精品解析：湖南省湖南新高考教学教研联盟2025-2026学年高一上学期12月学情检测数学试题

2025年 12 月高一学情检测卷 数学 （A 卷） 时量：120分钟 满分:150分 （考试范围：必修第一册第1章~第4章） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 命题＂，使得＂的否定形式是（） A. ，使得 B. ，都有 C. ，使得 D. ，都有 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上是增函数，关于y轴对称，若成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. （1，3） C. D. 6. 已知函数在区间[0，5]上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.02，则至少需要计算中点函数值的次数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 若实数，，满足 ，则，，的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若当时，，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对任意实数x，y，z，下列命题是真命题的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 是“”的充要条件 C. “”是不等式成立的充要条件 D. “”是“”的充分不必要条件 10. 已知实数a，b都是正数，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 11. 设函数和是定义在上的非常数函数，.且对任意，都有，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若为非零函数，则为奇函数 C. 若，则 D. 若为奇函数且在上单调递增，则对任意成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，则该幂函数的定义域是___________. 13. 我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为 18 mg/m³.为满足此要求，某地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：mg/m³）与处理时间（单位：分钟）满足关系式： 其中为二氧化硫的初始浓度.若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为100mg/m³，那么从现在起至少经过__________分钟才能达到排放标准.（结果精确到整数，，） 14. 已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围. 16. （1）已知关于x的不等式 对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围. （2）已知a为实数，解关于x的不等式:. 17. 在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数的定义域为，且具有如下性质：①为奇函数，为偶函数；②（常数是自然对数的底数， 利用上述性质，解决以下问题： （1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式，并证明 （2）设函数 若在上的最小值为6，求实数的值. 18. 已知，且恒成立，当时等号成立，. （1）证明： ，并说明取等号的条件； （2）证明，； （3）已知满足，满足，比较与的大小. 19. 给定函数，对于任意.函数表示中的最大者.记为.函数表示中的最小者.记为. （1）用解析式表示，并求出的解集； （2）证明：； （3）设，若对任意.都有，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年 12 月高一学情检测卷 数学 （A 卷） 时量：120分钟 满分:150分 （考试范围：必修第一册第1章~第4章） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得和，结合补集的运算，即可求得阴影部分表示的集合. 【详解】由全集，集合， 可得，所以阴影部分表示的集合为. 故选：C. 2. 命题＂，使得＂的否定形式是（） A. ，使得 B. ，都有 C. ，使得 D. ，都有 【答案】D 【解析】 【分析】全称命题的否定形式为特称命题，将条件中命题修改，再否定结论. 【详解】因为否定全称量词命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词， 存在量词改写为全称量词，二是要否定结论， 故命题“，使得”的否定形式是： “，都有”． 故选：D 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数奇偶性和特殊点函数值即可判断. 【详解】函数定义域为， 又， 所以函数为奇函数，排除BC， 又，排除D， 故选：A 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，进而根据“同增异减”求得答案. 【详解】由，得，则的定义域为. 令，则在上单调递减，而当时，为增函数，当时，为减函数，故的单调递增区间是 故选：C 5. 已知函数在上是增函数，关于y轴对称，若成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. （1，3） C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得出关于对称，再结合其单调性得出，解不等式即可. 【详解】因关于y轴对称，则关于对称， 因，则， 因函数在上是增函数，则，即，得， 故实数t的取值范围是. 故选：A 6. 已知函数在区间[0，5]上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.02，则至少需要计算中点函数值的次数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】经过次二分以后区间长度为，要求近似解的绝对误差不超过0.02得，求出. 【详解】设至少需要计算中点函数值的次数为； 区间[0，5]长度为，经过次二分以后区间长度为，要求近似解的绝对误差不超过0.02，所以，化简得到， 因为，所以，所以； 故选：C 7. 若实数，，满足 ，则，，的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，，的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】令，， 则，，，. 在同一坐标系中作出函数，，，的图象，如图： 由图可知： 当时，； 当时，； 当时，. 故ACD均有可能，B不可能成立. 故选：B 8. 已知函数，若当时，，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时， ，得，令，得，再利用对勾函数的单调性求解． 【详解】当时， ， 得， 得， 得， 得， 由，得，， 得，又 得， 令，得， 由对勾函数知，在上递增，得， 故， 得或， 故选：A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对任意实数x，y，z，下列命题是真命题的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 是“”的充要条件 C. “”是不等式成立的充要条件 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】A根据集合之间的包含关系判断；B D必要性举反例；C解分式不等式. 【详解】，则“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 若则必有，但若，，则不成立，故B错误； ，则或，得，故C错误； 若，则；反之，若，则但， 故“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：AD 10. 已知实数a，b都是正数，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式及“1”的妙用求出最小值判断AC；利用二次函数求出最小值判断B；利用一元二次方程判别式求出最大值判断D. 【详解】对于A，由，得，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，由，得， 则，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，因为， 则， 当且仅当，即时取等号，C错误； 对于D，令，则，而，于是， 由关于的一元二次方程有解，得， 解得，则， 即取得最大值，此时，D正确. 故选：AD 11. 设函数和是定义在上的非常数函数，.且对任意，都有，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若为非零函数，则为奇函数 C. 若，则 D. 若为奇函数且在上单调递增，则对任意成立 【答案】ABD 【解析】 【分析】合理的进行赋值，结合已知条件以及奇偶性的定义，分别检验各选项即可判断． 【详解】对于A，令，代入得 ， 因为，所以，A正确； 对于B，若为非零函数，令， 代入原式：，， 设，则，故为奇函数，B正确； 对于C，若，令，所以， 令，所以， 令，，所以， 所以，所以，C错误； 对于D，若为奇函数且在上单调递增，结合， 时，；时，； 令，得， 当时，，故； 当时，，故； 当时，，因此对任意成立，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，则该幂函数的定义域是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再求出其定义域. 【详解】设，由的图象过点，得，解得， 因此，其定义域为， 所以该幂函数的定义域是. 故答案为： 13. 我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为 18 mg/m³.为满足此要求，某地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：mg/m³）与处理时间（单位：分钟）满足关系式： 其中为二氧化硫的初始浓度.若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为100mg/m³，那么从现在起至少经过__________分钟才能达到排放标准.（结果精确到整数，，） 【答案】17 【解析】 【分析】由题意得到不等式，两边取对数进行求解，得到答案. 【详解】由题意得，两边取对数得， 解得， 结果精确到整数，故从现在起至少经过分钟才能达到排放标准. 故答案为：17 14. 已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____. 【答案】或 【解析】 【分析】先作出函数的图象，再令，则，易得，且关于的方程必有两个不等实根，设为，再分，和三种情况讨论即可. 【详解】作出函数的图象如图所示， 令，则， 若原方程有6个不相等的实数根， 则，且关于的方程必有两个不等实根，设为， 当时， 代入，则，解得， 此时关于的方程为，解得，满足题意； 当，且时，令， 则函数有两个大于的不等零点， 因为函数的图象过点， 则，解得， 即； 当时，因为函数的图象过点， 则，无解， 综上所述，实数a的取值范围为或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） ，； （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，结合集合补集、交集、并集的定义进行求解即可； （2）根据子集的运算性质、结合补集的定义进行求解即可. 【小问1详解】 当时，， ，或， ， ， ； 【小问2详解】 由（1）可知， 当时，显然成立，此时，解得， 当时，此时，解得， 要想，只需，而，所以， 综上所述：实数a的取值范围为. 16. （1）已知关于x的不等式 对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围. （2）已知a为实数，解关于x的不等式:. 【答案】（1）； （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，按是否为0分类，再利用一元二次不等式恒成立列式求解. （2）将给定不等式两边平方化成含参数的一元二次不等式，再按对应方程根的大小分类求解. 【详解】（1）不等式 对任意实数x恒成立， 当时，恒成立，则符合题意； 当时，，解得， 所以实数m的取值范围是. （2）不等式， 则， 当，即时，； 当，即时，解得； 当，即时，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 17. 在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数的定义域为，且具有如下性质：①为奇函数，为偶函数；②（常数是自然对数的底数， 利用上述性质，解决以下问题： （1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式，并证明 （2）设函数 若在上的最小值为6，求实数的值. 【答案】（1）；证明： 由， 又，， 所以， 所以； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，解出即可求解，进而得证； （2）由（1）的结论求出，利用换元法，结合二次函数分和两种情况求出最小值即可. 【小问1详解】 由题意有：，又因为为奇函数，为偶函数， 所以，又，解得， 所以， 证明略 【小问2详解】 由（1）有：， 令，则，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，令， 当时，函数在上单调递增，所以， 解得或，又，所以， 当时，，解得， 又，所以， 综上有：或. 18. 已知，且恒成立，当时等号成立，. （1）证明： ，并说明取等号的条件； （2）证明，； （3）已知满足，满足，比较与的大小. 【答案】（1） 证明：由题可知恒成立，所以利用替换得； 当时，两边同时取对数得，当时取等号， 故，当等号成立. （2） 证明：由（1）知，当且仅当时等号成立， 令 ,则； 所以； 所以得证. （3） 【解析】 【分析】（1）由恒成立，得到，两边同时取对数得即可证明； （2）由，令 ,则，两侧分别令累加，再利用对数的运算即可证明； （3）先根据条件化简得到和，构造函数，得到再化简得到，则可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，，所以； 又因为，，所以； 即； 令，则； 又因为为增函数，故，即， 代入得到 ； 又因为，所以. 19. 给定函数，对于任意.函数表示中的最大者.记为.函数表示中的最小者.记为. （1）用解析式表示，并求出的解集； （2）证明：； （3）设，若对任意.都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 证明：当函数时， ， ∴成立， 当函数时， ， ∴成立， ∴恒成立. （3） 【解析】 【分析】（1）由函数图象可知的解析式，然后列不等式解得的解集； （2）由函数的定义即可证明； （3）由（2）结论，根据解析式求得函数，使得函数，然后分别由函数单调性求出函数在区间的值域，根据题意列出不等式即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 由函数和的图象可知 ， 当时，；当时，，解得， ∴；当时，. ∴. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，， 即，， ∴， 由（2）可知. 当时，在区间上调递增，所以， ∵，∴， ∵对任意.都有，即对任意.都有， ∴恒成立， 令函数 因为函数在上单调递增，且， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $