学易金卷：九年级数学上学期期末模拟卷02（北师大版，测试范围：九年级上册全部+九年级下册第一章、第二章）

耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷02 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D 0 A B D D 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.k28且k+0 12.25√2 13.21 14.8 15.617 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(12分) sin45°+tan30°.cos30° 【详解】(1)①解： cos60 2 1,221 22x2+2 111 三一十一十 2'2'2 三 ②解： 4sin260°-tan45°+cos30°-l -1 4x 3 2·(6分) (2)①解： (3x-1)2=2(3x-1 3x-1(3x-3)=0 ∴.3x-1=0或3x-3=0 1 “x=3或x,=1:(9分) 1/12 厨学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ②解：y-20y-3)=12 y2-5y-6=0 (y-6)(y+1)=0 ∴.y-6=0或y+1=0 为=6%=-1 (12分) 17.(6分) 【详解】(1)解：所 △AB,C如图所示：（2分) B △A,BC2 (2)解：所作 如图所示：(4分) (3)解：由(2)可知：点 Pa,)为△ABC内一点，则依上述变换后点P在△4B,C内的对应点B的坐标 是12-2a,-2b) 12-2a,-2b) 故答案为 (6分) 18.(7分) 1 1 【详解】(1)解：甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到嫦娥奔月的概率是4，抽到三顾茅庐的概率是4； 11 故答案为：4,4：(2分) (2)解：所有可能出现的结果列表如下： 2/12 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (甲，乙) A B C D A (A,B) (A,C) (A,D) (B,A) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D D.A) (D,B) (D,C) 由表格可知共有12种可能出现的结果，它们出现的可能性相等，其中两张卡片都是神话故事的有4，B) (B,A两种， :甲、乙两人都抽取到神话故事的概率。P=2= 126·(7分) 19.(8分) 【详解】(1)证明：·四边形ABCD为平行四边形， .ADI BC,AD=BC, E,F分别是AD和BC的中点， r=Fc=58C.4=D=片4n ∴.BF=FC=AE=ED AE=FC,AE‖FC, ·四边形AFCE为平行四边形. .AF BF, :AF=FC, ∴.四边形AFCE为菱形；(4分) (2)如图，过点O作OH⊥FC于点H, 3/12 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 由()知四边形 为菱形， B FH AFCE .AC=8,EF=6, C1Br06=0r-f=3,01=0c4C=4, .CG=0C=4 FC=OF2+0C2=5 OH⊥FC, OFC-C-OH, 0H=OF.0C=3x4-12 FC 55 ÷CH=V0c2-0H2=16 , HG=CH+CG=36 OG=O+HG 12W10 5.(8分) 20.(8分) 【详解】(I)解：如下图所示，延长EC交AB于点P, 则CP⊥AB, ∠BPC=90°， :∠ABC=24°， ∴.∠BCP=90°-∠ABC=90°-24°=66°， .∠BCE=180°-∠BCP=180°-66°=114°， 4/12 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A、 CEF D MN B 故答案为：114°：(1分) (2)解：如下图所示， ·BC=38cm,∠ABC=24°， CP .∴.sin∠ABC= BC' ..sin 240=CP 38, ∴.CP≈38×0.41=15.58≈15.6cm, ∴.点C到靠背AB的距离大约是l5.6cm: CEF MN 卫(4分) B (3)解：如下图所示，延长ME交CA'于点O, 则有ABI|EQ, ∴.∠CQM=∠ABC=24°， CF =15cm,EF =6cm, .CE=CF-EF =15-6=9cm, 在RtOCE中，tan∠CQE= CE OE .tan 240=9 O' ∴.EQ≈20cm, ∴.QM=QE+EM=20+0.7=20.7cm, 20.7>20.2, 5/12 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ·水杯能竖直放在杯托处. A MN (8分) 21.(10分) 【详解】()解：设”与x之间的函数关系式为 y=kx+b 将30,55，(6050代入， [55=30k+b, 得50=60k+b, 解得 6 b=60, 1 ∴片与x之间的函数关系式为=-x+60」 6 当m=90时，设少与x之间的函数关系式为”=，x+90, 120,50) 将 代入，得 0=120k2+90 .与x之间的函数关系式为2=一3x+90.(4分) [1 解得5=30.与=150 (不合题意，舍去). 答：当日该菜品的生产量为30千克.(7分) (3)解：设该菜品日销售利润为0元. 6/12 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =(y2-y)x= 3x+90+ x-60 x=- (x-90)2+1350 6 6 1 :6 0 当x=90时，0有最大值，最大值为1350. 答：当日该菜品的生产量为90千克时，日销售利润最大，最大日销售利润为1350元.(10分) 22.(12分) 【详解】(1)如图2，由折叠得点B与点B关于直线EF对称， .直线EF垂直平分BB', :点B与点D重合， ∴.直线EF垂直平分BD, .'BE DE,BF=DF, ,四边形ABCD是矩形， .AD∥BC, ∴，∠DEF=∠BFE, .∠DFE=∠BFE, .∠DEF=∠DFE, .DE =DF, ∴.BE=DE=BF=DF, ∴.四边形BEDF是菱形：(3分) (2)①A'B'∥AC, 证明：∠ABC=90°，AB=2BC=2V5 :BD=AC=VAB2+BC2=2+23)=4, 0A=0C=AC=2,0B=0-8D=2, .'AB=OA=OB. “△AOB是等边三角形， ∴.∠AOB=∠ABO=60° .∠A'B'B=∠ABO=60°， .∠A'BB=∠AOB, 7/12 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .AB'∥AC.(6分) 3 ②4E的长度为了或6' 理由：如图3，点B在线段BD上，设AB交AD于点G, D F 图3 .∠A'=∠BAD=90°，∠AB'B=∠ABO=60°， ∴.∠ADB=90°-∠AB0=30° .∠A'GE=∠B'GD=∠A'B'B-∠ADB=30°， .∠ADB=∠B'GD, ∴B'G=B'D=1, .A'B'=AB=2, ∴.AG=AB-B'G=2-1=1, e =tanL4'GE=tan309=3 :AB=fE=54G=5x1= 3 3； 如图4，点B在线段BD的延长线上，延长AD、AB交于点H, B D H B 图4 ,∠B'DH=∠ADB=30°， ∴.∠H=∠A'B'B-∠'DH=30°， ∴.∠B'DH=∠H, .B'H=B'D=1, 8/12 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.AH=A'B'+B'H=3=2+1=3, HE=2A'E, AH=HE-AE=(24E)2-4E2=4E=3 AE=4'E=3, 5 综上所述，AE的长度为3或5.(10分) (3)解：过点E作EM⊥BC于M,作EN⊥CD于N,过点G作GI⊥AC于I,如图所示： E B .将△EGH沿EG翻折得到△EGP, :EGPEGH,即 S.EGP-S.EGH ,四边形ABCD是正方形， AB=CD=BC=4V2∠BCD=90°∠ACD=∠ACB=45° BD=BC-8 CIG 是等腰直角三角形， G是CD的中点， ..CG=CD=22. 2 六在等腰R1a1CG中，CI=1G=2,0C=0B=BD=4, 2 ∴.01=C1=2, .∠ACD=∠ACB,EM⊥BC,EN⊥CD, .EM=EN,∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°， ∴.∠MEN=90°， .EF⊥BE, .∠BEF=90° 9/12 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠BEM=∠GEN, 在△EMB和△ENG中， I∠BEM=∠GEN EM=EN ∠BME=∠GNE △BME≌AGNE(ASA) ∴.EB=EG, 在RBCG中，CG=22,BC=4N5,则BG=VBC2+CG=V2W2'+42=2i0, 在等股R△BEG中，B=EG-eC=25, 在RtBOE中，0E=VBE-B0=V25-4=2, .E0=O1=2,即O为EI中点， .AC⊥BD,AC⊥GI, ∴.OFIG, .△EOF∽△EIG,△BOH∽△GIH, EF EO 1 GI HI 1 G2即EFFG0O2即0H201 3 3 F为EG中点，EH=EO+OH=10 1 1 .S.PFG= 2 S.EGP- 11可.G1=×。×3x2=3.(12分) 22 2×2×3 23.(12分) 【详解】解：(1)由题意，根据同反函数的意义：常数项相同，二次项系数互为相反数 二次函数为y=x-3x-4 小其同反函数可能为'=-r-3x-4 (答案不唯一)， y=-x2-3x-4 故答案为： (答案不唯一)；(2分) 2由题威，设-的同反商数的能折式为=F4 10/12 ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册全部+九年级下册第一章、第二章。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图所示几何体的俯视图是（   ） A．B．C．D． 2．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 900 合格频率 0.89 若出售20000件衬衣，则其中合格品的件数大约是（   ） A．2000件 B．3200件 C．16800件 D．18000件 3．如图，在矩形中，点A的坐标是，点C的坐标是，连接，则的长是（    ） A．4 B．6 C． D． 4．下列投影现象属于中心投影的是（   ） A．陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在日光下的影子 B．苏轼“把酒问青天”时，酒杯在月光下的影子 C．王维“大漠孤烟直”时，归雁在落日下的影子 D．匡衡“凿壁偷光”时，书卷在灯光下的影子 5．如图，点在的边上，添加下列一个条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 6．如图①为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图②所示，则下列说法正确的是（   ） A．与的函数解析式是 B．当时， C．随的增大而增大 D．当时，的取值范围是 7．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即，把点称为线段的“黄金分割”点，如图，在中，已知，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（　　） A． B． C． D． 8．抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根是，；④；⑤当时，的取值范围是；⑥为任意实数时，其中结论正确的个数是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 9．一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 10．如图（1），E为矩形的边上一点，点F从点C出发沿折线运动到点A停止，将点F运动的路程记为x，的长记为y，若y与x的对应函数关系如图（2）所示，点P是函数图象的最低点，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是 ． 12．如图，菱形中，，点E为对角线上一点，作于点F，作于点G，若，菱形的面积为 ． 13．若二次函数的图象上有三个不同的点、、，则n的值为 ． 14．如图，过原点的直线与反比例函数（）的图象交于A、B两点，点A在第一象限．点C在x轴正半轴上，连接交反比例函数图象于点D．为的平分线，过点B作的垂线，垂足为E，连接．若，的面积为6，则k的值为 15．如图，在正方形中，为上一点，且分别为上的动点，且，若，则的最小值为 ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（12分）（1）计算：①； ②． （2）解方程： ①； ②． 17．（6分）平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出，使它与关于轴对称： (2)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，且与的相似比为； (3)设点为内一点，则依上述变换后点在内的对应点的坐标是________． 18．（7分）中国有着悠久的历史文化，一个个非物质文化遗产被国家和世界所肯定，在娱乐匮乏的古代社会，中国的民间文学类非物质文化遗产无不表达人们对美好生活的期盼．为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，甲、乙、丙、丁四位班干部准备从“A．嫦娥奔月、B．牛郎织女、C．三顾茅庐、D．武松打虎”这四个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了4张背面完全相同的卡片，卡片正面分别绘制了这4个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行讲解．     (1)甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到嫦娥奔月日的概率是 ，抽到三顾茅庐的概率是 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都抽取到神话故事的概率． 19．（8分）如图，在中，，分别是和的中点，连接，，，，交于点，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)在的延长线上取一点，使，连接．若，，求的长． 20．（8分）图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中，靠背垂直于水平面，小桌板与水平面平行，支架连接靠背和小桌板，为杯托底面圆的直径，测得，，，（，，） (1)如图2，______． (2)如图2，求点到靠背的距离；（精确到） (3)如图3，靠背绕点旋转至与小桌板支架重合，已知杯托凹陷深度为，一个高为圆柱形水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计），是否能竖直放在杯托处？（精确到） 21．（10分）【项目主题】探究商品生产、销售过程中的数学问题． 【问题情境】某品牌快餐店发源于安徽合肥，是一家以中式快餐为特色的全国连锁餐饮企业．综合实践小组的同学到该品牌快餐店研学，了解到该店研发了一种新的菜品，他们对该菜品的生产和销售情况进行了数据收集． 【信息展示】小华：该店这种菜品每日生产量x（单位：千克）的范围是． 小冉：该菜品每千克的生产成本（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系如下表所示． 每日生产量x 30 60 90 120 每千克的生产成本 55 50 45 40 小敏：该菜品每千克的售价（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中的线段表示，所在直线与纵轴的交点为（其中）． 小安：该店每日生产的这种菜品全部售完（每日销售量=每日生产量）． 【问题解决】 根据小冉收集的信息可知，该菜品每千克的生产成本（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间是一次函数关系．若小敏绘制的图中． (1)任务一：请分别求出，与每日生产量x之间的函数关系式． (2)任务二：若该菜品某日的销售利润为750元，求当日该菜品的生产量． (3)任务三：问当日该菜品的生产量为多少千克时，日销售利润最大？并求出最大日销售利润． 22．（12分）综合与实践 折叠在探究问题中，是极为重要的数学问题，在如下问题探究中，回答相关问题： 【问题情境】 如图1，将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，． (1)【活动猜想】 如图2，当点与点重合时，那么四边形是哪种特殊的四边形？请说明理由． (2)【问题解决】 在矩形纸片中，若边，． ①请判断与对角线的位置关系并仅就图3给出证明； ②当时，请求出此时的长度． (3)【拓展提升】 如图4，在正方形中，，对角线，相交于点．点是对角线上一点，连接，过点作，分别交，于点，，连接交于点，将沿翻折，点的对应点恰好落在上，得到．若点为的中点，则的面积为________． 23．（12分）【概念感知】如果两个二次函数的常数项相同，二次项系数互为相反数，我们称这两个二次函数互为同反函数． 【概念理解】 （1）直接写出二次函数的一个同反函数的解析式：． 【概念应用】 （2）若二次函数的同反函数的图象与x轴只有一个交点，求满足条件的的同反函数的解析式． （3）如图，二次函数的图象交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，二次函数的同反函数的图象经过点B，设B点的横坐标为c．将二次函数的图象上和的部分记为，将二次函数的同反函数的图象上的部分记为．由图象和组成的图象记为G．点和点是图象G上两点．当时，求t的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷02 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/] (请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 14A][B][C]ID] 6[A][B][C][D] 2.[A][BJ[C][D] 7AJ[B][C]ID] 3.[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 9[AJ[B]IC]ID] 5[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 二、填空题（每小题5分，共15分） 11 12, 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(12分) 17.(6分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(7分) 19.(8分) E G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) A A A EF M N M N B 图2 图3 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) A D E D(B') E D A: A: E百 B G I B B 图1 图2 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册全部+九年级下册第一章、第二章。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图所示几何体的俯视图是（   ） A．B．C．D． 2．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 900 合格频率 0.89 若出售20000件衬衣，则其中合格品的件数大约是（   ） A．2000件 B．3200件 C．16800件 D．18000件 3．如图，在矩形中，点A的坐标是，点C的坐标是，连接，则的长是（    ） A．4 B．6 C． D． 4．下列投影现象属于中心投影的是（   ） A．陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在日光下的影子 B．苏轼“把酒问青天”时，酒杯在月光下的影子 C．王维“大漠孤烟直”时，归雁在落日下的影子 D．匡衡“凿壁偷光”时，书卷在灯光下的影子 5．如图，点在的边上，添加下列一个条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 6．如图①为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图②所示，则下列说法正确的是（   ） A．与的函数解析式是 B．当时， C．随的增大而增大 D．当时，的取值范围是 7．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即，把点称为线段的“黄金分割”点，如图，在中，已知，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（　　） A． B． C． D． 8．抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根是，；④；⑤当时，的取值范围是；⑥为任意实数时，其中结论正确的个数是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 9．一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 10．如图（1），E为矩形的边上一点，点F从点C出发沿折线运动到点A停止，将点F运动的路程记为x，的长记为y，若y与x的对应函数关系如图（2）所示，点P是函数图象的最低点，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是 ． 12．如图，菱形中，，点E为对角线上一点，作于点F，作于点G，若，菱形的面积为 ． 13．若二次函数的图象上有三个不同的点、、，则n的值为 ． 14．如图，过原点的直线与反比例函数（）的图象交于A、B两点，点A在第一象限．点C在x轴正半轴上，连接交反比例函数图象于点D．为的平分线，过点B作的垂线，垂足为E，连接．若，的面积为6，则k的值为 15．如图，在正方形中，为上一点，且分别为上的动点，且，若，则的最小值为 ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（12分）（1）计算：①； ②． （2）解方程： ①； ②． 17．（6分）平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出，使它与关于轴对称： (2)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，且与的相似比为； (3)设点为内一点，则依上述变换后点在内的对应点的坐标是________． 18．（7分）中国有着悠久的历史文化，一个个非物质文化遗产被国家和世界所肯定，在娱乐匮乏的古代社会，中国的民间文学类非物质文化遗产无不表达人们对美好生活的期盼．为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，甲、乙、丙、丁四位班干部准备从“A．嫦娥奔月、B．牛郎织女、C．三顾茅庐、D．武松打虎”这四个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了4张背面完全相同的卡片，卡片正面分别绘制了这4个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行讲解．     (1)甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到嫦娥奔月日的概率是 ，抽到三顾茅庐的概率是 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都抽取到神话故事的概率． 19．（8分）如图，在中，，分别是和的中点，连接，，，，交于点，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)在的延长线上取一点，使，连接．若，，求的长． 20．（8分）图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中，靠背垂直于水平面，小桌板与水平面平行，支架连接靠背和小桌板，为杯托底面圆的直径，测得，，，（，，） (1)如图2，______． (2)如图2，求点到靠背的距离；（精确到） (3)如图3，靠背绕点旋转至与小桌板支架重合，已知杯托凹陷深度为，一个高为圆柱形水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计），是否能竖直放在杯托处？（精确到） 21．（10分）【项目主题】探究商品生产、销售过程中的数学问题． 【问题情境】某品牌快餐店发源于安徽合肥，是一家以中式快餐为特色的全国连锁餐饮企业．综合实践小组的同学到该品牌快餐店研学，了解到该店研发了一种新的菜品，他们对该菜品的生产和销售情况进行了数据收集． 【信息展示】小华：该店这种菜品每日生产量x（单位：千克）的范围是． 小冉：该菜品每千克的生产成本（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系如下表所示． 每日生产量x 30 60 90 120 每千克的生产成本 55 50 45 40 小敏：该菜品每千克的售价（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中的线段表示，所在直线与纵轴的交点为（其中）． 小安：该店每日生产的这种菜品全部售完（每日销售量=每日生产量）． 【问题解决】 根据小冉收集的信息可知，该菜品每千克的生产成本（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间是一次函数关系．若小敏绘制的图中． (1)任务一：请分别求出，与每日生产量x之间的函数关系式． (2)任务二：若该菜品某日的销售利润为750元，求当日该菜品的生产量． (3)任务三：问当日该菜品的生产量为多少千克时，日销售利润最大？并求出最大日销售利润． 22．（12分）综合与实践 折叠在探究问题中，是极为重要的数学问题，在如下问题探究中，回答相关问题： 【问题情境】 如图1，将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，． (1)【活动猜想】 如图2，当点与点重合时，那么四边形是哪种特殊的四边形？请说明理由． (2)【问题解决】 在矩形纸片中，若边，． ①请判断与对角线的位置关系并仅就图3给出证明； ②当时，请求出此时的长度． (3)【拓展提升】 如图4，在正方形中，，对角线，相交于点．点是对角线上一点，连接，过点作，分别交，于点，，连接交于点，将沿翻折，点的对应点恰好落在上，得到．若点为的中点，则的面积为________． 23．（12分）【概念感知】如果两个二次函数的常数项相同，二次项系数互为相反数，我们称这两个二次函数互为同反函数． 【概念理解】 （1）直接写出二次函数的一个同反函数的解析式：． 【概念应用】 （2）若二次函数的同反函数的图象与x轴只有一个交点，求满足条件的的同反函数的解析式． （3）如图，二次函数的图象交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，二次函数的同反函数的图象经过点B，设B点的横坐标为c．将二次函数的图象上和的部分记为，将二次函数的同反函数的图象上的部分记为．由图象和组成的图象记为G．点和点是图象G上两点．当时，求t的值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷02 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册全部+九年级下册第一章、第二章。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图所示几何体的俯视图是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据几何体三视图的判断方法，确定出俯视图即可． 【详解】 解：根据题意得：几何体的俯视图为 ， 故选：C． 2．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 900 合格频率 0.89 若出售20000件衬衣，则其中合格品的件数大约是（   ） A．2000件 B．3200件 C．16800件 D．18000件 【答案】D 【分析】本题考查了根据频数求频率，根据频率求数量． 由频数表可知，当抽取件数较大时，合格频率稳定在附近，因此可用频率估计概率，合格概率约为，乘以20000即可． 【详解】解：∵抽取件数达到1000件时，合格频率为，且频率在附近稳定， ∴合格概率约为， ∴出售20000件衬衣，合格品件数约为件． 故选：D． 3．如图，在矩形中，点A的坐标是，点C的坐标是，连接，则的长是（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两点间的距离公式，矩形的性质，掌握两点间的距离公式是解决本题的关键． 根据两点间的距离公式求出的值，进而根据矩形的对角线相等即可求解． 【详解】解：∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴ ， ∵四边形为矩形， ∴， 故选B． 4．下列投影现象属于中心投影的是（   ） A．陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在日光下的影子 B．苏轼“把酒问青天”时，酒杯在月光下的影子 C．王维“大漠孤烟直”时，归雁在落日下的影子 D．匡衡“凿壁偷光”时，书卷在灯光下的影子 【答案】D 【分析】本题考查投影，中心投影的光线从一点（投影中心）发出，平行投影的光线互相平行．根据选项描述的光源类型判断是否为中心投影即可．区分中心投影和平行投影的关键是看光源：点光源产生中心投影，平行光源产生平行投影． 【详解】解：∵ 日光、月光、落日阳光均为平行光，其投影为平行投影； ∵ 灯光为点光源，其投影为中心投影； ∴ 选项D中灯光下的影子属于中心投影． 故选：D． 5．如图，点在的边上，添加下列一个条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查添加条件证明三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定方法（两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例或两角对应相等的两个三角形相似），逐一进行判断即可． 【详解】解：A．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意； B．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意；     C．当时，无法判定，故此选项符合题意； D．当，即时，再由，可得出，故此选项不符合题意． 故选：C． 6．如图①为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图②所示，则下列说法正确的是（   ） A．与的函数解析式是 B．当时， C．随的增大而增大 D．当时，的取值范围是 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到答案． 【详解】解：设与的函数关系式为：， 该图像经过点， ， ， 与的函数关系式是，故选项A不符合题意； 当时，，解得，故选项B不符合题意； ，随的增大而减小，故选项C不符合题意； 当时，，当时，， 当时，的取值范围是，故选项D符合题意； 故选：D． 7．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即，把点称为线段的“黄金分割”点，如图，在中，已知，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，三线合一定理，解一元二次方程，黄金分割，过点A作于F，由三线合一定理和勾股定理可求出的长，由“黄金分割”点定义可得，即，解方程可求出的长，同理可求出的长，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于F， 设，则， ∵， ∴， ∴； ∵点D是边的“黄金分割”点， ∴， ∴， 解得（经检验，符合题意）或（舍去）， 同理可得， ∴， ∴， 故选：A． 8．抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根是，；④；⑤当时，的取值范围是；⑥为任意实数时，其中结论正确的个数是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 根据函数图像开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可判断结论①；根据图像与x轴交点的个数可判断结论②；根据函数图像与x轴的交点和对称轴，可判断结论③；根据时的函数值与对称轴，可判断结论④；根据函数图像在x轴下方的部分可判断结论⑤；根据函数在时，有最大值可判断结论⑥． 【详解】解：函数图像开口向上，， 对称轴为直线，， 函数图像与y轴交于正半轴，即当，， ，故结论①正确， 函数图像与x轴有两个交点，即其相关一元二次方程有两个不相等实数根， ，即，故结论②正确， 函数图像与x轴的一个交点为，对称轴为直线， 函数图像与x轴的另一个交点为， 方程的两个根是，，故结论③正确， 函数对称轴为直线，， 当，，故结论④错误， 当时，即取抛物线在x轴下方的部分，由图象结合③可知此时x的取值范围是或，故结论⑤错误， 由图像可知当时，函数有最大值， 当m为任意实数时，， ，故结论⑥正确． 综上所述，结论①②③⑥正确，故正确的结论有4个． 故选：B． 9．一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线等分线段定理等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 如图：延长交于Q，连接，由题意可知：，则，根据平行线等分线段定理可得；设，则，再通过证明、解答即可． 【详解】解∶如图：延长交于Q，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 故选D． 10．如图（1），E为矩形的边上一点，点F从点C出发沿折线运动到点A停止，将点F运动的路程记为x，的长记为y，若y与x的对应函数关系如图（2）所示，点P是函数图象的最低点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先理解题意，得，，再观察函数图象，当点从点运动到点A的过程中，的长，且的长是一次函数，则当点从点运动到点时，点F运动的路程记为x，即，再结合勾股定理算出，所以，根据等面积法，求出，运用勾股定理，在中，，即，即可作答． 【详解】解：由图（2）得当时，则，当时，则， ∵点F从点C出发沿折线运动到点A停止，将点F运动的路程记为x，的长记为y， ∴，， 观察函数图象，当点从点运动到点A的过程中，的长， ∵都是常量， ∴的长是一次函数 观察函数图象，当点从点运动到点时，点F运动的路程记为x，即， ∵四边形是矩形 ∴， 则， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 则， ∵点P是函数图象的最低点， ∴当时，， 此时， ∴， ∴， 当时，在中，， 即， ∴， 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，勾股定理，矩形的性质，一次函数的几何应用，垂线段最短．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程有实数根的条件，解题的关键是同时满足“二次项系数不为”和“判别式”两个条件． 先根据一元二次方程的定义确定二次项系数的限制，再利用判别式求出的取值范围，综合得到最终结果． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 二次项系数不能为0，即， 又方程有实数根， 判别式，其中， 代入得：， 令， 解得， 综合以上两个条件，实数的取值范围是且． 故答案为：且． 12．如图，菱形中，，点E为对角线上一点，作于点F，作于点G，若，菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得，由面积法可求，由等腰直角三角形的性质可求AB的长，即可求解． 本题考查了菱形的性质，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作于H， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 菱形的面积， 故答案为： 13．若二次函数的图象上有三个不同的点、、，则n的值为 ． 【答案】21 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由二次函数顶点式得对称轴为直线，点A和C纵坐标相同，故其横坐标中点位于对称轴上，得，点B的横坐标为，代入函数解析式求值即得n． 【详解】解：由二次函数的对称轴为直线， ∵点和纵坐标相同， ∴点A、C两点关于抛物线的对称轴对称，故，即， ∴点B的横坐标为， 代入函数解析式： ； 故答案为21． 14．如图，过原点的直线与反比例函数（）的图象交于A、B两点，点A在第一象限．点C在x轴正半轴上，连接交反比例函数图象于点D．为的平分线，过点B作的垂线，垂足为E，连接．若，的面积为6，则k的值为 【答案】8 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定是解题的关键；连接、，由题意易得，然后可得，则有．过A作轴于M，过D作轴于N，则，进而根据相似三角形的性质及等积法可进行求解． 【详解】解：连接、，如图所示： 由对称性，，又， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴． 过A作轴于M，过D作轴于N， ∴， 由， ∵， ∴． 设， ∵，， ∴， ∴，， ∴，则， ∴，． ∵，且， ∴． ∴， ∴， 又∵， ∴； 故答案为8． 15．如图，在正方形中，为上一点，且分别为上的动点，且，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质. 延长到H，使得，连接，证明，得到，则，故当三点共线时，最小，即此时最小，最小值即为的长，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值即为的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（12分）（1）计算：①； ②． （2）解方程： ① ② 【答案】(1)①；②． (2)①，；②，． 【分析】（1）①根据特殊角的三角函数值解答即可；②根据特殊角的三角函数值解答即可； （2）①先移项，将等式右边化为0，再提取公因式进行因式分解，进而求解方程；②先将左边展开并整理为一元二次方程的一般形式，再通过因式分解求解方程． 本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，一元二次方程的因式分解解法，熟练掌握特殊角的三角函数，掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，是解题的关键． 【详解】（1）①解： ． ②解： ． （2）①解：， ， ∴或 ∴或； ②解：， ， ， ∴或 ∴， 17．（6分）平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出，使它与关于轴对称： (2)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，且与的相似比为； (3)设点为内一点，则依上述变换后点在内的对应点的坐标是________． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3) 【分析】本题主要考查轴对称图形与坐标及位似，熟练掌握轴对称的性质及位似的性质是解题的关键； （1）先得出点A、B、C关于x轴的对称点，然后问题可求解； （2）根据位似的性质可进行作图； （3）根据位似的性质可进行求解． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：所作如图所示； （3）解：由（2）可知：点为内一点，则依上述变换后点在内的对应点的坐标是； 故答案为． 18．（7分）中国有着悠久的历史文化，一个个非物质文化遗产被国家和世界所肯定，在娱乐匮乏的古代社会，中国的民间文学类非物质文化遗产无不表达人们对美好生活的期盼．为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，甲、乙、丙、丁四位班干部准备从“A．嫦娥奔月、B．牛郎织女、C．三顾茅庐、D．武松打虎”这四个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了4张背面完全相同的卡片，卡片正面分别绘制了这4个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行讲解．     (1)甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到嫦娥奔月日的概率是 ，抽到三顾茅庐的概率是 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都抽取到神话故事的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得解； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到嫦娥奔月的概率是，抽到三顾茅庐的概率是； 故答案为：，； （2）解：所有可能出现的结果列表如下： （甲，乙） 由表格可知共有12种可能出现的结果，它们出现的可能性相等，其中两张卡片都是神话故事的有，两种， 甲、乙两人都抽取到神话故事的概率：． 19．（8分）如图，在中，，分别是和的中点，连接，，，，交于点，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)在的延长线上取一点，使，连接．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定，勾股定理．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． ()根据平行四边形的性质可证，，根据：点分别是的中点，可证，，所以可证四边形是平行四边形，根据有一组邻边相等的四边形是菱形可证结论成立； ()根据菱形对角线垂直且平分的性质，得；根据三角形的面积可求得，进一步求得的值，在中，利用勾股定理计算出． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，， ，分别是和的中点， ，. ，， 四边形为平行四边形. ， ， 四边形为菱形； （2）如图，过点作于点， 由（）知四边形为菱形， ∵，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 20．（8分）图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中，靠背垂直于水平面，小桌板与水平面平行，支架连接靠背和小桌板，为杯托底面圆的直径，测得，，，（，，） (1)如图2，______． (2)如图2，求点到靠背的距离；（精确到） (3)如图3，靠背绕点旋转至与小桌板支架重合，已知杯托凹陷深度为，一个高为圆柱形水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计），是否能竖直放在杯托处？（精确到） 【答案】(1)； (2)大约是； (3)能． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． 延长交于点，根据直角三角形的两个锐角互余可以求出，再根据邻补角的定义求出的度数； 利用的正弦求出的长度，即为点到靠背的距离； 延长交于点，利用的正切求出的长度约为，再根据，可知，超过了水杯的高度，所以水杯能竖直放在杯托处． 【详解】（1）解：如下图所示，延长交于点， 则， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如下图所示， ，， ， ， ， 点到靠背的距离大约是； （3）解：如下图所示，延长交于点， 则有， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 水杯能竖直放在杯托处． 21．（10分）【项目主题】探究商品生产、销售过程中的数学问题． 【问题情境】某品牌快餐店发源于安徽合肥，是一家以中式快餐为特色的全国连锁餐饮企业．综合实践小组的同学到该品牌快餐店研学，了解到该店研发了一种新的菜品，他们对该菜品的生产和销售情况进行了数据收集． 【信息展示】小华：该店这种菜品每日生产量x（单位：千克）的范围是． 小冉：该菜品每千克的生产成本（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系如下表所示． 每日生产量x 30 60 90 120 每千克的生产成本 55 50 45 40 小敏：该菜品每千克的售价（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中的线段表示，所在直线与纵轴的交点为（其中）． 小安：该店每日生产的这种菜品全部售完（每日销售量=每日生产量）． 【问题解决】 根据小冉收集的信息可知，该菜品每千克的生产成本（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间是一次函数关系．若小敏绘制的图中． (1)任务一：请分别求出，与每日生产量x之间的函数关系式． (2)任务二：若该菜品某日的销售利润为750元，求当日该菜品的生产量． (3)任务三：问当日该菜品的生产量为多少千克时，日销售利润最大？并求出最大日销售利润． 【答案】(1)， (2)30千克 (3)当日该菜品的生产量为90千克时，日销售利润最大，最大日销售利润为1350元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，正确找到相关的等量关系是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）根据题意列方程，即可解答； （3）设该菜品日销售利润为元．．，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设与x之间的函数关系式为， 将，代入， 得 解得 与x之间的函数关系式为． 当时，设与x之间的函数关系式为， 将代入，得， 解得， 与x之间的函数关系式为． （2）解：根据题意，得，即， 解得，（不合题意，舍去）． 答：当日该菜品的生产量为30千克． （3）解：设该菜品日销售利润为元． ． ， 当时，有最大值，最大值为1350． 答：当日该菜品的生产量为90千克时，日销售利润最大，最大日销售利润为1350元． 22．（12分）综合与实践 折叠在探究问题中，是极为重要的数学问题，在如下问题探究中，回答相关问题： 【问题情境】 如图1，将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，． (1)【活动猜想】 如图2，当点与点重合时，那么四边形是哪种特殊的四边形？请说明理由． (2)【问题解决】 在矩形纸片中，若边，． ①请判断与对角线的位置关系并仅就图3给出证明； ②当时，请求出此时的长度． (3)【拓展提升】 如图4，在正方形中，，对角线，相交于点．点是对角线上一点，连接，过点作，分别交，于点，，连接交于点，将沿翻折，点的对应点恰好落在上，得到．若点为的中点，则的面积为________． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)①，证明见解析；②或 (3) 【分析】（1）由折叠推出直线垂直平分，得到，，然后结合矩形的性质，证明出，即可证明出四边形是菱形； （2）①勾股定理求出，证明出是等边三角形，进而求解即可； ②如图3，点在线段上，设交于点，首先求出，然后解直角三角形求解即可；如图4，点在线段的延长线上，延长、交于点，求出，勾股定理求出，进而求解即可； （3）过点作于，作于，过点作于，如图所示，证明出，是等腰直角三角形，求出，，然后证明出，得到，然后利用勾股定理求出，，然后证明出，，然后列比例式求解即可． 【详解】（1）如图2，由折叠得点与点关于直线对称， ∴直线垂直平分， ∵点与点重合， ∴直线垂直平分， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）①， 证明：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． ②的长度为或， 理由：如图3，点在线段上，设交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图4，点在线段的延长线上，延长、交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长度为或． （3）解：过点作于，作于，过点作于，如图所示： ∵将沿翻折得到， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，是等腰直角三角形， ∵是的中点， ∴， ∴在等腰中，，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，，，则， 在等腰中，， 在中，， ∴，即为中点， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即；，即； ∴为中点， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，矩形和折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23．（12分）【概念感知】如果两个二次函数的常数项相同，二次项系数互为相反数，我们称这两个二次函数互为同反函数． 【概念理解】 （1）直接写出二次函数的一个同反函数的解析式：． 【概念应用】 （2）若二次函数的同反函数的图象与x轴只有一个交点，求满足条件的的同反函数的解析式． （3）如图，二次函数的图象交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，二次函数的同反函数的图象经过点B，设B点的横坐标为c．将二次函数的图象上和的部分记为，将二次函数的同反函数的图象上的部分记为．由图象和组成的图象记为G．点和点是图象G上两点．当时，求t的值． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）二次函数的同反函数的解析式为或 （3）的值为或 【分析】本题考查了二次函数的新定义＂同反函数＂的应用、二次函数与x轴的交点问题以及分段函数上点的坐标特征，解题的关键是准确理解同反函数的定义并结合二次函数的性质分情况讨论． （1）根据同反函数常数项相同、二次项系数互为相反数的定义，写出符合条件的解析式； （2）先设出同反函数解析式，利用函数图象与轴只有一个交点时判别式为0求解； （3）先求出原函数与x轴交点B的坐标，得到同反函数解析式，再分三点在不同图象部分的情况计算t值． 【详解】解：（1）由题意，根据同反函数的意义：常数项相同，二次项系数互为相反数 ∵二次函数为， ∴其同反函数可能为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）； （2）由题意，设的同反函数的解析式为， ∵二次函数的同反函数的图象与轴只有一个交点， ， ， ∴二次函数的同反函数的解析式为或； （3）由题意，设经过点的二次函数的同反函数的解析式为在中， 当时，即，解得或， ∵点在点的左侧， ， 将代入，得， ， ∴经过点的二次函数的同反函数的解析式为， ①当时，点和点都在图象上 ， ， ， 解得：， ②当时，点在图象上，点在图象上， ， ， ， 解得：， ， ， ③当时，点和点都在图象上，此时，不满足， 综上所述，的值为或． 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷02 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 =。==。一-一。=▣==---▣==▣=一=。一一-=▣▣=一。一- 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1【W][/】 (请用2B铅笔填涂) 日 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 6.A][B1[C1[D1 2[AJ[B][C][D] 7[AJ[BJ[C][D] 3.[A][B][C][D] 8.A][B1[C1[D] 4[AJ[B][C][D] 9.A][B][C1[D1 5.[A][B][C][D] 10.AJ[B][C1[D] 二、填空题（每小题5分，共15分) 11. 12. 13. 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(12分) 17.(6分) 1T B [- 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(7分) 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) A MN MN B B 图2 图3 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（12分) E D(B') ) A: A E B O G B B B 图1 图2 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) B C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 6