专题08 二次函数 8大高频考点（期末真题汇编，山西专用）九年级数学上学期

专题08 二次函数 8大高频考点概览 考点01 二次函数概念理解 考点02 二次函数的性质 考点03 确定二次函数解析式 考点04二次函数图象的平移 考点05 二次函数图象与各项系数的关系 考点06 二次函数与方程、不等式关系 考点07 二次函数的实际应用 考点08 二次函数与几何图形综合 地 城 考点01 二次函数概念理解 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的识别，形如的函数为二次函数，据此即可求解． 【详解】解：由二次函数的定义可知，C为二次函数， 故选：C 2．（24-25九年级上山西太原·期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的识别，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如（、、是常数，）的函数叫做二次函数，其中是自变量，、、分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．根据二次函数的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，不是二次函数，故选项不符合题意； B. ，不是二次函数，故选项不符合题意； C. ，不是二次函数，故选项不符合题意； D. ，是二次函数，故选项符合题意； 故选：． 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：不符合二次函数的定义，它们不是二次函数； 符合二次函数的定义，它是二次函数； 故选：B． 4．（24-25九年级上·山西临汾·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，求出即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， 且， 解得：， 故选：B． 5．（23-24九年级上·山西运城期末）已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加时，正方体的表面积增加，则y与x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意直接列式即可作答． 【详解】根据题意有：， 故选：D． 二、填空题 6．（24-25九年级上山西晋中·期末）已知二次函数，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如，这样的函数叫做二次函数，根据二次函数的定义得到，，进行求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴． 故答案为：． 地 城 考点02 二次函数的性质 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西长治·期末）对于抛物线，下列说法错误的是（ ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．当时，的最小值为1 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握函数的性质． 根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：，， A：抛物线，对称轴为直线，故该选项不符合题意； B：抛物线，顶点坐标为，故该选项不符合题意； C：抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意； D：顶点坐标为，函数有最大值，最大值为，故该选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·山西朔州·期末）抛物线的对称轴是（   ） A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，直接利用二次函数的图象和性质求解，即可解题． 【详解】解：的对称轴是轴， 故选：A． 3．（24-25九年级上·山西临汾·期末）对于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数的最大值为 D．当时，函数值随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∴， ∴抛物线的顶点坐标为 ∴A错误，不符合题意； ∴对称轴是直线， ∴B错误，不符合题意； ∴，开口向上， ∴函数的最小值为， ∴C错误，不符合题意； ∴当时，y随x的增大而增大，D正确，符合题意． 故选：D． 4．（24-25九年级上·山西临汾·期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴交点为 D．顶点坐标是 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一判断即可，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 【详解】解：A．，故抛物线开口向下，原答案错误，不符合题意； B．函数的对称轴为直线，原答案错误，不符合题意； C．当时，，与轴交点为，原答案错误，不符合题意； D．顶点坐标是，原答案正确，符合题意； 故选：D． 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．其图像的开口向上 B．其图像的对称轴为直线 C．其最小值为5 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键．根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的． 【详解】解：∵，， ∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意； 对称轴是直线，故选项B不符合题意； 当时y取得最大值，故选项C不符合题意； 当时，y随x的增大而增大，故选项D符合题意； 故选：D． 6．（24-25九年级上·山西长治·期末）对于二次函数的描述正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．图像开口向下，且函数有最大值 D．当时，函数值y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，对于二次函数(a，h，k为常数，)，当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是，对称轴为直线． 【详解】解：∵， ∴A．对称轴是直线，故不正确； B．顶点坐标是，故不正确； C．图像开口向上，且函数有最小值，故不正确； D．当时，函数值y随x的增大而增大，正确； 故选D． 7．（24-25九年级上·山西大同·期末）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数一般式化为顶点式，掌握配方法，二次函数顶点式的特点是解题的关键． 运用配方法把二次函数一般式转化为顶点式，可得顶点坐标为，由此即可求解． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， 故选：A ． 8．（24-25九年级上·山西运城·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数的最大值是6 D．当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值为6，当时，y的值随x值的增大而增大； 故选D． 9．（24-25九年级上·山西运城·期末）如图，正方形的边长为8，点E，F分别是上的两个动点，且，则的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数求最值，设，，则：，证明，列出关系式，得到关于的二次函数，根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：∵正方形的边长为8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 设，，则：， ∴，整理，得：， ∴当时，有最大值为2， 即：的最大值是2； 故选C． 10．（24-25九年级上·山西晋中期末）在同一直角坐标系中，直线与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次函数的图象、一次函数的图象与系数的关系，假设其中一个图象正确，然后根据图象得到系数的取值范围，然后根据系数的取值范围确定另一个图象的位置，看是否和图象相符即可求解． 【详解】解：A、根据一次函数图象知道，与轴的交点不是，故A选项错误； B、根据二次函数的图象知道，同时与轴的交点是，但是根据一次函数的图象知道，故B选项错误； C、根据图象知道两个函数图象与轴的交点坐标为，同时也得到，故C选项正确； D、根据一次函数图象知道，根据二次函数的图象知道，故D选项错误． 故选：C． 11．（24-25九年级上山西吕梁·期末）已知二次函数，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．函数的最大值为 C．当时，随的增大而减小 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象和性质，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．先利用配方法得到，可根据二次函数的性质进行判断． 【详解】解：， 抛物线顶点坐标为， 抛物线的开口向上，顶点坐标为，函数的最小值为，抛物线的对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 若，则， 选项A，B，C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意， 故选：D 12．（24-25九年级上山西阳泉期末）二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对的取值进行分类讨论（当时和当时），注意运用数形结合的思想方法，充分观寻找图象中的关键点，结合函数解析式进行求解． 根据的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象经过第一、三象限， 当时，二次函数图象，开口向上，对称轴在y轴左侧，则A选项不符合题意， 当时，二次函数图象，开口向下，对称轴在y轴右侧，则C选项不符合题意，B选项符合题意； 当时，反比例函数的图象经过第二、四象限， 当时，二次函数图象，开口向上，对称轴在y轴右侧，则D选项不符合题意； 故选：B． 13．（24-25九年级上·山西晋城期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线：．，，为抛物线上三点，若，那么，与之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先化为顶点式，得出抛物线开口向下，对称轴为直线，结合得出点离抛物线对称轴最远，点离抛物线对称轴最近，即可得解． 【详解】解：，， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， 点离抛物线对称轴最远，点离抛物线对称轴最近， ， 故选：C． 14．（24-25九年级上·山西晋中期末）将二次函数y＝x2+4x+3化成顶点式，变形正确的是(    ) A．y＝(x﹣2)2﹣1 B．y＝(x+1)(x+3) C．y＝(x﹣2)2+1 D．y＝(x+2)2﹣1 【答案】D 【分析】利用配方法把一般式化为顶点式即可． 【详解】解：y=x2+4x+3 =x2+4x+4-1 =（x+2）2-1， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键． 二、填空题 15．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）已知二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：当时，x的取值范围是 ． x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 【答案】或 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，直接利用图表中数据进而结合二次函数对称性分析得出对称轴以及x的取值范围． 【详解】解：如图表所示，可得时，y的值最大，则此二次函数图象的对称轴为直线； 可得，当，以及时，，且图象开口向下，则当时，x的取值范围是：或． 故答案为：或． 16．（24-25九年级上·山西大同期末）已知A(-4，y1)，B(-1，y2)，C(2，y3)三点都在二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 ． 【答案】y2˂ y1˂y3（y3>y1>y2 也可） 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小． 【详解】二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图像开口方向向上，对称轴是x=-2， A(-4，y1) 距对称轴的距离是2，B(-1，y2)距对称轴的距离是1， C(2，y3) 距对称轴的距离是4 所以y2˂ y1˂y3 故答案为：y2˂ y1˂y3 【点睛】此题考查的是二次函数的图像与性质，求出抛物线的对称轴和开口方向是解题关键． 17．（24-25九年级上·山西吕梁期末）用配方法将二次函数化成的形式是 ． 【答案】 【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【详解】=(). 【点睛】本题考查的是二次函数的形式，熟练掌握二次函数的三种形式是解题的关键. 地 城 考点03 确定二次函数解析式 一、填空题 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在正方形中，点，的坐标分别为，，点在抛物线的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，过点C作轴，过点B作于M，过点D作于N，利用三角形全等的性质，即可得出C点坐标，代入即可得出b的值． 【详解】解：过点C作轴，过点B作于M，过点D作于N， ∴， 由条件可知， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 解得：， ∴， ∵点C在抛物线的图象上， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点P，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得P的纵坐标是解题的关键．先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得， 且轴，从而求得的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得的坐标． 【详解】解：的顶点在抛物线上， ， 解得， 抛物线为， 点， 将绕点顺时针旋转， 得到， 点 在轴上，且， 轴， 点的纵坐标为2， 代入， 得， 解得， 故答案为． 3．（24-25九年级上·山西大同·期末）顶点是，且与抛物线的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为 ． 【答案】/ 【分析】由于已知顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x﹣2）2，然后根据二次项系数的意义得到a＝﹣3，从而确定所求抛物线的解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点是， ∴设所求的抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2， ∵抛物线y＝a（x﹣2）2与抛物线y＝﹣3x2的形状相同，开口方向相同， ∴a＝﹣3， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2． 故答案为：y＝﹣3（x﹣2）2． 【点睛】此题考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的顶点式是解决问题的关键． 二、解答题 4．（24-25九年级上·山西运城·期末）如图，抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点，点D是抛物线中上方的一点，点E在线段上，直线交x轴于点F． (1)求点A的坐标，并直接写出直线的函数解析式； (2)若点F与点O重合，当时，求点D的坐标； (3)连接 ，当与相似，且相似比为时，请直接写出直线的函数解析式． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）把分别代入，求得抛物线的函数表式为，令，解方程即得；设直线的函数解析式为，把代入，解方程组求得p，q的值，即得直线的函数表达式； （2）过点D作轴于点H，交于点G，根据，得到，设点，，得到，得到，解得，即得或； （3）①当时， ，得到，求出直线的函数解析式为，设解析式为，求出， 即得；②当，，根据，得到，运用勾股定理求出，得到，得到，得到，过点E作于点T， ，得到， 得到，得到,得到，根据求出解析式为． 【详解】（1）把分别代入， 得， 解得， ∴， 令， 解得， ∴， 设直线的函数解析式为， 则， 解得，， 故直线的函数表达式为：； （2）过点D作轴于点H，交于点G，如图（1）， 则， ∴， ∴， 设点， 则， ∴， ∵， ∴， 解得， 当时， ， 当时, ， 故或； （3）直线的函数表达式为或，理由： ①当时，，， ∴， ∴, 设直线的函数表达式为， 把，代入， 得， 解得，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴； ②当时，， ∵在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点E作于点T，如图(3)， 则， ∴, ∴， ∴, ∴， ∴, ∴， 设解析式为， 把分别代入， 得， 解得， ∴． 故直线的函数表达式为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数定义，分类讨论，是解题的关键． 5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）若二次函数的图象经过两点，求该二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．把点代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：将点代入中，得： ， 解得， 该二次函数的表达式为． 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组与的对应值． … … … … (1)求该二次函数的表达式； (2)该二次函数的图象与直线恒有两个交点，，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)该二次函数的表达式为 (2) 【分析】（1）由表格知二次函数的顶点为，故可设二次函数，又图象过，可得，求出的值即可求解； （2）由（1）得，令，从而可得，故，又二次函数的图象与直线恒有两个交点，，进而可得，解出的取值范围即可． 【详解】（1）解：由表格数据集合二次函数图象对称性可得图象顶点为， 设二次函数的表达式为， 将代入得， 解得：， 该二次函数的表达式为； （2）解：由（1）得， 令， ， ， 二次函数的图象与直线恒有两个交点，， ， ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 地 城 考点04 二次函数图象的平移 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西大同·期末）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图形的平移，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图形平移的规律． 根据“上加下减，左加右减”的原则，求出平移前后的二次函数的解析式，即可解答． 【详解】将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式为， 所以，，， 故选：A． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）把抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象的平移，根据函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得到抛物线平移后的表达式． 【详解】解：根据题意可得，抛物线平移后的解析式为：， 故选：B． 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到抛物线的函数表达式为， 故选：A． 4．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）将抛物线向下平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，再根据“左加右减，上加下减”的原则写出平移后的抛物线，即可作答． 【详解】解：将抛物线向下平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度， 得， 故选：C． 5．（24-25九年级上·山西长治·期末）将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的平移，抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律是：左加右减、上加下减，按照“左加右减、上加下减，根据抛物线平移的方向和距离，可以得到平移后的二次函数的解析式． 【详解】解：二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 得到的二次函数的解析式是， 整理得：． 故选： D． 6．（24-25九年级上·山西晋中·期末）将函数的图象向左平移3个单位长度后得到的新抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线的平移，先把原二次函数转化为顶点式，再由抛物线平移规律：左加右减、上加下减，根据题中平移方式得到新抛物线解析式，即可得到答案． 【详解】解：， 该图象向左平移3个单位长度后，新抛物线的解析式为：， 新抛物线的顶点坐标为． 故选D． 7．（24-25九年级上·山西忻州·期末）将函数的图象向左平移个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的平移，二次函数图象与性质，先把二次函数转化为，再由抛物线平移规律：左加右减、上加下减，根据题中平移要求即可得到答案，熟记函数平移规律是解题的关键． 【详解】解：由， ∵函数的图象向左平移个单位， ∴平移后得解析式为， ∴顶点坐标为， 故选：． 8．（24-25九年级上·山西忻州·期末）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案，熟练掌握二次函数的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线表达式为， 故选：B． 9．（24-25九年级上·山西忻州·期末）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】D 【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到的． 【详解】抛物线的顶点坐标为（0，0），抛物线的顶点坐标为（1，-2） 将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位即可得到 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象平移规律，掌握“左加右减，上加下减”的规律是解题的关键． 10．（24-25九年级上·山西忻州·期末）将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（　　） A．y=﹣2（x+1）2﹣1 B．y=﹣2（x+1）2+3 C．y=﹣2（x﹣1）2+1 D．y=﹣2（x﹣1）2+3 【答案】D 【详解】解：将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后 所得到的抛物线为y=﹣2（x﹣1）2+3， 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，利用数形结合思想解题是关键． 二、填空题 11．（24-25九年级上·山西晋中·期末）将抛物线向左平移2个单位，得到的抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”是解答关键． 根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”来进行求解． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位， 得到的抛物线解析式为． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）把二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位，所得的图象函数表达式是 . 【答案】y=2(x-1)2 【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式． 【详解】原抛物线y=2x2的顶点为（0，0），向右平移1个单位长度，那么新抛物线的顶点为（1，0）； 所以新抛物线的解析式为y=2（x-1）2． 故答案为y=2（x-1）2． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 地 城 考点05 二次函数图象与各项系数的关系 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西长治·期末）抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为直线，过点和点，有下列结论：①；②对任意实数m都有：；③；④若，则．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像的对称性、增减性以及二次函数图像上点的坐标特征是解题的关键．根据抛物线的对称轴和增减性可知，进而判断①；根据函数的最大值可判断②；由时的函数值大于0，可判断③；由点的对称点为，可判断④． 【详解】解：∵抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为直线，过点， ∴抛物线开口向下，则，即， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，即， ∴，故①错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴函数的最大值为， ∴对任意实数m都有：，即，故②错误； ∵对称轴为，，即函数图像与y轴的交于正半轴， ∴点的关于直线的对称点为， ∴当时的函数值大于0，即， ∴，故③正确； ∵对称轴为，点关于直线的对称点为，抛物线开口向下， ∴若，则，故④正确； 综上，正确的有③④共2个． 