精品解析：湖南省 长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试题

数学试卷 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1. 在，，，，中，负数的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（ ） A. （精确到） B. （精确到百分位） C. （精确到十分位） D. （精确到） 3. 下列各式中是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒，用科学记数法表示31536000正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于整式的概念，下列说法正确的是（ ） A. 3与是单项式 B. 与是同类项 C. 不是多项式 D. 是五次三项式 6. 下列各组数中，相等的一组是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 7. 下列变形中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 如图所示，表示数的点在数轴上，则将从小到大排列正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 某车间有90名工人生产螺丝与螺母，平均每人每天生产50个螺丝或80个螺母，要使每天生产的螺丝和螺母按配套，如果有m人生产螺丝，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的一元一次方程的解是整数，则符合条件的所有整数的和为（ ） A. B. C. 2 D. 6 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 11. 比较大小：____（填“”“”或“”） 12. 单项式的次数为________次． 13. 如图，在数轴上点表示的数是3，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为__________． 14. 已知方程是关于的一元一次方程，则的值为___________． 15. 已知，则的值为_______． 16. 小明解方程 ，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为___________． 三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题6分， 第24、25题每小题10分， 共72分) 17. 计算； （1） （2） 18. 解方程； （1）； （2） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 有一种整式处理器，能将“二次多项式”处理成“一次多项式”．处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项，例如多项式M经过处理器得到N，如图所示．若关于x的二次多项式A经过处理器得到B，根据以上方法，解决下列问题： （1）填空；若则 ； （2）若求关于x的方程的解． 21. 为进一步优化校园环境，营造雅致的学习生活氛围，学校计划在勤业楼前修建一块凹字形花坛，专门用于种植麦冬草如图是计划修建的一块凹字形花坛．(单位：米) （1）用含，的代数式表示花坛的周长： （2）当，时，求花坛的周长． 22. 阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，则． （1）尝试应用：把 看成一个整体，合并 的结果是 ． （2）尝试应用：已知 求 的值． （3）拓展探索； 已知 ，． 求代数式 的值． 23. 青竹湖商场经销的A、B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为；B种商品每件进价50元，售价80元． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 小于等于 450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 （1）A种商品每件进价为 元，每件B种商品利润率为 ． （2）商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多少件? （3）在“春节”期间，商场只对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款543元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元? 24. 已知两个正整数和各个数位上的数字均不为，若它们的位数相同且对应数位上的数字之和为，称这两个数互为“和谐数”．例如：和互为“和谐数”，与 互为“和谐数”．若的“和谐数”为，记为的“和谐差”， 例如； 的“和谐数”为，“和谐差”为． （1）的“和谐差” ； （2）已知两位数的个位数字比十位数字大，且它的“和谐数”等于它的 倍，求这个两位数的“和谐差” ； （3）已知某三位数 (其中，， 且， 为整数) ， 若它的“和谐差” 能被整除，求出这个三位数 所有可能的数值． 25. 如图，数轴上三个点A，B，C表示的数分别为a，b，c，其中a，c满足，点B在A、C之间，且．数轴上的两个动点P，Q分别从A，C两点同时出发向右运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒． （1）直接写出 （2）若当运动时间为t秒时，线段的中点M与线段的中点N的距离为2，请求出t的值； （3）若点D从原点出发以2单位长度/秒的速度向右运动，且与P、Q两点同时出发．当点P追上点D 后立即以原速返回A点，当点P回到A点时三点都立即停止运动．在点P返回的过程中，存在常数k，使得运动时间t在某个时间段内为定值，请求出这个时间段和k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1. 在，，，，中，负数的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数，掌握负数是指小于零的数是解题的关键． 直接判断每个数是否小于零，即可确定负数的个数． 【详解】解：∵ 负数是指小于零的数； ∴，是负数； ，不是负数； ，是负数； ，不是负数； ，是负数， ∴ 负数有3个． 故选：B． 2. 用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（ ） A. （精确到） B. （精确到百分位） C. （精确到十分位） D. （精确到） 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的近似数，根据四舍五入法，对按照不同精度取近似值，逐项分析判断是否正确即可． 【详解】解：A、对精确到取近似值为，故此选项错误，符合题意； B、对精确到百分位取近似值为，故此选项正确，不符合题意； C、对精确到十分位取近似值为，故此选项正确，不符合题意； D、对精确到取近似值为，故此选项正确，不符合题意； 故选：A． 3. 下列各式中是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的概念，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程．根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ 一元一次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为1；③整式方程． A：中，x在分母位置，不是整式方程； B：中，x的最高次数为2； C：，即，只含一个未知数x，且次数为1，是整式方程； D：中含有两个未知数． ∴ 只有C选项是一元一次方程， 故选：C． 4. 已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒，用科学记数法表示31536000正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】将31536000用科学记数法表示为． 故选B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 5. 关于整式的概念，下列说法正确的是（ ） A. 3与是单项式 B. 与是同类项 C. 不是多项式 D. 是五次三项式 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的概念，包括单项式、多项式、同类项和次数的定义，明确“同类项”的双重要求准确计算“多项式的次数”是解题关键． 依据整式相关概念的细节判断即可． 【详解】∵单项式是指单独的数、字母或数与字母的积，3是常数单项式，a是字母单项式， ∴选项A正确； ∵同类项需字母相同且指数相同，与指数不同， ∴选项B错误； ∵，是多项式， ∴选项C错误； ∵中，次数为，次数为，次数为0，最高次为3， ∴是三次三项式，选项D错误． 故选：A． 6. 下列各组数中，相等的一组是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数的运算，涉及相反数、绝对值、乘方等基本运算，需注意运算顺序及符号处理，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，，两者不相等，故不符合题意； B、，，结果不同，故不符合题意； C、，，结果相等，故符合题意； D、，，数值不同，故不符合题意； 故选：C． 7. 下列变形中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，平方的非负性，掌握相关知识是解决问题的关键．等式两边同时加上或减去同一个数，或者同时乘以或除以同一个非零数，等式仍然成立．据此逐项判断即可． 【详解】解：A：等式两边加3，得，正确； B：等式两边乘2，得，正确； C：∵ ，分母恒不为零，等式两边除以，成立； D：当时，恒成立，但a与b可能不相等，故不正确． 故选：D． 8. 如图所示，表示数的点在数轴上，则将从小到大排列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示及大小比较，熟练掌握数轴上有理数的表示及大小比较是解题的关键；由数轴可知，然后问题可求解． 【详解】解：由数轴可知， ∴； 故选B． 9. 某车间有90名工人生产螺丝与螺母，平均每人每天生产50个螺丝或80个螺母，要使每天生产的螺丝和螺母按配套，如果有m人生产螺丝，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用（配套问题），读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系并列出方程是解题的关键． 设分配m人生产螺丝，则有人生产螺母，根据每天生产的螺丝和螺母按配套，列出方程即可． 【详解】解：设分配m人生产螺丝，则有人生产螺母， 每天生产螺丝个，生产螺母个， 每天生产的螺丝和螺母按配套， ， 故选：． 10. 已知关于的一元一次方程的解是整数，则符合条件的所有整数的和为（ ） A. B. C. 2 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先解方程，得到，根据方程的解是整数，求出a=-2或-4或4或-10，再计算和即可． 【详解】解：， 6x-（4-ax）=3（x+3）-6 6x-4+ax=3x+9-6 6x+ax-3x=7 ∴， ∵方程的解是整数， ∴3+a=1或-1或7或-7， ∴a=-2或-4或4或-10， ∴符合条件的所有整数的和为-2-4+4-10=-12， 故选：A． 【点睛】此题考查解一元一次方程，根据方程解的情况求未知数，有理数加法计算法则，根据方程的解是整数得到a的值是解题的关键． 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 11. 比较大小：____（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．据此解答即可． 【详解】解：∵， ， 又， ∴． 故答案为：． 12. 单项式的次数为________次． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查单项式，根据单项式次数的定义求解，单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：单项式的次数为次， 故答案为：． 13. 如图，在数轴上点表示的数是3，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了数轴上两点间的距离．根据数轴上两点间的距离解答即可． 【详解】解：根据题意得：点表示的数是3，， ∴点B表示的数是， 故答案为： 14. 已知方程是关于的一元一次方程，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义和绝对值，正确把握相关定义是解题关键．由题意可知且，计算求解即可． 【详解】解∶根据一元一次方程的定义可知，且， 解得且． ． 故答案为：． 15. 已知，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解题的关键．根据的取值范围，结合绝对值的性质，可得，整理得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 16. 小明解方程 ，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据小明的错误去分母过程，将 代入错误方程，求出参数 的值，再代入原方程正确求解． 【详解】解：小明去分母时，方程右边的 忘记乘 12，错误方程为 ，即 ， 将 代入错误方程：左边 ，右边 ， 得 ，解得 ， 原方程为 ， 正确去分母：两边乘 12，得 ， 即 ， 整理得 ， 移项得 ， 解得 ． 故答案为：． 三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题6分， 第24、25题每小题10分， 共72分) 17. 计算； （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． （1）先算乘除法，再算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 18. 解方程； （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号． （1）去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解； （2）先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减，掌握去括号法则和合并同类项法则是解决本题的关键． 去括号合并同类项后，再代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 20. 有一种整式处理器，能将“二次多项式”处理成“一次多项式”．处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项，例如多项式M经过处理器得到N，如图所示．若关于x的二次多项式A经过处理器得到B，根据以上方法，解决下列问题： （1）填空；若则 ； （2）若求关于x的方程的解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的项的定义，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意求解即可； （2）根据题意可求出B，进而得到关于x的方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵ ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∵， ∴， 解得． 21. 为进一步优化校园环境，营造雅致的学习生活氛围，学校计划在勤业楼前修建一块凹字形花坛，专门用于种植麦冬草如图是计划修建的一块凹字形花坛．(单位：米) （1）用含，的代数式表示花坛的周长： （2）当，时，求花坛的周长． 【答案】（1） （2）56米 【解析】 【分析】此题考查列代数式，已知字母的值求代数式的值， （1）分别计算各边的长，由此得到图形的周长； （2）将字母的值代入（1）的结果计算即可 【小问1详解】 解：由题意可知：花坛上边长为， 下边长为， 左右两边宽为， 内宽为， 花坛的周长 ． 【小问2详解】 当，时， 花坛的周长为：（米）． 所以花坛周长为56米． 22. 阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，则． （1）尝试应用：把 看成一个整体，合并 的结果是 ． （2）尝试应用：已知 求 的值． （3）拓展探索； 已知 ，． 求代数式 的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减，代数式求值，掌握相应的运算法则是关键． （1）将看成整体，再计算； （2）将原式整理为，再整体代入求值； （3）先整体代入，再计算，然后整体代入即可． 【小问1详解】 解： ． 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ； 【小问3详解】 解：，， ． 23. 青竹湖商场经销的A、B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为；B种商品每件进价50元，售价80元． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 小于等于 450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 （1）A种商品每件进价为 元，每件B种商品利润率为 ． （2）商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多少件? （3）在“春节”期间，商场只对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款543元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元? 【答案】（1）40； （2）购进A种商品40件 （3）690元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）设种商品每件进价为元，根据的利润率为，求出的值； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设种商品每件进价为元， 则， 解得：． 故种商品每件进价为40元； 每件种商品利润率为． 故答案为：40；； 【小问2详解】 解：设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得，， 解得：． 即购进种商品40件． 【小问3详解】 解：设小华打折前应付款为元， ①打折前购物金额超过450元，但不超过600元， 由题意得， 解得：； ,舍去， ②打折前购物金额超过600元， ， 解得：． 综上可得，小华在该商场购买同样商品要付690元． 24. 已知两个正整数和各个数位上的数字均不为，若它们的位数相同且对应数位上的数字之和为，称这两个数互为“和谐数”．例如：和互为“和谐数”，与 互为“和谐数”．若的“和谐数”为，记为的“和谐差”， 例如； 的“和谐数”为，“和谐差”为． （1）的“和谐差” ； （2）已知两位数的个位数字比十位数字大，且它的“和谐数”等于它的 倍，求这个两位数的“和谐差” ； （3）已知某三位数 (其中，， 且， 为整数) ， 若它的“和谐差” 能被整除，求出这个三位数 所有可能的数值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的“和谐数”，再求出“和谐差”即可； （2）设数的十位数字为，则个位数字为，得出，，再根据它的“和谐数”等于它的倍求出，结果即可求得； （3）先求出“和谐差”，化简后根据题目要求罗列出可能结果． 【小问1详解】 解：∵的“和谐数”为， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设数的十位数字为，则个位数字为， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴的“和谐数”， ∴， ∵其中，， 且，为整数， ∴， ∵ 能被整除， ∴是正整数， ∴或或或， ∴三位数所有可能的数值为：． 【点睛】本题考查了新定义计算，整式加减的应用，绝对值意义，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握定义． 25. 如图，数轴上三个点A，B，C表示的数分别为a，b，c，其中a，c满足，点B在A、C之间，且．数轴上的两个动点P，Q分别从A，C两点同时出发向右运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒． （1）直接写出 （2）若当运动时间为t秒时，线段的中点M与线段的中点N的距离为2，请求出t的值； （3）若点D从原点出发以2单位长度/秒的速度向右运动，且与P、Q两点同时出发．当点P追上点D 后立即以原速返回A点，当点P回到A点时三点都立即停止运动．在点P返回的过程中，存在常数k，使得运动时间t在某个时间段内为定值，请求出这个时间段和k的值． 【答案】（1）；；5 （2）5或9 （3）当时，；当时， 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据非负数的性质可求出a、c的值，根据结合数轴上两点距离计算公式可建立关于b的方程，解方程即可得到答案； （2）求出运动t秒时点P表示的数和点Q表示的数，进而求出点M和点N表示的数，根据点M和点N的距离为2建立方程求解即可； （3）列方程求出点P追上点D的时间，进而求出点P从出发到回到点A的时间，表示出点P返回途中表示的数，进而表示出，根据为定值，即的值与t无关进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ∴， ∴， ∵点B在A、C之间，且， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由题意得，运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∵点M和点N的距离为2， ∴， ∴， ∴或， 解得或； 【小问3详解】 解：运动秒时，点P追上点D， 由题意得，， 解得， ∴运动16秒时，点P追上点D，此时点P表示的数为， ∴在点P返回的过程中，点P表示的数为，且点P从出发到回到点A的时间为秒， ∴，， 当，即时，， ∴ ， ∵为定值，即的值与t无关， ∴， ∴， ∴当时，； 当，即时，， ∴ ， ∵为定值，即的值与t无关， ∴， ∴， ∴当时，； 综上所述，当时，；当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $