学易金卷：高二数学上学期期末模拟卷03（全国通用，人教A版选择性必修第一册+第二册：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列+导数）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选修一选修二全部内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 2．已知空间中三点，，，则（    ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 3．曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 4．双曲线的焦点到它的渐近线的距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 5．已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 6．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 7．双曲线C的左右两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N(在同一支上）两点，且，则C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，若恒成立，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线与抛物线相交于，两点，的焦点为，为坐标原点，则下列结论正确的是（   ） A．若直线过焦点，则为钝角 B．若，则直线的斜率为 C．若，则直线过定点 D．若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 10．设是函数的三个零点，则（   ） A． B． C．若成等差数列，则成等比数列 D．若成等差数列，则 11．已知数列满足：且，数列的前项和，则以下选项正确的有（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 13．点为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 14．已知函数恰有一个极小值点和一个极大值点，设点，则直线的斜率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列和满足． (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． 16．（15分） 如图，在三棱柱 中，，点 在平面上的射影为的中点. (1)求证：四边形是矩形； (2)若 求二面角 的正弦值； (3)记三棱柱 的体积为，线段 的中点为 ，三棱锥 的体积为 ，若 ，求证： 17．（15分）已知椭圆，过右焦点F作不与x轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，AB的中垂线交x轴于点M，交直线于点N，直线与x轴交于点H． (1)求证：在x轴上存在点C使得为定值； (2)试探究A，M，B，N四点是否共圆，请说明理由． 18．（17分） 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 19．（17分） 已知双曲线（，）的渐近线方程为，且过点.按照如下方式依次构造点：过作斜率为（为常数且）的直线与的下支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求的坐标； (2)证明：数列是等比数列，并求其公比（用表示）； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，为定值. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选修一选修二全部内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为且， 可得，解得. 故选：A. 2．已知空间中三点，，，则（    ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 【答案】D 【分析】根据条件，先求出，对A，利用向量共线的条件，即可求解；对B，利用单位向量的定义，即可求解；对C，利用向量夹角公式，即可求解；对D，根据条件，利用平面的法向量的求法，即可求解. 【详解】因为，，，则， 对于A，假设与是共线向量，则有，所以，无解， 即与不是共线向量，所以A错误， 对于B，的单位向量为， 即或，所以B错误， 对于C，与夹角的余弦值为，所以C错误， 对于D，设平面的一个法向量为，由， 取，则，所以平面的一个法向量是，故D正确. 故选：D. 3．曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】首先利用导数求解曲线的切线方程，并求解出切线与坐标轴的交点坐标，最后再根据面积公式进行求解即可. 【详解】已知，得：，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，整理得. 直线与轴交于点，与轴交于点， 因此所求三角形的面积为. 故选：A 4．双曲线的焦点到它的渐近线的距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由对称性，不妨取双曲线的右焦点，渐近线方程为， 所以所求距离为. 故选：C 5．已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 【答案】B 【分析】根据给定的函数图象，分析判断值为正或负的x取值区间作答. 【详解】观察图象知，当时，或且， 当时，或， 而当时，，当时，，因此当或时，， 当时，，当且仅当时取等号， 则在和上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，极大值，A，C，D不正确；B正确. 故选：B 6．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由得到，利用累加法求出，则. 【详解】因为，所以即； 所以 即； 所以，而也符号该式，故 故选：D 7．双曲线C的左右两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N(在同一支上）两点，且，则C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意可知双曲线的焦点在轴上，设过作圆的切线切点为，过作直线的垂线，垂足为，根据已知条件分别求解出，，代入双曲线定义中可得：，进而求解渐近线方程. 【详解】 M、N在双曲线的同一支，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以为锐角， ，，， 过作直线的垂线，垂足为， 由此可得：，， 设，由，得，， ，， 由于，得：， 解得：，即得：的渐近线方程为. 故选：D 8．已知函数，若恒成立，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对函数进行求导，再利用导数和函数的关系求出导函数的零点，最后令求导判断即可； 先对题干中的式子进行变形，再构造函数，通过单调性比大小即可. 【详解】方法一：函数的定义域为，， 显然单调递增且有唯一零点. 令，即，此时有. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，， 即有：，. 令，，时，，单调递减； 时，，单调递增，，又，. 方法二：注意到，又恒成立由方法一得：，， ，，. 方法三：恒成立在恒成立， 令，即恒成立. ，时，，单调递增； 时，，单调递减 ，又恒成立，，. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线与抛物线相交于，两点，的焦点为，为坐标原点，则下列结论正确的是（   ） A．若直线过焦点，则为钝角 B．若，则直线的斜率为 C．若，则直线过定点 D．若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 【答案】ACD 【分析】根据条件写出，，选项A,证明，可得，所以为钝角，选项B,由 ，求出的值，即可得到直线的斜率；选项C,先设直线方程为 ，因为得到，代入直线方程得到，所以直线恒过定点；选项D,根据条件设圆心为，半径为，因为外接圆与抛物线的准线 相切，所以有圆心到准线的距离等于半径. 【详解】由题可知 ，设 ， 直线过焦点，则设直线方程为， 联立方程得到 ，即 则 所以，所以为钝角，选项A正确； 直线的斜率为 因为，所以 即得 或者，所以，选项B错误； 设直线方程为 ，因为，所以，所以，代入直线方程得到，所以直线恒过定点，选项C正确；的顶点为，其外接圆的圆心在的垂直平分线上，设圆心为，半径为，因为外接圆与抛物线的准线 相切，所以有圆心到准线的距离等于半径，选项D正确； 故选：ACD 10．设是函数的三个零点，则（   ） A． B． C．若成等差数列，则成等比数列 D．若成等差数列，则 【答案】ACD 【分析】数形结合，可判断A的真假；根据零点个数，求参数的取值范围，可判断B的真假；根据等差、等比数列的概念可判断C的真假；根据C的结论，进一步计算可判断D的真假. 【详解】当时，，显然不符合题意； 当时，分别画出与的图像，如图所示： 显然有一个小于0的零点，有2个大于0的零点，所以A选项正确； 令，可得，设，则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递减， 所以的最小值为， 要使得有两个大于0的零点，则，故B选项错误； 由题意，所以， 由于成等差数列，所以，所以， 所以，所以成等比数列，C选项正确； 由，得，所以， 由于，解得，因为， 所以，故D选项正确. 故选：ACD. 11．已知数列满足：且，数列的前项和，则以下选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据递推式得，得数列单调递减，即且，判断A、B，根据得，从而得到、，进而有判断C，由并应用累加法求，即可判断D. 【详解】由，而，显然，则， 所以数列单调递减，即（时取等号），则，A对， 由，结合A分析，则（时取等号），B对， 由，则， 结合已知及A分析，有，故，由B知（当且仅当时右侧等号）， 而， 综上，则（当且仅当时右侧等号）， 所以，即（当且仅当时左侧等号成立），所以，C对， 由，则， 所以，则，D错. 故选：ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】设直线的方向向量为，根据直线是两平面与的交线计算出直线的一个方向向量，最后利用直线与平面夹角的向量公式即可求解. 【详解】设直线的方向向量为，由材料可知平面的一个法向量， 平面的一个法向量，平面的一个法向量， 因为直线是两平面与的交线，则有， 即，取，则， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 13．点为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 【答案】 【分析】利用化简可知，再利用，即可得到结论. 【详解】由题意，， 又为圆的任意一条直径，则， 由题意得，椭圆的半长轴，半焦距，右焦点为， 圆的圆心为，故点为椭圆的右焦点， 在椭圆中，有，即， 所以，，故的取值范围为. 故答案为：. 14．已知函数恰有一个极小值点和一个极大值点，设点，则直线的斜率为 . 【答案】/0.5 【分析】由导数为0结合韦达定理可得，通过斜率计算公式化简即可得结果. 【详解】由题意知的定义域为， 且. 令，得，此方程有两个不相等的实数根， 其中， 故直线的斜率为 ， 即直线的斜率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列和满足． (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意两式相加、相减，即可得出，相邻两项递推关系，根据定义可以证明； （2）由第（1）问是等比数列，是等差数列可以解出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求出前项和. 【详解】（1）证明：因为，， 则将两式相加，可得， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列． 将两式相减，可得， 即，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． （2）解：由（1）可得，， 所以． ① ② ①②得 ， 所以． 16．（15分）如图，在三棱柱 中，，点 在平面上的射影为的中点. (1)求证：四边形是矩形； (2)若 求二面角 的正弦值； (3)记三棱柱 的体积为，线段 的中点为 ，三棱锥 的体积为 ，若 ，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）首先连接，利用线面垂直的判定定理证明平面，在利用线面垂直的性质证明，最后利用三棱柱的性质证明四边形是矩形； （2）首先以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.然后分别求平面与平面的法向量，最后利用二面角的夹角公式进行求解即可. （3）首先根据三棱锥的体积公式确定数列是等比数列，并求其通项公式，再利用裂项相消法求和，并结合放缩法即可得证. 【详解】（1） 如图，连接，因为为的中点，，所以， 因为点在平面上的射影为的中点，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以平面. 因为平面，所以， 因为，所以， 又四边形是平行四边形，所以四边形是矩形. （2）由（1）知，，两两垂直，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 所以，，， ， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得：， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得：. 设二面角的平面角的大小为， 则， 所以， 即二面角的正弦值为. （3）由题可得：， 因为为线段的中点，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 所以， 所以， 由于，所以，因此得证：. 17．（15分）已知椭圆，过右焦点F作不与x轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，AB的中垂线交x轴于点M，交直线于点N，直线与x轴交于点H． (1)求证：在x轴上存在点C使得为定值； (2)试探究A，M，B，N四点是否共圆，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)A，M，B，N四点共圆，理由见解析 【分析】（1）设，，直线l方程为，与椭圆联立，根据韦达定理可得，表达式，进而可得表达式，设，可得坐标，根据数量积公式，化简计算，即可得证. （2）设AB中点，由（1）可得P点坐标，进而可得AB中垂线方程，令，可得M点坐标，利用弦长公式，分别求出、和的表达式，根据相交弦定理，即可得答案. 【详解】（1）证明：依题意有，直线l过点F，且斜率存在，则设直线l方程为， 设，，联立， 消去y并整理得， 因为l过椭圆右焦点F，所以l一定与椭圆相交，即恒成立， 所以，， ， 设，则，， ， 要使为定值，则，解得，此时， 所以在x轴上存在点，使为定值，定值为． （2）设AB中点，则， 所以，即， 所以AB中垂线方程为， 令，则，即， 所以， ， ， 所以， 由相交弦定理得，A，M，B，N四点共圆． 18．（17分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求得，可求切线方程； （2）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （3）（i）结合（2）的分析，确定满足的条件，从而求得的取值范围；（ii）通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得. 【详解】（1）当时，，求导得，所以， 又，所以切点为， 所以切线方程为，即； （2）由，求导得， 若，，所以在上单调递增； 若，令，得，解得， 当 时，，则在 上单调递减； 当 时，，则在 上单调递增； 综上所述：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）（i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（2）知，且，所以， 解得，所以的取值范围． （ii）由（i）得，所以，， 两边同时取自然对数，得，， 两式相减得，即， 要证，只需证明， 即，所以， 令，只需证明，构造函数， 求导得，所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式成立， 于是原不等式成立． 19．（17分）已知双曲线（，）的渐近线方程为，且过点.按照如下方式依次构造点：过作斜率为（为常数且）的直线与的下支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求的坐标； (2)证明：数列是等比数列，并求其公比（用表示）； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析，公比为； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据渐近线方程和所过定点即可求出双曲线方程，再联立直线即可求出答案； （2）写出直线方程，将其与双曲线方程联立得到，从而得到，再根据等比数列的定义即可证明； （3）转化为证明，利用点差法得，结合合比性质得，同理得，再根据（2）中结论即可证明. 【详解】（1）∵渐近线为．又过点， 代入双曲线的方程得，，即双曲线的方程为， 若，则过对应的直线方程为，与双曲线联立得： 或（舍去）． 代入直线方程求得该直线与双曲线得另一个交点． （2）过斜率为直线为：， 与双曲线联立得：， 因为，则， 由韦达定理得， . 将代入直线方程，并取相反数得 ， ①， ②， 得，由条件可知首项为， 所以数列是公比为的等比数列． （3）要证明为定值，只需证明． 与求面积时，都看作以为底， 则原问题转化为高相等，即需证明两点到直线的距离相等， 进而转化为证明，即只需证明，以下为其证明. 将点的坐标代入双曲线方程得到两式作差并整理得： ，由合比的性质得，③， 同理可得④， 由第（2）问的①②可知数列是公比为的等比数列； 数列是公比为的等比数列. ④式可化为⑤， 由③⑤两式得到：. 故，所以为定值. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D A C B D D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ACD ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）证明：因为，， 则将两式相加，可得， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列．................................（3分） 将两式相减，可得， 即，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列．................................（6分） （2）解：由（1）可得，， 所以． ① ② ①②得 ， 所以．................................（13分） 16．（15分） 【详解】（1） 如图，连接，因为为的中点，，所以， 因为点在平面上的射影为的中点，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以平面. 因为平面，所以， 因为，所以， 又四边形是平行四边形，所以四边形是矩形.................................（4分） （2）由（1）知，，两两垂直，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 所以，，， ， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得：， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得：. 设二面角的平面角的大小为， 则， 所以， 即二面角的正弦值为.................................（10分） （3）由题可得：， 因为为线段的中点，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 所以， 所以， 由于，所以，因此得证：......................（15分） 17．（15分） 【详解】（1）证明：依题意有，直线l过点F，且斜率存在，则设直线l方程为， 设，，联立， 消去y并整理得， 因为l过椭圆右焦点F，所以l一定与椭圆相交，即恒成立， 所以，，.................................（3分） ， 设，则，， ， 要使为定值，则，解得，此时， 所以在x轴上存在点，使为定值，定值为．.................................（7分） （2）设AB中点，则， 所以，即， 所以AB中垂线方程为， 令，则，即， 所以， ， ， 所以， 由相交弦定理得，A，M，B，N四点共圆．.................................（15分） 18．（17分） 【详解】（1）当时，，求导得，所以， 又，所以切点为， 所以切线方程为，即；.................................（3分） （2）由，求导得， 若，，所以在上单调递增； 若，令，得，解得， 当 时，，则在 上单调递减； 当 时，，则在 上单调递增； 综上所述：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；.................................（9分） （3）（i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（2）知，且，所以， 解得，所以的取值范围． （ii）由（i）得，所以，， 两边同时取自然对数，得，， 两式相减得，即， 要证，只需证明， 即，所以， 令，只需证明，构造函数， 求导得，所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式成立， 于是原不等式成立．.................................（17分） 19．（17分） 【详解】（1）∵渐近线为．又过点， 代入双曲线的方程得，，即双曲线的方程为， 若，则过对应的直线方程为，与双曲线联立得： 或（舍去）． 代入直线方程求得该直线与双曲线得另一个交点．.................................（3分） （2）过斜率为直线为：， 与双曲线联立得：， 因为，则， 由韦达定理得， . 将代入直线方程，并取相反数得 ， ①， ②， 得，由条件可知首项为， 所以数列是公比为的等比数列．.................................（8分） （3）要证明为定值，只需证明．与求面积时，都看作以为底， 则原问题转化为高相等，即需证明两点到直线的距离相等，进而转化为证明，即只需证明，以下为其证明.将点的坐标代入双曲线方程得到两式作差并整理得：，由合比的性质得，③，同理可得④，由第（2）问的①②可知数列是公比为的等比数列；数列是公比为的等比数列.④式可化为⑤，由③⑤两式得到：.故，所以为定值..................................（17分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选修一选修二全部内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 2．已知空间中三点，，，则（    ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 3．曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 4．双曲线的焦点到它的渐近线的距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 5．已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 6．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 7．双曲线C的左右两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N(在同一支上）两点，且，则C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，若恒成立，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线与抛物线相交于，两点，的焦点为，为坐标原点，则下列结论正确的是（   ） A．若直线过焦点，则为钝角 B．若，则直线的斜率为 C．若，则直线过定点 D．若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 10．设是函数的三个零点，则（   ） A． B． C．若成等差数列，则成等比数列 D．若成等差数列，则 11．已知数列满足：且，数列的前项和，则以下选项正确的有（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 13．点为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 14．已知函数恰有一个极小值点和一个极大值点，设点，则直线的斜率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列和满足． (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． 16．（15分） 如图，在三棱柱 中，，点 在平面上的射影为的中点. (1)求证：四边形是矩形； (2)若 求二面角 的正弦值； (3)记三棱柱 的体积为，线段 的中点为 ，三棱锥 的体积为 ，若 ，求证： 17．（15分）已知椭圆，过右焦点F作不与x轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，AB的中垂线交x轴于点M，交直线于点N，直线与x轴交于点H． (1)求证：在x轴上存在点C使得为定值； (2)试探究A，M，B，N四点是否共圆，请说明理由． 18．（17分） 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 19．（17分） 已知双曲线（，）的渐近线方程为，且过点.按照如下方式依次构造点：过作斜率为（为常数且）的直线与的下支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求的坐标； (2)证明：数列是等比数列，并求其公比（用表示）； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，为定值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $