专题03 函数的概念与性质（14知识&10大题型&分层验收）（期末复习讲义）高一数学上学期苏教版

该高中数学期末复习讲义通过表格系统梳理函数概念与性质的核心考点，按“概念-三要素-性质-综合应用”构建知识体系，用对比表格呈现单调性、奇偶性等定义与判定方法，结合框架图展示定义域、值域求法等重难点的内在逻辑。 讲义亮点在于“题型-技巧-变式”的分层练习设计，如分段函数求值题结合换元法训练，单调性证明题强化定义推理，培养数学思维与运算能力。每个题型配典例和易错提醒，基础生掌握方法，优生突破综合题，助力教师实施精准复习教学。

专题03 函数的概念与性质（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 函数定义（对应关系f）的理解 准确理解函数“一一对应”的本质，能辨析函数与非函数的实例，夯实函数章节基础 以选择/填空题的基础题形式出现，常考“对应关系是否为函数”的辨析，是函数模块的入门必考题，占2-5分 函数的定义域、值域 熟练掌握分式、根式等各类函数的定义域求解方法，能通过单调性、配方法求常见函数值域 高频基础得分点，选择/填空/解答题第一问均会涉及，分式/根式/对数式定义域是必考方向，值域常结合单调性考查，每套试卷必出 函数的表示方法 掌握解析法/列表法/图象法的特点，能根据情境选合适表示方法，避免概念混淆 以选择/填空题考查不同表示方法的适用场景，易混点是解析法的表达式规范（如分段函数定义域衔接），是高频易错点之一 分段函数的概念与应用 理解分段函数的定义域分段逻辑，能运用换元法、配凑法解决分段函数的求值、解析式问题 中档题核心考点，常出现在解答题中，结合“求值、解析式求解、解不等式”考查，换元法易漏定义域限制、配凑法对式子变形能力要求高，是拉分点之一 函数的单调性与最值 掌握单调性的定义证明/判定方法，结合定义域求函数最值，能够解决抽象函数的单调性问题 贯穿函数模块的核心考点，选择/填空/解答题均覆盖，易错点是求最值时忽略定义域对单调性的限制，是指数、对数函数值域问题的前置基础，占5-8分 函数的奇偶性与应用 熟练判断函数奇偶性，能正确代入对应区间解析式解决奇偶性相关求值、图象问题 必考考点，全题型覆盖，常考“奇偶性判定、利用奇偶性求解析式/求值”，易错点是代入解析式时混淆区间，失分率较高 函数性质的综合应用 能综合运用单调性、奇偶性，结合数形结合思想解决函数综合问题（如解不等式、求参数范围） 中档偏难题，多在解答题中后段出现，结合单调性+奇偶性+图象分析，考查“解不等式、求参数范围”，是数形结合思想的典型应用，区分度较高 知识点01 函数的概念 设A，B是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么称这样的对应f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A． 知识点02 函数三要素 （1）x叫作自变量，x的取值范围A叫做函数的 定义域 ；与x∈A的值相对应的数y叫作函数值，所有函数值组成的的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 。值域是集合B的子集 函数的三要素：定义域、对应关系、值域 （2）两个函数相同指两个函数的三要素全部相同. 知识点03 函数相等 相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等． 知识点04 函数的定义域与值域问题 （1）具体函数的定义域 ①：分式函数：定义域是，分母不为0. ②：0次幂类型：定义域是，底数不为0. ③：根式类型： ④：对数函数：真数大于0 （2）抽象函数定义域： 函数，三者之间定义域的关系. 【定义域都是指的取值范围】 ①已知定义域是，求的定义域：解不等式，其解集就是的定义域． ②已知定义域是，求的定义域：利用求的值域，该值域就是定义域． ③已知的定义域是，求的定义域：利用先求出的值域，然后解不等式，此不等式的解集就是的定义域 （3）值域的求法 ①图象法（最常用的方法）：几类基本初等函数 ②单调性法 ③换元法：形如，（令）；，（令）. ，（令）；（令） 知识点05 函数的表示方法 （1）列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法。 （2）解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法.这个等式通常叫作函数的解析表达式,简称解析式。 （3）图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法 注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示． 知识点06 函数解析式的求法 （1）代入法，直接法：适用于①由求复合函数，②由、、、等求. 注意：由分段函数求复合函数时，首先需要根据中对的分段，替换为对的分段． （2）配凑法，整体替换法：适用于、、等类型． （3）换元法：如，等类型． （4）待定系数法：已知函数类型，就要设出该函数表达式，如是一次函数，则可设；然后，①利用条件由对应项的系数相等完成； ②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可． （5）解方程组法给出的方程同时含： ①与，或与； ②一奇一偶函数与； ③与，或与； 方法：将原方程中的变量进行变量替换得新方程，联立原方程解方程组 知识点07 分段函数 分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交． 知识点08 函数的单调性 （1）函数单调性的概念 设函数的定义域为 ，区间，如果当时，都有： ①或上单调递增； ②或上单调递减； 等价变形： ，，，在区间上是增函数. ，，，在区间上是减函数 （2）证明函数单调性的步骤 ①取值：设x1，x2是f(x)定义域内一个区间上的任意两个量，且x1<x2； ②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与1的大小关系； ④得出结论． （3）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值，变形，判断符号，下结论”判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （4）函数单调性常用的结论： ①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数； ②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数； ③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数为减函数，为增函数 知识点09 函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 知识点10 复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 知识点11 函数的奇偶性 （1）奇偶性的概念 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(-x)＝f(x)=f(|x|)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(-x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 等价变形：，f(-x)+f(x)=0为奇函数；，f(-x)-f(x)=0为偶函数. （2）函数奇偶性的性质 ①奇函数、偶函数的定义域关于原点对称. ②奇偶函数的图象特征： 函数f(x)是偶函数函数f(x)的图象关于y轴对称； 函数f(x)是奇函数函数f(x)的图象关于原点中心对称. ③若奇函数f(x)在x=0处有意义，则有f(0)=0；偶函数f(x)必满足. ④偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. ⑤运算函数的奇偶性规律：对于运算函数有如下结论： 奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×（÷）奇=偶；奇×（÷）偶=奇； 偶×（÷）偶=偶. ⑥复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇 知识点12 函数的对称性 （1）图象关于直线对称； 推论1:的图象关于直线对称； 推论2:的图象关于直线对称； 推论3:的图象关于直线对称； （2）的图象关于点对称； 推论1:的图象关于点对称； 推论2:的图象关于点对称； 推论3:的图象关于点对称； （3）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 函数与图象关于y轴对称； 函数与图象关于原点对称； 函数与图象关于x轴对称； 知识点13 函数的周期性 （1）周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称函数y=f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期. （2）最小正周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做f(x)的最小正周期. （3）函数周期性结论： ①若则；②若则； ③若则；④若则； ⑤若则。 对称性、周期性判断口诀：同周异对（x同号：周期性；x异号：对称性） 知识点14 函数的对称性与周期性的关系 （1）若函数y=f(x)有两条对称轴，则函数f(x)是周期函数，且； （2）若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c)，(b,c)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且； （3）若函数y=f(x)有一条对称轴和一个对称中心(b,0)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且. 题型一 函数的定义域（含抽象函数的定义域） 解｜题｜技｜巧 1.具体函数的定义域 ①：分式函数：定义域是，分母不为0. ②：0次幂类型：定义域是，底数不为0. ③：根式类型： ④：对数函数：真数大于0 2.抽象函数定义域： 函数，三者之间定义域的关系. 【定义域都是指的取值范围】 ①已知定义域是，求的定义域：解不等式，其解集就是的定义域． ②已知定义域是，求的定义域：利用求的值域，该值域就是定义域． ③已知的定义域是，求的定义域：利用先求出的值域，然后解不等式，此不等式的解集就是的定义域 【典例1】（24-25高一上·江苏徐州·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由即可求解； 【详解】由题意可得：，得：， 所以数的定义域为， 故选：B 【典例2】已知函数，则函数的定义域为 【答案】 【分析】先求出的定义域，根据有意义得，解方程即可求得的定义域. 【详解】解：， ，解得：， 若有意义，则，解得：， 故函数的定义域为. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一上·江苏·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域是 【答案】 【分析】由求解即可. 【详解】由题意可得：， 解得：， 所以定义域是， 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的范围，得到，求解即可. 【详解】因为的定义域为， 所以在中，有，则， 则在中，有，解得， 故的定义域为． 故选：C 【变式3】（24-25高一上·江苏南通·期末）函数定义域为的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的定义域、一元二次函数以及恒成立问题求得充要条件，再根据充分不必要条件进行判断即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以对任意的恒成立， 当时，不等式变形为，解得，不符合题意， 当时，不等式的解集为， 所以，解得， 综上所述：函数的定义域为，则的取值范围； 所以是函数的定义域为的一个必要不充分条件，故A错误； 所以是函数的定义域为的一个必要不充分条件，故B错误； 所以是函数的定义域为的一个充分不必要条件，故C正确； 所以是函数的定义域为的一个充要条件，故D错误. 故选：C. 题型二 函数的值域 解｜题｜技｜巧 1.图象法（最常用的方法）：几类基本初等函数 2.单调性法 3.换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为t，转化为关于t的某种简单的基本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解 4.分离常数法：主要针对形如y= (ac≠0，ad≠bc)的函数，常把分子分离成不含自变量的形式，即y==+，其值域是｛y|y≠｝ 5.反解法：例如求函数y＝(x＞－4)的值域．由y＝解出x得x＝.由x＞－4，得＞－4，即＞0，∴y＞或y＜1 【典例1】求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由基本不等式求解即可； （2）设，结合二次函数的性质求解即可； （3）利用分离常数法求解即可. 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为． （2）设，，则， 所以， 所以函数的值域为． （3）， 则，所以函数的值域为． 【变式1】（24-25高一上·江西赣州·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【详解】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C 【变式2】（24-25高一上·河北邯郸·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离常数可得函数单调性，进而可得值域. 【详解】由已知函数定义域为， 且， 则， 即， 故选：C. 【变式3】求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可. （2）利用二次根式的意义求出值域. （3）利用二次函数的性质求出值域. （4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域. 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 题型三 求函数的解析式 解｜题｜技｜巧 （1）代入法，直接法：适用于①由求复合函数，②由、、、等求. 注意：由分段函数求复合函数时，首先需要根据中对的分段，替换为对的分段． （2）配凑法，整体替换法：适用于、、等类型． （3）换元法：如，等类型． （4）待定系数法：已知函数类型，就要设出该函数表达式，如是一次函数，则可设；然后，①利用条件由对应项的系数相等完成； ②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可 解方程组法:已知函数f(x)满足某个等式，这个等式除 f(x)是未知量外,还出现其他未知量,如、等,则可根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)的解析式 【典例1】若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法可求答案. 【详解】令，则， 即为， 所以. 故选：C. 【典例2】求下列函数的解析式. (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用换元法，结合已知函数解析式，即可求得； （2）利用配凑法，结合已知函数解析式，即可求得； （3）用替换的，得到，与原式组成方程组，解方程组即可得到的解析式. 【详解】（1）令，则， 于是有， 所以. （2）函数，又的值域为， . （3）∵， ∴用替换上式中的，得到， 解方程组，得. 【变式1】已知是二次函数，且，，，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. 【详解】设， 根据题意得，解得 所以． 【变式2】已知，则_________． 【答案】（且） 【分析】使用换元法求解，在换元时，需注意定义域. 【详解】由，令，（且，且）， 则，（且），∴（且）, ∴（且）.故答案为：（且） 【变式3】（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知，求函数的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式. 【答案】（1）或；（2）；（3），. 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，设，结合题意即可求解； （2）设，利用换元法求解析式即可； （3）由题意得，利用方程组法可得，再利用换元法求解析式即可. 【详解】（1）因为为一次函数，可设. 所以. 所以，解得或. 所以或. （2）设，则，，即， 所以， 所以． （3）由①， 用代替，得②， 得：， 即，. 令，则，. 则：，. 所以，. 题型四 分段函数 解｜题｜技｜巧 已知分段函数自变量的值求函数值的步骤： ①确定自变量属于哪一个区间； ②代入该区间所对应的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值. (2)已知函数值求对应的自变量的值：可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解 【典例1】（24-25高一上·江苏宿迁·期末）设函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合分段函数解析式求值即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式代入即可求得结果. 【详解】易知，所以. 故选：D 【变式2】定义：表示中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先作出的图象，然后分析时的取值，根据值域结合图象确定出的最大值. 【详解】在平面直角坐标系中作出的图象如图所示， 令，解得或，所以， 令，解得，所以， 由题可知，当在区间上的取值范围为时， 当且仅当时取得最大值，且最大值为， 故选：B. 【变式3】已知函数且，则 ． 【答案】2或 【分析】已知函数为分段函数，根据函数性质结合，分和两种情况讨论得出对应的值，并验证是否符合题意. 【详解】当时，，解得， 因为，故. 当时，，解得， 因为，故. 验证：当时，，符合题意； 当时，，符合题意. 故答案为：2或. 题型五 函数的图象及其应用 解｜题｜技｜巧 1.抓关键点：锁定图象与坐标轴的交点、两函数图象的交点、顶点（如二次函数顶点）、起点/终点（对应实际问题的初始/结束状态），这些点通常关联核心数值。 2.析变化趋势：通过图象的“上升段/下降段/水平段”，判断函数的增减性、不变状态（比如行程问题中“水平段”对应静止）。 3.联实际意义：明确横纵坐标的实际含义（如横轴为时间、纵轴为路程/利润），把图象的分段变化和实际场景（行程、销售、工程等）对应起来。 4.用图象求式：利用图象上的已知点，代入函数解析式（一次函数用“两点式”、二次函数用“顶点式/一般式”）求解表达式。 5.比函数值大小：在同一坐标系中，通过图象的上下位置，直接判断不同函数在某一自变量下的函数值大小关系。 【典例1】（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象的对称变换和平移变换可得结果. 【详解】先将函数的图象关于原点对称，可得出函数的图象，如下图所示： 再把所得函数图象向左平移个单位长度，即可得出图②所示图象， 故图②所示图象对应的函数为. 故选：D. 【变式1】（24-25高一上·浙江·期中）若函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象求得函数定义域，利用函数值可得出其解析式，代入计算即求得函数值. 【详解】根据函数图象可知和不在函数的定义域内， 因此和是方程的两根，可得， 又易知，可得， 即，所以. 故选：D 【变式2】函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数写成分段函数，再根据特殊值判断即可. 【详解】解：因为，且， ，故符合题意的只有A. 故选：A 【变式3】（24-25高一上·浙江金华·期末）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据奇偶性可排除B和C；根据时，可排除A. 【详解】函数的定义域为，， 所以函数为奇函数，故排除B和C； 当时，，故排除A. 故选：D. 题型六 函数的单调性 解｜题｜技｜巧 1.定义法函数的单调性： ①任取x1，x2∈D，且x1<x2； ②作差f(x1)－f(x2)； ③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ⑤下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． 2.复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 3.函数单调性的运算 【典例1】（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数，． (1)单调性的定义证明在区间上是增函数； (2)解关于的不等式：． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意利用作差法结合单调性的定义分析证明； （2）根据函数单调性解不等式，注意函数的定义域. 【详解】（1）任取，且， 则， 因为，， 则，且，， 可得，则，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知：在上单调递增， 因为，可得，解得：， 故不等式的解集为. 【典例2】（24-25高一上·广东湛江·期末）已知函数是上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，讨论与的大小关系，得到的单调性，再结合是上的单调函数解出答案. 【详解】函数， 由函数是上的单调函数，得函数在上单调； 当时，在上单调递增，而当时，为常函数，不递增，因此； 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以函数在上不单调，因此不成立； 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在上单调递增，且，即，解得， 此时函数在上单调递增，要使函数在上的单调递增， 则，而， 解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：C． 【变式1】（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围. 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 【变式2】函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先求函数单调性，即可得最值. 【详解】根据题意，函数的定义域为， 且由于在区间上单调递增， 在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 所以． 故选：D． 【变式3】（24-25高一上·江西·期末）已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令，即可求解； （2）由，且，得到，再由当时，，即可求证； （3）由，得到，再结合性质可得，结合定义域和单调性求解即可； 【详解】（1）解：因为，， 所以令，可得，得． （2）证明：，且，则， 显然，，所以，又，所以， 因为当时，，所以，即， 所以在定义域上是增函数． （3）解：因为函数的定义域为，所以解得． 由，得等价于， 而，所以，所以，解得，或（舍去），故， 故不等式的解集为． 题型七 函数的单调性与最值 解｜题｜技｜巧 1.先定单调性：用定义法或常见函数结论（如一次函数看k、二次函数看对称轴与a的符号），确定函数在目标区间的增减性。 2.区间内找最值： ①单调增函数：区间左端点→最小值，右端点→最大值； ②单调减函数：区间左端点→最大值，右端点→最小值； ③非单调函数（如二次函数）：先找单调性分界点（如对称轴），再比较分界点与区间端点的函数值，确定最值。 3.实际问题最值： 先列函数解析式+定义域，再判断定义域内单调性，进而求最值。 易错提醒：注意函数的定义域优先原则 【典例1】函数（ ） A．有最小值2，无最大值 B．有最大值2，无最小值 C．有最小值，有最大值2 D．无最大值，也无最小值 【答案】A 【分析】利用换元法求解函数，利用单调性求最值 【详解】函数的定义域为， 因为和都是增函数，所以在上单调递增， 所以当时，，无最大值，故选：A. 【变式1】若函数在区间内存在最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用二次函数的性质列式计算即可. 【详解】函数图象的对称轴为直线， 由函数在区间内存在最大值，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 【变式2】已知函数，且 (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）根据求出的值，利用换元法求的解析式即可； （2）利用函数单调性的定义求函数在上的单调性进而求最值即可. 【详解】（1）方法一：因为，，令，即， 所以，则，解得， 所以， 令，，则， 则，， 所以函数的解析式为. 方法二：由题意，所以， 又，所以，解得， 所以，即函数的解析式为. （2）由（1）知，任取，，且， 则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递增， 同理任取，且，则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递减， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故在上的最小值为，最大值为. 【变式3】（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数的最小值. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由点代入解析式，列出方程求解即可； （2）由单调性的定义作差即可求证； （3）利用单调性求得最值，即可求解； 【详解】（1），， ，解得，. （2）在上单调递增，证明如下： 任取，，且， 则， ，，且， ，，， ，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（2）知函数在上单调递增， 由对勾函数性质得在上单调递减， 函数在上的最大值为， 由知，，所以的最小值为. 题型八 函数的奇偶性及应用 解｜题｜技｜巧 函数奇偶性的运算性质： 【典例1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】A 【分析】现求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义，判断与的关系即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，， 所以函数为奇函数. 故选：A. 【典例2】已知偶函数的定义域为，且当时，，则 ． 【答案】2 【分析】根据偶函数的性质可知，再利用时，的解析式求出即可． 【详解】∵为偶函数， ∴， ∵当时，， ∴， 故． 故答案为：2． 【变式1】（24-25高一上·江苏·期末）已知函数，若，则 . 【答案】 【分析】利用奇函数的性质即可. 【详解】设，则，则 因为， 所以， 则. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·北京朝阳·期末）设函数，则“”是“是偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件、必要条件的概念结合偶函数的定义即可判断； 【详解】当时，，，为偶函数， 当是偶函数时，由， 即恒成立， 可得：恒成立，即， 所以“”是“是偶函数”的充要条件， 故选：C. 【变式3】已知为定义在R上的函数，则“既不是奇函数也不是偶函数”是“存在，使得”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】举特殊函数说明充分性不成立，利用奇偶性的定义说明必要性成立，从而得解. 【详解】当既不是奇函数也不是偶函数时，取，满足条件， 当时，，则， 当或时，或，则， 此时对于任意，均有，即充分性不成立； 当存在，使得，则， 则既不是奇函数也不是偶函数，即必要性成立； 所以“既不是奇函数也不是偶函数”是“存在，使得”的必要非充分条件. 故选：B. 题型九 函数的单调性与奇偶性综合 解｜题｜技｜巧 1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．（简记：“奇同偶异”）. 2.比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小. 3.解抽象函数不等式，先将不等式转化为或的形式，利用单调性把不等式的函数符号脱掉，得到具体的不等式(组). 【典例1】定义在上的偶函数，当时，，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据题意先得到在时大于0和小于0的取值区间,再根据偶函数性质得到在定义域内的取值情况，然后根据函数平移规则得到平移后大于0和小于0的取值区间，最后分类讨论和时满足的区间即可. 【详解】当时，在单调递减，在单调递增，其中 故当时，的区间为，的区间为 因为为偶函数，所以的区间为，，的区间为，故的区间为，，的区间为 当时，，即 当时，，即 故选：A 【典例2】（23-24高一上·吉林长春·期末）若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】不妨设，根据题意，转化为，构造函数，得到函数在上为单调递减函数，且为偶函数，再分和，两种情况讨论，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】因为对任意的，，且，都有， 不妨设，则，可得，则， 构造函数，则，， 所以函数在上为单调递减函数， 又因为为奇函数，所以， 所以函数为上的偶函数， 所以函数在为单调递增函数， 当时，即时，有， 由，可得， 所以，解得，此时无解； 当时，即时，由，可得， 所以，解得或， 综上可得，不等式的解集为. 故答案为：. 【变式1】设偶函数的定义域为，在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数性质得，，再利用其单调性即可比较出大小. 【详解】因为偶函数，则，， 又因为其在区间上单调递减，则， 即. 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·广东广州·期末）设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，若，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】令，由条件可得的奇偶性与单调性，分为三种情况讨论，结合，得到不等式的解集. 【详解】因为为上的奇函数，所以，. 不妨设，由得， 则，可得， 令，则在上单调递增， 的定义域为， 且， 故为偶函数，在上单调递减， 当时，， 因为，所以， 故，即，解得； 当时，， 因为，所以， 故，解得； 当时，，符合题意， 故不等式的解集为. 故答案为：. 【变式3】已知函数，且. (1)求实数的值，并判断函数的奇偶性（不需证明）； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)，为偶函数 (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据所给的条件，列式可求的值，再利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性. （2）判断函数在上的单调性，利用单调性的定义证明函数在所给区间上的单调性. （3）先根据给出的条件，把原不等式转化为，再结合函数的奇偶性和单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解，要注意函数的定义域. 【详解】（1）因为， 所以对恒成立，所以. 所以， 因为，所以函数为偶函数. （2）函数，在上单调递减，证明如下： 设， 则. 因为，所以，，， 所以，即，也就是. 所以函数，在上单调递减. （3）因为，， 所以，. 所以不等式可化为，即. 又因为为偶函数，且在上单调递减，定义域为， 所以. 又因为，所以所求不等式的解集为：. 题型十 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性综合 解｜题｜技｜巧 对于定义在上的函数： 1.奇偶性与对称性的关系 ①若为偶函数，即，则的对称轴为 . ②已知为奇函数，即，则的对称中心为 . 2.奇偶性、对称性与周期的关系 若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为. 若函数是奇函数 ，且其图象关于直线对称， 则的周期为 【典例1】已知函数与的定义域均为，为偶函数，的图象关于点中心对称，若，则的值为 . 【答案】 【分析】通过赋值得，结合函数对称性，奇偶性得到，则，解出即可. 【详解】因为，令得， 又因为是偶函数，所以图像关于直线对称， 即① 又因为的图像关于中心对称， 所以函数是奇函数，即， ，令代换，得② 则将①②代入得 令得结合，解得，， 所以， 故答案为：2. 【变式1】函数是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】先由函数的奇偶性确定函数的周期为，再由奇偶性得到，计算出结果即可. 【详解】因为为偶函数，则有，故的图像关于对称，则有①， 是奇函数，则②， 联立①②可得：，变形为，所以，则是周期为的周期函数， 所以， 又当时，，所以. 故答案为：. 【变式2】已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则 . 【答案】 【分析】先求得是周期为4的周期函数，然后结合周期性、奇偶性即可求得. 【详解】因为函数为R上的奇函数，所以， 故， 函数是周期为4的周期函数. 当时，， 则 . 故答案为： 【变式3】设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，且，则 ． 【答案】 【分析】根据函数的对称性和奇偶性，已知函数值的方程，求得参数，写出函数解析式，再利用奇偶性转换自变量的值，解得对应函数值. 【详解】已知为奇函数，则，换元得， 已知为偶函数，则，换元得， 则当时，即，因为，所以， 则，当时，，解得， 可知，即，解得， 所以当时，， 当时，，， 所以. 故答案为：. 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得且， 因此，函数的定义域为. 故选：D. 2．（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知函数，则（   ） A．1 B．7 C．13 D．49 【答案】A 【分析】根据题中分段函数解析式代入运算求解即可. 【详解】因为， 则，所以. 故选：A. 3．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性可求得函数的减区间. 【详解】对于函数，由可得或 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数， 外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为. 故选：A. 4．（24-25高一上·江苏盐城·期末）如图是的图象，则的图象为（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】由关于轴对称变换得的图象，再向右平移一个单位可得的图象． 【详解】作函数的图象关于轴对称的图象得到函数的图象， 再将函数的图象向右平移1个单位长度得到的图象． 故选：B． 5.（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇偶函数的判断方法，可得是偶函数，再利用复合函数的单调性可得出的单调区间，从而得到，即可求解. 【详解】因为，易知，所以的定义域为，关于原点对称， 又，所以是偶函数， 当时，，令，则，对称轴为， 易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减， 又是偶函数，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 由，得到，解得，且， 故选：C. 6.（24-25高一上·江苏·期末）函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数单调性结合一次函数和二次函数的图象和性质列不等式组求解即可. 【详解】由题意知，在区间上单调递增，在区间上单调递增，且， 所以，解得， 故选：C. 二、多选题 7．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知某周期函数一个周期的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．当时，取最大值 B．当时，取最小值 C．当时，递增 D．的单调减区间是 【答案】ACD 【分析】由图可知的最小正周期为，得到一个周期内的最值与单调区间，再根据函数的周期性可判断各选项中结论的真假. 【详解】由图可知的最小正周期为， 由图可知在处取得最大值，因为的最小正周期为， 所以在处取得最大值，当，即时，取最大值，A正确； 因为当时，即时，取最大值，故B错误； 由图可知在上递增，因为的最小正周期为，所以在上递增，即当时，递增，C正确； 在图中一个周期内，的递减区间为，因为的最小正周期为，所以的单调减区间是，D正确. 故选：ACD. 8.（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知函数，则（   ） A．的图象关于原点对称 B．在上单调递增 C．的值域为 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性的判定方法即可判断A，根据函数单调性的判断方法即可判断B，根据基本不等式即可判断C，直接解不等式即可判断D. 【详解】对于选项A，定义域为，， 所以为奇函数，图象关于原点对称，所以选项A正确； 对于选项B，设， 则 因为，所以，， 即，即， 所以在上单调递增，所以选项B正确； 对于选项C，当时，， 当时，， 即的值域为，所以选项C错误； 对于选项D， ，即，解得，则其解集为， 所以选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题 9．（24-25高一上·江苏南通·期末）若是奇函数，且当时，，则 . 【答案】0 【分析】根据奇函数性质以及函数解析式计算可得结果. 【详解】由奇函数可得， 又，所以. 故答案为：0 10.（24-25高一上·江苏苏州·期末）设函数若不等式对恒成立，则实数的值为 . 【答案】 【分析】先把恒成立问题转化为最值问题，结合，，得出，再结合二次函数值域列式计算即可. 【详解】当，，所以， 若不等式，恒成立，则，所以， 当，，对称轴为， 当时，单调递减，单调递增， 所以， 则，所以，所以. 故答案为：. 四、解答题 11．（24-25高一上·江苏·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并用定义进行证明； (2)若，试讨论在上的单调性． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）分和，不同时为0两种情况讨论可得结论； （2）由已知得，分和两种情况讨论，当时，利用单调性的定义可得函数在上单调递增. 【详解】（1）当时，既是奇函数也是偶函数； 当，不同时为0时，是奇函数，证明如下： 函数的定义域为，对于，都有， 且， 故为奇函数． 综上：当时，既是奇函数也是偶函数；当，不同时为0时，是奇函数. （2）当时，． 当时，在上无单调性； 当时，任取，，且， 则， ，，且， ，，． 若，则，即， 在上单调递增； 若，则，即， 在上单调递减． 12．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知定义在上的函数满足函数为奇函数，且. (1)求,的值； (2)用单调性定义证明：函数在区间上单调递增． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，结合可求得，； （2）根据函数单调性的定义,任取，且，计算推得,即得函数在区间上单调递增. 【详解】（1）由题意可知，得，所以， 又得：，得， 此时函数满足,是奇函数， 故，. （2）由，得， ，，且，有 ， 由于，所以，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增. 期末重难突破练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1.（24-25高一上·江苏南通·期末）设为上的奇函数，则当时，“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．不充分不必要 【答案】D 【分析】利用充分，必要条件的定义举反例求解即可 【详解】若， 如图： 当时，单调递增不能推出； 若 如图： 当时， 不能推出单调递增； 所以“单调递增”是“”的不充分不必要条件， 故选：D 2.（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知函数，，若，则的最小值为（　　） A．9 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】先对原函数分离常数得出，然后根据条件得出，然后根据基本不等式“1”的代换即可得解． 【详解】由题设，又，得， 整理得，且，则， u所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 3.（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由变形得，构造函数,进而根据二次函数的单调性求参数. 【详解】由，得，则， 设函数，则对都有成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得，则. 故选：B. 4.（24-25高一上·江苏常州·期末）我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则（    ） A．8096 B．4048 C．2024 D．1012 【答案】B 【分析】根据对称性的定义求出函数的对称中心，结合对称性进行转化求解即可. 【详解】若函数图象的对称中心为，则为奇函数， 即为奇函数， 必有且，解得， 则的对称中心为，所以， 设 ， ， 故选B 二、多选题 5.（24-25高一上·江苏·期末）若函数是上的奇函数，且，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．函数的最大值为1 D．若正实数满足，则的最小值为6 【答案】AC 【分析】根据奇函数求出即可判断A选项，根据即可求出，根据单调性及其性质即可求解B选项，根据导数即可求解C选项，令，，找出和的关系，结合导数即可求解D选项. 【详解】奇函数满足， 则，比较分子得， 解得，故A正确； 代入，得 ，解得， 故，设， 则， 因为，所以，，， 所以，所以在单调递增， 所以在时单调递增， 因为，所以， 故，故B错误； 当时，， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当时， ，， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以最大值为，故C正确； 因为， 所以，其中， 令，所以， 所以， 所以，所以或， 当时，此时且， 因为，在单调递增， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 当时，令，则，， 所以，故D错误. 故选：AC. 6.（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知定义在R上的函数满足对任意的实数，均有，且当时，恒有，则（    ） A． B．当时，函数为减函数 C．当时，的图象关于点对称 D．当时，为偶函数 【答案】AC 【分析】令，可判断A；令，可得，可判断B；令，可得，可判断C；举反例，可判断D. 【详解】解：令，得， 所以，故A正确； 当时，， 当时，恒有， 令， 即对任意，时， ， 即函数为增函数，故B错误． 令，则， 又， 所以， 即 的图象关于点对称，故C正确； 当时，若取， 则， ， 即， 且当时， 单调递增，恒有， 显然， 不为偶函数，故D错误． 故选：AC. 三、填空题 7.（24-25高一上·江苏常州·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，且对任意，成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】作出的图象，再根据与函数图象平移分析即可. 【详解】由题意可得，所以， 当时，，当时，，结合 为定义在上的奇函数可作出的图象，. 又的函数图象为向左平移6个单位得到的，， 则的图象在的上方， 则，解得.      综上所述，满足题意的的取值范围是. 故答案为：. 8.（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数，，以的值为边长可构成一个三角形，则整数k的所有可能取值的和为 . 【答案】15 【分析】，恒成立，变形得到，分，和，结合函数单调性得到函数值域，根据得到不等式，得到，求出答案. 【详解】根据题意可知，，恒成立， ，， 当时，，此时，满足， 当时，因为在上单调递减，在上单调递增， 当时，，故， 故， ，恒成立，故，解得， 故， 当时，同上，可得， ，恒成立，故，解得， 故， 综上，，满足要求的整数为， 和为. 故答案为：15 9.（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数 (1)计算的值： (2)判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； (3)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.依据上述结论，证明：的图象成中心对称图形，并求出对称中心. 【答案】(1)； (2)函数在上单调递减，证明见解析； (3)证明见解析，. 【分析】（1）将代入求值即可 （2）利用单调性得定义证明即可； （3）构造，只需证明为奇函数即可. 【详解】（1） （2）函数在上单调递减.证明如下： 任取，且， 因为，所以， 所以，即，故函数在上单调递减. （3）证明：设，则. 因为函数定义域为， 且， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 因为是由的图象左平移一个单位，再向下平移1个单位， 故的图象关于点成中心对称图形. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 函数定义（对应关系f）的理解 准确理解函数“一一对应”的本质，能辨析函数与非函数的实例，夯实函数章节基础 以选择/填空题的基础题形式出现，常考“对应关系是否为函数”的辨析，是函数模块的入门必考题，占2-5分 函数的定义域、值域 熟练掌握分式、根式等各类函数的定义域求解方法，能通过单调性、配方法求常见函数值域 高频基础得分点，选择/填空/解答题第一问均会涉及，分式/根式/对数式定义域是必考方向，值域常结合单调性考查，每套试卷必出 函数的表示方法 掌握解析法/列表法/图象法的特点，能根据情境选合适表示方法，避免概念混淆 以选择/填空题考查不同表示方法的适用场景，易混点是解析法的表达式规范（如分段函数定义域衔接），是高频易错点之一 分段函数的概念与应用 理解分段函数的定义域分段逻辑，能运用换元法、配凑法解决分段函数的求值、解析式问题 中档题核心考点，常出现在解答题中，结合“求值、解析式求解、解不等式”考查，换元法易漏定义域限制、配凑法对式子变形能力要求高，是拉分点之一 函数的单调性与最值 掌握单调性的定义证明/判定方法，结合定义域求函数最值，能够解决抽象函数的单调性问题 贯穿函数模块的核心考点，选择/填空/解答题均覆盖，易错点是求最值时忽略定义域对单调性的限制，是指数、对数函数值域问题的前置基础，占5-8分 函数的奇偶性与应用 熟练判断函数奇偶性，能正确代入对应区间解析式解决奇偶性相关求值、图象问题 必考考点，全题型覆盖，常考“奇偶性判定、利用奇偶性求解析式/求值”，易错点是代入解析式时混淆区间，失分率较高 函数性质的综合应用 能综合运用单调性、奇偶性，结合数形结合思想解决函数综合问题（如解不等式、求参数范围） 中档偏难题，多在解答题中后段出现，结合单调性+奇偶性+图象分析，考查“解不等式、求参数范围”，是数形结合思想的典型应用，区分度较高 知识点01 函数的概念 设A，B是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么称这样的对应f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A． 知识点02 函数三要素 （1）x叫作自变量，x的取值范围A叫做函数的 定义域 ；与x∈A的值相对应的数y叫作函数值，所有函数值组成的的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 。值域是集合B的子集 函数的三要素：定义域、对应关系、值域 （2）两个函数相同指两个函数的三要素全部相同. 知识点03 函数相等 相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等． 知识点04 函数的定义域与值域问题 （1）具体函数的定义域 ①：分式函数：定义域是，分母不为0. ②：0次幂类型：定义域是，底数不为0. ③：根式类型： ④：对数函数：真数大于0 （2）抽象函数定义域： 函数，三者之间定义域的关系. 【定义域都是指的取值范围】 ①已知定义域是，求的定义域：解不等式，其解集就是的定义域． ②已知定义域是，求的定义域：利用求的值域，该值域就是定义域． ③已知的定义域是，求的定义域：利用先求出的值域，然后解不等式，此不等式的解集就是的定义域 （3）值域的求法 ①图象法（最常用的方法）：几类基本初等函数 ②单调性法 ③换元法：形如，（令）；，（令）. ，（令）；（令） 知识点05 函数的表示方法 （1）列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法。 （2）解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法.这个等式通常叫作函数的解析表达式,简称解析式。 （3）图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法 注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示． 知识点06 函数解析式的求法 （1）代入法，直接法：适用于①由求复合函数，②由、、、等求. 注意：由分段函数求复合函数时，首先需要根据中对的分段，替换为对的分段． （2）配凑法，整体替换法：适用于、、等类型． （3）换元法：如，等类型． （4）待定系数法：已知函数类型，就要设出该函数表达式，如是一次函数，则可设；然后，①利用条件由对应项的系数相等完成； ②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可． （5）解方程组法给出的方程同时含： ①与，或与； ②一奇一偶函数与； ③与，或与； 方法：将原方程中的变量进行变量替换得新方程，联立原方程解方程组 知识点07 分段函数 分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交． 知识点08 函数的单调性 （1）函数单调性的概念 设函数的定义域为 ，区间，如果当时，都有： ①或上单调递增； ②或上单调递减； 等价变形： ，，，在区间上是增函数. ，，，在区间上是减函数 （2）证明函数单调性的步骤 ①取值：设x1，x2是f(x)定义域内一个区间上的任意两个量，且x1<x2； ②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与1的大小关系； ④得出结论． （3）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值，变形，判断符号，下结论”判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （4）函数单调性常用的结论： ①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数； ②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数； ③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数为减函数，为增函数 知识点09 函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 知识点10 复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 知识点11 函数的奇偶性 （1）奇偶性的概念 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(-x)＝f(x)=f(|x|)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(-x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 等价变形：，f(-x)+f(x)=0为奇函数；，f(-x)-f(x)=0为偶函数. （2）函数奇偶性的性质 ①奇函数、偶函数的定义域关于原点对称. ②奇偶函数的图象特征： 函数f(x)是偶函数函数f(x)的图象关于y轴对称； 函数f(x)是奇函数函数f(x)的图象关于原点中心对称. ③若奇函数f(x)在x=0处有意义，则有f(0)=0；偶函数f(x)必满足. ④偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. ⑤运算函数的奇偶性规律：对于运算函数有如下结论： 奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×（÷）奇=偶；奇×（÷）偶=奇； 偶×（÷）偶=偶. ⑥复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇 知识点12 函数的对称性 （1）图象关于直线对称； 推论1:的图象关于直线对称； 推论2:的图象关于直线对称； 推论3:的图象关于直线对称； （2）的图象关于点对称； 推论1:的图象关于点对称； 推论2:的图象关于点对称； 推论3:的图象关于点对称； （3）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 函数与图象关于y轴对称； 函数与图象关于原点对称； 函数与图象关于x轴对称； 知识点13 函数的周期性 （1）周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称函数y=f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期. （2）最小正周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做f(x)的最小正周期. （3）函数周期性结论： ①若则；②若则； ③若则；④若则； ⑤若则。 对称性、周期性判断口诀：同周异对（x同号：周期性；x异号：对称性） 知识点14 函数的对称性与周期性的关系 （1）若函数y=f(x)有两条对称轴，则函数f(x)是周期函数，且； （2）若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c)，(b,c)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且； （3）若函数y=f(x)有一条对称轴和一个对称中心(b,0)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且. 题型一 函数的定义域（含抽象函数的定义域） 解｜题｜技｜巧 1.具体函数的定义域 ①：分式函数：定义域是，分母不为0. ②：0次幂类型：定义域是，底数不为0. ③：根式类型： ④：对数函数：真数大于0 2.抽象函数定义域： 函数，三者之间定义域的关系. 【定义域都是指的取值范围】 ①已知定义域是，求的定义域：解不等式，其解集就是的定义域． ②已知定义域是，求的定义域：利用求的值域，该值域就是定义域． ③已知的定义域是，求的定义域：利用先求出的值域，然后解不等式，此不等式的解集就是的定义域 【典例1】（24-25高一上·江苏徐州·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知函数，则函数的定义域为 【变式1】（24-25高一上·江苏·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域是 【变式2】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·江苏南通·期末）函数定义域为的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 题型二 函数的值域 解｜题｜技｜巧 1.图象法（最常用的方法）：几类基本初等函数 2.单调性法 3.换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为t，转化为关于t的某种简单的基本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解 4.分离常数法：主要针对形如y= (ac≠0，ad≠bc)的函数，常把分子分离成不含自变量的形式，即y==+，其值域是｛y|y≠｝ 5.反解法：例如求函数y＝(x＞－4)的值域．由y＝解出x得x＝.由x＞－4，得＞－4，即＞0，∴y＞或y＜1 【典例1】求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【变式1】（24-25高一上·江西赣州·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·河北邯郸·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式3】求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 题型三 求函数的解析式 解｜题｜技｜巧 （1）代入法，直接法：适用于①由求复合函数，②由、、、等求. 注意：由分段函数求复合函数时，首先需要根据中对的分段，替换为对的分段． （2）配凑法，整体替换法：适用于、、等类型． （3）换元法：如，等类型． （4）待定系数法：已知函数类型，就要设出该函数表达式，如是一次函数，则可设；然后，①利用条件由对应项的系数相等完成； ②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可 解方程组法:已知函数f(x)满足某个等式，这个等式除 f(x)是未知量外,还出现其他未知量,如、等,则可根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)的解析式 【典例1】若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【典例2】求下列函数的解析式. (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求. 【变式1】已知是二次函数，且，，，则的解析式为 ． 【变式2】已知，则_________． 【变式3】（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知，求函数的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式. 题型四 分段函数 解｜题｜技｜巧 已知分段函数自变量的值求函数值的步骤： ①确定自变量属于哪一个区间； ②代入该区间所对应的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值. (2)已知函数值求对应的自变量的值：可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解 【典例1】（24-25高一上·江苏宿迁·期末）设函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数则（    ） A． B． C．0 D．1 【变式2】定义：表示中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】已知函数且，则 ． 题型五 函数的图象及其应用 解｜题｜技｜巧 1.抓关键点：锁定图象与坐标轴的交点、两函数图象的交点、顶点（如二次函数顶点）、起点/终点（对应实际问题的初始/结束状态），这些点通常关联核心数值。 2.析变化趋势：通过图象的“上升段/下降段/水平段”，判断函数的增减性、不变状态（比如行程问题中“水平段”对应静止）。 3.联实际意义：明确横纵坐标的实际含义（如横轴为时间、纵轴为路程/利润），把图象的分段变化和实际场景（行程、销售、工程等）对应起来。 4.用图象求式：利用图象上的已知点，代入函数解析式（一次函数用“两点式”、二次函数用“顶点式/一般式”）求解表达式。 5.比函数值大小：在同一坐标系中，通过图象的上下位置，直接判断不同函数在某一自变量下的函数值大小关系。 【典例1】（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·浙江·期中）若函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·浙江金华·期末）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   题型六 函数的单调性 解｜题｜技｜巧 1.定义法函数的单调性： ①任取x1，x2∈D，且x1<x2； ②作差f(x1)－f(x2)； ③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ⑤下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． 2.复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 3.函数单调性的运算 【典例1】（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数，． (1)单调性的定义证明在区间上是增函数； (2)解关于的不等式：． 【典例2】（24-25高一上·广东湛江·期末）已知函数是上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 【变式3】（24-25高一上·江西·期末）已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 题型七 函数的单调性与最值 解｜题｜技｜巧 1.先定单调性：用定义法或常见函数结论（如一次函数看k、二次函数看对称轴与a的符号），确定函数在目标区间的增减性。 2.区间内找最值： ①单调增函数：区间左端点→最小值，右端点→最大值； ②单调减函数：区间左端点→最大值，右端点→最小值； ③非单调函数（如二次函数）：先找单调性分界点（如对称轴），再比较分界点与区间端点的函数值，确定最值。 3.实际问题最值： 先列函数解析式+定义域，再判断定义域内单调性，进而求最值。 易错提醒：注意函数的定义域优先原则 【典例1】函数（ ） A．有最小值2，无最大值 B．有最大值2，无最小值 C．有最小值，有最大值2 D．无最大值，也无最小值 【变式1】若函数在区间内存在最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，且 (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 【变式3】（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数的最小值. 题型八 函数的奇偶性及应用 解｜题｜技｜巧 函数奇偶性的运算性质： 【典例1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【典例2】已知偶函数的定义域为，且当时，，则 ． 【变式1】（24-25高一上·江苏·期末）已知函数，若，则 . 【变式2】（24-25高一上·北京朝阳·期末）设函数，则“”是“是偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】已知为定义在R上的函数，则“既不是奇函数也不是偶函数”是“存在，使得”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 题型九 函数的单调性与奇偶性综合 解｜题｜技｜巧 1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．（简记：“奇同偶异”）. 2.比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小. 3.解抽象函数不等式，先将不等式转化为或的形式，利用单调性把不等式的函数符号脱掉，得到具体的不等式(组). 【典例1】定义在上的偶函数，当时，，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【典例2】（23-24高一上·吉林长春·期末）若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为 . 【变式1】设偶函数的定义域为，在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·广东广州·期末）设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，若，则不等式的解集为 . 【变式3】已知函数，且. (1)求实数的值，并判断函数的奇偶性（不需证明）； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)解关于的不等式. 题型十 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性综合 解｜题｜技｜巧 对于定义在上的函数： 1.奇偶性与对称性的关系 ①若为偶函数，即，则的对称轴为 . ②已知为奇函数，即，则的对称中心为 . 2.奇偶性、对称性与周期的关系 若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为. 若函数是奇函数 ，且其图象关于直线对称， 则的周期为 【典例1】已知函数与的定义域均为，为偶函数，的图象关于点中心对称，若，则的值为 . 【变式1】函数是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则 . 【变式2】已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则 . 【变式3】设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，且，则 ． 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知函数，则（   ） A．1 B．7 C．13 D．49 3．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏盐城·期末）如图是的图象，则的图象为（    ） A．B．C．D． 5.（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6.（24-25高一上·江苏·期末）函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知某周期函数一个周期的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．当时，取最大值 B．当时，取最小值 C．当时，递增 D．的单调减区间是 8.（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知函数，则（   ） A．的图象关于原点对称 B．在上单调递增 C．的值域为 D．不等式的解集为 三、填空题 9．（24-25高一上·江苏南通·期末）若是奇函数，且当时，，则 . 10.（24-25高一上·江苏苏州·期末）设函数若不等式对恒成立，则实数的值为 . 四、解答题 11．（24-25高一上·江苏·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并用定义进行证明； (2)若，试讨论在上的单调性． 12．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知定义在上的函数满足函数为奇函数，且. (1)求,的值； (2)用单调性定义证明：函数在区间上单调递增． 期末重难突破练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1.（24-25高一上·江苏南通·期末）设为上的奇函数，则当时，“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．不充分不必要 2.（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知函数，，若，则的最小值为（　　） A．9 B． C．3 D． 3.（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高一上·江苏常州·期末）我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则（    ） A．8096 B．4048 C．2024 D．1012 二、多选题 5.（24-25高一上·江苏·期末）若函数是上的奇函数，且，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．函数的最大值为1 D．若正实数满足，则的最小值为6 6.（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知定义在R上的函数满足对任意的实数，均有，且当时，恒有，则（    ） A． B．当时，函数为减函数 C．当时，的图象关于点对称 D．当时，为偶函数 三、填空题 7.（24-25高一上·江苏常州·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，且对任意，成立，则实数的取值范围为 . 8.（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数，，以的值为边长可构成一个三角形，则整数k的所有可能取值的和为 . 9.（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数 (1)计算的值： (2)判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； (3)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.依据上述结论，证明：的图象成中心对称图形，并求出对称中心. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $