第4单元 第15节 等腰三角形和直角三角形-【众相原创·赋能中考】2026年数学课堂精讲册（贵州专用）

令则子3 解得x1=3+ 33 3√2 2…1=32≈4.2 .·每两个相邻彩灯之间的水平距离相等且不超过1m. .一共有5个间隔 .至少需要安装6个彩灯 单元整合提升 易错题专练 1.1或-2或32.C【变式】D 35或安 【解析】：二次函数y=mx2+2mx+1=m(x+1)2 -m+1,.对称轴为直线x=-1.①m>0,二次函数的图象 开口向上，当x=-1时，函数有最小值y=-m+1=-4,解 得m=5;②m<0,二次函数的图象开口向下，·对称轴为 直线x=-1,在-2≤x≤2时有最小值-4，.当x=2时，函 数有最小值y=4m+4m+1=-4,解得m=- 8m的值为 5或名 【变式了或子 4.解：(1)每支甲种灭火器的价格是45元，每支乙种灭火器 的价格是35元； (a-(30-a)≥5， (2)根据题意，得 (a≤2(30-a), 解得 2≤a≤20， a为非负整数，.a=18,19,20. 设总费用为W元，则W=45a+35(30-a)=10a+1050, .10>0,.W随a的增大而增大 .当a=18时，W值最小，W小=10×18+1050=1230,30- 18=12(支). 答：购买甲种灭火器18支、乙种灭火器12支可使总费用 最少，最少总费用是1230元 知识整合练 1.(1)B(2)①y=x+1②-、二、三(0,1)③>④5 ⑤y=x+3 (3)①y=2x6②8③x=3 2.(1)k>1 (2)①7②D③-3<y<0x>0或x≤-6 (3)y2>y3>y1 (4)①(-1，-6)②x<-1或0<x<1③6 3.(1)y=-x2+2x+3 (2)画图略 (3)下x=1两(-1,0)和(3,0)(0,3)大4 (4)增大3-5≤y≤4 (5)y=-(x-1)2+4 y=-(x+1)(x-3)） (6)y=-x2+2x+2y=-x2+6x-5y=x2-2x-3 （7)x1=-3,x2=1 8 第四单元三角形 第13节线段、角、相交线与平行线 核心知识全梳理 ①线段②AC③AB④ ，⑤14⑥24⑦90° ⑧180°⑨相等0相等①∠BOC2相等BPN ④角的平分线⑤∠2或∠40∠1或∠3⑦∠3 1⑧∠49相等②四∠5@∠6②2∠73∠8②④∠8 5∠5②6∠5②7∠8②8垂线段29垂线段的长度 0相等团BC2垂直平分线8PB④∥5∠2 36∠3⑦180°③8相等 贵州考法变式练 1.A2.(1)2或4(2)1.52 3.(1)85.442.7(2)4.6137.3(3)2 4.A【变式】60°150° 5.C614【拓展设问】2 7.(1)①B②120(2)C(3)65 8.A9.B【拓展训练】4020 第14节 三角形及其基本性质 核心知识全梳理 ①直角三角形②>③<④180⑤B6>⑦> ⑧大于⑨大角⑩片片心0B ④相等 西方 贵州考法变式练 1.(1)110°(2)①150°②359 2.A 3.12【解析】解方程x2-8x+15=0,得x=3或x=5,当第三 边为3时，2+3=5，不符合三角形三边关系，不能组成三 角形，舍去：当第三边为5时，符合三角形三边关系，能组 成三角形，此时三角形的周长是2+5+5=12 4.B 5.(1)①4②12(2)①44°②5：3③3 第15节等腰三角形和直角三角形 核心知识全梳理 ①4C②∠C③中④角平分⑤60°⑥都相等 ⑦60°⑧90⑨-半0u+62=c2①90°2) 13909 4互余（或和为90°）5a2+b2=c26AC⑦BC845° 0h11万30.602}3152 4等边 贵州考法变式练 1.D【变式设问】32.D【变式设问】165 3.(1)30°或120°(2)①6或4②4 4.(1)证明略： (2)解：：AB=AC,∠A=40°， A∠B=∠ACB=180-40°=70. 2 由(1)知△EDC是等腰三角形，.CE=DE ,·CF=DE,.CF=CE,∴.∠CEF=∠F .·∠ACB=∠CEF+∠F=2∠F=70°，∴.∠F=35° 5.B6.C7.D 8.解：(1)∠ACD=∠BCE.理由略； (2)如解图，连接BE. D ·:△ACB和△DCE都是等腰 直角三角形， ∴.∠D=∠AEC=45°，EC=DC, AC=BC,AC2+BC2=AB2, ..2AC2=AB. 又.·∠ACD=∠BCE,∴.△ADC≌△BEC(SAS), .∴.AD=BE,∠D=∠BEC=45°， ∴.∠BEA=∠BEC+∠AEC=90° 在Rt△ABE中，由勾股定理得AE+BE2=AB2, .∴.AE2+AD2=2AC2 小专题3与中点有关的性质与辅助线作法 1 2.63.9 4弓【解折】如解图，连接CD,取CD的中点K,连接MK。 