故选：B． 2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论： ①；②；③； ④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定①和②；将点代入抛物线解析式并结合即可判定③；运用根的判别式并结合a、c的正负，判定判别式是否大于零即可判定④；判定点，的对称轴为，然后根据抛物线的对称性即可判定⑤． 【详解】解：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即，即②错误； ∴，即①正确， 二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为 ，即，故③正确； ∵关于x的一元二次方程，，， ∴，， ∴无法判断的正负，即无法确定关于x的一元二次方程的根的情况，故④错误； ∵ ∴点，关于直线对称 ∵点，均在该二次函数图像上， ∴，即⑤正确； 综上，正确的为①③⑤，共3个 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的的性质及图像与系数的关系，能够从图像中准确的获取信息是解题的关键． 3．（24-25九年级上·山西大同·期末）已知二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，有下列结论： ①；②；③；④当时，随的增大而增大．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及利用二次函数图像与性质判断代数式符号、y与x的变化情况等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． 【详解】解：由题中条件及图像可知，（抛物线开口向下）；，且；；，且抛物线与轴的交点坐标为和； ①如图所示，在抛物线上取点，则当时，，①正确； ②如图所示，在抛物线上取点，则当时，， ， ，则，解得， ， ， ，②正确； ③， ，则， ， ，③正确； ④由于抛物线开口向下，对称轴为，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；④错误； 故选：A． 4．（24-25九年级上·山西忻州·期末）二次函数（、、是常数，且）的图像如图所示，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象的位置，确定a、b、c的符号，通过对称轴，与x轴交点的位置确定各个选项的正确与错误即可． 【详解】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴的左侧，a、b同号，故b＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c＞0，故abc＞0，因此①错误， 对称轴为x= -= - 1，即b=2a，也就是 2a-b=0，所以②正确, 由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c＞0，即 a−b+c ＞0，所以③ 正确， 由图象可知,当x=-3时，y=9a-3b+c＜0，所以④ 正确， 所以正确的个数有3个， 故答案为：C 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答关键是根据抛物线的位置确定待定字母的取值范围. 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数的性质判断符合特征等，①由图象得，由对称轴可判断的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，将化为，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断．能熟练利用二次函数的性质进行运算判断是解题的关键． 【详解】解：①由图象得：， ∴， ∴，故①正确； ②∵对称轴为直线， 图象与轴交于点， ∴图象与轴交于另一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ③∵，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，即（为任意实数）， ∴，故③正确； ④由②得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有：①③④， 故选：D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·山西长治·期末）平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且经过，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③点在抛物线上，则；④点在抛物线上且，则，正确结论的序号是 ． 【答案】①③/③① 【分析】根据抛物线的图象的开口方向，对称轴，与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，逐一判断各结论，即可得到结果． 本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的图象开口向上， ， 故结论①正确； 抛物线的对称轴为直线， ∴， 则， ∴， 故结论②错误； 抛物线经过，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 抛物线的图象开口向上，点在抛物线上， ， 故结论③正确； 抛物线的图象与y轴交点坐标为，点在抛物线上且， 或， 故结论④错误， 故正确结论的序号为①③． 故答案为：①③． 地 城 考点06 二次函数与方程、不等式关系 一、 单选题 1．（（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，函数y1＝x+1与函数y2的图象交于M（1，m）和N（﹣2，n）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1 【答案】A 【分析】根据图象可知函数y1＝x+1与函数y2的图象交于M（1，m）和N（﹣2，n）两点，若y1＜y2，即观察反比例函数图象在直线图像之上的x的取值范围． 【详解】由一次函数和反比例函数的图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象之上时，y1＜y2，则所对应的x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1． 【点睛】本题考查了根据函数图像交点确定不等式的解集，正确利用数形结合分析是解题关键． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）已知二次函数（a，b，c是常数，）的自变量与函数的部分对应值如下表： ... ... ... ... 下列结论正确的是（   ） A．函数图象开口向上 B． C．当时，随的增大而减小 D．关于的一元二次方程（a，b，c是常数，）有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查二次函数基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 根据抛物线的增减性，对称轴，抛物线与x轴的交点等解答即可． 【详解】解：根据题意，得和是对称点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 故B选项错误； ∵对称轴直线的右边即时，y随x的增大而减小， ∴函数图象开口向下， 故A选项错误； ∵， ∴随的增大而减小， 故C选项正确； 根据题意，抛物线的顶点坐标为，函数图象开口向下， ∴抛物线的最大值为， ∴抛物线与x轴无交点， ∴关于的一元二次方程（a，b，c是常数，）无实数根 故D选项错误． 故选：C． 3．（（24-25九年级上·山西大同·期末）若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是（    ） A． B． C．0 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数和一次函数和x轴交点问题，根据题意分两种情况：①函数为二次函数，函数的图象与x轴只有一个交点，可得，从而解出a值；②函数为一次函数，此时，从而求解． 【详解】解：①函数为二次函数，， ∴， ∴， ②函数为一次函数， ∴， 解得，； ∴a的值为或； 故选：D． 4．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）如图，抛物线的对称轴为直线，且与轴相交于点，则方程的根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．同时考查了二次函数的性质．根据抛物线的对称性确定抛物线与x轴的两个交点坐标为，，从而得到一元二次方程的解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的解为． 故选：A． 5．（（24-25九年级上·山西忻州·期末）如表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值，那么最接近方程的一个根是（   ） x 1 y A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解；由题意知，函数值的绝对值越小，则自变量越接近对应一元二次方程的解，比较函数值的绝对值即可判断． 【详解】解：由表知，函数值的绝对值最小，对应的自变量值最接近一元二次方程的一个根， 故选：B． 6．（（24-25九年级上·山西大同·期末）我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫作“鹊桥”函数．某同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），则下列结论错误的是（   ） A．图象与坐标轴的交点为和 B．图象的对称轴是直线 C．当和时，函数值y随x的增大而增大 D．函数的最小值是0，最大值是4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．求得函数与坐标轴的交点坐标，可判断选项A；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，可判断选项B；根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y随x值的增大而增大，可判断选项C；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，最小值为，不存在最大值；据此可得出答案． 【详解】解：当时，； 当时，，解得或； ∴图象与坐标轴的交点为和， ∴选项A是正确的，不符合题意； 从图象可知图象具有对称性，对称轴是直线， ∴选项B是正确的，不符合题意； 根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y随x值的增大而增大， ∴选项C是正确的，不符合题意； 根据函数的图象发现，函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，最小值为， 不存在最大值， ∴选项D是错误的，符合题意； 故选：D． 7．（（24-25九年级上·山西晋中·期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（    ） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解． 【详解】解：由表格可得： 当时，； 当时，， 又∵一元二次方程的根为，，且， ∴，， 故选：A． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，结合表格中的数据找出方程（，a，b，c为常数）的一个解的近似值是解题的关键． 二、填空题 8．（（24-25九年级上·山西大同·期末）若抛物线（c是常数）与x轴有两个公共点，则c的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴两个公共点是解题的关键．由抛物线与x轴有两个公共点，得到方程有两个不相等的实数根，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个公共点， ∴有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数． (1)该二次函数的图像与x轴的交点坐标是 、 ，顶点坐标是 ； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图像；（要求至少描出5个格点） (3)当时，结合函数图像，直接写出y的取值范围 ． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，画二次函数图像． （1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，分别令求得与坐标轴的交点坐标即可； （2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图像； （3）结合二次函数图像，写出当时对应的y的取值范围． 【详解】（1）解：令，则， 解得：， ∴二次函数图像与轴的交点坐标是，， ∵， ∴该二次函数图像顶点坐标为． （2）解：列表： 描点，连线，如图： ． （3）解：由图像可知，当时，． 地 城 考点07 二次函数的实际应用 一、 填空题 1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图为某兴趣小组绘制的跳台滑雪赛道的截面图，以停止区所在水平线为x轴，过起跳点C且与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，着陆坡的坡度为．某运动员第一次训练时在C处起跳腾空后，飞行至着陆坡的D处着陆．在这次训练过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离之间满足二次函数关系，且．若点D的横坐标为，则运动员离着陆坡的最大竖直距离为 m． 【答案】 【分析】·本题考查了一次函数，二次函数，平面直角坐标系等知识点．熟练掌握求一次函数表达式，已知点坐标求二次函数解析式中的参数以及求二次函数的最值是解题的关键． 根据着陆坡坡度得到斜率，结合过点，利用斜截式求出的直线方程，再将横坐标代入着陆坡方程得到点纵坐标，然后将坐标代入，求出确定二次函数表达式，用二次函数表示运动员高度减去着陆坡直线函数表示的高度，得到竖直距离关于的二次函数表达式，最后根据二次函数对称轴公式求出对称轴，将对称轴对应的值代入竖直距离函数，求出最大值，即运动员离着陆坡的最大竖直距离． 【详解】解：着陆坡的坡度为，且过点（由坐标系可知点在轴上，且纵坐标为）， 则，, ∴ 设直线方程为：, ∴， 解得： 直线方程为：． 将点D的横坐标代入得到， 点． 将点代入， 得到， 解得：． 设竖直距离为， 则 化简得：． 该二次函数的对称轴为， 将代入， 解得：． 故答案为：． 二、解答题 2．（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与实践 【问题情境】如图1是某景区的音乐喷泉，其水流的形状可近似地看成抛物线的一部分．某校九年级数学兴趣小组欲测量该抛物线水流的最高点与地面的距离． 【方案设计】如图2，该抛物线水流与地面的交点分别记为A，B，且的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点即为抛物线水流的最高点与地面的距离．小组成员设计的方案如下：拿一根长的竹竿，竖直地放在线段上当水流刚好经过竹竿顶部点时，测得竹竿底部点到点的距离为． 【问题解决】 (1)在图2中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式和的长． (2)如果该小组成员想在喷泉下方拍照留念，恰好他们的身高都是，请问他们最多能站多宽才不会被水淋到该小组成员站在线段上拍照．，结果保留整数 【答案】(1)图象见解析，， (2) 【分析】（1）以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系；利用待定系数法求出抛物线解析式，从而得出P点坐标及； （2）把代入函数解析式，求解x，然后计算宽度即可． 本题考查二次函数的应用，解题的关键是用待定系数法求解和熟练运用二次函数的图象性质． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如下： ，抛物线顶点在y轴， ∴设抛物线解析式为， 的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O， 由题可知 将A，C代入抛物线解析式，得， 解得， 函数解析式为： ∴顶点为 故； （2）解：当时，代入抛物线表达式 解得 最大宽度为 他们能站的最大宽度为才不会被水淋到． 3．（24-25九年级上·山西长治·期末）中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》将以“巳巳如意，生生不息”为主题，“巳巳如意”是对每个人新年万事如意的祝愿，而“生生不息”则象征着文化的传承与生命力的延续，某服装零售市场购进一批印有“巳巳如意”图案的拜年套装出售，成本价为每套100元，当售价为每套180元时，平均每周能售出500套．为尽快回拢资金，市场决定降价销售，经调研发现，若该套装的销售单价每降低5元，每周就能多售出50套． (1)若该市场希望每周出售该套装获得利润36000元，则该套装的销售单价应该定为多少元？ (2)当该套装的销售单价定为多少元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润？最大利润为多少元？ 【答案】(1)该套装的销售单价应该定为140元 (2)当该套装的销售单价定为165元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润，最大利润为42250元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意，正确列出方程，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）设该套装的售价降低元，根据总利润=（销售单价-成本价）×销售数量，列方程求解，求解即可； （2）依据题意，每周出售该套装所获利润，再结合，从而当时，每周出售该套装所获利润最大，最大利润为42250元； 【详解】（1）解：设该套装的销售单价降低元，则销售单价为元，每周能销售套， 根据题意，得， ， 解得或（舍去）， ∴（元）， 答：该市场希望每周出售该套装获得利润36000元，则该套装的销售单价应该定为140元； （2）解：设每周的利润为y元，销售单价降低了元，则： ， ， 当时，每周的利润最大，最大利润为42250元， 此时销售单价为元， 答：当该套装的销售单价定为165元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润，最大利润为42250元． 4．（24-25九年级上·山西长治·期末）二次函数的图象交x轴于A、D两点，且A点坐标是，图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)求函数图象的顶点坐标及D点的坐标； (3)二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得的周长最小？若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，(4，2) 【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）根据二次函数解析式，利用二次函数的性质即可得出二次函数图象的顶点坐标，再代入即可得出点D的坐标； （3）根据两点之间线段最短，找出使得的周长最小的点C的位置，根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式，再代入即可求出点C的坐标． 【详解】（1）解：把，代入， 得解得， ∴二次函数的解析式为 （2）由，得二次函数图象的顶点坐标为． 令，得，解得，， ∴D点的坐标为； （3）二次函数的对称轴上存在一点C，使得的周长最小． 连接，如图， ∵点C在二次函数的对称轴上， ，，的周长，根据“两点之间，线段最短”，可得当点A、C、B三点共线时，最小， 此时，由于是定值，因此的周长最小． 设直线的解析式为， 把，代入，得’解得 ∴直线的解析式为．当时，， ∴当二次函数的对称轴上点C的坐标为时，的周长最小． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数的性质以及轴对称中的最短路径问题，解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）根据二次函数的性质找出二次函数图象的顶点坐标；（3）利用两点之间线段最短确定点C的位置． 5．（24-25九年级上·山西长治·期末）【项目式学习】 项目主题：安全用电，防患未然． 项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究． （1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴O距离地面的高度OC为 米； 任务二：模型构建 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． （2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米． ①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； ②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为 米； 任务三：问题解决 （3）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少 米． 【答案】（1）3；（2）①；②；（3） 【分析】（1）证明为等边三角形，得出，根据等边三角形的性质得出，根据勾股定理求出； （2）①用待定系数法求出抛物线的解析式即可； ②求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出答案； （3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，顶点为N的抛物线解析式为：，把代入得出，求出m的值即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴根据勾股定理得：； （2）①根据题意得：抛物线的顶点M的坐标为，点D的坐标为， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； ②把代入得：， 或（舍去）， ∴米； （3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，根据题意得：点N的坐标为，则顶点为N的抛物线解析式为：， 放在充电车棚最右边的电动车电瓶处的坐标为， 把代入得：， 解得：（舍去）或， ∴喷淋头N距离喷淋头M至少米． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握待定系数法，求出抛物线的解析式． 6．（24-25九年级上·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境： 学校有一块矩形空地，空地中有一条小路可近似地看成抛物线的一部分，该抛物线的顶点在矩形空地的边上．为了将此矩形空地加以利用，设置课外活动区和劳动实践区，其余部分为绿化区域，现面向全体同学征集设计方案． 方案设计： 小慧同学设计了如下方案： 第一步，如图1，在矩形中，，以边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，其中抛物线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的顶点在矩形的边上．根据测得的数据得到小路所在抛物线的函数表达式为． 第二步：如图2，连接，将其作为小路，在线段上取一点，过点作轴与抛物线交于点，连接，将设置为课外活动区． 第三步：如图2，在线段上取一点，过点分别作轴于点，轴于点，将四边形设置为劳动实践区． 问题解决： (1)请直接写出直线的函数表达式． (2)①当是以为底边的等腰三角形时，求所设置的课外活动区底边的长；②求所设置的劳动实践区（四边形）的最大面积． (3)在满足（2）的条件下，请直接写出此矩形空地中绿化区域的面积．（小路的面积忽略不计） 【答案】(1) (2)①；②劳动实践区（四边形）的最大面积为； (3)矩形空地中绿化区域的面积为 【分析】（1）根据题意得到，由二次函数图象的性质得到，运用待定系数法即可求解； （2）①设，则，且，运用两点之间距离公式得到，，根据等腰三角形的定义得到，由此列式求解得到，可得，，由此即可求解； ②根据题意得到，四边形是矩形，设，则，所以，根据二次函数最大值的计算方法即可求解； （3）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，得到，求出，再算出，，由即可求解． 【详解】（1）解：∵以边所在直线为轴，， ∴， 已知小路所在抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴， 设直线的函数表达式， ∴， 解得，， ∴直线的函数表达式； （2）解：①直线的函数表达式，点在线段上，且轴， ∴设，则，且， ∴， ， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， 整理得，，则 解得，，（舍去）， 当时，，， ∴，，， ∴； ②线段上取一点，过点分别作轴于点，轴于点， ∴， ∴四边形是矩形， 设， ∴， ∴， ∵， ∴当时，即，有最大值，最大值为， ∴所设置的劳动实践区（四边形）的最大面积为； （3）解：抛物线的顶点在矩形的边上， ∴抛物线的顶点坐标的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∴， 又∵矩形中，， ∴， 由（2）可得，是以为底边的等腰三角形，，，， 如图所示，过点作于点， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴矩形空地中绿化区域的面积为．（小路的面积忽略不计） 【点睛】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合运用，掌握二次二次函数图形的性质，最值的计算，待定系数法求一次函数解析式，矩形的判定和性质，等腰三角形的定义，勾股定理等知识，数形结合分析是解题的关键． 7．（24-25九年级上·山西临汾·期末）为了加强学生的素质教育，让学生看到自己的劳动成果，某中学围建了一个如图所示的矩形苗圃园让学生种菜，苗圃园其中一边靠墙（墙的长度α足够长），另外三边用长为20米的篱笆围成．设垂直于墙的一边长为x米，苗圃园面积为S平方米． (1)求S关于x的函数关系式； (2)当x为何值时，所围苗圃园的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，S最大，最大面积为50平方米 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确得出与x之间的函数关系式是解题关键． （1）根据题意，垂直于墙的边，则，结合矩形面积公式可得与x之间的函数关系式； （2）将配方后，利用二次函数的性质，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，垂直于墙的边，则， ∴矩形的面积， ∴与x之间的函数关系式为； （2）∵， ∴当时，最大，最大面积为50平方米． 8．（24-25九年级上·山西临汾·期末）综合与实践 “爱临汾，赢未来”已成为每个临汾人的情感共识和行动指南．为了扎实推进健康临汾建设，全力打造干净整洁、文明和谐的市容环境，城市绿化部门定期安排洒水车为公路两侧绿化带浇水．认真读取下表中的信息，完成下列相应任务． 信息1 如图1：一洒水车正为绿化带浇水，洒水车沿着平行于公路方向行驶． 信息2 如图2： ①洒水车的喷水口H，离地竖直高度米． ②把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象． ③把绿化带横截面抽象为矩形，其竖直高度米，水平宽度米． ④下边缘抛物线y，是由上边缘抛物线y，向左平移得到，上边缘抛物线y，最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.5米． 问题解决 任务1 确定浇灌方式 （1）求上边缘抛物线的函数关系式，并求出喷出水的最大射程． （2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标． 任务2 提倡有效浇灌 （3）当时，判断洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带，并说明理由． 【答案】（1），喷出水的最大射程为；（2）；（3）不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数是实际应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数与坐标轴的交点等知识，读懂题意，建立二次函数模型． （1）根据题意可得是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点，用顶点式即可求解函数解析式，求出函数值为时的的值即可求喷出水的最大射程； （2）根据对称轴为直线可得点的对称点为,则是由向左平移得到的，即可求出点的坐标； （3）根据，求出点F的坐标，利用增减性可得的最大值和最小值，从而得出答案． 【详解】（1）解：如图1，由题意得是外边缘抛物线的顶点， 设函数解析式为， 又∵抛物线过点， ， ， ∴外边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，（舍去）， ， ∴喷出水的最大射程为； （2）解：设：向左平移h个单位长度得到， 则， 把代入得， 解得：（舍去），． ， ； （3）答：不能浇灌到整个绿化带． 理由如下： ，， ， ∴点F的横坐标为6． 把时代入， 所以不能浇灌到整个绿化带． 9．（24-25九年级上·山西朔州·期末）AI自习室的出现方便了学生的学习，提高了学习效率．小李经营一家AI自习室，共有24个房间，当每个房间的定价为200元/天时，房间会全部被占用．小李调研发现，当每个房间的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．请利用二次函数的知识，帮助小李计算当每间房间的定价为多少时，AI自习室每天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 【答案】当每间房间的定价为元时，AI自习室每天的营业额最大，最大营业额为元 【分析】本题考查二次函数的实际运用，解题的关键在于根据题意建立二次函数关系式．根据“每天的营业额每间房间的定价房间数”建立二次函数关系式，再结合二次函数性质求解，即可解题． 【详解】解：由题知，， 整理得， 有， 化为顶点式为， ， 当时，每天的营业额最大，最大营业额为元． 10．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 为践行五育融合，落实劳动教育，引导学生在劳动实践中树立正确的劳动观点和劳动态度，某校开展了“劳动周”主题实践活动．图1所示是该学校劳动实践园地截面示意图，其中为该园地斜坡坡面所在直线，，分别表示斜坡在竖直平面内的铅直高度和水平宽度．斜坡顶部处有一竖立的喷灌，C处喷头可以沿斜坡向下喷水（喷出的水流成抛物线状），用于浇灌园地内种植的植物．当喷灌喷射最远时，喷出的水流正好能喷到坡脚处，此时水流最高点距的水平距离为1米．现已知米，米，米． 数学建模： （1）在图1中，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．当喷出的水流刚好喷到坡脚处时，设水流某处距离的高度为（米），该处距离的水平距离为（米），求与之间的函数表达式； 问题解决： （2）“智慧小组”提出问题：若点为（1）中抛物线上任意一点，过点作的垂线，与相交于点，设点的横坐标为，线段的长度为，求出函数的最大值，并再写出函数的一条性质．请你解答此问题； （3）如图2，“劳动实践”小组计划在斜坡的范围内种植铅直高度为米的雪冬青，为保证喷灌喷射最远时，喷出的水流不被破坏，要求最外侧的雪冬青顶端与水流间的铅直距离为．请直接写出斜坡的长度． 【答案】（1）；（2），当时，d随m的增大而减小；（3）米 【分析】（1）根据题意，得到抛物线的顶点坐标的横坐标为1，不妨设抛物线的解析式为，根据题意，得于是得到，代入解析式解方程组解答即可． （2）利用待定系数法，求得直线的解析式为：，根据抛物线的解析式，结合点M的横坐标为m，可设点，则，则 ，利用二次函数的性质解答即可． （3）过点E作于点H，过点F作于点Q，交抛物线于点D，过点F作于点T，则，四边形是矩形，故，利用解析式，三角函数解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得到抛物线的顶点坐标的横坐标为1， 不妨设抛物线的解析式为， 根据题意，得， 故，代入解析式，得， 解得， ∴ 故抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设点，则， 则 ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 且当时，d有最大值为， 故当时，d随m的增大而减小． （3）解：根据题意，高度为米的雪冬青，最外侧的雪冬青顶端与水流间的铅直距离为m． 过点E作于点H，过点F作于点Q，交抛物线于点D， 过点F作于点T， 则，四边形是矩形， 故，， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 根据抛物线的性质，， ∴， ∵米，米， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（米）． 【点睛】本题考查了待定系数法，构造二次函数求最值，解方程，三角函数的应用，矩形的判定和性质，熟练掌握待定系数法，二次函数的性质，三角函数的应用是解题的关键． 11．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）（项目学习）学科实践 Ⅰ．驱动任务：在日益繁华的城市，“冲上云霄”的高楼随处可见，往往让人产生视觉疲劳，汾阳市某中学为了减缓学生视觉疲劳和学习压力，特在校园中修建了几个赏心悦目的花园，并将花园大门的顶部设计成了抛物线型（如图1所示）．春节将至，数学兴趣小组协助工人师傅进行装饰大门的工作． Ⅱ．研究步骤： （1）如图2，兴趣小组测得大门的宽米，为大门两旁的立柱，其高度为2米，抛物线型拱顶最高处点C距地面的距离为米； （2）兴趣小组了解了工人师傅的设计要求，在C点处插一面红旗，在抛物线拱顶上挂一对红灯笼．两个悬挂点到地面距离相等，同时做好固定装饰物的工作． Ⅲ．问题解决：请根据研究步骤与相关数据，完成下列任务： （1）为了安全起见，工人师傅要将旗杆用铁丝固定，如图3所示，线段可看成是固定时所用的铁丝（不考虑接口处所需铁丝长度）．则固定旗杆需要的铁丝长度为 米（结果保留根号），若连接，则 ． （2）请在图3中以线段所在的直线为x轴，线段所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． （3）如图3，假设点F，点E为悬挂灯笼的位置，考虑到安全因素，工人师傅要用铁丝对灯笼的悬挂位置进行再次固定，且保证所绑铁丝与绑定旗杆所用的铁丝垂直，即于点P，于点Q（为所绑铁丝），固定的过程中，每个接口处所需铁丝长度为．请你通过计算，确定绑定一对红灯笼所需铁丝的最大长度．（不考虑其他因素，结果保留根号）． 【答案】（1），；（2）（或），（3）． 【分析】（1）连接，过点作于点，交于点，由题意可知，，，，，，求出，即可求解； （2）先求出点，即可求出二次函数表达式； （3）先求出，则要求最大值，可先求最大值，求出直线解析式为，设，则，则， 则最大值为，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点，交于点，如图： 由题意可知，，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，即， ∴， 即固定旗杆需要的铁丝长度为， 故答案为：，； （2）如图所示： ∵为大门两旁立柱，且高均为2米， ∴， ∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称， 又∵， ∴顶点C的横坐标为， 又∵C距地面的距离为米， ∴， 设抛物线表达式为， 由题意知， 将，代入中， 解得： ， ∴抛物线表达式为或； （3）如图，连接，过点作轴平行线，交于点H，交于点I， 由题意知：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则， ∴， ∴要求最大值，可先求最大值， 设直线解析式为， 将)， ，代入，得： ， 解得：， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴最大值为， ∴， ∴， 四个接口处所需铁丝长度为， ∴绑定一对红灯笼所需铁丝的最大长度为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，求一次函数解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． 12．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）暑假期间，小颖到某超市参加了社会实践活动，在活动中她参与了某种笔记本的销售工作．已知这种笔记本的进价为8元/本，在销售过程中发现，这种笔记本每天的销售量（本）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示． 销售单价（元） 12 14 16 每天的销售量（本） 240 180 120 (1)求与之间的函数关系式； (2)结合所学知识，小颖还发现超市销售该种笔记本每天获得的纯利润与销售单价之间也满足一种函数关系，请你帮助小颖求出该函数关系式，并求出当该种笔记本单价定为多少元时，才能使超市销售该种笔记本每天获得的纯利润最大？最大纯利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当该种笔记本单价定为元时，才能使超市销售该种笔记本每天获得的纯利润最大，最大纯利润是元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用和二次函数的应用，熟练掌握一次函数和二次函数的综合应用是解决此题的关键． （1）已知销售量与销售单价满足一次函数关系，可设一次函数表达式为，然后将表格中的两组数据代入，通过解方程组求出和的值，进而得到与满足的一次函数关系； （2）根据“纯利润 = 每本的利润×销售量”列出纯利润关于销售单价的函数关系式，该函数为二次函数，再根据二次函数的性质求出纯利润的最大值以及对应的销售单价． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 将表中数据作为点，代入解析式得， ，解得， 与的函数关系式为； （2）解：根据题意得：设笔记本每天获得的纯利润为， ， ，， 当时，取最大值，最大值为， 答：当该种笔记本单价定为元时，才能使超市销售该种笔记本每天获得的纯利润最大，最大纯利润是元． 13．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与实践 项目主题：劳动基地扩建方案 项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取： 信息1，如图，原劳动基地为矩形，的长为，的长为； 信息2，如图，扩建后新劳动基地仍为矩形，的最大长度为，的最大长度为． 问题解决： (1)设该劳动基地两边增加相同的宽度，请直接写出新劳动基地的面积与的函数关系式． (2)在（1）的条件下，当新劳动基地的面积为时，求和的长． (3)当时，新劳动基地的面积可以为吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不可以，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）求出新劳动基地的长和宽，根据矩形的面积公式求出面积与的函数关系式即可； （2）当时，得一元二次方程，求解即可； （3）假设扩建后的劳动基地的面积可以为，设，则，根据扩建后的劳动基地的面积为，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，将其正值代入中，可求出，由该值大于52，即可得出假设不成立，即当时，扩建后的劳动基地的面积不能为． 【详解】（1）解：设将原劳动基地的长增加，则扩建后的劳动基地的长为，宽为， 所以，； （2）解：当时，， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 所以，． （3）解：当时，扩建后的劳动基地的面积不能为，理由如下： 假设扩建后的劳动基地的面积可以为，设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴，不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即当时，扩建后的劳动基地的面积不能为． 14．（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与实践 问题情境： 某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任—平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． 建立模型： （1）以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； 问题解决： （2）张师傅正在喷泉景观内维修设备，期间喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次函数的应用和待定系数法求解析式， （1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式； （2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可； 【详解】解：（1）根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，， 设第一象限内的抛物线解析式为， 将点代入抛物线解析式，得，解得， ∴第一象限内的抛物线解析式为； （2）根据题意，令， 即，解得，， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，， ∴d的取值范围为． 地 城 考点08 二次函数与几何图形综合 一、填空题 1．（24-25九年级上·山西忻州·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，经过点A、B的抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）的顶点为E．若△ABE为等腰直角三角形，则a的值为 ． 【答案】 【分析】过E作EF⊥x轴于F，交AB于D，先求出抛物线的对称轴，再根据正方形OABC和△ABE为等腰直角三角形可求出A点和E点坐标，从而求出抛物线解析式，求出a的值． 【详解】解：∵抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B， ∴抛物线的对称轴是直线x＝2，且A、B关于直线x＝2对称， 过E作EF⊥x轴于F，交AB于D， ∵△ABE为等腰直角三角形， ∴AD＝BD＝2， ∴AB＝4，DE＝AB＝2， ∵四边形OABC是正方形， ∴OA＝AB＝BC＝OC＝4，EF＝4+2＝6， ∴A（0，﹣4），E（2，﹣6）， 把A、E的坐标代入y＝a（x﹣2）2+c得： 解得：a＝ 故答案为 【点睛】本题主要考查了正方形，直角三角形和抛物线解析式等知识点，先求出A点和E点坐标是解题关键． 2．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)或； 【分析】本题考查了二次函数—几何综合，解题关键是熟练掌握二次函数的图像及性质． （1）因为抛物线的对称轴为直线点坐标为在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标； ②先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）解：因为抛物线的对称轴为直线点坐标为在抛物线上，则∶ ， 解得∶． 所以抛物线的解析式为∶． （2）①抛物线的解析式为， 抛物线与y轴交点坐标为， ， 设点坐标为， ∵ ， ． 当时，， 当时，． 点的坐标或， ②设直线的解析式为，将代入， 得， 解得∶． 即直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标为， ∴， 当时，有最大值． 3．（24-25九年级上·山西运城·期末）已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求线段的最大值． (3)在直线找一点，使得为等腰三角形，直接写出点坐标 【答案】(1) (2)线段的最大值为 (3)Q点的坐标为或或或 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合运用，数形结合是解本题的主要思想，注意等腰三角形求解时需要进行多种情况讨论． （1）直接利用待定系数法，将B、C两点坐标代入解析式即可求得抛物线解析式； （2）根据B、C坐标求出BC所在直线解析式为：，设点，则，进而求得，再根据二次函数的性质求解即可； （3）由于Q点在直线上，所以设Q点坐标为，由此可以表示出，，，根据等腰三角形的性质，分三种情况进行讨论，即可求得Q点坐标． 【详解】（1）解：由题意得，将B、C两点坐标代入解析式得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：设BC所在直线解析式为：， 将B、C两点坐标代入解析式得：， 解得：， ∴BC所在直线解析式为：， 设点，则， ∴ ， ∵，开口向下， ∴线段的最大值为； （3）解：设Q点坐标为, ∵，， ∴，，， 为等腰三角形分三种情况： ①当时，， 解得：， 此时Q点的坐标为或； ②当时，， 解得：或（舍去）， 此时点Q的坐标为； ③当时，有， 解得：， 此时点Q的坐标为， 综上所述，Q点的坐标为或或或． 4．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与探究：如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)点是直线下方的抛物线上一动点，连接，，，当四边形的面积最大时，求点的坐标． (3)点是抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）根据待定系数法求抛物线解析式； （2）过点作轴于点，交于点．设，则，，，进而根据二次函数的性质求得取得最大值时，的值，进而求得点的坐标； （3）分情况讨论，根据抛物线的性质以及平行四边形的性质先求得的坐标进而求得点的坐标． 【详解】（1）将，分别代入， 得 解得 该抛物线的表达式为． （2）对于，令，则， ， 可设直线的表达式为， 将代入， 得，解得， 如图（1），过点作轴于点，交于点． 设，则， ． ，，， ，，， ， ，， 当时，取最大值，最大值为， 此时点的坐标为． （3）存在．点的坐标为或或或． 设，． ，． 如图（2），①当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，可得 解得（舍去）或 ，． ②当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，可得 解得或 ，或， ． ③当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，可得 解得（舍去）或 ，． 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法，二次函数最值，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 5．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)求点，的坐标及直线的函数表达式； (2)抛物线的对称轴与交于点，点是线段上一动点，过点作的平行线，与对称轴交于点，与轴交于点，当时，求点的坐标及的长； (3)若点是抛物线上的点，且，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)， (3)点的坐标为或 【分析】（1）对于，令，求解后可得，；当时，可得，设直线的函数表达式为，将点，，代入可得，求解即可； （2）确定对称轴为直线，轴，分两种情况：当点在线段上时， 当点在线段上时，可得点的坐标为，由勾股定理得，再由，可得结论； （3）当点在轴上方时，如图，设与轴交于点，过点作于点，得，推出，，设，证明，得，即，求出，由勾股定理，得，求出，确定直线的解析式为，令，求解后得；当点在轴下方时，由对称性求出直线的函数表达式为，再由，求解即可得出结论． 【详解】（1）解：令， 解得：，， ∴，， 对于，当时，， ∴， 设直线的函数表达式为，过点，， 得：，解得：， 直线的函数表达式为； （2）∵抛物线， ∴对称轴为直线：，轴， 当点在线段上时， 如图，过点作轴的垂线，交轴于点，交对称轴于点，则， ∵轴即，， ∴，， ∴， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴． 对于，当时，， ∴； 当点在线段上时， ∵轴即，， ∴，， ∴， ∴，不符合题意； 综上所述，点的坐标为； ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当点在轴上方时， 如图，设与轴交于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 设直线的解析式为：，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 令， 解得，， ∴； 当点在轴下方时，知直线与直线关于轴对称， ∴直线的函数表达式为， 令， 解得：，， ∴． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是抛物线的综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点，一次函数与抛物线的交点，待定系数法确定函数解析式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识点，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，确定一次函数与抛物线的交点坐标． 6．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与探究 如图，抛物线经过点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式． (2)点是直线下方抛物线上一动点，设点的横坐标为，过点作轴的垂线交于点． ①过点作与抛物线的对称轴交于点，当时，求的值． ②连接，是否存在点，使得的一个内角的度数是的2倍？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①的值为4或；②存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法将，代入求得抛物线的函数表达式即可； （2）①结合函数解析式求得点，利用待定系数法将，代入求得直线的函数表达式，则有点D和点E的坐标求得，进一步求得对称轴和，过点作直线的垂线，垂足为．分两种情况：当点在直线右侧时，有，则，结合，求得，联立求解即可；当点在直线左侧时，得，联立求得即可． ②作点关于轴的对称点，连接，则．分三种情况讨论：当时，得，进一步求得直线的函数表达式，将直线向下平移6个单位长度可得直线得的函数表达式，联立求解即可；当时，易知，则退出矛盾；当时，易得，由，得，由于与点关于直线对称的点在直线上，过点作于点，结合，由此解得和，进一步求得直线的函数表达式，联立求解即可． 【详解】（1）解：将，的坐标分别代入， 得 解得 ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：①对于， 当时，， ∴． 设直线的函数表达式为， 将，的坐标分别代入， 得解得 ∴直线的函数表达式为． ∵点的横坐标为（），轴， ∴，， ∴． ∵，， ∴抛物线的对称轴为直线，． 过点作直线的垂线，垂足为． 当点在直线右侧时，如图（1）， 由题意知，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 解得，（舍去）． 当点在直线左侧时，如图（2）． 同理得， ∵， ∴， 解得（舍去），． 综上可知，的值为4或． ②存在．点的坐标为或． 作点关于轴的对称点，连接， 则，． 分三种情况讨论： ⅰ．当时，， ∴． 设直线的函数表达式为 ∵，， ∴，解得， 则直线的函数表达式为． 那么，将直线向下平移6个单位长度可得直线， ∴直线的函数表达式为． 令， 解得（舍去），， ∴． ⅱ．当时， ∵过点作轴的垂线交于点， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， 故此种情况不存在． ⅲ．当时，如图， 则． ∵， ∴， ∴， ∴与点关于直线对称的点在直线上． 过点作于点，则， 设点，则，解得， 则， ∴． ∵，， ∴直线的函数表达式为． 令，解得，（舍去）， ∴． 综上可知，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数和几何的结合，涉及待定系数法求解析式、与坐标轴的交点、勾股定理、解直角三角形、对称的性质、平行线的性质、函数的平移和等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和解直角三角形． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 二次函数 8大高频考点概览 考点01 二次函数概念理解 考点02 二次函数的性质 考点03 确定二次函数解析式 考点04二次函数图象的平移 考点05 二次函数图象与各项系数的关系 考点06 二次函数与方程、不等式关系 考点07 二次函数的实际应用 考点08 二次函数与几何图形综合 地 城 考点01 二次函数概念理解 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上山西太原·期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山西临汾·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 5．（23-24九年级上·山西运城期末）已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加时，正方体的表面积增加，则y与x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上山西晋中·期末）已知二次函数，则 ． 地 城 考点02 二次函数的性质 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西长治·期末）对于抛物线，下列说法错误的是（ ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．当时，的最小值为1 2．（24-25九年级上·山西朔州·期末）抛物线的对称轴是（   ） A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 3．（24-25九年级上·山西临汾·期末）对于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数的最大值为 D．当时，函数值随的增大而增大 4．（24-25九年级上·山西临汾·期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴交点为 D．顶点坐标是 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．其图像的开口向上 B．其图像的对称轴为直线 C．其最小值为5 D．当时，y随x的增大而增大 6．（24-25九年级上·山西长治·期末）对于二次函数的描述正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．图像开口向下，且函数有最大值 D．当时，函数值y随x的增大而增大 7．（24-25九年级上·山西大同·期末）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·山西运城·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数的最大值是6 D．当时，y的值随x值的增大而增大 9．（24-25九年级上·山西运城·期末）如图，正方形的边长为8，点E，F分别是上的两个动点，且，则的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D．3 10．（24-25九年级上·山西晋中期末）在同一直角坐标系中，直线与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上山西吕梁·期末）已知二次函数，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．函数的最大值为 C．当时，随的增大而减小 D．若，则 12．（24-25九年级上山西阳泉期末）二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·山西晋城期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线：．，，为抛物线上三点，若，那么，与之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·山西晋中期末）将二次函数y＝x2+4x+3化成顶点式，变形正确的是(    ) A．y＝(x﹣2)2﹣1 B．y＝(x+1)(x+3) C．y＝(x﹣2)2+1 D．y＝(x+2)2﹣1 二、填空题 15．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）已知二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：当时，x的取值范围是 ． x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 16．（24-25九年级上·山西大同期末）已知A(-4，y1)，B(-1，y2)，C(2，y3)三点都在二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 ． 17．（24-25九年级上·山西吕梁期末）用配方法将二次函数化成的形式是 ． 地 城 考点03 确定二次函数解析式 一、填空题 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在正方形中，点，的坐标分别为，，点在抛物线的图象上，则的值为 ． 2．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点P，则点P的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·山西大同·期末）顶点是，且与抛物线的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为 ． 二、解答题 4．（24-25九年级上·山西运城·期末）如图，抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点，点D是抛物线中上方的一点，点E在线段上，直线交x轴于点F． (1)求点A的坐标，并直接写出直线的函数解析式； (2)若点F与点O重合，当时，求点D的坐标； (3)连接 ，当与相似，且相似比为时，请直接写出直线的函数解析式． 5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）若二次函数的图象经过两点，求该二次函数的表达式． 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组与的对应值． … … … … (1)求该二次函数的表达式； (2)该二次函数的图象与直线恒有两个交点，，请直接写出的取值范围． 地 城 考点04 二次函数图象的平移 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西大同·期末）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）把抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）将抛物线向下平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山西长治·期末）将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·山西晋中·期末）将函数的图象向左平移3个单位长度后得到的新抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·山西忻州·期末）将函数的图象向左平移个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·山西忻州·期末）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线表达式为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·山西忻州·期末）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 10．（24-25九年级上·山西忻州·期末）将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（　　） A．y=﹣2（x+1）2﹣1 B．y=﹣2（x+1）2+3 C．y=﹣2（x﹣1）2+1 D．y=﹣2（x﹣1）2+3 二、填空题 11．（24-25九年级上·山西晋中·期末）将抛物线向左平移2个单位，得到的抛物线解析式为 ． 12．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）把二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位，所得的图象函数表达式是 . 地 城 考点05 二次函数图象与各项系数的关系 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西长治·期末）抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为直线，过点和点，有下列结论：①；②对任意实数m都有：；③；④若，则．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论： ①；②；③； ④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25九年级上·山西大同·期末）已知二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，有下列结论： ①；②；③；④当时，随的增大而增大．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 4．（24-25九年级上·山西忻州·期末）二次函数（、、是常数，且）的图像如图所示，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 二、填空题 6．（24-25九年级上·山西长治·期末）平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且经过，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③点在抛物线上，则；④点在抛物线上且，则，正确结论的序号是 ． 地 城 考点06 二次函数与方程、不等式关系 一、 单选题 1．（（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，函数y1＝x+1与函数y2的图象交于M（1，m）和N（﹣2，n）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）已知二次函数（a，b，c是常数，）的自变量与函数的部分对应值如下表： ... ... ... ... 下列结论正确的是（   ） A．函数图象开口向上 B． C．当时，随的增大而减小 D．关于的一元二次方程（a，b，c是常数，）有两个不相等的实数根 3．（（24-25九年级上·山西大同·期末）若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是（    ） A． B． C．0 D．或 4．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）如图，抛物线的对称轴为直线，且与轴相交于点，则方程的根为（   ） A． B． C． D． 5．（（24-25九年级上·山西忻州·期末）如表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值，那么最接近方程的一个根是（   ） x 1 y A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4 6．（（24-25九年级上·山西大同·期末）我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫作“鹊桥”函数．某同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），则下列结论错误的是（   ） A．图象与坐标轴的交点为和 B．图象的对称轴是直线 C．当和时，函数值y随x的增大而增大 D．函数的最小值是0，最大值是4 7．（（24-25九年级上·山西晋中·期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（    ） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 A． B． C． D． 三、解答题 8．（（24-25九年级上·山西大同·期末）若抛物线（c是常数）与x轴有两个公共点，则c的取值范围是 ． 三、解答题 9．（24-25九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数． (1)该二次函数的图像与x轴的交点坐标是 、 ，顶点坐标是 ； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图像；（要求至少描出5个格点） (3)当时，结合函数图像，直接写出y的取值范围 ． 地 城 考点07 二次函数的实际应用 一、 填空题 1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图为某兴趣小组绘制的跳台滑雪赛道的截面图，以停止区所在水平线为x轴，过起跳点C且与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，着陆坡的坡度为．某运动员第一次训练时在C处起跳腾空后，飞行至着陆坡的D处着陆．在这次训练过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离之间满足二次函数关系，且．若点D的横坐标为，则运动员离着陆坡的最大竖直距离为 m． 二、解答题 2．（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与实践 【问题情境】如图1是某景区的音乐喷泉，其水流的形状可近似地看成抛物线的一部分．某校九年级数学兴趣小组欲测量该抛物线水流的最高点与地面的距离． 【方案设计】如图2，该抛物线水流与地面的交点分别记为A，B，且的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点即为抛物线水流的最高点与地面的距离．小组成员设计的方案如下：拿一根长的竹竿，竖直地放在线段上当水流刚好经过竹竿顶部点时，测得竹竿底部点到点的距离为． 【问题解决】 (1)在图2中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式和的长． (2)如果该小组成员想在喷泉下方拍照留念，恰好他们的身高都是，请问他们最多能站多宽才不会被水淋到该小组成员站在线段上拍照．，结果保留整数 3．（24-25九年级上·山西长治·期末）中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》将以“巳巳如意，生生不息”为主题，“巳巳如意”是对每个人新年万事如意的祝愿，而“生生不息”则象征着文化的传承与生命力的延续，某服装零售市场购进一批印有“巳巳如意”图案的拜年套装出售，成本价为每套100元，当售价为每套180元时，平均每周能售出500套．为尽快回拢资金，市场决定降价销售，经调研发现，若该套装的销售单价每降低5元，每周就能多售出50套． (1)若该市场希望每周出售该套装获得利润36000元，则该套装的销售单价应该定为多少元？ (2)当该套装的销售单价定为多少元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润？最大利润为多少元？ 4．（24-25九年级上·山西长治·期末）二次函数的图象交x轴于A、D两点，且A点坐标是，图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)求函数图象的顶点坐标及D点的坐标； (3)二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得的周长最小？若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，请说明理由． 5．（24-25九年级上·山西长治·期末）【项目式学习】 项目主题：安全用电，防患未然． 项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究． （1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴O距离地面的高度OC为 米； 任务二：模型构建 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． （2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米． ①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； ②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为 米； 任务三：问题解决 （3）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少 米． 6．（24-25九年级上·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境： 学校有一块矩形空地，空地中有一条小路可近似地看成抛物线的一部分，该抛物线的顶点在矩形空地的边上．为了将此矩形空地加以利用，设置课外活动区和劳动实践区，其余部分为绿化区域，现面向全体同学征集设计方案． 方案设计： 小慧同学设计了如下方案： 第一步，如图1，在矩形中，，以边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，其中抛物线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的顶点在矩形的边上．根据测得的数据得到小路所在抛物线的函数表达式为． 第二步：如图2，连接，将其作为小路，在线段上取一点，过点作轴与抛物线交于点，连接，将设置为课外活动区． 第三步：如图2，在线段上取一点，过点分别作轴于点，轴于点，将四边形设置为劳动实践区． 问题解决： (1)请直接写出直线的函数表达式． (2)①当是以为底边的等腰三角形时，求所设置的课外活动区底边的长；②求所设置的劳动实践区（四边形）的最大面积． (3)在满足（2）的条件下，请直接写出此矩形空地中绿化区域的面积．（小路的面积忽略不计） 7．（24-25九年级上·山西临汾·期末）为了加强学生的素质教育，让学生看到自己的劳动成果，某中学围建了一个如图所示的矩形苗圃园让学生种菜，苗圃园其中一边靠墙（墙的长度α足够长），另外三边用长为20米的篱笆围成．设垂直于墙的一边长为x米，苗圃园面积为S平方米． (1)求S关于x的函数关系式； (2)当x为何值时，所围苗圃园的面积S最大？最大面积是多少？ 8．（24-25九年级上·山西临汾·期末）综合与实践 “爱临汾，赢未来”已成为每个临汾人的情感共识和行动指南．为了扎实推进健康临汾建设，全力打造干净整洁、文明和谐的市容环境，城市绿化部门定期安排洒水车为公路两侧绿化带浇水．认真读取下表中的信息，完成下列相应任务． 信息1 如图1：一洒水车正为绿化带浇水，洒水车沿着平行于公路方向行驶． 信息2 如图2： ①洒水车的喷水口H，离地竖直高度米． ②把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象． ③把绿化带横截面抽象为矩形，其竖直高度米，水平宽度米． ④下边缘抛物线y，是由上边缘抛物线y，向左平移得到，上边缘抛物线y，最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.5米． 问题解决 任务1 确定浇灌方式 （1）求上边缘抛物线的函数关系式，并求出喷出水的最大射程． （2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标． 任务2 提倡有效浇灌 （3）当时，判断洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带，并说明理由． 9．（24-25九年级上·山西朔州·期末）AI自习室的出现方便了学生的学习，提高了学习效率．小李经营一家AI自习室，共有24个房间，当每个房间的定价为200元/天时，房间会全部被占用．小李调研发现，当每个房间的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．请利用二次函数的知识，帮助小李计算当每间房间的定价为多少时，AI自习室每天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 10．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 为践行五育融合，落实劳动教育，引导学生在劳动实践中树立正确的劳动观点和劳动态度，某校开展了“劳动周”主题实践活动．图1所示是该学校劳动实践园地截面示意图，其中为该园地斜坡坡面所在直线，，分别表示斜坡在竖直平面内的铅直高度和水平宽度．斜坡顶部处有一竖立的喷灌，C处喷头可以沿斜坡向下喷水（喷出的水流成抛物线状），用于浇灌园地内种植的植物．当喷灌喷射最远时，喷出的水流正好能喷到坡脚处，此时水流最高点距的水平距离为1米．现已知米，米，米． 数学建模： （1）在图1中，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．当喷出的水流刚好喷到坡脚处时，设水流某处距离的高度为（米），该处距离的水平距离为（米），求与之间的函数表达式； 问题解决： （2）“智慧小组”提出问题：若点为（1）中抛物线上任意一点，过点作的垂线，与相交于点，设点的横坐标为，线段的长度为，求出函数的最大值，并再写出函数的一条性质．请你解答此问题； （3）如图2，“劳动实践”小组计划在斜坡的范围内种植铅直高度为米的雪冬青，为保证喷灌喷射最远时，喷出的水流不被破坏，要求最外侧的雪冬青顶端与水流间的铅直距离为．请直接写出斜坡的长度． 11．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）（项目学习）学科实践 Ⅰ．驱动任务：在日益繁华的城市，“冲上云霄”的高楼随处可见，往往让人产生视觉疲劳，汾阳市某中学为了减缓学生视觉疲劳和学习压力，特在校园中修建了几个赏心悦目的花园，并将花园大门的顶部设计成了抛物线型（如图1所示）．春节将至，数学兴趣小组协助工人师傅进行装饰大门的工作． Ⅱ．研究步骤： （1）如图2，兴趣小组测得大门的宽米，为大门两旁的立柱，其高度为2米，抛物线型拱顶最高处点C距地面的距离为米； （2）兴趣小组了解了工人师傅的设计要求，在C点处插一面红旗，在抛物线拱顶上挂一对红灯笼．两个悬挂点到地面距离相等，同时做好固定装饰物的工作． Ⅲ．问题解决：请根据研究步骤与相关数据，完成下列任务： （1）为了安全起见，工人师傅要将旗杆用铁丝固定，如图3所示，线段可看成是固定时所用的铁丝（不考虑接口处所需铁丝长度）．则固定旗杆需要的铁丝长度为 米（结果保留根号），若连接，则 ． （2）请在图3中以线段所在的直线为x轴，线段所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． （3）如图3，假设点F，点E为悬挂灯笼的位置，考虑到安全因素，工人师傅要用铁丝对灯笼的悬挂位置进行再次固定，且保证所绑铁丝与绑定旗杆所用的铁丝垂直，即于点P，于点Q（为所绑铁丝），固定的过程中，每个接口处所需铁丝长度为．请你通过计算，确定绑定一对红灯笼所需铁丝的最大长度．（不考虑其他因素，结果保留根号）． 12．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）暑假期间，小颖到某超市参加了社会实践活动，在活动中她参与了某种笔记本的销售工作．已知这种笔记本的进价为8元/本，在销售过程中发现，这种笔记本每天的销售量（本）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示． 销售单价（元） 12 14 16 每天的销售量（本） 240 180 120 (1)求与之间的函数关系式； (2)结合所学知识，小颖还发现超市销售该种笔记本每天获得的纯利润与销售单价之间也满足一种函数关系，请你帮助小颖求出该函数关系式，并求出当该种笔记本单价定为多少元时，才能使超市销售该种笔记本每天获得的纯利润最大？最大纯利润是多少元？ 元． 13．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与实践 项目主题：劳动基地扩建方案 项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取： 信息1，如图，原劳动基地为矩形，的长为，的长为； 信息2，如图，扩建后新劳动基地仍为矩形，的最大长度为，的最大长度为． 问题解决： (1)设该劳动基地两边增加相同的宽度，请直接写出新劳动基地的面积与的函数关系式． (2)在（1）的条件下，当新劳动基地的面积为时，求和的长． (3)当时，新劳动基地的面积可以为吗？请说明理由． 14．（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与实践 问题情境： 某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任—平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． 建立模型： （1）以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； 问题解决： （2）张师傅正在喷泉景观内维修设备，期间喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围． 地 城 考点08 二次函数与几何图形综合 一、填空题 1．（24-25九年级上·山西忻州·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，经过点A、B的抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）的顶点为E．若△ABE为等腰直角三角形，则a的值为 ． 2．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． 3．（24-25九年级上·山西运城·期末）已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求线段的最大值． (3)在直线找一点，使得为等腰三角形，直接写出点坐标 4．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与探究：如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)点是直线下方的抛物线上一动点，连接，，，当四边形的面积最大时，求点的坐标． (3)点是抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)求点，的坐标及直线的函数表达式； (2)抛物线的对称轴与交于点，点是线段上一动点，过点作的平行线，与对称轴交于点，与轴交于点，当时，求点的坐标及的长； (3)若点是抛物线上的点，且，请直接写出点的坐标． 6．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与探究 如图，抛物线经过点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式． (2)点是直线下方抛物线上一动点，设点的横坐标为，过点作轴的垂线交于点． ①过点作与抛物线的对称轴交于点，当时，求的值． ②连接，是否存在点，使得的一个内角的度数是的2倍？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $