值； ②设点，点，将线段绕点D逆时针旋转90°后得到线段，连结，当（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出n的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷01 答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 3 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空 题（每小题3分，共18分） 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． ____________________ 16 ． ____________________ 三 、解答题（共72分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 17．（ 8 分） ) ( 18．（ 8 分） 19．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（8分） 21．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22． （ 10 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23． （ 1 0 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （ 1 2 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷01 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 考生禁填： 缺考标记 证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂：填空题和解答题 以上标记由监考人员用2B铅 必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 笔填涂 或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 选择题填涂样例： 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 正确填涂■ 4 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【√1【/] 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A]B][C][D] 5[A][B][CI[D] 9[A][B][C]D] 2 [A][B][C][D] 6[A]B][C][D] 10[A]B][CD] 3[A][B][C][D] 7[A[B][C[D] 4[A]B][C][D] 8[AJ[B][C][D] IIIIIII 二、 填空题（每小题3分，共18分) 11. 12. 13 14. 15 16. 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(8分) 数学弟1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) BO D M 19.(8分) B- 图1 图2 请在各题目的答题区域内趣学第2熏低然形弧框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) A D E B G 21.(8分) 请在各题目的答题区域内作等趣盥墨鲁矩程沙限定区域的答案无效！ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) B D 请在各题目的答葱学踏(6色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) B B 请在各题目的答题区域嫩学第5题（熟烦形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) 请在各题目的答题区域内嫩学，嘿须框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷01 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2012九年级数学上册+下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图所示的几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题图可知，该几何体为圆台，且主视图为梯形. 故选：D. 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握三视图的定义. 2．下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、正比例函数的图象，随的增大而增大， 故此选项不符合题意； B、一次函数的图象，随的增大而增大， 故此选项不符合题意； C、反比例的图象是双曲线，在第二、四象限， 当时，y随x的增大而增大，故此选项不符合题意； D、二次函数的图象，开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小，故此选项符合题意； 故选：D． 3．小明做两道数学单选题都有A、B、C、D四个选项，小明不会做，于是瞎猜这两道单选题，则都猜对的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：画树状图如下： 共有16种等可能的情况，其中小明都猜对的情况有1种， ∴小明都猜对的概率为， 故选：B． 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法与可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 4．请判断关于的一元二次方程根的情况，其中k为常数且（    ） A．两个实数根 B．两个不相等的实数根 C．两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【详解】解：一元二次方程， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 5．如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则线段的长为(   ) A．10 B．9 C．6 D．5 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ． 故选：． 6．如图，在矩形中对角线相交于点O，有以下结论：①；②若，则是等边三角形；③；④；⑤平分．正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：∵矩形中对角线相交于点O， ∴，， 故③是正确的； ∴， 故①是正确的； ∵若， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形 故②是正确的； 依题意，无法证明， 故④是错误的； 依题意，无法得出平分． 故⑤是错误的； 故选：B． 7．如图，分别与的外接圆相切，为切点，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设点为的外接圆圆心，连接，过点作于点， 则    ， ∵， ∴， ∵分别与的外接圆相切，为切点， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：． 8．在锐角中，边上的高的长为h，设，则下列数据中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，根据锐角三角函数的定义，结合线段的和差关系，三角形的面积公式，进行求解，判断即可． 【详解】解：如图， 在中，，； 在中，，； ∴，， ∴； 故选项A，C，D正确； 无法得到；故选项B错误； 故选B． 9．如图，内接于，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交内于点，连接，并延长交于点，连接，，连接，与交于点，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，连接，， 由题意可知平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故此选项成立，不符合题意； B、∵内接于， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故此选项成立，不符合题意； C、∵点，，，四点共圆， ∴四边形为圆内接四边形， ∵圆内接四边形对角互补， ∴， 故此选项成立，不符合题意； D、假设， ∴， ∵， ∴， 而根据已知条件无法推出， ∴假设不成立， 故此选项符合题意； 故选：D． 10．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论： ①；②方程必有一个根大于2且小于3；③；④对于任意实数m，都有．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点的横坐标，且对称轴是直线， ∴与x轴的另一个交点的横坐标， ∴方程必有一个根大于2且小于3，故②正确； 当时，， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵对称轴是直线，抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值，为， 殷伟对于任意实数m，都有， ∴， ∴， 即，故④错误； 故选：C 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如果是锐角，，那么为 ． 【答案】 【详解】解：∵， 又∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．熟背特殊角的三角函数值是解题的关键． 12．平行于墙面的三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示．若，，则三角尺与它在墙上影子的周长比是 ． 【答案】 【详解】解：如图，∵OA=10cm，AA′=15cm， ∴OA′=25cm， ∴， ∵三角尺与影子是相似三角形， ∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比=， 故答案为：． 13．如图，在正十边形中，连接，则 ．    【答案】 【详解】解：如图：设正十边形的圆心O，连接、， ∵正十边形的各边都相等 ∴ ∴． 故答案为: ．    14．如图，在平面直角坐标系第二象限中作等腰直角三角形， 使得，，恰好经过双曲线上的A和B，求B点横坐标与纵坐标的比值为    【答案】 【详解】解：过点B作轴于点C，过点A作于点D，如图所示：    则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设点B的坐标为，，， ∴，， ∴点A的坐标为：， ∵点A、B在反比例函数上， ∴， 整理得：， ∴， 则或， ∵，， ∴舍去， ∴． 故答案为：． 15．两本完全相同的书侧放在长方体形书柜中，其截面如图所示．已知书的长度为，厚度为．书角到书柜底部的距离比书角到书柜底部的距离少，则书角与书角的距离为    【答案】2.5 【详解】解：设，则， 如图，设两个书柜交点为，   ， ， 由题易得，， ，， ， 又，， ， ，， ， 在中，， 即， 解得， ，， ，， ， ，即， 解得， 故答案为：2.5． 16．如图，菱形的边长为2，，点M是边的中点，点N在边上移动，把沿折叠，使点A落在点E处，连接．若是直角三角形，则线段的长为 ． 【答案】或2 【详解】解：显然， 如图，当时，过点C作于点F， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 又∵点M是边的中点， ∴， ∴， ∵是菱形， ∴，， ∴，则， ∴， ∴，， ∴； 当时，则点E与点D重合，点N与点B重合， 这时； 故答案为：或2． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1） （2） ∵， ∴， ∴， 解得：． 18．（8分）如图，在中，，边上的高，矩形的顶点、分别在边、上，顶点、在边上，若设，． (1)求出与之间的函数表达式； (2)直接写出当取何值时，矩形面积最大． 【答案】(1) (2)当时，矩形面积最大 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的图像和性质及应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先证，再利用相似三角形对应高的比等于相似比即可求解； （2）根据（1）的结论，再根据矩形的面积及二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）是的高， ， 四边形是矩形， ， ， 是的高， ，，，， ， ， （2）， ， 当时，矩形面积的最大值为． 19．（8分）如图1是珠江纵队司令部旧址的红色雕塑实物图，为宣扬红色精神，某红色文化主题公园要复刻一座置于园内，将其抽象成如图2所示的示意图，在底座中，，底座上沿到地面的距离为，雕塑主体，，点，的连线平行于，，，，（图中所有点均在同一平面内）． (1)求的度数； (2)求点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1)； (2)点到地面的距离为． 【详解】（1）解：∵，，， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴； （2）解：过点作的垂线，交延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵底座上沿到地面的距离为， ∴点到地面的距离． 20．（8分）如图，在四边形中，对角线，交于点，，垂直平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知四边形的面积为20，，点在线段上，，射线交于点，交的延长线于点，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，再由平行线的性质可得， 【详解】（1）证明：垂直平分， ，， ， , 在与中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：过作于， 四边形是菱形， ， 四边形的面积为20，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ． 21．（8分）去年6月，李克强总理提倡搞地摊经济，张明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%． （1）如果张明想要每月获得的利润为2000元，那么张明每月的单价定为多少元？ （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 【答案】（1）张明每月的单价定为30元；（2）当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润是2160元． 【详解】解：（1）每月的单价定为x元，每件利润为（x-20）元， ∵每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，想要每月获得的利润为2000元， ∴（x-20）（﹣10x+500）=2000， 整理得， 因式分解得， 解得， ∵20（1+60%）=32，30＜32，40＞32舍去， ∴， 张明每月的单价定为30元； （2）设每月利润用w表示， W=， ∵a=-10＜0，抛物线开口向下，抛物线有最大值， ∵对称轴为x=35＞32，在对称轴左侧，w随x的增大而增大， ∴当x=32时，每月利润最大为W=-10×9+2250=2160元， ∴当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润是2160元． 22．（10分）如图，为的直径，内接于，且，连接，在的延长线上取一点E，使得． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为2，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）证明：连接，如下图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴为的切线． （2）解：∵，为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点的坐标分别为，点在第四象限内． (1)点的坐标为 ； (2)将正方形以每秒2个单位的速度沿轴向上平移，所得四边形记为正方形． 若秒后，点、的对应点、正好落在某反比例函数在第一象限内的图像上，请求出此时值以及这个反比例函数的表达式； (3)在（2）的情况下，是否存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)此时的值为 ；反比例函数解析式为； (3)存在，满足要求点的坐标为或或 【详解】（1）如图，过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点，则 ， 点的坐标为，的坐标为， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， 所以点的坐标为； （2）由题意，得正方形沿轴向上平移了个单位长度． 点的坐标为，的坐标为， 和的坐标分别为，， 设点，落在反比例函数的图像上， 则，解得， 所以解得， 即这个反比例函数的表达式为； （3）存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得以，，，四点为定点的四边形是平行四边形． 设，由（2）知和点的坐标分别为，， 当为平行四边形的边时，则∥，， 点的坐标为或， 把代入中，得，解得 点的坐标为， 把代入中，得，解得 点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，则的中点坐标为， 的中点坐标为， 点的坐标为，把点坐标带入中，得，解得， 点的坐标为， 综上所述，满足要求的点的坐标为或或 24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，与y轴交点坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点B的横坐标为，点A的横坐标为m．将此抛物线上A、B两点之间的部分（含A、B两点）记为图象G． ①当点A在x轴上方，图象G的最高与最低点的纵坐标差为6时，求m的值； ②设点，点，将线段绕点D逆时针旋转90°后得到线段，连结，当（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)； (2)①m的值为；②或． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点坐标为， ∴， ∴此抛物线对应的函数表达式为； （2）①抛物线解析式为， 令，得：， 解得：或， 故抛物线与x轴的交点为,对称轴为直线,顶点坐标为， 由题意得：， 当时，如图1， , 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，如图2， ， 解得：m（不合题意，舍去）， 综上所述：图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6时，m的值为； ②当时，如图3， ∵，， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴直线的解析式为， 联立方程组得：， 整理得：， ∵（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∴， ∴； 当时，如图4，（不含内部）和二次函数在范围上的图象没有公共点； 当时，如图5，（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∵，，， ∵点F在抛物线上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； 当时，如图6，（不含内部）和二次函数在范围上的图象有两个公共点，（舍去） 综上所述：当或时，（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点． 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷01 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D B B A C D B D C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11． 12． 13． 14. 15．2.5 16．或2． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）解：（1） …………………………… 4分 （2） ∵， ∴， ∴， 解得：．……………………………8 分 18．（8分）解：（1）是的高， ， 四边形是矩形， ， ， 是的高， ，，，， ， ， …………………………… 5分 （2）， ， 当时，矩形面积的最大值为．…………………………… 8分 19．（8分）（1）解：∵，，， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴；…………………………… 3分 （2）解：过点作的垂线，交延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵底座上沿到地面的距离为， ∴点到地面的距离．…………………………… 8分 20．（8分）（1）证明：垂直平分， ，， ， , 在与中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形；…………………………… 4分 （2）解：过作于， 四边形是菱形， ， 四边形的面积为20，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ．…………………………… 8分 21．（8分）解：（1）每月的单价定为x元，每件利润为（x-20）元， ∵每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，想要每月获得的利润为2000元， ∴（x-20）（﹣10x+500）=2000，…………………………… 2分 整理得， 因式分解得， 解得， ∵20（1+60%）=32，30＜32，40＞32舍去， ∴， 张明每月的单价定为30元；…………………………… 4分 （2）设每月利润用w表示， W=， ∵a=-10＜0，抛物线开口向下，抛物线有最大值， ∵对称轴为x=35＞32，在对称轴左侧，w随x的增大而增大， ∴当x=32时，每月利润最大为W=-10×9+2250=2160元， ∴当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润是2160元．…………………………8 分 22．（10分）（1）证明：连接，如下图： ∵， ∴， ∵， ∴，……………………………2 分 ∵， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴为的切线．…………………………… 5分 （2）解：∵，为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴，……………………………7 分 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．……………………………10 分 23．（10分）（1）点的坐标为；……………………………2 分 （2）由题意，得正方形沿轴向上平移了个单位长度． 点的坐标为，的坐标为， 和的坐标分别为，， 设点，落在反比例函数的图像上， 则，解得， 所以解得， 即这个反比例函数的表达式为；……………………………5 分 （3）存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得以，，，四点为定点的四边形是平行四边形． 设，由（2）知和点的坐标分别为，， 当为平行四边形的边时，则∥，， 点的坐标为或， 把代入中，得，解得 点的坐标为，……………………………7 分 把代入中，得，解得 点的坐标为；……………………………8 分 当为平行四边形的对角线时，则的中点坐标为， 的中点坐标为， 点的坐标为，把点坐标带入中，得，解得， 点的坐标为，……………………………9 分 综上所述，满足要求的点的坐标为或或…………………………… 10分 24．（12分）（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点坐标为， ∴， ∴此抛物线对应的函数表达式为；……………………………3分 （2）①抛物线解析式为， 令，得：， 解得：或， 故抛物线与x轴的交点为,对称轴为直线,顶点坐标为， 由题意得：， 当时，如图1， , 解得：或（不合题意，舍去）；…………………………… 5分 当时，如图2， ， 解得：m（不合题意，舍去）， 综上所述：图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6时，m的值为；……………………………7 分 ②当时，如图3， ∵，， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴直线的解析式为， 联立方程组得：， 整理得：， ∵（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∴， ∴；……………………………9 分 当时，如图4，（不含内部）和二次函数在范围上的图象没有公共点； 当时，如图5，（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∵，，， ∵点F在抛物线上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴；…………………………… 11分 当时，如图6，（不含内部）和二次函数在范围上的图象有两个公共点，（舍去） 综上所述：当或时，（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点．…………………………… 12分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $