专题07 直角三角形中的边角关系 7大高频考点（期末真题汇编，山西专用）九年级数学上学期

专题07 直角三角形中的边角关系 7大高频考点概览 考点01 锐角三角函数 考点02 特殊角的三角函数值 考点03 解直角三角形 考点04 仰角、俯角问题 考点05 坡度、坡比问题 考点06 方位角问题 考点07 其他问题 地 城 考点01 锐角三角函数 一、 单选题 1．（24-25九年级下·山西长治·期末）如图，的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，，D是边上的任意一点，将沿着边翻折，点D的对应点是点E，将沿着边翻折，点D的对应点是点F，连接，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·山西晋中·期末）如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（   ）米． A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在Rt中，．若，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在矩形中，是的中点，的平分线交于点，将沿折叠，点恰好落在上的点处，延长，交于点．下列结论不一定成立的是（   ） A． B．垂直平分 C．平分 D． 6．（24-25九年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则的正弦值为 ． 8．（24-25九年级上·山西临汾·期末）在中，，若，，则 ． 9．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在中，，的垂直平分线交边于点，若，则 ． 10．（24-25九年级下·山西晋中·期末）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是 ． 地 城 考点02 特殊角的三角函数值 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）的值为（  ） A．1 B． C． D．2 2．（24-25九年级上·山西大同·期末）已知是锐角，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·山西晋中·期末）在△ABC中，若|sinA-|+(1-tanB)2=0，则∠C的度数是(   ) A．45° B．60° C．75° D．105° 2、 填空题 4．（24-25九年级下·山西晋中·期末）已知为锐角，且，则度数等于 度． 5．（24-25九年级下·山西临汾·期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则∠A＝ . 三、解答题 6．（24-25九年级上·山西临汾·期末）计算：； 7．（24-25九年级上·山西长治·期末）计算：． 8．（24-25九年级上·山西运城·期末）综合与探究 问题情景： （1）如图1，在中，，，点D是边上任一点（不与A，B重合），连接，将绕点C顺时针方向旋转，得到，连接，．问与之间有怎样的关系？请说明理由． 猜想计算： （2）在（1）的条件下，如图2，若，求的度数； 深入探究： （3）如图3，四边形中，，，若对角线，相交于点O，直接写出，与的数量关系． 地 城 考点03 解直角三角形 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，，，点A在上，四边形是矩形，连接、交于点E，连接交于点F．下列4个判断：①平分；②；③；④若点G是线段的中点，则为等腰直角三角形．正确判断的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，点、、在边长为的正方形网格格点上，则 ． 3．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在中，，，点在边上，连接，以为斜边在其上方作等腰直角三角形，与交于点，连接．若，，则的长为 ． 4．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，点是外一点，，与相交于点，且，连接．若，，则的长为 5．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在中，平分为的中点，连接的平分线交于点．若，则的长为 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，，，D、E分别为、上的点，且，，则的长为 ． 7．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，．是边上的中线，点O是的中点，连接并延长交于点E．若，则的长为 ． 8．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为 ，线段DH长度的最小值为 ． 三、解答题 9．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图在中，． (1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． ①作的平分线，交于点D； ②作线段的垂直平分线，分别交，于点O，E； ③以点O为圆心，长为半径作，交于另一点F． (2)推理与计算：若，，求的长． 10．（24-25九年级上·山西临汾·期末）综合与探究 问题情境： 如图，在四边形中，，且．动点M从B点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，动点N同时从C点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，设运动时间为t秒． 独立思考：（1）_____________．_____________（用含t的代数式表示）． （2）当时，求t的值． 深入探究： （3）当是等腰三角形时，直接写出t的值． 11．（24-25九年级上·山西临汾·期末）综合与探究 问题情境： 在数学活动课上，同学们用两个全等的矩形纸片和探究旋转的性质，将矩形纸片绕点逆时针旋转，其中． 初步探究： （1）如图1，连接，在矩形纸片旋转的过程中，的值为___________； 问题解决： （2）如图2，连接，当点恰好落在上（不与点重合）时，与边交于点，延长交边于点，求的长； （3）连接，当时，请直接写出的面积． 12．（2024·浙江杭州·二模）综合与实践 【问题情境】 如图，在正方形中，点在线段上，点在线段上，且始终满足．连接，，将线段绕点逆时针旋转一定角度，得到线段（点是点旋转后的对应点），并使点落在线段上，与交于点． 【初步分析】 （1）线段与的数量关系为______，位置关系为______； 【深入分析】 （2）如图②，再将线段绕点逆时针旋转90°，得到线段（点是点旋转后的对应点），连接，请判断四边形的形状，并说明理由： （3）如图③，若点落在的延长线上，且当点恰好为的中点时，设与交于点，，求的长． 地 城 考点04 仰角、俯角问题 一、解答题 1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图（1），应县木塔（又名佛宫寺释迦塔）位于山西省朔州市，建于公元1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木结构楼阁式建筑．1961年，国务院公布其为全国重点文物保护单位．2016年9月，应县木塔被吉尼斯世界纪录认证为“世界最高的木塔”．如图（2），数学活动小组的同学想要测量应县木塔的高度，在点处用高为的测角仪，测得塔顶端的仰角为，沿方向前进后到达点处，此时测得塔顶端的仰角为．测量点，与塔的底部在同一水平线上，且，，，，，六点在同一竖直平面上．求应县木塔的高度． （结果精确到．参考数据：，，，，，） 2．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，小明在处测得小土坡上松树（垂直地面）顶端的仰角，后退10米到达处，分别测得松树顶端的仰角，松树底部的仰角．已知点，，，，均在同一平面上，求松树的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，，） 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）太谷白塔位于太谷区西南隅，建于北宋元佑年间，是一座具有1700多年历史的八边形七级楼阁式砖木结构塔，是我国八大白塔之一．某校综合与实践小组测量白塔的高度，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 太谷白塔 测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 1．先将无人机从地面的点G处垂直上升至点P，测得塔的顶端A的俯角为； 2．再将无人机从点P处沿水平方向飞行至点C，然后沿垂直方向上升至点Q．此时，测得塔的顶端A的俯角，图中各点均在同一竖直平面内． 测量示意图 请根据以上测量数据，求太谷白塔的高度（结果精确到，参考数据：）． 4．（24-25九年级上·山西晋中·期末）鹳雀楼位于山西省永济市蒲州古城西面的黄河东岸，始建于北周时期，是现存最大的仿唐建筑，如图1．某校综合实践小组的同学要测量鹳雀楼的高度，他们借助无人机设计了如下测量方案：如图2，先将无人机垂直上升至距离地面的点处，测得楼顶的俯角为；再将无人机水平飞行到达点处，测得楼底的俯角为，已知点，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求鹳雀楼的高度．（结果精确到；参考数据：，， 5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）随着传统能源的日益紧缺，太阳能的应用将会越来越广泛，尤其太阳能发电领域在短短的数年时间内已发展成为成熟的朝阳产业．如图1，是一款太阳能路灯实物图；如图2，是我校兴趣小组测量太阳能路灯高度及灯臂长度的实践活动示意图，其中测倾器的高度为1.5米，点O、F、N在水平地面的同一直线上，在测点F处安置测倾器，测得电池板顶端点C的仰角，在与点F相距3米的测点N处安置测倾器，测得灯罩顶端点A的仰角，点B为灯臂与路灯立柱的连接点（点A、B与M在一条直线上），，测得米．（参考数据：，，结果精确到0.01） (1)求电池板顶端点C离地面的高度； (2)求灯臂的长度． 6．（24-25九年级上·山西大同·期末）太谷白塔（如图1）是我国八大白塔之一，是一座具有1700多年历史的八边形七级楼阁式砖木结构塔．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量太谷白塔的高度，他们借助无人机设计了如下测量方案：如图2，无人机在距地面23.4米（米）的点处测得塔顶的仰角为．向靠近塔的方向水平飞行14.8米到达点，再次测得塔顶的仰角为，点，，，，在同一竖直平面内，点，在同一水平直线上，则太谷白塔的高度为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：，） 7．（24-25九年级上·山西运城·期末）如图，小明所在的数学小组测量计算学校国旗旗杆的高度，小明先在教学楼前台阶的底部点C处，测得旗杆顶端A的仰角为，然后他上到台阶顶端点D处，再测旗杆顶端A的仰角为，已知教学楼前台阶的斜坡的坡度为，台阶斜坡的铅直高度为2米，求旗杆的高度．（参考数据：，，） 地 城 考点05 坡度、坡比问题 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图为某公园中的滑梯，为台阶，为滑道，立柱垂直于地面与地面的夹角为，与地面的夹角为，若米，则滑道的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25九年级下·山西晋中·期末）某防洪大堤的横断面如图所示，背水坡坡面的长度为，坡度为（坡度为坡面的铅直高度与水平宽度的比），汛期来临前要对背水坡进行加固，改造后的背水坡坡面的坡度为，改造后背水坡的长度为（     ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝．常见的屋顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等．图①中古建筑的屋顶，被称为“悬山顶”，它的左视图为轴对称图形，如图②所示，已知屋檐米，屋顶到支点的距离米，墙体高米，屋面坡角．求点到地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 4．（24-25九年级上·山西太原·期末）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且、、三点在一直线上如图所示．假设测角仪器的高度忽略不计，求点离地面的距离结果精确到米．(参考数据：，，，) 5．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，欲拆除一座垂直于地面的烟囱，距烟囱水平距离米的处有坡度为，坝高（即）米的背水坡大坝，在坝顶处测得烟囱顶端的仰角为，，之间是宽为米的人行通道．为确保行人安全，在拆除烟囱时，是否需要将此人行通道封闭？并说明理由．（在地面上以点为圆心，以长为半径的圆形区域为危险区域）（参考数值：，） 6．（24-25九年级上·山西运城·期末）如图，某堤坝的横截面是梯形，已知坝顶，坝高，且，． (1)求斜坡的长度； (2)求坝底的长．（结果保留根号） 地 城 考点06 方位角问题 方位角问题 一、解答题 1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图是某风景区的局部简化示意图，风轩亭在翠微亭的正南方向，两亭被一座小山隔开，该风景区计划在，之间修建一条直通的景观隧道．为测量，两点之间的距离，在一条东西方向的小路上的点，处分别观测点，，测得点在点的北偏东方向上，点在点的北偏东方向上，米，米．求，两点之间的距离．（结果精确到米．参考数据：，，，，） 2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）汾河是黄河的第二大支流，自北向南，纵贯山西，被山西人称为母亲河，对山西省的历史文化有着深远的影响．某项目学习小组的同学想要测量某段汾河的宽度，他们设计了如下测量方案：如图，在该段汾河的对岸岸边任取一点，再在河的这边取两点，在点处测得与河岸的夹角为，在点处测得与河岸的夹角为两点间的距离为． (1)求该段汾河的宽度（即中边上的高）；（结果精确到；参考数据：） (2)请再设计一种测量该段汾河宽度的方案．（要求：画出测量示意图，并简要说明测量方案及测量数据） 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，为了测量小池塘点和点之间的距离，在直线下方选择一点，测量点位于点北偏西的方向，点位于点北偏东的方向，测得，求小池塘之间的距离．（参考数据：，，，，，） 4．（24-25九年级上·山西晋中·期末）2024年夏季，某地发生洪涝灾害，致使许多地方因被淹而出现险情，两地的甲乙两支救援队接到转移处受困群众的任务．已知地在地的北偏西，距离地40千米，点M在地的南偏西方向上，求的长．（结果精到千米，参考数据：） 5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，甲、乙两位旅游爱好者都从点出发，走不同路线探险，并约定在点处会合．甲从点出发先沿着正东方向行走到达点处，再沿着正北方向行走到达点；乙亦从点出发，沿着东北方向行走到点处，再由点处沿着南偏东方向行走到达点，与甲会合．    (1)求点到的距离； (2)为方便联系，甲、乙两人各携带一部对讲机，对讲机信号覆盖半径是米，当甲在点处，乙恰好在点处，此时乙能否收到甲的对讲机信号？请说明理由． 6．（24-25九年级上·山西临汾·期末）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 地 城 考点07 其他问题 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）北岳恒山位于大同市浑源县，与东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、中岳嵩山并称为中华五岳．如图是恒山景区内一段索道的示意图，若索道上两点间的距离为，这段索道与铅垂方向的夹角，则当缆车沿索道从点处运行到点处时，缆车上升的垂直高度为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25九年级上·山西长治·期末）在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄可绕着转轴B旋转．已知，．当托板与压柄夹角时，如图，点从点滑动了，此时连接杆的长度是 ．（参考数据：，，）（结果保留根号） 4．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，某种吊车由固定机架和四根连杆（其中AB，CD是固定连杆）组成．已知连杆AB＝12米，CD＝10米，CE＝9米，其支点A， D的距离为5米，支点B， C的距离为3米，点A， D到地面l的垂直高度分别为4米和8米．当EC和CD共线时（如图1），点B到地面l的距离为 米；改变连杆之间的夹角使CE与l平行（如图2），则点E下降的高度为 米． 三、解答题 5．（24-25九年级上·山西大同·期末）小宇同学使用的护眼灯如图（1）所示，该护眼灯是大面积柔光台灯，圆形大面光源均匀漫射光，金属平行双杆，滑动无极调光，显色指数高，经过对它的认真观察操作，小宇得到它的侧面简化结构图如图（2）所示（图中所有的点都在同一平面内），其中圆形底座的侧面视图为矩形，点A，B，F共线，支撑底座，旋转支架可绕点B旋转，接头，连接杆和圆形大面光源的直径共同组成的线段DE可绕点D旋转，上、下调节一定的角度，且，，，，，圆形大面光源中心M到点D的距离．小宇经使用发现：当，时，台灯光线最佳．求此时圆形大面光源中心M到桌面的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 6．（24-25九年级上·山西临汾·期末）“复矩尺”是我国唐朝时期张遂（也称一行和尚）研究天文时制作的工具，其构造如图：组成直角的两边一长一短，角间有一弧形刻度，角顶点处有一丝线系一铜锤，用来测量北极星方向与水平线的夹角（图中的角）．小明用自制的复矩尺用来测量操场上的旗杆高度，小明将复矩尺的长边对准旗杆顶部，测得点到地面距离，旗杆底部到的距离，．请帮小明计算出旗杆的高度．（参考数据：，，） 7．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．    (1)当悬臂与桌面平行时，=___________° (2)问悬臂端点到桌面的距离约为多少？ (3)已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 直角三角形中的边角关系 7大高频考点概览 考点01 锐角三角函数 考点02 特殊角的三角函数值 考点03 解直角三角形 考点04 仰角、俯角问题 考点05 坡度、坡比问题 考点06 方位角问题 考点07 其他问题 地 城 考点01 锐角三角函数 一、 单选题 1．（24-25九年级下·山西长治·期末）如图，的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理以及求一个角的正切值的知识，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键．根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求，再根据三角函数的意义可求出的值． 【详解】解：如图，取网格点D，连接， 由网格图，可得：，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，，D是边上的任意一点，将沿着边翻折，点D的对应点是点E，将沿着边翻折，点D的对应点是点F，连接，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由翻折的性质可得, ，进而可得，．再由可得，从而可得，又由可得，从而可得，由此即可得解． 【详解】解：由翻折的性质可得， ，，， 又， ，，， ， ， ， ， ∵四边形的内角和， ， 即， ， ， 在中，，， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折的性质、全等三角形的性质、三角形内角和定理、四边形内角和定理、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角函数的定义．考查的知识点多，综合能力较强，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．（24-25九年级下·山西晋中·期末）如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（   ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：D． 4．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在Rt中，．若，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，根据进行求解即可． 【详解】解：∵在Rt中，， ∴． 故选：B 5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在矩形中，是的中点，的平分线交于点，将沿折叠，点恰好落在上的点处，延长，交于点．下列结论不一定成立的是（   ） A． B．垂直平分 C．平分 D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质，矩形的性质与角平分线的性质，可证得；求得，则可得；证得是等腰三角形，但无法判定是等边三角形；故可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得：，， 即， ∵平分， ∴， ， 在与中，， ∴， ∴， ， ， ∴平分；故C正确； ∵， ∴， ， ， 即， ∴垂直平分，故B正确； ， ， ， ， ， ∴；故D正确； ∵， ∴， ， ∴是等腰三角形， ∴不一定等于，不能判断，故A错误． 故选：A． 【点睛】此题考查了折叠的性质，矩形的性质，角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，角的正切．此题难度适中，证得是解题的关键． 6．（24-25九年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理，可得与的关系，根据正弦函数的定义，可得答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，先利用勾股定理得出与的关系，再利用正弦函数的定义． 二、填空题 7．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则的正弦值为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，三角形的正弦．过点B作于点D，过点A作，交的延长线于点E．由题意可得，，，，根据的面积即可求出，再根据正弦的定义即可解答． 【详解】解：过点B作于点D，过点A作，交的延长线于点E． 由题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 8．（24-25九年级上·山西临汾·期末）在中，，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正切的定义即可求解．解答本题的关键要熟练掌握正切的定义：锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作． 【详解】解：在中，，，， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在中，，的垂直平分线交边于点，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，求解三角函数值，先证明，，结合勾股定理可得，再利用锐角的正切可得答案． 【详解】解：如图，的垂直平分线交边于点，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 10．（24-25九年级下·山西晋中·期末）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】过作于，根据正切函数的定义求解即可． 【详解】过作于， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是构建直角三角形并掌握正切函数的定义． 地 城 考点02 特殊角的三角函数值 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）的值为（  ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，计算，选取答案即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 2．（24-25九年级上·山西大同·期末）已知是锐角，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据是锐角，且得出，再求其正切值，即可求解． 【详解】解：∵是锐角，且 ∴， ∴ 故选：C． 3．（24-25九年级下·山西晋中·期末）在△ABC中，若|sinA-|+(1-tanB)2=0，则∠C的度数是(   ) A．45° B．60° C．75° D．105° 【答案】C 【分析】先根据非负数的性质求出sinA及tanB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的值，由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】∵|sinA−|+(1−tanB)2=0， ∴sinA=，tanB=1， ∴∠A=60°，∠B=45°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°． 故选C． 【点睛】（1）非负数的性质：几个非负数的和等0，这几个非负数都为0；（2）三角形内角和等于180°. 2、 填空题 4．（24-25九年级下·山西晋中·期末）已知为锐角，且，则度数等于 度． 【答案】24-25九年级下·山西晋中·期末 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值解决问题即可． 【详解】解：，为锐角， ， 故答案为：． 5．（24-25九年级下·山西临汾·期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则∠A＝ . 【答案】60° 【分析】根据题意画也图形，求得sin∠A的值，从而得出∠A的度数. 【详解】如图所示： sin∠A=,所以∠A＝60o. 故答案是：60o. 【点睛】考查了锐角三角函数的定义及特殊三角函数值，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值，根据数形结合解答． 三、解答题 6．（24-25九年级上·山西临汾·期末）计算：； 【答案】； 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及整数指数幂、特殊角三角函数及立方根；考查了解一元二次方程； （1）依次计算负整数指数幂、立方根、60度的正弦值及零指数幂，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ；                              7．（24-25九年级上·山西长治·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数特殊角三角函数值的混合运算、零次幂、二次根式的混合运算等知识点，牢记特殊角的三角函数值成为解题的关键． 先运用零次幂、特殊角的三角函数值、算术平方根、绝对值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 8．（24-25九年级上·山西运城·期末）综合与探究 问题情景： （1）如图1，在中，，，点D是边上任一点（不与A，B重合），连接，将绕点C顺时针方向旋转，得到，连接，．问与之间有怎样的关系？请说明理由． 猜想计算： （2）在（1）的条件下，如图2，若，求的度数； 深入探究： （3）如图3，四边形中，，，若对角线，相交于点O，直接写出，与的数量关系． 【答案】（1），且，见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由旋转的性质可得，由可得，进而可得， ，从而可得，即． （2）由可得．由可得．由可得，从而可得，在中，由可得，从而可得． （3）由已知条件可知四边形的对角互补，将将绕点C顺时针旋转得，则可得，且是等腰直角三角形，从而得，则可得 【详解】解：（1），且，理由如下： ∵在中，，， ， ∵将绕点C顺时针方向旋转，得到， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ∴与之间的关系为且； （2）， ， ， ， ∵中， ， ， ，且， ， ， ， ； （3）∵四边形中， ， ， ,， ∴将绕点C顺时针旋转得， 与重合， ，，， ， ∴A、B、E三点共线， 在中, ，， ， ∴， 又∵， ， ∴，与的数量关系为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，四边形内角和定理，勾股定理以及特殊角的三角函数值．熟练掌握以上知识，并且正确的作出辅助线是解题的关键． 地 城 考点03 解直角三角形 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，，，点A在上，四边形是矩形，连接、交于点E，连接交于点F．下列4个判断：①平分；②；③；④若点G是线段的中点，则为等腰直角三角形．正确判断的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】①，先说明△OBD是等腰三角形，再由矩形的性质可得DE=BE，最后根据等腰三角形的性质即可判断；②证明△OFA≌△OBD即可判断；③过F作FH⊥AD，垂足为H,然后根据角平分线定理可得FH=FA,再求得∠HDF=45°，最后用三角函数即可判定；④连接AG,然后证明△OGA≌△ADE,最后根据全等三角形的性质和角的和差即可判断． 【详解】解：①∵ ∴△OBD是等腰三角形 ∵四边形是矩形 ∴DE=BE=BD，DA⊥OB ∴平分，OE⊥BD故①正确； ②∵OE⊥BD, DA⊥OB，即∠DAO=∠DAB ∴∠EDF+∠DFE=90°，∠AOF+∠AFO=90° ∵∠EDF=∠AOF ∵DA⊥OB， ∴OA=AD 在△OFA和△OBD中 ∠EDF=∠AOF ,OA=AD,∠DAO=∠DAB ∴△OFA≌△DAB ∴OF=BD,即②正确； ③过F作FH⊥OD，垂足为H, ∵平分，DA⊥OB ∴FH=AF ∵，DA⊥OB ∴∠HDF=45° ∴sin∠HDF=,即；故③正确； ④由②得∠EDF=∠AOF， ∵G为OF中点 ∴OG=OF ∵DE=BE=BD，OF=BD ∴OG=DE 在△OGA和△AED中 OG=DE, ∠EDF=∠AOF，AD=OA ∴△OGA≌△AED ∴OG=EF,∠GAO=∠DAE ∴△GAE是等腰三角形 ∵DA⊥OB ∴∠OAG+∠DAG=90° ∴∠DAE+∠DAG =90°,即∠GAE=90° ∴△GAE是等腰直角三角形，故④正确． 故答案为A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质以及解直角三角形等知识点，考查知识点较多，故灵活应用所学知识成为解答本题的关键． 二、填空题 2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，点、、在边长为的正方形网格格点上，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握解直角三角形的性质是解题的关键； 如图，标记格点、、，连接，根据勾股定理，求得的长度，进而求得的长度，进而求解的值； 【详解】解：如图，标记格点、、，连接； ，均为等腰直角三角形， ， ， 标记格点，， 中，，， ， 中，， ， 中，； 故答案为： 3．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在中，，，点在边上，连接，以为斜边在其上方作等腰直角三角形，与交于点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 根据题意证明，可得，求出，，在中，由勾股定理得：，所以，证明可得，设，则，所以，在中，由勾股定理得：，即，解出的值，即可得到答案． 【详解】解：由题意知， ， 又， ， ， 又， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ，， ， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（舍去），， ， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，点是外一点，，与相交于点，且，连接．若，，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，利用辅助线构建直角三角形是解题的关键．过点作于点，可推出，得到，在中，利用三角函数和勾股定理求得、，在中，利用和勾股定理求得、，从而求得，可推出，即可证，进而求得，最后在中，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，过点作于点，则． ，， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ，即， ， ， ， ，， ， ， ． 在和中， ，，， ， ， ， ． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在中，平分为的中点，连接的平分线交于点．若，则的长为 【答案】 【分析】利用含角的直角三角形的相关性质求出的长，利用角平分线定义求出，用三角形函数求出的长，用三角形内角和角平分线定义等知识得到，连接，过作，垂足为M，先利用勾股定理求出的长，再利用平行线分线段成比例求出的长，从而得出结果． 【详解】解： 在中，， ，， 平分， ， ， ， 为中点， ， ， ， 平分， ， 如图，连接，过作，垂足为M， 为中点，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，角平分线的性质，含角的直角三角形的相关性质，三角形外角性质，直角三角形斜边中线为斜边的一半，平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，，，D、E分别为、上的点，且，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形、三角形内角和定理、等腰直角三角形的判定与性质，作于，于，求出，由勾股定理可得，结合题意可得，，从而得出，由等边对等角可得，由等面积法得出，求出，，，，进而可得，设，则，证明为等腰直角三角形，得出，求出，得到，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，作于，于， ， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，．是边上的中线，点O是的中点，连接并延长交于点E．若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，直角三角形斜边上的中线定义斜边的一半，解直角三角形，等腰三角形的性质，作于点F，先求出，，证明，求出，根据勾股定理求出结论即可得到结论． 【详解】解：作于点F， ∵，为边上的中线，， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为 ，线段DH长度的最小值为 ． 【答案】 3 ﹣ 【分析】连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O作ON⊥CD于N．首先利用相似三角形的性质证明EM=2FN，推出EM=2，FM=1，当点P与A重合时，PQ的值最大，解直角三角形求出OD，OH即可解决问题． 【详解】连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O作ON⊥CD于N． ∵四边形ABCD是矩形，DF=CF，AE=EB， ∴四边形ADFE是矩形， ∴EF=AD=3， ∵FQ∥PE， ∴△MFQ∽△MEP， ∴， ∵PE=2FQ， ∴EM=2MF， ∴EM=2，FM=1， 当点P与A重合时，PQ的值最大， 此时PM=， MQ=， ∴PQ， ∵MF∥ON∥BC，MO=OB， ∴FN=CN=1，DN=DF+FN=3，ON=， ∴OD=， ∵BH⊥PQ， ∴∠BHM=90°， ∵OM=OB， ∴OH=BM=×， ∵DH≥OD﹣OH， ∴DH≥，由于M和B点都是定点，所以其中点O也是定点，当PQ垂直于OD时，O，H，D共线，此时DH最小， ∴DH的最小值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，梯形的中位线的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题 9．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图在中，． (1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． ①作的平分线，交于点D； ②作线段的垂直平分线，分别交，于点O，E； ③以点O为圆心，长为半径作，交于另一点F． (2)推理与计算：若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图中的画垂直平分线和角平分线，垂直平分线的性质，角平分线的性质，平行线的性质以及三角函数的计算．按要求画出垂直平分线和角平分线，熟练掌握三角函数的计算是解题的关键． （1）①以点为圆心，任意长度为半径画弧，叫和与点和，分别以点和为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则为的平分线； ②以点和为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点和，连接交，于点O，E，则为的垂直平分线； ③长为半径作，交于另一点F． （2）连接．根据垂直平分得到，再根据平分得到，通过等量代换得到进而得到，再根据平行线的性质得到，最后计算即可求出的长． 【详解】（1） ①作图如图所示． ②作图如图所示． ③作图如图所示． （2）解：如图，连接． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25九年级上·山西临汾·期末）综合与探究 问题情境： 如图，在四边形中，，且．动点M从B点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，动点N同时从C点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，设运动时间为t秒． 独立思考：（1）_____________．_____________（用含t的代数式表示）． （2）当时，求t的值． 深入探究： （3）当是等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】（1），；（2）；（3）或或 【分析】（1）根据运动速度和时间可得，，再根据线段的和差即可得； （2）过点作，交于点，先根据平行四边形的判定与性质可得，从而可得，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得； （3）先求出，再分三种情况：①，②和③，根据等腰三角形的三线合一、解直角三角形的方法建立方程，解方程即可得． 【详解】解：（1）由题意得：，， ∵， ∴， 故答案为：，． （2）如图，过点作，交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得． （3）由题意得：动点从点出发到终点所需时间为（秒），动点从点出发到终点所需时间为（秒）， ∴， ①当时，是等腰三角形， 则，解得，符合题意； ②当时，是等腰三角形， 如图，过点作于点， ∴， 在中，， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， ∴，且符合题意； ③当时，是等腰三角形， 如图，过点作于点， ∴， 在中，， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， ∴，且符合题意； 综上，当是等腰三角形时，的值为或或． 【点睛】本题考查了列代数式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一、解直角三角形、分式方程的应用等知识，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键． 11．（24-25九年级上·山西临汾·期末）综合与探究 问题情境： 在数学活动课上，同学们用两个全等的矩形纸片和探究旋转的性质，将矩形纸片绕点逆时针旋转，其中． 初步探究： （1）如图1，连接，在矩形纸片旋转的过程中，的值为___________； 问题解决： （2）如图2，连接，当点恰好落在上（不与点重合）时，与边交于点，延长交边于点，求的长； （3）连接，当时，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）16或64 【分析】（1）根据矩形的性质 ，从而有，又，得到，根据相似三角形的性质即可解答； （2）连接，交于点H，证明，得到，根据“三线合一”得到，，进而根据，，得到，通过解直角三角形得到，，，进而，，因此在中，，在中，，因此有，，根据，即可求出，从而即可解答； （3）分两种情况讨论，均证明点A，E，C在同一直线上，得到或，根据三角形的面积即可求解． 【详解】解：∵四边形，是矩形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）连接，交于点H， ∵在矩形和矩形中，， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ， ∴，， ∴在中，， 在中，， ∴，， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． （3）分两种情况讨论： ①如图，若， ∵， ∴， ∴点A，E，C在同一直线上， ∴在中，， ∴， ∵在矩形中，， ∴． ②如图，若， ∵在矩形中，， ∴与重合， ∴， ∴． 综上所述，当时， 的面积为16或64． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定及性质，锐角三角形函数解直角三角形，相似三角形的判定及性质，勾股定理等，综合运用相关知识，正确作出辅助线，掌握分类讨论思想是解题的关键． 12．（2024·浙江杭州·二模）综合与实践 【问题情境】 如图，在正方形中，点在线段上，点在线段上，且始终满足．连接，，将线段绕点逆时针旋转一定角度，得到线段（点是点旋转后的对应点），并使点落在线段上，与交于点． 【初步分析】 （1）线段与的数量关系为______，位置关系为______； 【深入分析】 （2）如图②，再将线段绕点逆时针旋转90°，得到线段（点是点旋转后的对应点），连接，请判断四边形的形状，并说明理由： （3）如图③，若点落在的延长线上，且当点恰好为的中点时，设与交于点，，求的长． 【答案】（1）；（2）四边形为菱形，理由见解析；（3） 【分析】（1）先根据正方形的性质，得出，再证明，结合旋转性质，得出，进行角的等量代换，即可作答； （2）根据旋转性质，得出，得出四边形是平行四边形，结合一组邻边相等，得证四边形是菱形； （3）先得出是的垂直平分线，进行角的等量代换以及直角三角形的两个锐角互补，得出，因为正方形的性质，得出，结合，进而求得,根据即可求解． 【详解】解：（1）；理由如下： ∵四边形是正方形 ∴， 又∵， ∴， ∴． 由旋转的性质，得， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， 即 （2）四边形为菱形，理由如下： 由旋转的性质，得， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （3）∵点是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴． 又∵， ∴ 又∵， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴在中， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解直角三角形的相关性质，菱形的判定，旋转性质等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 地 城 考点04 仰角、俯角问题 一、解答题 1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图（1），应县木塔（又名佛宫寺释迦塔）位于山西省朔州市，建于公元1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木结构楼阁式建筑．1961年，国务院公布其为全国重点文物保护单位．2016年9月，应县木塔被吉尼斯世界纪录认证为“世界最高的木塔”．如图（2），数学活动小组的同学想要测量应县木塔的高度，在点处用高为的测角仪，测得塔顶端的仰角为，沿方向前进后到达点处，此时测得塔顶端的仰角为．测量点，与塔的底部在同一水平线上，且，，，，，六点在同一竖直平面上．求应县木塔的高度． （结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】应县木塔的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握解题方法是本题的关键．连接并延长，交于点，设，在中，，在中，，得到，解得，即可得到的长． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点，由题意知，．设． 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， 解得， ， 答：应县木塔的高度约为． 2．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，小明在处测得小土坡上松树（垂直地面）顶端的仰角，后退10米到达处，分别测得松树顶端的仰角，松树底部的仰角．已知点，，，，均在同一平面上，求松树的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，，） 【答案】松树的高度约为16米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及仰角俯角，延长交于点，如图所示，在中，利用正切函数求出，在中，利用正切函数求出，数形结合表示出长度即可得到答案．熟记正切函数定义，求出线段长是解决问题的关键． 【详解】解：延长交于点，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得米， 在中，，， ∴（米）， ∴（米）， 答：松树的高度约为16米． 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）太谷白塔位于太谷区西南隅，建于北宋元佑年间，是一座具有1700多年历史的八边形七级楼阁式砖木结构塔，是我国八大白塔之一．某校综合与实践小组测量白塔的高度，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 太谷白塔 测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 1．先将无人机从地面的点G处垂直上升至点P，测得塔的顶端A的俯角为； 2．再将无人机从点P处沿水平方向飞行至点C，然后沿垂直方向上升至点Q．此时，测得塔的顶端A的俯角，图中各点均在同一竖直平面内． 测量示意图 请根据以上测量数据，求太谷白塔的高度（结果精确到，参考数据：）． 【答案】太谷白塔的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交于点，延长交于点，由题意得：，，，，，，然后设，则，分别在和中，利用解直角三角形求出的长，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：延长交于点，延长交于点，如图： 由题意得：，，，，，， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ， 太谷白塔的高度约为． 4．（24-25九年级上·山西晋中·期末）鹳雀楼位于山西省永济市蒲州古城西面的黄河东岸，始建于北周时期，是现存最大的仿唐建筑，如图1．某校综合实践小组的同学要测量鹳雀楼的高度，他们借助无人机设计了如下测量方案：如图2，先将无人机垂直上升至距离地面的点处，测得楼顶的俯角为；再将无人机水平飞行到达点处，测得楼底的俯角为，已知点，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求鹳雀楼的高度．（结果精确到；参考数据：，， 【答案】鹳雀楼的高度约为 【分析】本题考查了仰角俯角问题(解直角三角形的应用)，理解题意，易得，，，，，先求出，然后得，，最后根据线段和差关系列式计算，即可作答． 【详解】解：如图，延长交于点， 由题意，得，，，，， 在中，， ， 在中，， ， 答：鹳雀楼的高度约为． 5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）随着传统能源的日益紧缺，太阳能的应用将会越来越广泛，尤其太阳能发电领域在短短的数年时间内已发展成为成熟的朝阳产业．如图1，是一款太阳能路灯实物图；如图2，是我校兴趣小组测量太阳能路灯高度及灯臂长度的实践活动示意图，其中测倾器的高度为1.5米，点O、F、N在水平地面的同一直线上，在测点F处安置测倾器，测得电池板顶端点C的仰角，在与点F相距3米的测点N处安置测倾器，测得灯罩顶端点A的仰角，点B为灯臂与路灯立柱的连接点（点A、B与M在一条直线上），，测得米．（参考数据：，，结果精确到0.01） (1)求电池板顶端点C离地面的高度； (2)求灯臂的长度． 【答案】(1)7.5米 (2)1.62米 【分析】本题考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）延长交于点P，则四边形，为矩形，得到米，，求出，得到米，米，即可得解； （2）由矩形的性质可得米，解直角三角形可得米，求出米，得到米，证明，由相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：延长交于点P，则四边形，为矩形， ， ∴米，， ∵， ∴， ∴米，米， ∴． 答：电池板顶端点C离地面的高度为7.5米． （2）解：∵四边形为矩形， ∴米， 在中，∵， ∴米， ∵， ∴米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴米， 答：灯臂长为1.62米． 6．（24-25九年级上·山西大同·期末）太谷白塔（如图1）是我国八大白塔之一，是一座具有1700多年历史的八边形七级楼阁式砖木结构塔．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量太谷白塔的高度，他们借助无人机设计了如下测量方案：如图2，无人机在距地面23.4米（米）的点处测得塔顶的仰角为．向靠近塔的方向水平飞行14.8米到达点，再次测得塔顶的仰角为，点，，，，在同一竖直平面内，点，在同一水平直线上，则太谷白塔的高度为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：，） 【答案】太谷白塔的高度约为43.6米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，如答图，延长交于点，分别在和中，表示出和，然后得到求解即可． 【详解】如答图，延长交于点． 由题可知，，，，，． ∴四边形是矩形． ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴． 解得． ∴（m）． 答：太谷白塔的高度约为43.6米． 7．（24-25九年级上·山西运城·期末）如图，小明所在的数学小组测量计算学校国旗旗杆的高度，小明先在教学楼前台阶的底部点C处，测得旗杆顶端A的仰角为，然后他上到台阶顶端点D处，再测旗杆顶端A的仰角为，已知教学楼前台阶的斜坡的坡度为，台阶斜坡的铅直高度为2米，求旗杆的高度．（参考数据：，，） 【答案】旗杆的高度为13.6米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，延长交的延长线于点F，分别解直角三角形，直角三角形和直角三角形，进行求解即可． 【详解】解：延长交的延长线于点F， ∵斜坡的坡度为， ∴， ∴， ∵斜坡的铅直高度为2米， ∴，米， ∵在端点D处，测得顶端A的仰角为， ∴， ∴，， ∵点C处，测得旗杆顶端A的仰角为， ∴ 在中，， 即：， ∴ 答：旗杆的高度为13.6米． 地 城 考点05 坡度、坡比问题 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图为某公园中的滑梯，为台阶，为滑道，立柱垂直于地面与地面的夹角为，与地面的夹角为，若米，则滑道的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作于点，根据正切定义求出，再根据正弦的定义求出． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， 在中，米， （米）， 在中，， 则（米）， 故选：A． 2．（24-25九年级下·山西晋中·期末）某防洪大堤的横断面如图所示，背水坡坡面的长度为，坡度为（坡度为坡面的铅直高度与水平宽度的比），汛期来临前要对背水坡进行加固，改造后的背水坡坡面的坡度为，改造后背水坡的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作于点E，利用坡比的定义得出的长，再得出的长，利用勾股定理得出答案． 本题考查了坡比的计算，勾股定理，熟练掌握坡比的计算是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点E， ∵背水坡坡面的长度为，坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵背水坡坡面的坡度为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、解答题 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝．常见的屋顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等．图①中古建筑的屋顶，被称为“悬山顶”，它的左视图为轴对称图形，如图②所示，已知屋檐米，屋顶到支点的距离米，墙体高米，屋面坡角．求点到地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】点到地面的距离约为3.2米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，灵活运用三角函数解直角三角形成为解答本题的关键． 过点作于点．在中，求出，再求出，即可解答． 【详解】解：过点作于点． 在中，（米），， ∴（米）， ∴（米）． ∴点到地面的距离约为3.2米． 4．（24-25九年级上·山西太原·期末）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且、、三点在一直线上如图所示．假设测角仪器的高度忽略不计，求点离地面的距离结果精确到米．(参考数据：，，，) 【答案】6.2米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题； 过点作于点，于点，先根据正切的定义求出，设米，根据坡度的概念用表示出，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：在中，米，， ， 米， 过点作于点，于点， 则四边形为矩形， ，， 设米， 米， 斜坡的坡比是：， 米， 米， 在中， 解得：，经检验是原方程的解， 答：点离地面的距离约为米． 5．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，欲拆除一座垂直于地面的烟囱，距烟囱水平距离米的处有坡度为，坝高（即）米的背水坡大坝，在坝顶处测得烟囱顶端的仰角为，，之间是宽为米的人行通道．为确保行人安全，在拆除烟囱时，是否需要将此人行通道封闭？并说明理由．（在地面上以点为圆心，以长为半径的圆形区域为危险区域）（参考数值：，） 【答案】需要封闭，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用（仰角、坡度问题），构造直角三角形并利用三角函数（正切）计算线段长度是解题的关键． 过点作于点，先由大坝坡度算出大坝水平宽度，再结合得到，由四边形是矩形可得、，接着用仰角的正切值求出，进而得到烟囱高度，最后计算人行通道到的距离，对比与的大小，即可判断． 【详解】解：需要封闭， 如图， 在中， ∵，， ∴， ∴， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， 在中， ， ∴ ∵， ∴， ∴需要封闭． 6．（24-25九年级上·山西运城·期末）如图，某堤坝的横截面是梯形，已知坝顶，坝高，且，． (1)求斜坡的长度； (2)求坝底的长．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是作出辅助线． （1）根据含有的直角三角形的性质可得出斜坡的长度； （2）过A作于点F，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，． （2）解：如图，过A作于点F， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 地 城 考点06 方位角问题 方位角问题 一、解答题 1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图是某风景区的局部简化示意图，风轩亭在翠微亭的正南方向，两亭被一座小山隔开，该风景区计划在，之间修建一条直通的景观隧道．为测量，两点之间的距离，在一条东西方向的小路上的点，处分别观测点，，测得点在点的北偏东方向上，点在点的北偏东方向上，米，米．求，两点之间的距离．（结果精确到米．参考数据：，，，，） 【答案】，两点之间的距离约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 在中，利用锐角三角函数的定义求出、的长，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用线段的和差关系，进行计算即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点，则， 在中，，， ，， ，， ， 在中，， ， ， 答：，两点之间的距离约为米． 2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）汾河是黄河的第二大支流，自北向南，纵贯山西，被山西人称为母亲河，对山西省的历史文化有着深远的影响．某项目学习小组的同学想要测量某段汾河的宽度，他们设计了如下测量方案：如图，在该段汾河的对岸岸边任取一点，再在河的这边取两点，在点处测得与河岸的夹角为，在点处测得与河岸的夹角为两点间的距离为． (1)求该段汾河的宽度（即中边上的高）；（结果精确到；参考数据：） (2)请再设计一种测量该段汾河宽度的方案．（要求：画出测量示意图，并简要说明测量方案及测量数据） 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）过点A作的延长线于点D，设,则，根据，即可列出方程； （2）过河对岸点A作，在河这边任选一点C，作，测量，，的长度，通过相似可得河宽的长度． 本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：如图，过点A作的延长线于点D， 设, 由图可知，， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴ ∴, ∴河的宽度约为； （2）如图2，过河对岸点A作，在河这边任选一点C，作， 测量，，的长度，通过相似可得河宽的长度． 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，为了测量小池塘点和点之间的距离，在直线下方选择一点，测量点位于点北偏西的方向，点位于点北偏东的方向，测得，求小池塘之间的距离．（参考数据：，，，，，） 【答案】小池塘之间的距离为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意得，再结合解直角三角形是解决问题的关键． 【详解】解：过点作， 由题意可知，，，则， ， ∴， 则， 即：小池塘之间的距离为． 4．（24-25九年级上·山西晋中·期末）2024年夏季，某地发生洪涝灾害，致使许多地方因被淹而出现险情，两地的甲乙两支救援队接到转移处受困群众的任务．已知地在地的北偏西，距离地40千米，点M在地的南偏西方向上，求的长．（结果精到千米，参考数据：） 【答案】千米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． 过作于，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过作于, 在中， ∵，千米， ∴（千米）， （千米）． 在中， ∵， ∴（千米）， ∴（千米）， 答：的长约为千米． 5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，甲、乙两位旅游爱好者都从点出发，走不同路线探险，并约定在点处会合．甲从点出发先沿着正东方向行走到达点处，再沿着正北方向行走到达点；乙亦从点出发，沿着东北方向行走到点处，再由点处沿着南偏东方向行走到达点，与甲会合．    (1)求点到的距离； (2)为方便联系，甲、乙两人各携带一部对讲机，对讲机信号覆盖半径是米，当甲在点处，乙恰好在点处，此时乙能否收到甲的对讲机信号？请说明理由． 