NKM,N分别是AC,DE的中点，.MK,NK分别是 △4CD和△CE的中位线K=了A0=2.K=之CE= 2∠B=90°，AB⊥BC,.MK⊥NK,∠MW=90°， MN=√MR+K=之 5 B E M 第4题解图 第5题解图 $2 【解析】如解图，连接AM.AB=AC,BC=6,M为BC 的中点，.AM⊥CM(三线合一)，∴BM=CM=3.在 Rt△ABM中，AB=5.BM=3,.根据勾股定理得AM= B-Bn=V5-3=4,又Sae=MN·AC= 2AM MC...MN=AM CM 12 1 AC -5 【变式】3 6.7 7.证明：如解图，连接OD ∠BDC=∠BEC=90°，0为 BC的中点， .∴.OD=0E=0B=OC 0 .∴.∠CBA=∠BDO,∠BCA=∠CEO. ∠BAC=120°，∠CBA+∠BCA=180°-120°=60°， .·∠BOE=∠BCA+∠CEO=2∠BCA,∠COD=∠CBA+ ∠BDO=2∠CBA. .∴.∠B0E+∠C0D=120°，∴.∠D0E=60°， .△DOE是等边三角形，.DE=OE. 8.16cm9.35°10.2411.√7 12.证明：如解图，延长AD至点H,使DH=AD,连接BH. .·AD是△ABC的中线. .BD=CD. 又.·∠ADC=∠HDB AD=HD. D ∴.△ADC≌△HDB(SAS), ∴.AC=HIB,∠CAD=∠H. H .AE=EF,∴.∠EAF=∠AFE ∠AFE=∠BFH,.∠H=∠BFH, .BF=BH...BF=AC. 小专题4与角平分线有关的常见辅助线作法 1.D2.33.证明略.4.35 5.2【解析】如解图，延长AP交BC于点D.BP平分 ∠ABC,∴.∠ABP=∠DBP..BP⊥AP,∴.∠ABP+∠BAP= ∠DBP+∠BDP=90°，.∠BAP=∠BDP,.BA=BD,.AP =PD,S△HBP=S△DBP,S△HPe=S△DPe,.S△BP+S△APe=S△DBP +S△me=S△PBc,.S△ABc=SAPRc×2=1X2=2. D B 第5题解图 第6题解图 6.2√5【解析】如解图，延长AC与BE的延长线相交于点 F,AE⊥BF,AD平分∠BAC,则△ABF是等腰三角形， BE=EF,设BE=x.由题易得△ADC∽△BDE,则1D-AC "BD BE' .BD AD·x由题易得△BDE一△BFC,则 BE BD √3BC BC BF AD·x x3B …BC2x 2,得AD=25,则D25x=25. BE x 7.B8.D 9.解：(1)条件：①②：结论：③ 证明略.（答案不唯一） (2)在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴.∠ABC+∠C=180°-∠A=180°-40°=140°. 9第15节 等腰三角形和直角三角形 核心知识全梳理 教材·课标 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 图形 B a (1)两锐角之和等于⑧ (1)两腰相等，两底角相等 (1)三边相等，三个内角 (2)斜边上的中线等于斜边的 (等边对等角)： 相等； ⑨ 性质 (2)“三线合一”； (2)“三线合一”； (3)勾股定理：如果直角三角形的两 (3)是轴对称图形，对称轴 (3)是轴对称图形，对称轴 条直角边长分别为a,b,斜边长为c, 是底边上的高所在的直线 是任一条高所在直线 那么0 (1)AB=① ,∠B= (1)AB=AC=BC; (1)∠A+∠B=① 数学 °； ② ； (2)∠A=∠B=∠C= (2)CD=② AB: 语言 (2)AD是高曰AD是③ ⑤ (3)AC2+BC2=AB2 线曰→AD是④ 线 (1)有一个角等于B 的三 (1)三边都相等的三角形是 (1)有两边相等的三角形是 角形是直角三角形（定义）： 等边三角形（定义）； 等腰三角形（定义）： (2)有两个角④ 的三角形 (2)三个角⑥ 的三 判定(2)有两个角相等的三角形 是直角三角形： 角形是等边三角形； 是等腰三角形（简记为“等 (3)勾股定理的逆定理：如果三角形 (3)有一个角是⑦ 角对等边”) 的三边长a,b,c满足⑤ 的等腰三角形是等边三角形 那么这个三角形是直角三角形 S=b=h(ab为直角边长，c 面积 S= 2h(a为一边长，h为该 为斜边长，h为斜边上的高) 公式 边上的高)》 为任意边上的高) 【点拨】常用等面积法求直角三角形 的边长或高 【解题技巧】等腰三角形“三线合一”的应用：①等腰；②中线MN;③高线MN;④角平分线MN,若三角形 满足以上任意两个条件，则可以得出另外两个 【知识拓展】特殊的直角三角形： 性质 图示 (1)两条直角边相等，如图，⑥ =⑦ 等腰直角 (2)两个底角相等，且都等于45°，如图，∠A=∠B=⑧ 三角形 (3)s=7=0 ； (4)等腰直角三角形的三边AC:BC:AB=②四 61 续表 (1)两个锐角的度数分别为① ； (2)30°角所对的直角边等于斜边的一半，如图，∠B=30°，则AC= 含30°角 ② AB:(反之，在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一 的直角 半，则这条直角边所对的角等于30°) 三角形 (3)含30°角的直角三角形的三边AC:BC:AB=3 (4)斜边上的中线将其分为一个等边三角形和一个底角为30°的等腰 三角形.如图，若CD是斜边AB上的中线，则△ACD是④ 三角形 【特别提醒】三角形中常见的分类讨论思想： (1)等腰三角形中的分类讨论： ①遇角需讨论（顶角和底角）：已知等腰三角形的一个角为，求顶角或底角的度数时： 若a为钝角或直角，则a一定为顶角，此时底角的度数为2(180°-a: 若α为锐角，则应分两种情况讨论： 情况一：当a为项角时，底角的度数为2180°-a): 情况二：当为底角时，顶角的度数为180°-2 ②遇边需讨论（腰和底）：已知等腰三角形的两边长分别为a,b(a≠b),求周长C时，分两种情况： 情况一： 情况二： (若2a>b,则C=2a+b, (若2b>a,则C=2b+a, 当a为腰长时 当b为腰长时 若2a≤b,则不能构成三角形； 若2b≤a,则不能构成三角形. (2)直角三角形中的分类讨论：①已知直角三角形的两边长，求第三边长，若没有明确直角边和斜边时， 要分类讨论；②已知三角形为直角三角形，当未明确直角顶，点时，需分类讨论 贵州考法变式练 教材·真题·课标 考点1等腰三角形和等边三角形的性质 2.(2023贵州7题改编)如图是古建筑中的房梁 与判定（必考） 三角架的示意图，在△ABC中，AB=AC,D是 1.(2025贵州11题)如图，在□ABCD中，AB=3, BC的中点，连接AD,E是AC上一点，且AD= BC=5,∠ABC=60°，以A为圆心，AB长为半 DE.若∠BAC=110°，则∠ADE的度数为 径作弧，交BC于点E,则EC的长为( D A.5 B.4 A.55° B.60° C.3 D.2 C.62.5 D.70° 【变式设问】(2024贵州14题改编)上述问题 【变式设问】在上图中，若∠B=60°，BC=8,则 中，AE的长为 △ABC的面积为 62 3.(人教八上P77T2改编)在△ABC中，AB=AC.6.(北师八上P3T1改编)如图，在Rt△ABC中， (1)易错若△ABC有一个内角为30°，则 ∠ACB=90°，以△ABC的各边为边在△ABC △ABC的顶角度数为 外作三个正方形，S,S2,S,分别表示这三个正 (2)若△ABC的周长为16. 方形的面积，若S1=5,S2=15,则S3的值是 ①当其中一边长为6，则底边长为 () ②当其中一边长为4，则底边长为 A.5 B.8 C.10 D.16 4.(2025贵阳云岩区二模)如图，在△ABC中， AB=AC,D,E分别是BC,AC的中点，连接DE, 延长BC至点F,使CF=DE,连接EF. (1)求证：△EDC是等腰三角形： (2)若∠A=40°，求∠F的度数， 第6题图 第7题图 7.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AB=10,用 尺规作图的方法作线段AD和线段DE,保留 作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则 △BDE的周长是 () A.8 B.52 C.152 D.10 2 8.(2024贵州25题改编)如图，△ACB和△ECD 都是等腰直角三角形，CA=CB,CE=CD, △ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上. (1)判断∠ACD与∠BCE的数量关系，并说 明理由； (2)求线段AD,AE,AC之间满足的数量关系 考点2直角三角形的性质与判定（必考） 5.(2023贵州7题)5月26日，“2023中国国际 大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化 立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰 三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为 120°，腰长为12m,则底边上的高是( A.4 m B.6 m C.10m D.12m 温馨提示请完成分层练习册P36~37习题 63