第3单元 第12节 二次函数的实际应用-【众相原创·赋能中考】2026年数学课堂精讲册（贵州专用）

第12节二次函数的实际瓜 类型1利润问题(2024.24) 例1.（2024贵州24题)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进 行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量 y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系，下表是y与x的几组 对应值， 销售单价x/元 12 14 16 18 20 销售量y/盒 56 52 48 44 40 (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利 润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为 m元的礼品①，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大 利润为392元2，求m的值， 例2.(2025江口县三模)第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7 日-14日在哈尔滨举办.亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意 “哈尔滨欢迎您”.亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”， 该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价.现在售价为 每个60元，每天可销售100个.经市场调查发现，若售价每降 价1元，则每天的销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元 (x为整数)，每天的销售量为y个 (1)请直接写出y与x之间的函数关系式； (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函 数关系式： (3)在(2)的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物 “滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ 用 【解题思路】 (1)审题，找出题目中的数量 关系； (2)根据数量关系确定二次函 数解析式和自变量的取值范围； (3)利用二次函数的性质（增减 性或最值)，结合自变量的取值 范围求解 常用等量关系： (1)利润=售价-成本； (2)总利润=每件利润×销售量； (3)利润率=利润÷成本× 100%. →点拨：(2)由(1)得日销量为 ,单件利润为 根据“日销售利润=日销量×单 件利润”列关系式，并根据二次 函数性质求解。 (3)由条件①得单件利润为 ,再根据“日销售利润= 日销量×单件利润”列关系式， 由条件②得W最大= 【技巧点拨】每每问题的差量： (1)单价每涨a元，少卖b件，则 涨价：元时，少卖的数量为， b件； (2)单价每下降m元，多卖n 件，则下降元时，多卖”· m n件. →点拨：由①得降价x元时，增 加的销量为 49 类型2抛物线形问题(2025.24,2023.24，贵阳2021.24) 例3.（2025贵州一模)如图1是某小区设计的一个车棚，其截面如 图2所示，顶棚是抛物线的一部分，OA,BC垂直于地面OC,且 A0=BC=2m,OC=8m,以OC所在的直线为x轴，OA所在直线 为y轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式y= ax2+x+c(a,c为常数，a≠0) 图1 图2 (1)求顶棚抛物线的函数关系式； (2)(北师九下P48T3改编)小星想驾驶一辆高为3m,宽为2m 的货车进人车棚。·通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ (3)如图3，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固.在顶棚 A,B之间抛物线上有两个点D和E(不与点A,B重合).它们的 横坐标分别为t,2t@,连接AD,AE.设点A与点D之间部分（含 点A和点D)的最高点与最低点的纵坐标的差为h,点A与点E 之间部分（含，点A和，点E)的最高点与最低点的纵坐标的差为 ,当：，=了时，求出的值 C 图3 50 →点拨：由①得，判断货车能否 驶入车棚，即比较货车沿以对称 轴为中心线行驶时货车的高度 和对应抛物线的纵坐标的大小 由(1)得对称轴为 则此时车身左侧下端，点的横坐 标为 →点拨：本题考查“取值范围含 参的二次函数最值问题”（见本 书P45). 由条件②得，点E的横坐标2t 的取值范围是 ,则分类 讨论如下： ①点D,E均在对称轴左侧： ②点D在对称轴左侧，点E在 对称轴右侧（含对称轴）. ⊙针对训练 1.某特产超市打算销售包装大枣，进价为20元/件，经过市场调查发现，该产品的日销售量y(件)与 当天的销售单价x(元/件)满足如图所示的一次函数关系. (1)求y与x间的函数关系式； (2)求该产品每天获得的利润w(元)的最大值： (3)春节前夕，批发商调整进货价格，该产品的进价变为m元/件(m为整数).该超市每天的销量 与当天的销售单价的关系不变，该超市为了不亏本，至少需按25元/件销售，而物价部门规定，销 售单价不超过43元/件.在实际销售过程中，发现每天获得的利润和随x的增大而增大，求m的 最小值. y/件 300 200 03040x/(元/件) 2.(2025贵阳云岩区二模)某校为学生拍毕业照设计了一个拱门，该拱门的横截面由线段A0,BC和 一段抛物线构成，AO,BC垂直于地面.将其截面放入平面直角坐标系如图1所示，点O为坐标原 点，卫知40=BC=,抛物线顶点E的坐标为(3，子。 7 (1)求拱门抛物线的函数表达式： (2)现要在抛物线与地面围成的区域中用PQ,PW,WM三根钢架隔出正方形区域QPWM供师生拍 照留念，点P,N在抛物线上，点Q,M在地面上，求此正方形的边长； 5 (3)如图2，在拱门上安装彩灯，要求彩灯到地面的垂直距离为)m,每两个相邻彩灯之间的水平 距离相等且不超过1，左右两侧的两个彩灯安装在拱门的抛物线上，求至少需要安装彩灯的个 数.（参考数据：√2≈1.4) 图1 图2 温馨提示请完成分层练习册P30~31习题 512.解：(1)抛物线的表达式为y=x2-2x-3. 顶点E的坐标为(1，-4)； (2)如解图.连接OF,BF C(0,-3),D(2,-3),CD⊥0C. CF=C0=3, .0F=32,F(3,-3). .OM+FM≥0F=3√2 当0，M,F三点共线时，OM+FM的值最小， 令x2-2x-3=0,解得1=-1，x2=3, ∴.B(3,0),∴.BF⊥OB. .·∠BOC=90°，.四边形BOCF是矩形， .·OB=OC,.矩形BOCF是正方形， .点M是对角线OF的中点， 33、 ·点M的坐标为(2,2)： 第12节二次函数的实际应用 例1.【点拨】-2x+80x-10x-10-m392 (1)y与x的函数表达式为y=-2x+80; (2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最 大，最大利润是450元； (3)由题意，得0=(x-10-m)(-2x+80)=-2x2+(100 +2m）x-800-80m. .·最大利润为392元 +ac-6_4x-2)×-800-80m）-(100+2m）-392, 4×(-2) 整理得m2-60m+116=0,.(m-2)(m-58)=0, 解得m1=2,m2=58。 当m=58时，x=54(不符合题意，舍去)，m=2. 例2.【点拔】8x (1)y=100+8x: (2)由题意得W=(60-x-40)(100+8x)=-8x2+60x +2000: (3)定价为56元，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利 润W最大，最大利润是2112元 例3.【点拨】直线x=430<2t<8 8+x+2 解：(1)顶棚抛物线的函数关系式为y=- (0≤x≤8)； (2)如解图1，抛物线的对称轴Y 为直线x=4. M :车身的宽为2m, B .车身FG左侧下端点F的坐O FG C a 标为(3,0)， 图1 过点F作FM⊥OC交抛物线于点M, 将x=3代入y= 8++2,得y= 31 8 3 即FM= 8>3,小星能驾驶这辆车进入车棚； (3):点D,E在抛物线上的点A,B之间， .0<2t<8且0<t4,.0t4, 1 D(,8+2),E(21,2+2+2), ∴.h1=- ++2-2= 8 12 8 ①当点D,E都在直线x=4的左侧时，如解图2， 则0<2t<4,.0<t<2. 6=*22-242 1 4 4=34,=0(舍)： ②当D在对称轴的左侧，点E在对称轴上或右侧时， 如解图3， 则0<t×4,且4≤2t<8,.2≤t×4, =42-26--2g1宁 5=6+25(舍)，t4=6-25(舍)： 综上所述，6的值为 4 D E B B 图2 图3 【针对训练】 1.解：(1)y=-10x+600: (2)当x=40时，0有最大值，最大值为4000. 答：该产品每天获得的利润w的最大值为4000元； (3)0=(x-m)(-10x+600)=-10x2+(600+10m)x- 600m.·-10<0..抛物线开口向下. :对称轴为直线x=30+受，在实际销售过程中，发现每 天获得的利润w随x的增大而增大，且25≤x≤43！ 30+受≥43，解得m≥26m的最小值为26 2解：(1)拱门抛物线的函数表达式为y=-2 (2)设正方形的边长为am,则点P的坐标为(3号，）。 点P在抛物线上a=子3号一3)户号 21 解得a1=-21(不合题意，舍去)，a=3. 答：此正方形的边长为3m; (3)左右两侧的两个彩灯安装在拱门的抛物线上，彩 灯到地面的垂直距离为)m, 令则子3 解得x1=3+ 33 3√2 2…1=32≈4.2 .·每两个相邻彩灯之间的水平距离相等且不超过1m. .一共有5个间隔 .至少需要安装6个彩灯 单元整合提升 易错题专练 1.1或-2或32.C【变式】D 35或安 【解析】：二次函数y=mx2+2mx+1=m(x+1)2 -m+1,.对称轴为直线x=-1.①m>0,二次函数的图象 开口向上，当x=-1时，函数有最小值y=-m+1=-4,解 得m=5;②m<0,二次函数的图象开口向下，·对称轴为 直线x=-1,在-2≤x≤2时有最小值-4，.当x=2时，函 数有最小值y=4m+4m+1=-4,解得m=- 8m的值为 5或名 【变式了或子 4.解：(1)每支甲种灭火器的价格是45元，每支乙种灭火器 的价格是35元； (a-(30-a)≥5， (2)根据题意，得 (a≤2(30-a), 解得 2≤a≤20， a为非负整数，.a=18,19,20. 设总费用为W元，则W=45a+35(30-a)=10a+1050, .10>0,.W随a的增大而增大 .当a=18时，W值最小，W小=10×18+1050=1230,30- 18=12(支). 答：购买甲种灭火器18支、乙种灭火器12支可使总费用 最少，最少总费用是1230元 知识整合练 1.(1)B(2)①y=x+1②-、二、三(0,1)③>④5 ⑤y=x+3 (3)①y=2x6②8③x=3 2.(1)k>1 (2)①7②D③-3<y<0x>0或x≤-6 (3)y2>y3>y1 (4)①(-1，-6)②x<-1或0<x<1③6 3.(1)y=-x2+2x+3 (2)画图略 (3)下x=1两(-1,0)和(3,0)(0,3)大4 (4)增大3-5≤y≤4 (5)y=-(x-1)2+4 y=-(x+1)(x-3)） (6)y=-x2+2x+2y=-x2+6x-5y=x2-2x-3 （7)x1=-3,x2=1 8 第四单元三角形 第13节线段、角、相交线与平行线 核心知识全梳理 ①线段②AC③AB④ ，⑤14⑥24⑦90° ⑧180°⑨相等0相等①∠BOC2相等BPN ④角的平分线⑤∠2或∠40∠1或∠3⑦∠3 1⑧∠49相等②四∠5@∠6②2∠73∠8②④∠8 5∠5②6∠5②7∠8②8垂线段29垂线段的长度 0相等团BC2垂直平分线8PB④∥5∠2 36∠3⑦180°③8相等 贵州考法变式练 1.A2.(1)2或4(2)1.52 3.(1)85.442.7(2)4.6137.3(3)2 4.A【变式】60°150° 5.C614【拓展设问】2 7.(1)①B②120(2)C(3)65 8.A9.B【拓展训练】4020 第14节 三角形及其基本性质 核心知识全梳理 ①直角三角形②>③<④180⑤B6>⑦> ⑧大于⑨大角⑩片片心0B ④相等 西方 贵州考法变式练 1.(1)110°(2)①150°②359 2.A 3.12【解析】解方程x2-8x+15=0,得x=3或x=5,当第三 边为3时，2+3=5，不符合三角形三边关系，不能组成三 角形，舍去：当第三边为5时，符合三角形三边关系，能组 成三角形，此时三角形的周长是2+5+5=12 4.B 5.(1)①4②12(2)①44°②5：3③3 第15节等腰三角形和直角三角形 核心知识全梳理 ①4C②∠C③中④角平分⑤60°⑥都相等 ⑦60°⑧90⑨-半0u+62=c2①90°2) 13909 4互余（或和为90°）5a2+b2=c26AC⑦BC845° 0h11万30.602}3152 4等边 贵州考法变式练 1.D【变式设问】32.D【变式设问】165 3.(1)30°或120°(2)①6或4②4