【答案】(1) (2)能收到，理由见解析 【分析】（1）如图所示，过点作于点，作于点，根据题意在中，，由此即可求解； （2）如图所示，连接，，得四边形是矩形，可求出的长度，在中，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，作于点，    ∵，，， ∴在中，， ∴． ∴点到的距离为． （2）解：如图所示，连接，，由题意可知，，    ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形，在中，， 在中，， ∵， ∴此时乙能收到甲的对讲机信号． 【点睛】本题主要考查方位角与直角三角形，勾股定理的综合，掌握方位角的知识，直角三角形中特殊角的三角函数，勾股定理求边长等知识是解题的关键． 6．（24-25九年级上·山西临汾·期末）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 【答案】(1)30；75；5 (2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区 【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理： （1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段的长度； （2）设海里，先解得到，再解得到海里，海里，据此可得，解得海里；证明，则海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点P作于D， 由题意得， ， ∴； ∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B， ∴海里． （2）解：设海里， 在中，海里， 在中，海里，海里， ∵， ∴， 解得， ∴海里， ∵， ∴， ∴海里； 上午9时时，船距离A的距离为海里， ∵， ∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区． 地 城 考点07 其他问题 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）北岳恒山位于大同市浑源县，与东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、中岳嵩山并称为中华五岳．如图是恒山景区内一段索道的示意图，若索道上两点间的距离为，这段索道与铅垂方向的夹角，则当缆车沿索道从点处运行到点处时，缆车上升的垂直高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点A作于点D，则缆车上升的垂直高度为的长，利用交的余弦值即可得出结果． 【详解】解：如图，过点A作于点D， 则缆车上升的垂直高度为的长，， 在中，， ， 故选：C． 2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，是直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为（ ） A．4米 B．（2+2）米 C．（4﹣4）米 D．（4﹣4）米 【答案】D 【分析】在Rt△CMB中求出CM，在Rt△ADM中求出DM即可解决问题． 【详解】在Rt△CMB中，∵∠CMB=90°，MB=AM+AB=12米，∠MBC=30°， ∴CM=MB•tan30°=12×=4， 在Rt△ADM中，∵∠AMD=90°，∠MAD=45°， ∴∠MAD=∠MDA=45°， ∴MD=AM=4米， ∴CD=CM-DM=（4-4）米， 故选D． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于基础题中考常考题型． 二、填空题 3．（24-25九年级上·山西长治·期末）在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄可绕着转轴B旋转．已知，．当托板与压柄夹角时，如图，点从点滑动了，此时连接杆的长度是 ．（参考数据：，，）（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，如图，过点D作于点F．解求出，，再求出，最后利用勾股定理求出． 【详解】解：如图，过点D作于点F． 在中，， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，某种吊车由固定机架和四根连杆（其中AB，CD是固定连杆）组成．已知连杆AB＝12米，CD＝10米，CE＝9米，其支点A， D的距离为5米，支点B， C的距离为3米，点A， D到地面l的垂直高度分别为4米和8米．当EC和CD共线时（如图1），点B到地面l的距离为 米；改变连杆之间的夹角使CE与l平行（如图2），则点E下降的高度为 米． 【答案】 【分析】（1）过A点作，过点D作DG⊥l，交l2于点F，作EN⊥l，交l2，l3于M、N，作l2⊥l交l2于Q点；过点B作BK⊥l于点K，证明△ABD为直角三角形，利用△ADF∽△BAP，求出BP，进而求出BQ，得出BK的值； （2）求出原来点E到l的距离，减去原来点B到直线l的距离即可． 【详解】过A点作，过点D作DG⊥l，交l2于点F，作EN⊥l，交l2，l3于M、N，作l2⊥l交l2于Q点； 由题：AD=5，DF=4，AF=3， 在△ABD中，AB=12，AD=5，BD=13， ∴△ABD为直角三角形，∠BAD=90°， 则∠DAF=∠ABP，∠DFA=∠APB=90°， ∴△ADF∽△BAP， ∴， ∴，， ∴PQ=DF=4， ， ∵， ∴， ∴B到l的距离为米； ∵∠BDQ=∠EDH，∠BQD=∠EHD， ∴△DBQ∽△DEH，而， 则， ， ∴EN=EH+HN=， ∵改变连杆之间的夹角使CE与l平行， ∴此时E到l的距离等于B到l的距离， ∴E下降的高度为：（米）． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了相似三角形和直角三角形勾股定理的有关知识，需要画辅助线构造三角形是解决问题的难点． 三、解答题 5．（24-25九年级上·山西大同·期末）小宇同学使用的护眼灯如图（1）所示，该护眼灯是大面积柔光台灯，圆形大面光源均匀漫射光，金属平行双杆，滑动无极调光，显色指数高，经过对它的认真观察操作，小宇得到它的侧面简化结构图如图（2）所示（图中所有的点都在同一平面内），其中圆形底座的侧面视图为矩形，点A，B，F共线，支撑底座，旋转支架可绕点B旋转，接头，连接杆和圆形大面光源的直径共同组成的线段DE可绕点D旋转，上、下调节一定的角度，且，，，，，圆形大面光源中心M到点D的距离．小宇经使用发现：当，时，台灯光线最佳．求此时圆形大面光源中心M到桌面的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】此时圆形大面光源中心M到桌面的距离约为 【分析】本题考查了三角函数的应用，矩形的性质．熟练掌握三角函数的计算以及矩形的性质是解题的关键． 通过作辅助线，将问题分解为多个直角三角形的求解，利用已知角度和边长，用三角函数求出各部分的高度，最后求和即可． 【详解】如图，过点C作于点I，过点M作于点J，过点B作于点L，交于点N，延长交于点K，则四边形和四边形均为矩形， ∴，，． ∵， ∴． 在中，，， 在中，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，∴． 在中，，，， ∴， ∴． 故此时圆形大面光源中心M到桌面的距离约为． 6．（24-25九年级上·山西临汾·期末）“复矩尺”是我国唐朝时期张遂（也称一行和尚）研究天文时制作的工具，其构造如图：组成直角的两边一长一短，角间有一弧形刻度，角顶点处有一丝线系一铜锤，用来测量北极星方向与水平线的夹角（图中的角）．小明用自制的复矩尺用来测量操场上的旗杆高度，小明将复矩尺的长边对准旗杆顶部，测得点到地面距离，旗杆底部到的距离，．请帮小明计算出旗杆的高度．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】 本题考查的是解直角三角形的应用，过点作于，先得到，在中，根据正切的定义列式求出，进而得到．掌握锐角三角函数的定义，数形结合列式求解是解题的关键． 【详解】解：过点作于，如图所示： 则四边形为矩形，，， ，， ，， ， 在中，，， ，则， ， 答：旗杆的高度约为． 7．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．    (1)当悬臂与桌面平行时，=___________° (2)问悬臂端点到桌面的距离约为多少？ (3)已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作出对应的图，关键平行线的性质即可求解； （2）过作与交于，过作与交于，可推出四边形为矩形，；在中解出，即可求解； （3）过作，，在中解出即可求解． 【详解】（1）解：如图：当悬臂与桌面平行时，作    ，悬臂也与桌面平行 ∴ 故答案为： （2）解：过作与交于，过作与交于    ∴四边形为矩形 ∴， ∵ ∴ 在中 ∵ ∴ ∴ （3）解：过作，，    ∴ 在中 ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角函数的实际应用．作垂线构造直角三角形是解题关键． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $