小专题2 函数中的线段和面积问题-【众相原创·赋能中考】2026年数学课堂精讲册（贵州专用）

小专题2函数中的线段和面积问题(2023.24(2)，责阳2021.14,20) 类型1二次函数中的线段问题 例1.如图1，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A,B,与y轴交于 园技巧总结 点C,点P在第四象限内抛物线上，且横坐标为m,PE∥y轴交1.求线段长 BC于点E. (1)若ABy轴，则AB=IyA-yB; (1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 ,点C的 (2)若AB/∥轴，则AB=|XB-xAI; 坐标为 ,BC所在直线的表达式为 (2)求PE的最大值； 1B3 M AO B (3)若∠OBC=45°，DP⊥BC,则 图1 Dp② PE.(若L0BC=a,DP1 BC,则DP=PE·cosa) 2.线段数量关系问题 (3)作PF⊥y轴，交BC于点M,交抛物线于另一点F,若FM= 已知线段为定值或线段间满足某 2PM,求点P的横坐标； 种数量关系列方程求解 3.线段最值问题 (1)利用二次函数性质进行 求解； (2)利用对称的性质求线段和的 最值问题； (3)利用三，点共线、垂线段最短 (4)如图2，将该抛物线沿x轴进行翻折，变换后的抛物线与y 求最值 轴交于点D. 如：如图，在抛物线的对称轴上有 ①请直接写出变换后抛物线的表达式； 一点P,求PA+PB的最小值. ②若Q是第一象限内抛物线上的一点，QW⊥x轴交BD于点 N,求QN+2DN的最大值 B O B 点拨：①作，点B关于对称轴的对 称，点B'; ②连接AB'交对称轴于点P',则 AB'的长是PA+PB的最小值； 图2 ③根据，点坐标特征和勾股定理 求解 ©链接：最值问题的常见类型见 本书P128~130. 46 类型2二次函数中的面积问题 例2.如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A,B两点，交y轴于点 围技巧总结 C,直线y=-x+3经过B,C两点 平面直角坐标系中面积问题的常 (1)求抛物线的表达式； 见题型： (1)求三角形或四边形的面积： (2)已知面积或面积间的关系，求 参数或，点坐标 解上述题型的本质是求面积 情形1：如图，三角形有边在坐标轴 或平行于坐标轴→公式法S= 2 ah (2)P为第一象限内一点，且点P的横坐标为m. 情形2：三角形没有边在坐标轴或 ①连接PA,PB,用含m的式子表示△PAB的面积； 平行于坐标轴→割补法 (1)对于直角三角形：若已知两条 直角边a,06,则5山 (2)对于非直角三角形： ①如图1，沿x轴或平行于x轴分 割：Sax=2a(hh,)=2CD(x, Ya); h2 ②连接PC,求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的 h B h 坐标 图1 图2 ②如图2，沿y轴或平行于y轴分 1 1 割：Sac=2a(h+h,)=2CD(x xn); ③如图，补形为已知面积公式的 图形： SAOBOCDESA0C-SADSFO 2x台y4l 47 ⊙针对训练 1.(2024福建)如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,其中 A(-2,0),C(0,-2) (1)求二次函数的表达式： (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D,△PDB的面积是 △CDB面积的2倍，求点P的坐标 2.（2025威海节选)如图，已知抛物线y=ax2+bx-3交x轴于点A(-1,0),点B,交y轴于点C.点C 向右平移2个单位长度，得到点D,点D在抛物线y=ax2+bx-3上，点E为抛物线的顶点 (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)连接BC,点M是线段BC上一动点，连接OM,作射线CD.在射线CD上取一点F,使CF= C0,连接FM.当OM+FM的值最小时，求点M的坐标. 48小专题1含参二次函数的对称性、大小比较 和最值问题 1.(5.0)2.直线x=1 3.直线x=2或直线x=-6 【变式】解：对于y=ax2+bx-2(ab>0),当x=0时，y=-2 点A的坐标为(0，-2)， 又AB=3,直线AB∥x轴， .点B的坐标为(3，-2)或(-3，-2) ab>02a<0,抛物线的对称轴在y轴左侧， ∴.点B的坐标为(-3，-2). 4.B5.y<y3<y16.B7.A 8.(1)3(2)-5(3)3 9.解：在y=(x-h)2+3中，1>0，对称轴为直线x=h, ∴.当x<h时，y随x的增大而减小：当x>h时，y随x的增 大而增大 ①若1≤h≤3，则当x=h时，函数取得最小值3，即2h= 3 3,解得h=2 ②若h<1,则在1≤x≤3范围内，当x=1时，函数取得最 小值2h,即(1-h)2+3=2h,解得h=2(不合题意，舍去)； ③若h>3,则在1≤x≤3范围内，当x=3时，函数取得最 小值2h,即(3-h)2+3=2h,解得h1=6,h2=2(舍去). 综上所述，6的值为子或6 10.解：y=-x2+2mx-2m+1, 2m 六对称轴为直线x=2x-1)m, ①若m≥6，则当x=2时，函数取得最小值，即y=-4+ 4m-2m+1>-5,解得m>-1,.m≥6； ②若m≤2，则当x=6时，函数取得最小值，即y=-36+ 12m-2m+1>-5,解得m>3(舍)： ③若2<m≤4，则当x=6时，函数取得最小值，即y=-36+ 12m-2m+1>-5,解得m>3,∴.3<m≤4： ④若4<m<6,则当x=2时，函数取得最小值，即y=-4+ 4m-2m+1>-5,解得m>-1,∴.4<m<6. 综上所述，m的取值范围是m>3. 小专题2函数中的线段和面积问题 例1.解：(1)(-1,0)(3,0)(0，-3)y=x-3 9 (2)PE*=4 (3):P(m,m2-2m-3),PF⊥y轴，直线BC的表达式 为y=x-3, ∴.点M(m2-2m,m2-2m-3),F(2-m,m2-2m-3), .∴.PM=m-(m2-2m)=-m2+3m,FM=m2-2m-(2-m)= m-m-2. .FM=2PM,∴.m2-m-2=2(-m2+3m). 7±√73 整理，得3m2-7m-2=0.解得m= 6 6 点P在第四象限m>0点P的横坐标为+y万 6； (4)①y=-x2+2x+3; ②由①易得点D(0,3),则直线BD的表达式为y=-x+ 3,设Q(t,-t+2t+3),则N(t,-t+3). 如解图，过点V作NHLy轴于点 H,则NHOB,NH=t. 0B=0D,∴.∠DB0=45°， .∠DNH=∠DB0=45°， H-- A w-号aN0N+号aN=0+ N=-t2+2t+3-(-t+3)+t=-(t-2)2+4. -1k0…当1=2时，0N+2DN的最大值为4 例2.解：(1)抛物线的表达式为y=-x2+2x+3: (2)①油(1)得点P(m,-m2+2m+3). ·y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, 抛物线的对称轴为直线x=1, 点A(-1,0),点B(3,0),.AB=3-(-1)=4. 1 六5apw=2×4(-m+2m+3)=-2m+4m+6(0<m<3)； ②过点P作PH∥y轴交BC于点 H,如解图， P(m,-m+2m+3),则H(m -m+3), B .∴.PH=-m2+2m+3-(-m+3)= -m2+3m, 5a=m1-1=分x(-m+3m)×3 1 8 、 2<0,05m<3, 六当网-子时5取最大值号 此时-m+2m+3=-(+2}3 3 15 41 点P的坐标为（弓子 【针对训练】 1.解：(1)二次函数的表达式为y=x2+x-2: (2)由题意，设P(m,n)(m<0,n>0), ·△PDB的面积是△CDB面积的2倍， S△PB=2,即 1BD·n 2 SACDB BD·C0 1 2202 .C(0,-2),.C0=2,.n=2C0=4 由m2+m-2=4,解得m1=-3,m2=2(舍去). 点P的坐标为(-3,4. 2.解：(1)抛物线的表达式为y=x2-2x-3. 顶点E的坐标为(1，-4)； (2)如解图.连接OF,BF C(0,-3),D(2,-3),CD⊥0C. CF=C0=3, .0F=32,F(3,-3). .OM+FM≥0F=3√2 当0，M,F三点共线时，OM+FM的值最小， 令x2-2x-3=0,解得1=-1，x2=3, ∴.B(3,0),∴.BF⊥OB. .·∠BOC=90°，.四边形BOCF是矩形， .·OB=OC,.矩形BOCF是正方形， .点M是对角线OF的中点， 33、 ·点M的坐标为(2,2)： 第12节二次函数的实际应用 例1.【点拨】-2x+80x-10x-10-m392 (1)y与x的函数表达式为y=-2x+80; (2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最 大，最大利润是450元； (3)由题意，得0=(x-10-m)(-2x+80)=-2x2+(100 +2m）x-800-80m. .·最大利润为392元 +ac-6_4x-2)×-800-80m）-(100+2m）-392, 4×(-2) 整理得m2-60m+116=0,.(m-2)(m-58)=0, 解得m1=2,m2=58。 当m=58时，x=54(不符合题意，舍去)，m=2. 例2.【点拔】8x (1)y=100+8x: (2)由题意得W=(60-x-40)(100+8x)=-8x2+60x +2000: (3)定价为56元，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利 润W最大，最大利润是2112元 例3.【点拨】直线x=430<2t<8 8+x+2 解：(1)顶棚抛物线的函数关系式为y=- (0≤x≤8)； (2)如解图1，抛物线的对称轴Y 为直线x=4. M :车身的宽为2m, B .车身FG左侧下端点F的坐O FG C a 标为(3,0)， 图1 过点F作FM⊥OC交抛物线于点M, 将x=3代入y= 8++2,得y= 31 8 3 即FM= 8>3,小星能驾驶这辆车进入车棚； (3):点D,E在抛物线上的点A,B之间， .0<2t<8且0<t4,.0t4, 1 D(,8+2),E(21,2+2+2), ∴.h1=- ++2-2= 8 12 8 ①当点D,E都在直线x=4的左侧时，如解图2， 则0<2t<4,.0<t<2. 6=*22-242 1 4 4=34,=0(舍)： ②当D在对称轴的左侧，点E在对称轴上或右侧时， 如解图3， 则0<t×4,且4≤2t<8,.2≤t×4, =42-26--2g1宁 5=6+25(舍)，t4=6-25(舍)： 综上所述，6的值为 4 D E B B 图2 图3 【针对训练】 1.解：(1)y=-10x+600: (2)当x=40时，0有最大值，最大值为4000. 答：该产品每天获得的利润w的最大值为4000元； (3)0=(x-m)(-10x+600)=-10x2+(600+10m)x- 600m.·-10<0..抛物线开口向下. :对称轴为直线x=30+受，在实际销售过程中，发现每 天获得的利润w随x的增大而增大，且25≤x≤43！ 30+受≥43，解得m≥26m的最小值为26 2解：(1)拱门抛物线的函数表达式为y=-2 (2)设正方形的边长为am,则点P的坐标为(3号，）。 点P在抛物线上a=子3号一3)户号 21 解得a1=-21(不合题意，舍去)，a=3. 答：此正方形的边长为3m; (3)左右两侧的两个彩灯安装在拱门的抛物线上，彩 灯到地面的垂直距离为)m,