专题03 函数单调性、奇偶性、周期性与对称性的综合应用（12大题型）（期末专项训练）高一数学上学期苏教版

专题03 函数单调性、奇偶性、周期性与对称性的综合应用 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 函数的单调性及单调区间（共5小题） 1．（24-25高一上·上海松江·期末）下列函数中，对任意的、时，均有的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定函数的单调性，再对所给函数进行判断即可. 【详解】因为，对任意的、时，均有，所以函数在上单调递增. 对A：因为，所以幂函数在上单调递减，不合题意； 对B：因为函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，不合题意； 对C：因为，所以指数函数在上单调递增，在上就是单调递增，符合题意； 对D：因为，所以对数函数在上单调递减，不合题意. 故选：C 2．（24-25高一上·吉林长春·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化函数为分段函数，再结合二次函数单调性求出单调递增区间. 【详解】函数， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A 3．（24-25高一上·四川绵阳·期末）下列函数，满足“对任意，且，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，即函数在上单调递减，逐个选项判断即可. 【详解】由对任意的，且，都有， 即函数在上单调递减. 对于A，，而函数在上单调递增，故A错误； 对于B，由余弦函数在上单调递减，所以在上单调递减，故B正确； 对于C，在上单调递增，故C错误； 对于D，在R上单调递增，故D错误. 故选：B. 4．（24-25高一上·湖南·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)判断在上的单调性并利用定义法证明； (3)求在上的最大值. 【答案】(1)； (2)在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）先根据已知条件求出进而求出，再开方即可求解. （2）先求出，再利用定义法证明函数的单调性求出单调区间即可. （3）利用（2）中结论，根据函数的单调性，结合，分、两种情况讨论即可求解. 【详解】（1）因为，所以，即 因为，所以． （2）在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，且，所以， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增． （3）当时，由（2）知在上单调递减，所以； 当时，由（2）知在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以若，则， 若，则． 综上，. 5．已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 【答案】(1) (2)在区间和和上分别单调递减 【分析】（1）直接根据题意代入求值即可； （2）根据定义法判断函数的单调性即可. 【详解】（1）因为，所以，则， 故． （2）易得的定义域为，， 则， ①当时，， 则，即， 故在区间上单调递减； ②当时，， 则，即， 故在区间单调递减， ③当时，， 则，即， 故在区间单调递减， 综上，在区间和和和上分别单调递减 题型二 复合函数的单调性（共5小题） 6.（23-24高一上·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义域和复合函数的单调性求解. 【详解】由，，解得或， 所以函数的定义域为， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上为增函数，由复合函数单调性可得的单调递减区间为． 故选：C. 7．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数单调性的判定，求解内层函数的定义域，进而再求出单调性即可. 【详解】设，即，在上单调递增， 故取，且的单调递增的部分，可求出的递增区间， 可得， 即， 解得 . 故选：A. 8．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性可求得函数的减区间. 【详解】对于函数，由可得或 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数， 外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为. 故选：A. 9．（23-24高一上·甘肃定西·期末）函数的单调递减区间是 【答案】 【分析】根据复合函数同增异减的原则，判定内外函数的单调性即可得到答案. 【详解】内函数，其在上单调递增， 而外函数在上单调递减， 则根据复合函数单调性“同增异减”的原则知的单调递减区间为， 10．（24-25高一上·河南信阳·期末）已知函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数的单调性，结合函数定义域，求单调递增区间. 【详解】由，得， 解得， 所以的定义域为． 由复合函数的单调性可知，的单调递增区间即为函数在区间上的单调递减区间， 令，解得， 所以的单调递增区间为． 故选：D． 题型三 利用函数单调性求参（共5小题） 11．（24-25高一上·湖北武汉·期末）“”是“在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据函数单调性的定义及充分条件、必要条件求解. 【详解】当在上单调递减， 设任意，且， 则， 又，所以可得， 故“”是“在上单调递减”的充要条件， 故选：C 12．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设，令，变形得到，得到在R上单调递增，并根据得到，得到不等式，求出答案. 【详解】不妨设，， 故， 令，则，所以在R上单调递增， 因为，所以， ， 所以，解得. 故选：C 13．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意可得函数在上单调递增，列出不等式组求解即可. 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 14．定义在上的函数对任意的两个不相等的实数总有成立，并且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得出函数的单调性，利用单调性解不等式，同时须注意定义域． 【详解】解：∵函数对任意的两个不相等的实数总有， ∴函数在上单调递增， ∵ ∴， 解得， 故选：B． 15．已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用已知条件判断函数的单调性然后转化分段函数推出不等式组，即可求出a的范围． 【详解】对任意的实数，都有，即成立， 可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数； 可得：， 解得， 故答案为：． 题型四 利用函数单调性解不等式（共4小题） 16．已知是定义在上的减函数，其图象经过两点，则使不等式成立的的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件得到或，然后由单调性解不等式，即可求解. 【详解】不等式等价或， 又是函数图象上两点，即，， 且是定义在上的减函数，故或， 所以或，即不等式解集为. 故选：A 17．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设有在定义域上单调递减，结合已知判断的区间符号，进而求不等式的解集. 【详解】由题设，在定义域上单调递减，且， 所以，在上，在上， 所以，当时，当时，当时， 由，可得解集为. 故选：C 18．，其中，若，则得取值范围是 【答案】 【分析】画出函数图像，结合对称性构造不等式即可求解； 【详解】    画出函数的图像， 当时，， , 即， 同理：当时，也可得， 所以的图像的图像关于对称； 所以等价于， 即， 解得：或， 又， 所以得取值范围是， 19．（24-25高一上·江西·期末）已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果； （2）根据条件和（1）结果，得到不等式组，即可求解. 【详解】（1）任取，且，， 则 ， 又，，，则，， 所以，， 得到，即， 所以函数在区间上是增函数. （2）因为函数的定义域为， 且在区间上是增函数，由， 得到，解得或， 所以实数的取值范围为或. 题型五 判断函数的奇偶性（共4小题） 20．（24-25高一上·海南·期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数定义及应用解析式的单调性判断各个选项. 【详解】对于A：定义域为不关于原点对称，函数不是奇函数，A选项错误； 对于B：函数定义域为，，所以函数是奇函数， 在定义域内单调递增，B选项正确； 对于C：在区间上单调递减的，C选项错误； 对于D：定义域为不关于原点对称，函数不是奇函数，D选项错误； 故选：B. 21．（2025高一上·全国·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】D 【分析】根据奇偶性的定义逐项判断即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以； 是定义在上的偶函数，所以， 对于A，，所以为奇函数，故A错误； 对于B，，所以为偶函数，故B错误； 对于C，，与和均不相等， 所以为非奇非偶函数，故C错误； 对于D，，故为偶函数，故D正确. 故选：D. 22．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 【答案】B 【分析】将选项A，B，C中的条件分别代入函数的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D作答. 【详解】对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确； 对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确； 对于C，， 令，，，所以不是奇函数，C不正确； 对于D，取，显然有，而，，此时，D不正确. 故选：B 23．（24-25高一下·云南昭通·期末）函数在区间上的图象大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据奇偶性可排除CD，根据范围可排除B. 【详解】，故为奇函数，则其图象关于原点对称，可排除CD， 当时，，故可排除B， 故选：A 题型六 利用函数奇偶性求函数解析式（共5小题） 24．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式. 【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，，则. 故选：A 25．（24-25高一上·江西·期末）已知函数是上的偶函数，当时，，则当时， A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性求解析式即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以. 当时，， 所以当时，. 26．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，当时，的表达式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先设，根据偶函数的性质，即可求解函数的解析式. 【详解】设，，， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以. 故选：B 27．若是定义在上的奇函数，且，对任意的恒成立，若对任意的，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可知的周期为4，根据函数的奇偶性可知，结合函数周期性即可求解. 【详解】由，得， 所以，即的周期为4. 又，为奇函数，所以， 所以当时，， 则. 故选：D 28．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期末）已知函数图像关于原点对称，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇偶性的定义即可得到答案. 【详解】因为函数图像关于原点对称，所以为奇函数，即. 当时，得，则，即，. 所以当时，. 故选：B. 题型七 利用函数奇偶性求参（共5小题） 29．（24-25高一上·山东菏泽·期末）已知为偶函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的定义可求出的值. 【详解】由可得，故函数的定义域为， 因为函数为偶函数，则， 即， 所以对任意的恒成立， 故，解得. 故选：A. 30．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知定义域为的奇函数，则的值为（    ） A．0 B．-1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由奇函数定义域关于原点对称求出，再由奇函数性质求出，即可得解. 【详解】因为定义域为的奇函数， 所以，解得， 又由奇函数可知，解得， 所以， 所以， 故选：A 31．（24-25高一下·河南漯河·期末）若函数为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】由题意可知函数的定义域为，根据奇函数定义取特值可得，并结合奇函数定义检验即可. 【详解】令，解得，可知函数的定义域为， 若函数为奇函数，则， 可得，即，则， 可得， 即，可知函数为奇函数， 所以. 故选：B. 32．（24-25高一上·贵州黔南·期末）设是定义在区间上的奇函数，则（    ） A． B．38 C．26 D． 【答案】C 【分析】根据奇函数定义域的夜店求出b，继而根据为奇函数求出a，即可求得答案. 【详解】根据奇函数的定义，设函数的定义域为D，则对，都有， 即定义域关于原点对称，所以，即，解得. 要使函数在上为奇函数，需满足， 即，， 则，即， 则 所以， 故选：C. 33.（24-25高一上·湖南·期末）“”是“函数为偶函数”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】应用偶函数定义结合对数运算计算，再应用充要条件定义判断. 【详解】因为为偶函数，所以， 即，即，即，所以， “”是“函数为偶函数”的必要条件； 当“”时， ， 即函数为偶函数，“”是“函数为偶函数”的充分条件； 综上，“”是“函数为偶函数”的充要条件， 故选：A. 题型八 抽象函数的奇偶性、单调性与周期性（共4小题） 34.（24-25高一上·湖南娄底·期末）已知函数，对于任意的，都有，当时，． (1)求的值； (2)判断的奇偶性和单调性； (3)设函数，若方程有2个不同的解，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)为奇函数；函数是上的减函数 (3)或． 【分析】（1）在已知等式中令，可得； （2）令，可得奇偶性，再用单调性的定义证明单调性； （3）由奇函数性质及已知变形的形式，然后在中由的单调性化简得，即，作出函数的图象，它与直线的交点个数得结论． 【详解】（1）令，代入得，所以． （2）令， 代入，可得， 所以，可得函数为奇函数； 任取，且 又因为时，，且，所以， 所以，即，所以函数是上的减函数． （3），即 所以 ， 令，即， 因为函数是上的减函数，所以，即 令 作出的图象如图，结合图象，可得：当或时，函数有2个零点， 即实数m的取值范围为或． 35．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）应用赋值法即可； （2）应用奇函数的定义即可判断； （3）结合（2）转化为求，即可求解. 【详解】（1）当时，，则； （2）当时，，则； 设，则，则， 则，即， 即函数为奇函数. （3）由（2）知，为奇函数，则 . 36．（24-25高一上·辽宁·期末）已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)奇函数 (2)在上单调递增，证明见解析 (3)． 【分析】（1）令，结合得，利用奇函数定义即可证明； （2）先利用条件证时，，然后利用函数单调性的定义以及已知条件，判断函数单调性即可； （3）先判断在R上的单调递增，求出函数的最值，然后将问题转化为恒成立，即对恒成立，列不等式组求解即可. 【详解】（1）函数为R上的奇函数.证明如下： 易知函数的定义域为，令，则， 又，所以，所以函数为奇函数. （2）在上的单调递增，证明如下： 由（1）知，， 当时，，所以， 从而， ，则， 因为，所以，又当时，， 所以，所以，所以， 故在上的单调递增. （3）由（1）知，函数为R上的奇函数，所以， 由（2）知，当时，，且在上的单调递增， 所以在上的单调递增， 所以当时，函数的最大值为，最小值为， 又任意，总有恒成立， 所以，即， 由题意，对恒成立，令，则， 所以，解得或， 故实数的取值范围是. 37．（24-25高一上·重庆·期末）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，奇函数 (2)增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）对已知式中的依次赋值，求得，，利用奇偶性定义证明即得； （2）先证明 时, ，由是上的奇函数，可得，再由函数的单调性定义证明在 在上单调递增，再由奇函数即得为上的增函数； （3）通过赋值法，将题设不等式化成，再利用在上是增函数将其化成对任意的 成立问题，结合一次函数的图象即可求得. 【详解】（1）因对任意的都有. 当时,令 ,则，因，则 ； 再令 ,则，即，因，则. 令 ,则,故是奇函数. （2） 在上是增函数.以下提供证明: 当 时, 则，由，可得， 又 ，且时, ，故 时, . 又因是定义在上的奇函数,所以. 任取 ,则 ,从而 在 上单调递增, 又因是上的奇函数,则 在 上单调递增,且， 故在上是增函数; （3）在中，令 ，可得 ，因，则， 由可得， 即 因在上是增函数，即得对任意的 成立， 设， 则解得或 即实数的取值范围为. 题型九 利用函数单调性与奇偶性解不等式（共9小题） 38．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知奇函数 的定义域为，在区间上单调递增，，且 为偶函数. 若关于的不等式对恒成立，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性，周期性，单调性进行求解即可. 【详解】由为上的奇函数，则关于点对称，则， 又为偶函数，则，故关于对称，则， 则，是周期为4的周期函数， 又在区间上单调递增，因此在区间上单调递减， 又，则，因此， 又关于的不等式对恒成立，则， 因此，可得，， 故选：C. 39．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则 D．函数在单调递减 【答案】B 【分析】对A，赋值法令求解；对B，赋值法结合奇函数的定义判断；对C，令求得函数的周期求解；对D，利用单调性定义结合赋值法求解判断. 【详解】对于A，令，可得，解得，故A错误； 对于B，令，可得，又， 则，所以函数是奇函数，故B正确； 对于C，令，得，则是周期函数，周期为2，所以，故C错误； 对于D，令，，且，则， 即，而时，与2大小不定，故D错误. 故选：B. 40．（24-25高一上·山西太原·期末）已知函数在R上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性得到，画出函数图象，数形结合得到不等式，求出解集. 【详解】在R上是奇函数，故， 故， 当时，单调递增， 令，解得，故， 结合函数为奇函数，作出的图象，如图所示. 由得或， 由图象得或， 所以或， 即不等式的解集是 故选：B 41．设函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造新函数，判断函数的奇偶性及其单调性，利用函数的单调性求解不等式即可. 【详解】已知函数，令， 又，可得：为定义在上的奇函数. 当时，，由于二次函数开口向上，且对称轴为， 可得：函数在上单调递增； 又为奇函数且，可得：函数在上单调递增. 又，得：， 即，移项得：， 由为奇函数，得：， 由在上单调递增，得：，解得：. 综上可得：实数的取值范围为. 故选：B 42．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数a满足，则实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知得到，结合偶函数的对称性及区间单调性得，即可求参数范围. 【详解】由题意，知，所以， 又函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减， 所以，即或，所以或. 故选：B 43.已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对进行变形，得出函数的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解不等式. 【详解】由可得，设函数，， 则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数，在上单调递减， 而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. 故选：B 44．（24-25高一上·四川德阳·期末）若是定义在上的偶函数，对，当时，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知不等式和偶函数性质判断出在定义域上的单调性，将转化为，，结合含绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】由可知：当时，， 即当时，， 可得在上单调递增， 因为是定义在上的偶函数，偶函数的图象关于轴对称， 所以在上单调递减，且，， 可得，即， 又因为，， 所以， 易知，恒成立，因此，，即，, 的值域是，的值域是， 解得. 故选：D. 45．（24-25高一下·甘肃平凉·期末）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知时，根据指数和对数函数的性质可知在上单调递增，根据零点讨论的范围，得出当时，；根据函数的奇偶性，即为定义在上的奇函数，得出当时，，合并确定不等式的解集. 【详解】当时，，易得在上单调递增， 又， 所以当时，，当时，， 又为定义在上的奇函数， 所以当时，，当时，，当或时，. 综上，不等式的解集为. 故选：A. 46.（24-25高一上·江西·期末）已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的奇偶性与单调性，根据函数性质，把函数不等式转化为代数不等式在给定区间恒成立，从而求参数的取值范围. 【详解】因为， 所以函数为奇函数. 又因为函数，，都是上的增函数，所以也是上的增函数. 所以. 所以问题转化为：当时，即恒成立. 设，由时，恒成立得： . 故选：A 题型十 最大值与最小值及f（a）+f(-a）（共5小题） 47．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数的最大值为，最小值为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由题意可得，可求的值. 【详解】由，得，函数的定义域为， 令，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以， 则的图象关于点对称，所以. 故选：C. 48．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数对，都有，若在上存在最大值M和最小值m，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．0 【答案】B 【分析】根据赋值法可得，进而根据奇函数的性质得为奇函数，即可根据奇函数的性质求解. 【详解】令，则，得； 令，则， 所以；令， 则， 所以为奇函数，故，即， 所以． 故选：B． 49.（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知是定义在R上的奇函数，设函数的最大值为M，最小值为m，则 【答案】2 【分析】由题意可得的最大，最小值分别为，，由奇函数的性质可得，变形可得答案． 【详解】， 令，因为是奇函数，所以， ，所以函数是奇函数， 所以函数的最大值为，最小值为，由奇函数得性质可得，， 解得. 50．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则 【答案】2 【分析】将函数解析式化为，令，则，设，，可判断是奇函数，根据奇函数性质及，求得答案. 【详解】因为，， 令， 则， 设，，则， 所以是奇函数，最大值为，最小值为， 则，由，解得. 51．（23-24高一上·辽宁鞍山·期末）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将函数解析式化为，令，判断的奇偶性，然后利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】， 令，则其定义域为，又， 所以为奇函数，则， 所以，则. 故选：B. 题型十一 函数单调性、奇偶性、周期性与对称性综合（共10小题） 52.（24-25高一上·江苏·期末）已知函数的定义域为，且，函数在上单调递增，则下列命题为真命题的是（    ） A．的图象关于点对称 B．为偶函数 C．的图象关于直线对称 D．若，则 【答案】ACD 【分析】由可判断A，根据平移变换得为奇函数判断B，由题干等量函数关系得判断C，根据单调性及对称性列不等式求解判断D. 【详解】由知，故的图象关于点对称，A正确； 的图象由的图象向左平移一个单位得到， 故的图象关于点对称，即为奇函数，B错误； 由，知：， 所以的图象关于直线对称，C正确； 因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减， 若，且，由的图象关于直线对称知， 平方化简得，解得，D正确. 故选：ACD 53．（多选）已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．为奇函数 C．是周期为4的函数 D． 【答案】ACD 【分析】运用奇函数性质和对称性得到原函数的周期性，借助赋值可解. 【详解】为奇函数，得到，向右平移1个单位得到，则的图象关于点中心对称,则A正确. 则，的图象关于直线对称, 则，则, 则，则是周期为4的函数.则C正确. 令，则由，知，则..故D正确. 前面式子推不出，故B错误. 故选：ACD. 54.（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数. （1）判断并证明函数的奇偶性： （2）用定义证明函数在上为减函数： （3）已知，且，求x的值. 【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）或. 【解析】（1）由已知得函数的定义域关于原点对称，再由，可得结论； （2）任取，作差，判断其差的符号，可得证； （3）由三角函数的值域和（1），（2）的结论可得在也是减函数，由此可得，解之可得答案． 【详解】解.（1）奇函数；证明： 函数，定义域，关于原点对称，又， 故为奇函数； （2）任取， ， 因为，，，所以， 则， 所以在上为减函数. （3），，， 又在R上为奇函数且在为减函数，所以在也是减函数， 所以， 又，则或. 55．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数，是定义在R上的奇函数，且当时，，且对任意，都有． (1)求使得成立的x的取值集合； (2)求证：为周期为4的周期函数，并直接写出在区间上的解析式； (3)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见详解， (3) 【分析】（1）根据题意结合对数函数、正切函数运算求解； （2）根据题意结合周期的定义分析证明，再根据函数的性质求解析式； （3）先利用换元令，结合二次函数求得，再根据的性质求的最大值，再利用基本不等式求得，结合恒成立问题分类讨论分析求解. 【详解】（1）由题意可得：， 则，解得，则， 故使得成立的x的取值集合. （2）∵，即，则， ∴为周期为4的周期函数， 又∵是定义在R上的奇函数，则，即， 当时，则，故； 又∵是定义在R上的奇函数，则有： 当时，则，故； 当时，则，故； 综上所述：当时，则. （3）对于， 令，则的对称轴为， 故当时，取到最大值，故当时，取到最小值， 故， 由（2）可知：在上单调递减，在上单调递增，且， 故当时，则的最大值为， 又∵为周期为4的周期函数，则当时，则的最大值为， ∴的最大值为，则对任意恒成立， 又∵，当且仅当，即时等号成立，则有： 当时，则，不合题意，舍去； 当时，则，解得， 综上所述：实数a的取值范围为. 题型十二 函数新定义（共7小题） 56．（24-25高一上·辽宁·期末）若函数的定义域、值域均为，则称为区间上的方正函数． (1)若为区间上的方正函数，求实数的值； (2)是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不存在；理由见解析. 【分析】（1）分析函数在上的单调性，求出函数值域，结合方正函数的定义，可求的值. （2）分析函数的性质，结合单调性和奇偶性，还有方正函数的定义，分析的存在情况. 【详解】（1）因为，函数图象开口向上，且对称轴为， 所以函数在上单调递增， 由题意，为区间上的方正函数， 所以当时，； 当时，，解得或（舍去）. 因此，若为区间上的方正函数，则实数的值为. （2）不存在，理由如下： 对函数，因为， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 又当时，，所以函数在上单调递减， 由奇函数性质可知，函数在上单调递减. 如存在实数对，使得函数为区间上的方正函数， 则，即，又， 显然，所以，，所以， 即，解得，这与矛盾. 故不存在实数对，使得函数为区间上的方正函数. 57．（24-25高一上·四川遂宁·期末）如果函数满足：对定义域内的所有，存在常数，，都有，那么称是“中心对称函数”，对称中心是点. （1）证明点是函数的对称中心； （2）已知函数（且，）的对称中心是点. ①求实数的值； ②若存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）见解析； （2）①， ②. 【分析】（1）求得，根据函数的定义，即可得到函数的图象关于点对称. （2）①根据函数函数的定义，利用，即可求得. ②由在上的值域，得到方程组，转化为为方程的两个根，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数，可得， 所以函数的图象关于点对称. （2）①因为函数（且，）的对称中心是点， 可得，即，解得（舍）. ②因为，∴，可得， 又因为，∴. 所以在上单调递减， 由在上的值域为 所以，， 即，即， 即为方程的两个根，且， 令， 则满足，解得，所以实数的取值范围. 58．（24-25高一上·重庆长寿·期末）数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维互相转化来解决问题.函数的单调性刻画函数的自变量与函数的增减关系.当一个函数为增函数时，还可研究其增加的快慢.例如：，当时是增函数，且随着的增大的变化越来越慢，我们称这个函数在时为“上凸函数”.此性质还可以表达为：成立，则称此函数在内为“上凸函数”.已知函数. (1)请说明的单调性（无需证明过程）； (2)证明此函数在内是“上凸函数”； (3)已知，且，求的最大值. 【答案】(1)在区间上单调递增，在区间，上单调递减 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）结合对勾函数的单调性即可得结果； （2）根据“上凸函数”的定义，利用作差法即可得结果； （3）根据（2）中的结果可得，进而可得结果. 【详解】（1）当时，， 由对勾函数的性质可得其在在区间和上单调递增， 在区间，上单调递减. 由于在上连续， 所以函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减. （2）， ，    .， ，，， 所以：， 故： 函数在区间内是“上凸函数”. （3）由（2）得： ，有 ，且 ，且. . 当且仅当，取得最大值. 最大值为. 59．（24-25高一上·四川成都·期末）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． (1)用定义证明函数在为单调递增函数； (2)已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由； (3)若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)不是“局部反比例对称函数”，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，设，用作差法证明； （2）根据题意，由“局部反比例对称函数”的定义，判断方程有无实数解即可； （3）根据题意，由“局部反比例对称函数”的定义，方程在有解，令，将问题转化为方程在上有解，再根据一元二次方程根的分布求解. 【详解】（1）证明：根据题意，，设，则. 则有，即， 所以函数在为单调递增函数. （2）根据题意，不是“局部反比例对称函数”，理由如下： 已知函数，若，则， 即，所以，所以方程无实数解， 即不存在实数，使成立， 故不是“局部反比例对称函数”. （3）根据题意，是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 则方程，即在上有解. 整理得：. 令，由，得， 所以问题转化为方程在上有解. 设函数，则其图象开口向上，对称轴为. 分类讨论： ①当时，只需，即， 解得，所以； ②当时，只需，即， 解得，所以. 综上，实数的取值范围为. 60.（24-25高一上·江苏盐城·期末）对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”． (1)试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由； (2)若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数m的取值范围； (3)试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由． 【答案】(1)是“伪奇函数”，理由见解析 (2) (3)答案和理由见解析 【分析】（1）由“伪奇函数”的定义判断即可； （2）由题意可得在有解，进而结合正弦函数的性质即可求解； （3）由题意可知在上有解，令，，可得在有解，进而分情况讨论求解即可. 【详解】（1）∵，∴，则是“伪奇函数”． （2）令， 则， 即在有解， 而，则，∴， 则， 又∵在时恒成立， ∴，则，即， ∴实数m的取值范围为. （3）当为定义域上的“伪奇函数”时， 则在上有解，可化为在上有解， 令，则，当且仅当时等号成立， 而， 则在有解，即可保证为“伪奇函数”， 令，， ①当，即时， 在一定有解，满足题意； ②当，即或时， 在有解等价于， 解得. 综上所述，当时，为定义域上的“伪奇函数”，否则不是． 61．（24-25高一下·广东广州·期末）若函数的定义域为，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心． (1)已知定义R上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值； (2)探究函数是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由． (3)运用第（2）问的结论，求的值，其中． 【答案】(1)，. (2)是中心对称函数，且对称中心为 (3) 【分析】（1）根据对称性，利用赋值法即可求出，的值； （2）由定义列，化简后令系数为0，求解m、n,，根据是否有解做出结论； （3）利用函数对称性的性质化简后利用基本不等式求解. 【详解】（1）由在R上的函数的图象关于点中心对称，得， 则，，， 当时，，， ， ，. （2）若为中心对称图形，则在定义域内有恒成立. ， 根据中心对称定义有， 整理得：， 为了使等式对所有 成立，系数必须分别等于零： ，解得： 是中心对称图形，且对称中心是. （3）由（2）知，；， 经检验，时，一致；时，一致， 所以. $专题03 函数单调性、奇偶性、周期性与对称性的综合应用 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 函数的单调性及单调区间（共5小题） 1．（24-25高一上·上海松江·期末）下列函数中，对任意的、时，均有的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·吉林长春·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川绵阳·期末）下列函数，满足“对任意，且，都有”的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖南·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)判断在上的单调性并利用定义法证明； (3)求在上的最大值. 5．已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 题型二 复合函数的单调性（共5小题） 6.（23-24高一上·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·甘肃定西·期末）函数的单调递减区间是 10．（24-25高一上·河南信阳·期末）已知函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 题型三 利用函数单调性求参（共5小题） 11．（24-25高一上·湖北武汉·期末）“”是“在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是 14．定义在上的函数对任意的两个不相等的实数总有成立，并且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 15．已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为 ． 题型四 利用函数单调性解不等式（共4小题） 16．已知是定义在上的减函数，其图象经过两点，则使不等式成立的的取值范围（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 18．，其中，若，则得取值范围是 19．（24-25高一上·江西·期末）已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 题型五 判断函数的奇偶性（共4小题） 20．（24-25高一上·海南·期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 21．（2025高一上·全国·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 22．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 23．（24-25高一下·云南昭通·期末）函数在区间上的图象大致是（   ） A．B．C．D． 题型六 利用函数奇偶性求函数解析式（共5小题） 24．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高一上·江西·期末）已知函数是上的偶函数，当时，，则当时， A． B． C． D． 26．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，当时，的表达式为（    ）． A． B． C． D． 27．若是定义在上的奇函数，且，对任意的恒成立，若对任意的，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期末）已知函数图像关于原点对称，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 题型七 利用函数奇偶性求参（共5小题） 29．（24-25高一上·山东菏泽·期末）已知为偶函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 30．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知定义域为的奇函数，则的值为（    ） A．0 B．-1 C．1 D．2 31．（24-25高一下·河南漯河·期末）若函数为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 32．（24-25高一上·贵州黔南·期末）设是定义在区间上的奇函数，则（    ） A． B．38 C．26 D． 33.（24-25高一上·湖南·期末）“”是“函数为偶函数”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题型八 抽象函数的奇偶性、单调性与周期性（共4小题） 34.（24-25高一上·湖南娄底·期末）已知函数，对于任意的，都有，当时，． (1)求的值； (2)判断的奇偶性和单调性； (3)设函数，若方程有2个不同的解，求m的取值范围． 35．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 36．（24-25高一上·辽宁·期末）已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围． 37．（24-25高一上·重庆·期末）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 题型九 利用函数单调性与奇偶性解不等式（共9小题） 38．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知奇函数 的定义域为，在区间上单调递增，，且 为偶函数. 若关于的不等式对恒成立，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 39．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则 D．函数在单调递减 40．（24-25高一上·山西太原·期末）已知函数在R上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 41．设函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 42．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数a满足，则实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 43.已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 44．（24-25高一上·四川德阳·期末）若是定义在上的偶函数，对，当时，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 45．（24-25高一下·甘肃平凉·期末）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 46.（24-25高一上·江西·期末）已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型十 最大值与最小值及f（a）+f(-a）（共5小题） 47．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数的最大值为，最小值为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 48．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数对，都有，若在上存在最大值M和最小值m，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．0 49.（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知是定义在R上的奇函数，设函数的最大值为M，最小值为m，则 50．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则 51．（23-24高一上·辽宁鞍山·期末）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型十一 函数单调性、奇偶性、周期性与对称性综合（共4小题） 52.（24-25高一上·江苏·期末）已知函数的定义域为，且，函数在上单调递增，则下列命题为真命题的是（    ） A．的图象关于点对称 B．为偶函数 C．的图象关于直线对称 D．若，则 53．（多选）已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．为奇函数 C．是周期为4的函数 D． 54.（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数. （1）判断并证明函数的奇偶性： （2）用定义证明函数在上为减函数： （3）已知，且，求x的值. 55．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数，是定义在R上的奇函数，且当时，，且对任意，都有． (1)求使得成立的x的取值集合； (2)求证：为周期为4的周期函数，并直接写出在区间上的解析式； (3)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 题型十二 函数新定义（共6小题） 56．（24-25高一上·辽宁·期末）若函数的定义域、值域均为，则称为区间上的方正函数． (1)若为区间上的方正函数，求实数的值； (2)是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由． 57．（24-25高一上·四川遂宁·期末）如果函数满足：对定义域内的所有，存在常数，，都有，那么称是“中心对称函数”，对称中心是点. （1）证明点是函数的对称中心； （2）已知函数（且，）的对称中心是点. ①求实数的值； ②若存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围. 58．（24-25高一上·重庆长寿·期末）数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维互相转化来解决问题.函数的单调性刻画函数的自变量与函数的增减关系.当一个函数为增函数时，还可研究其增加的快慢.例如：，当时是增函数，且随着的增大的变化越来越慢，我们称这个函数在时为“上凸函数”.此性质还可以表达为：成立，则称此函数在内为“上凸函数”.已知函数. (1)请说明的单调性（无需证明过程）； (2)证明此函数在内是“上凸函数”； (3)已知，且，求的最大值. 59．（24-25高一上·四川成都·期末）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． (1)用定义证明函数在为单调递增函数； (2)已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由； (3)若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． 60.（24-25高一上·江苏盐城·期末）对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”． (1)试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由； (2)若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数m的取值范围； (3)试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由． 61．（24-25高一下·广东广州·期末）若函数的定义域为，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心． (1)已知定义R上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值； (2)探究函数是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由． (3)运用第（2）问的结论，求的值，其中． $