专题04 指对幂等函数值的大小比较（复习课件）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学高考复习课件聚焦“指对幂等函数值大小比较”核心考点，依据高考评价体系梳理近三年真题频次，如2023年一考T11.5分、2025年一考T8.5分，归纳出利用单调性、中间值、构造函数等8种常考题型，构建完整备考体系。 课件亮点在于“真题精讲+技巧建模”，如2025年全国卷一T8通过构造函数法突破，2021年全国乙卷结合放缩法分析，培养学生数学思维与数学语言表达能力。特设“易错陷阱警示”和“答题模板”，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

指对幂等函数值的大小比较 模块二 专题04 1 考点一 指对幂等函数值的大小比较 真题动向 必备知识 知识1 指对幂函数的单调性 知识2 引入中间变量 知识3 换底公式 知识4 构造函数 知识5 常见的估值 知识6 常见函数的麦克劳林展开式 知识7 常见的放缩法 命题预测 考向1 利用函数单调性 考向2 利用中间值 考向3 利用换底公式 考向4 利用构造函数 考向5 数形结合法 考向6 同构法 考向7 估算法 考向8 放缩法2 2 3 2026命题 预测 2026年全国卷指、对、幂函数大小比较仍为高频考点，大概率以选择填空压轴形式呈现，难度中等及以上.命题将延续多函数混合考查趋势，可能融入三角函数，侧重变量关系分析而非固定数值比较.解法核心仍是构造函数结合导数判断单调性，搭配中间值法、放缩法，淡化套路技巧，强调思维转化与知识本质理解，精准区分考生逻辑推理与建模能力. 命题轨迹透视 近三年全国卷中，指、对、幂函数大小比较是经典高频题型，多以选择填空形式呈现，常占据客观题压轴位置，难度集中在中等及以上.命题始终青睐多函数混合考查，除指、对、幂函数外，偶与三角函数融合排序，打破单一模块局限.解法灵活无固定套路，早期侧重利用函数单调性、借助0或1等中间量判断，近年更倾向构造函数，通过导数研究单调性求解.该题型既考查核心概念与性质掌握，又侧重逻辑推理与转化能力，能有效区分不同水平考生，是命题者检验数学思维的重要载体. 考点频次总结     考点 2025年 2024年 2023年 指对幂等函数值的大小比较 常用逻辑用语 一卷T8，5分  甲卷（文）T11，5分 01 析·考情精解 4 5 02 构·知能框架 6 7 考点一 03 破·题型攻坚 真题动向 指对幂等函数值的大小比较 8 考点一 03 破·题型攻坚 真题动向 指对幂等函数值的大小比较 9 考点一 03 破·题型攻坚 真题动向 指对幂等函数值的大小比较 10 考点一 03 破·题型攻坚 真题动向 指对幂等函数值的大小比较 11 考点一 03 破·题型攻坚 真题动向 指对幂等函数值的大小比较 12 考点一 03 破·题型攻坚 真题动向 指对幂等函数值的大小比较 13 考点一 03 破·题型攻坚 真题动向 指对幂等函数值的大小比较 14 考点一 03 破·题型攻坚 真题动向 指对幂等函数值的大小比较 15 考点一 03 破·题型攻坚 真题动向 指对幂等函数值的大小比较 16 考点一 03 破·题型攻坚 真题动向 指对幂等函数值的大小比较 17 特别注意 特别注意 考点一 03 破·题型攻坚 必备知识 指对幂等函数值的大小比较 18 考点一 03 破·题型攻坚 必备知识 指对幂等函数值的大小比较 19 考点一 03 破·题型攻坚 必备知识 指对幂等函数值的大小比较 20 考点一 03 破·题型攻坚 必备知识 指对幂等函数值的大小比较 21 特别注意 考点一 03 破·题型攻坚 必备知识 指对幂等函数值的大小比较 22 考点一 指对幂等函数值的大小比较 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 利用函数单调性 23 考点一 指对幂等函数值的大小比较 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 利用函数单调性 24 考点一 指对幂等函数值的大小比较 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 利用函数单调性 25 考点一 指对幂等函数值的大小比较 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 利用函数单调性 26 考点一 指对幂等函数值的大小比较 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 利用函数单调性 27 考点一 指对幂等函数值的大小比较 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 利用函数单调性 28 考点一 指对幂等函数值的大小比较 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 利用函数单调性 29 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向2 利用中间值 指对幂等函数值的大小比较 30 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向2 利用中间值 指对幂等函数值的大小比较 31 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向2 利用中间值 指对幂等函数值的大小比较 32 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向2 利用中间值 指对幂等函数值的大小比较 33 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向2 利用中间值 指对幂等函数值的大小比较 34 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向2 利用中间值 指对幂等函数值的大小比较 35 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向3 利用换底公式 指对幂等函数值的大小比较 36 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向3 利用换底公式 指对幂等函数值的大小比较 37 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向3 利用换底公式 指对幂等函数值的大小比较 38 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向3 利用换底公式 指对幂等函数值的大小比较 39 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向3 利用换底公式 指对幂等函数值的大小比较 40 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向3 利用换底公式 指对幂等函数值的大小比较 41 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向3 利用换底公式 指对幂等函数值的大小比较 42 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向4 利用构造函数 指对幂等函数值的大小比较 43 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向4 利用构造函数 指对幂等函数值的大小比较 44 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向4 利用构造函数 指对幂等函数值的大小比较 45 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向4 利用构造函数 指对幂等函数值的大小比较 46 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向4 利用构造函数 指对幂等函数值的大小比较 47 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向5 数形结合法 指对幂等函数值的大小比较 48 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向5 数形结合法 指对幂等函数值的大小比较 49 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向5 数形结合法 指对幂等函数值的大小比较 50 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向5 数形结合法 指对幂等函数值的大小比较 51 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向5 数形结合法 指对幂等函数值的大小比较 52 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向5 数形结合法 指对幂等函数值的大小比较 53 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向5 数形结合法 指对幂等函数值的大小比较 54 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向6 同构法 指对幂等函数值的大小比较 55 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向6 同构法 指对幂等函数值的大小比较 56 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向6 同构法 指对幂等函数值的大小比较 57 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向6 同构法 指对幂等函数值的大小比较 58 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向6 同构法 指对幂等函数值的大小比较 59 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向6 同构法 指对幂等函数值的大小比较 60 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向7 估算法 指对幂等函数值的大小比较 61 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向7 估算法 指对幂等函数值的大小比较 62 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向7 估算法 指对幂等函数值的大小比较 63 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向7 估算法 指对幂等函数值的大小比较 64 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向8 放缩法 指对幂等函数值的大小比较 65 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向8 放缩法 指对幂等函数值的大小比较 66 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向8 放缩法 指对幂等函数值的大小比较 67 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向8 放缩法 指对幂等函数值的大小比较 68 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向8 放缩法 指对幂等函数值的大小比较 69 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向8 放缩法 指对幂等函数值的大小比较 70 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向8 放缩法 指对幂等函数值的大小比较 71 考点一 03 破·题型攻坚 命题预测 考向8 放缩法 指对幂等函数值的大小比较 72 73 【详解】法一：设,所以 令,则,此时,A有可能； 令,则,此时,C有可能； 令,则,此时,D有可能； 1．(2025.全国一卷.高考真题,8,5分)已知,则x,y,z的大小关系不可能是(   ) A． B． C． D． 法二：设,所以, 根据指数函数的单调性,易知各方程只有唯一的根, 作出函数的图象,以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标,如图所示： 易知,随着的变化可能出现：,,. A． B． C． D． 【详解】令,则开口向下,对称轴为, 因为,而, 所以,即 由二次函数性质知, 因为, 即,所以, 综上,, 又为增函数,故,即. 而, 2．(2023.全国甲卷(文).高考真题,11,5分)已知函数．记,则(     ) A． B． C． D． 【详解】［方法一］：(指对数函数性质) 由可得,而, 所以,即,所以. 又,所以,即, 所以.综上,. 3．(2022.全国甲卷.高考真题,12,5分)已知,则(    ) A． B． C． D． ［方法二］：【最优解】(构造函数) 由,可得． 根据的形式构造函数 ,则, 令,解得 ,由 知 . 在 上单调递增,所以 ,即 , 又因为 ,所以 . A． B． C． D． 【详解】[方法一]：构造函数 因为当 故,故,所以； 设, 故,所以, 所以,所以,故选A 4．(2022.全国甲卷.高考真题,12,5分)已知,则(    ) A． B． C． D． 因为当, 取得：,故 ,其中,且 当时,,及 故,故 所以,所以,故选A [方法二]：不等式放缩 【详解】 , , , ① , 则 , 令 故 在 上单调递减, 可得 ,即 ,所以 ； ② , 令 令 ,所以 , 所以 在 上单调递增,可得 ,即 , 所以 在 上单调递增,可得 ,即 ,所以 故 A． B． C． D． 【详解】,即. 6．(2021.新高考全国Ⅱ卷.高考真题,7,5分)已知,,,则下列判断正确的是(    ) A． B． C． D． 令 ,即函数在(1,+∞)上单调递减 令 ,即函数在(1,3)上单调递增 综上,, 7．(2021.全国乙卷(理).高考真题,12,5分)设,,．则(    ) A． B． C． D． ②指数相同,底数不同,如和利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同,真数不同,如和利用对数函数单调性比较大小； 知识2引入中间变量 ④底数、指数、真数都不同,寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量,借助中间量进行大小关系的判定． 知识3换底公式 涉及到对数比较大小,当底不同时,优先考虑换底公式：. 知识1指对幂数函数单调性 ①底数相同,指数不同时,如和,利用指数函数的单调性； (2)同构法：涉及指数、对数等复杂函数的不等式问题,通过变形将不等式的两边化为相同的结构,从而构造一个函数来进行比较 ①,构造函数或； ②,构造函数或； ③,构造函数或. 知识4构造函数 (1)通过对比结构的共同特征,构造相应的函数,再利用函数的单调性,奇偶性等比较大小 分式：, 指数式：,, 对数式：,,,, 知识5常见的估值 根式：,,, ③ ④ ⑤ ⑥ 知识6常见函数的麦克劳林展开式 ① ② ③(),当时取等号；变式：； ④(),当时取等号； ⑤(),当时取等号. 知识7常见的放缩法 ①； C． D． 【详解】由是定义在上的偶函数,则, 由在上是增函数,则, 即有. 1．(2025.云南保山.一模)已知函数是定义在上的偶函数,且在上是增函数,则、、的大小关系是(   ) A． B． 【详解】令,则开口向下,对称轴为, 所以函数在为增函数, 又为增函数,所以函数在为增函数, 故. 2．(2025.江苏无锡.一模)已知函数．记,则( ) A． B． C． D． C． D． 【详解】因为的定义域为R, 且对任意的,有, 设,则有,所以在上单调递减. 所以的图象关于直线对称,所以, 则. 3．(2025.江苏镇江.模拟预测)函数的定义域为R,对任意的有且函数为偶函数,则(　　) A． B． 【详解】,,, 又, ． 4．(2024.浙江杭州.模拟预测)设,,,则(    ) A． B． C． D．   在上单调递减, ,,即, 又,, ,, . 5．(2025.广东汕头.一模)已知,若,则(    ) A． B． C． D． 【详解】由, 得, 当时,,在上单调递减, 因为,, A． B． C． D． 当时,,,则, 在上单调递增, ,,即. 7．(2024.河南商丘.模拟预测)已知函数,且,,,则的大小关系为____________． 【详解】,, 【详解】,, ,, ,,. 8．(2025.安徽铜陵.一模)已知,,,则(    ) A． B． C． D． 【详解】因为是奇函数,所以. 因为函数是增函数,所以； 所以. 因为函数是定义在上的增函数,所以,即. 9．(2025.吉林长春.一模)已知奇函数是定义在上的增函数,若,,．则,,的大小关系为(   ) A． B． C． D． 【详解】因为指数函数在上单调递减,且,所以, 因为幂函数在上单调递减,,所以, 又, 所以. 又,所以. 10．(2025.江苏南京.一模)若,,,则a,b,c的大小关系是(    ) A． B． C． D． 【详解】因为函数在上为增函数,所以,即, 因为,, 函数在上为增函数,所以,即, 故． A． B． C． D． 【详解】,底数,对数函数单调递减, 指数函数单调递增,又,, ,底数,指数函数单调递减, 又,．, 12．(2024.辽宁大连.三模)已知,则的大小关系为(   ) A． B． C． D． A． B． C． D． 【详解】因为,所以, 又,,所以, 所以, A． B． C． D． 【详解】因为,, 又,所以.所以． 13．(2025.四川南充.三模)设,,,则(    ) 【详解】由 ,则, ,则, 所以. 15．(2025.辽宁沈阳.一模)设,,,则a,b,c的大小关系为(   ) A． B． C． D． 【详解】比较和,采用作差法,将和转化为同底数形式来比较. 利用换底公式,则,. 计算. 根据基本不等式,对于和,有. 所以,也就是,即.   比较与的大小,同样利用换底公式,,. 计算. 由基本不等式,对于和,. 且,即. 16．(2024.湖南岳阳.一模)设,则的大小关系为(    ) A． B． C． D． 【详解】因为,所以．同理 又因在定义域内为减函数,故, 而, 因,,且, 故,即,所以． 17．(2025.江苏盐城.三模)设,则的大小关系是(    ) A． B． C． D． 【详解】由题意,,,．由于, 且, 因此,故, 18．(2025.广东肇庆.二模)若,则的大小关系为(    ) A． B． C． D． C． D． 【详解】因为, 所以,, 所以,又因为,所以等号不成立, 所以,即,所以,所以, 19．(2025.黑龙江双鸭山.二模)若且,则 ,,的大小关系为(    ) A． B． 【详解】由换底公式等价变形得：, 因为,所以,故, 由,可得, 由,可得,综上得,. 20．(2025.河南郑州.三模)已知,记,,,则的大小关系为 ___________. 所以,而, 故,同理可得,则. 21．(2025.黑龙江七台河.一模)已知,则的大小关系是______.(用“>”) 【详解】由, 【详解】因为,令,定义域为, 则,当时,,当 时,, 所以在上单调递增,在上单调递减, 又因为,所以, 又,所以, 所以,即. 22．(2025.宁夏固原.三模)若,,,则以下不等式正确的是(    ) A． B． C． D． A． B． C． D． 【详解】构造函数,, 当时,,单调递增,所以,. 24．(2025.四川德阳.三模)已知,,,则( ) A． B． C． D． 【详解】令,,显然函数在上都递增,则在上递增, 又,因此所以. 23．(2024.河北沧州.二模)已知,,,则a,b,c的大小关系是(    ) A． B． C． D． 【详解】令,则,易得在上单调递增, ∴,即,∴. 26．(2024.四川眉山.模拟预测)已知,,,则(    ) A． B． C． D． 得,即,即,得, 因为,因此,. 25．(2025.辽宁铁岭.三模)已知,,,则,,的大小关系为(    ) 【详解】由于,故,所以,即,故,排除AB； 令,则,当时,,函数在单调递增, 综上,． 27．(2024.广东东莞.一模)已知,则(    ) A． B． C． D． 【详解】设,则, 当时,,故在单调递减, 因此,故, 28．(2025.山西长治.一模)已知,,,则( ) A． B． C． D． 【详解】设, 作出函数的图象,如图, 结合选项,由图可知,当直线为时,； 当直线为时,； 当直线为时,,而始终不可能. 29．(2024.甘肃天水.一模)若实数满足,则的大小关系不可能是(    ) A． B． C． D． 【详解】令,则． 当 时, ,即 ； 当时,,即； 当时,,即； 当时,,即． 30．(2025.云南玉溪.二模)若实数a,b,c满足,则a,b,c的大小关系不可能是(    ) A． B． C． D． 【详解】设,由此, 分别为方程的解,在同一坐标系作函数的图像, 由图可知. 31．(2025.湖南永州.一模)已知,则正数的大小关系为(    ) A． B． C． D． 【详解】由,则为与交点的横坐标, 由,则为与交点的横坐标, 由,即,则为与交点的横坐标, 作出,,,的图象如下所示, 由图可知,. 32．(2025.广西百色.模拟预测)若,,,则正数大小关系是( ) A． B． C． D． 【详解】令函数, 在同一直角坐标系中分别作出的大致图象,如图所示, 观察可知,可能有(的图象为时)､(的图象为时) (的图象为时), A． B． C． D． 【详解】令,得, 则分别是函数的图象与直线交点的纵坐标, 观察图象得,当时,；当时,；当时,, 因此ABC都可能,D不可能. 34．(2024.山东济南.模拟预测)若实数,,满足,则,,的大小关系不可能是(    ) A． B． C． D． 【详解】解：设, 则, 令, 设与的交点横坐标为与的交点横坐标为, 综上,的大小关系不可能为. 35．(2025.安徽滁州.模拟预测)设,则的大小关系不可能为(   ) A． B． C． D． 【详解】因为,所以,因为,所以,可得, 令,,所以, 设,,, 作出它们的图象如图： 由图可知.故选项A正确. A． B． C． D．无法确定 37．(2024.河南洛阳.二模)若,则下列结论可能成立的是(    ) A． B． C． D． 【详解】A选项,当时,,因为,所以A错误； 38．(2025.四川广安.模拟预测)已知,则(    ) A． B． C． D． 【详解】由可知,, 39．(2025.湖南常德)已知实数x,y满足,则下列关系一定正确的是(    ) A． B． C． D． 【详解】不等式等价于, 令,则 ∴不等式等价于, ∵, 40．(2025.福建宁德.一模)设,,若,则下列选项正确的是(    ) A． B． C． D． 【详解】因为,所以,即, 构造函数,则,由,当时,, 可知函数在上单调递增, 41．(2025.河南信阳.模拟预测)若,满足,则下列不等式成立的是(   ) A． B． C． D． A． B． C． D． 【详解】,,,所以最小,,因为.选B. A． B． C． D． 【详解】构造函数,其中,则, 42．(2024.江苏泰州.模拟预测)设,则的大小关系是( ) 【详解】设,则,, 当时,,单调递减,当时,,单调递增, 所以,即,当且仅当时等号成立, 所以,即； 当时,,单调递增,当时,,单调递减, 所以,即,所以,即； 所以. 44．(2025.山西吕梁.二模)已知,则(   ) A． B． C． D． 【详解】由题意,得,． 令,,则, 所以在上单调递增,所以,即, 因为,,, 所以,所以,所以． 45．(2025.广东韶关.一模)设,,,则(    ) A． B． C． D． 【详解】令,所以,令有, 当,所以在单调递增,在单调递减, 令,所以,当, 所以在单调递增,在单调递减,所以, 所以,即；综上所述,. 46．(2025.广东广州.模拟预测)已知,,,则(    ) A． B． C． D． 【详解】由题意得,, 由泰勒展开得, , 所以, 故,综上所述a,b,c的大小关系是. 47．(2025.湖南益阳.一模),,,则a,b,c的大小关系是(    ) A． B． C． D． 所以在上单调递增,所以,即,, ,所以.令, ,令,, ,令,则, 所以在上单调递减,,, 即在上单调递增,在上单调递减,所以的最小值为中一个,而,,所以,即, 所以在上单调递增,所以,即,, 所以,即.所以. 48．(2024.海南三亚.一模)设,则大小关系(    ) A． B． C． D． 【详解】对于的近似代替值, 令, 又因为, 所以当时,,单调递增, 当时,,单调递减, 这意味着,也就是说, 即的近似代替值大于m. 49．(2024.贵州贵阳.一模)已知在处可导,在附近x的函数值,可以用“以直代曲”的方法求其近似代替值：．对于函数,利用这一方法,的近似代替值(    ) A．大于m B．小于m C．等于m D．与m的大小关系无法确定 所以在上单调递增,故,即, 所以,则,即,故； 因为,所以其展开通项公式为, 故,,, 所以,令,则, 所以在上单调递增,则,即, 50．(2025.吉林松原.一模)间的大小关系为(    ) A． B． C． D． 所以,故,即； 令,则, 所以在上单调递增,则,即, 易知,所以,则,即； 综上可得. , ,则, 因此. A． B． C． D． 52．(2025.福建龙岩.一模)英国数学家泰勒给出如下公式：；；,其中．这些公式被编入计算工具,计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性,也可以借助计算工具进行近似计算．若,,,则有(    ) 【详解】由,得：,, 因为,所以,则； 设(),则, 所以时,,即时,, 所以, 又,, 所以,则, 又,所以, 综上：, 53．(2025.河北张家口.一模)若,则的大小关系为(    ) A． B． C． D． 记,则,当时,,故在上单调递增,故,故, 记,则,当时,,故在单调递减, 故,故,因此． [方法二]：泰勒公式放缩 ,由函数切线放缩得, 因此. 54．(2024.云南昭通.模拟预测)设,则的大小关系为____________. 【详解】[方法一]：【最优解】构造函数法 $