2.3二次函数与一元二次方程、不等式课件1-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的关系及解法，以园艺围矩形区域的现实问题导入，通过回顾一次函数与方程、不等式的联系搭建学习支架，逐步引出一元二次不等式概念并建立知识脉络。 其亮点在于通过问题探究和图像直观，构建三个“二次”的逻辑联系，体现数学思维。例题涵盖含参数、分式不等式等类型，步骤规范，培养运算能力和推理意识。帮助学生形成系统解题方法，教师可提升教学效率。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 问题探究 思考1：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的 长度是24m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？ 解：设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12－x)m. 由题意，得(12－x)x>20，其中x∈{x|0<x<12}. 整理得x2－12x＋20<0，x∈{x|0<x<12}.　　　　　　　　　　　　 求得上面不等式的解集，就得到了问题的答案. 思考：你知道该解答中的不等式是哪类不等式吗？ 一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式， 称为一元二次不等式. 1.“一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母，如等； 2.“二次”指的是未知数的最高次必须存在并且是2，并且最高次系数不为0. 它的一般形式是 ， ， 其中a,b,c都是常数且a≠0. 思考2：从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式， 三者之间有什么联系？ y=x+1 -1 1 二次函数 一元二次方程 一元二次不等式 它们的联系又是怎样的呢？ 函数图像与x轴相交 函数图像在x轴上方 函数图像在x轴下方 方程x+1=0的解为x=－1； 不等式x+1>0的解为x>－1； 不等式x+1＜0的解为x＜－1； 思考3：画出二次函数y=x2-12x+20的图像，观察并思考以下问题： 当x取哪些值时，都有①y=0；②y＞0；③y＜0? 当x=2或x=10时，y=0； 函数图像与x轴相交 当x＜2或x＞10时，y＞0； 函数图像在x轴上方 当2＜x＜10时，y＜0； 函数图像在x轴下方 函数图象与x轴交点的横坐标正好是对应方程的根. 零点 一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做函数y=ax2+bx+c的零点. y=x2－12x＋20 注意：零点不是点，是与x轴交点的横坐标，是数值. 例如：二次函数y=x2－12x＋20 的两个零点为x1=2，x2=10. 新课讲授 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 有两个不等实根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 {x|x＜x1，或x＞x2} {x|x≠－ } R {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ x1 x2 x y O x y O x1=x2 y x O 三个“二次”的关系 二次函数y=ax2+bx+c 设y=0 一元二次方程ax2+bx+c=0 设y≠0 一元二次不等式 ax2+bx+c<0(或>0) 二次函数y=ax2+bx+c的零点 1、形式上 2、数值上 一元二次不等式ax2+bx+c>0（或<0）解集的端点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 二次函数与一元二次方程、不等式的关系： 解：方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3. 函数y＝x2－2x－3的图象（开口向上） 与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示. 观察图象可得不等式的解集为 {x|x<－1或x>3}. 例题讲解 例1.解不等式：x2－2x－3>0. 例2.解不等式： 解：方程＝0的两根是x1＝－3，x2＝1. 函数y＝的图象与x轴有两个交点(－3,0)和(1,0)， 如图所示. 观察图象可得不等式的解集为 {x|}. 方法一 解对应方程 画函数图像 看图给解集 例2.解不等式： 解：方法二 　 可得不等式的解集为 {x|}. 开口向上时：大于取两边，小于取中间 方程＝0的两根是x1＝－3，x2＝1. －3 x 1 y ①化正:化为ax2+bx+c>0(a>0) ③求根:求方程ax2+bx+c=0的根 ④画图:画函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 因式分解or求根公式 大于取两边,小于取中间 ②判别:判别式△确定有无实数根 ⑤写解:由图象写出不等式的解集 解一元二次不等式步骤 例3.解下列不等式： (1)x2-5x+6>0 (2)9x2-6x+1>0 (3)-x2+2x-3>0 (4)-x(x+7)>6. 例4. 求[x-(a-1)][x-(a+3)]>0(a∈R)的解集. 探究 若将例4中的不等式改成[x+(a-1)][x-(a+3)]>0(a∈R)， 该如何求解呢？ (1)当1-a>a+3，即a<-1时，不等式的解集为{x|x>1-a或x<a+3}. (2)当1-a=a+3，即a=-1时，不等式的解集为{x|x≠2}. (3)当1-a<a+3，即a>-1时，不等式的解集为{x|x>a+3或x<1-a}. 例5 解关于x的不等式x2－ax－2a2<0. 解：原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0，对应方程的根为x1=2a，x2=-a. ①当a>0时，x1>x2，不等式的解集为{x|-a<x<2a}； ②当a＝0时，原不等式化为x2<0，无实根； ③当a<0时，x1<x2，不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x|-a<x<2a}；当a＝0时，原不等式的解集为∅；当a<0时，原不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 思考>0与(x-3)(x+2)>0同解吗？≥0与(x-3)(x+2)≥0同解吗？ 问题探究 例7 解下列不等式： (1)<0 (2)≥0 (3)>1 (4)>1 课堂小结 ①化正:化为ax2+bx+c>0(a>0) ③求根:求方程ax2+bx+c=0的根 ④画图:画函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 因式分解or求根公式 大于取两边,小于取中间 ②判别:判别式△确定有无实数根 ⑤写解:由图象写出不等式的解集 解一元二次不等式步骤 例6 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. $