2.2 基本不等式课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件核心内容为基本不等式（当a,b>0时，√(ab)≤(a+b)/2），课堂导入通过赵爽弦图复习已学不等式a²+b²≥2ab，引导学生用√a、√b替换变量自然过渡，构建新旧知识学习支架。 其亮点在于以数学眼光从几何图形抽象数量关系，通过作差法、分析法培养数学思维的逻辑推理能力，例题涵盖“积定和最小”“和定积最大”等模型，用数学语言精准表达公式变形与应用条件。系统的例题递进和“正定等”小结帮助学生深化理解，教师可直接用于课堂教学提升效率。

2.2 基本不等式 情景导入 在不等关系与不等式一节，我们由赵爽弦图(如下左图)抽象出了一类 重要不等式： a2+b2≥2ab 不难发现，a、b∈R，当且仅当a=b时等号成立. 新知探究 思考：如果a>0， b>0，我们用分别代替a、b，可得到什么结论呢？ 由a2+b2≥2ab 可以得到 . 当且仅当时，等号成立 即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 几何平均数 算术平均数 前提条件 等号成立条件 新知探究 证明 ？ 方法一 (作差法) ( ) — 新知探究 基本不等式 说明：其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数. 文字表述：两个正数的算术平均数大于或等于几何平均数. 如果a>0，b>0，则 ，当且仅当a=b时，等号成立. 概念讲解 常用结论 基本不等式的两种常用变形形式 (1)ab≤(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)． (2)a＋b≥2(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)． 注意：(1)此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”． “一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立． (2)连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 例题讲解 例1.已知，求的最小值. 解：因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 因此所求的最小值为2. 一正 二定 三相等 概念讲解 练习： 2 2 新知探究 探究1：求证：当x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时， 和x＋y有最小值2； 总结：积定和最小 新知探究 探究2：求证：当x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时， 积xy有最大值S 2． 总结：和定积最大 1. 当x，y是正数，如果xy等于定值P，那么 当x＝y时，和x＋y有最小值2； 2.当x，y是正数，如果x＋y等于定值S，那么 当x＝y时，积xy有最大值 S2. 积定和最小 和定积最大 注意：一正, 二定, 三相等. 新知探究 基本不等式的最值问题 概念讲解 例2. (1)若x>0，求x+ (2)若x＜0，求x+ 　(3)若x>2，求x+ 　(4)若x>1，求2-x- 例题讲解 C 例4. 已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为____，此时x＝____. 例题讲解 变式：已知x>0，y>0，2x＋3y＝6，求xy 的最大值. 例题讲解 例5. 若x>0，y>0，且 +=1，求x+y的最小值. 变式1. 若x>0，y>0，且x+y=1，求 +的最小值. 变式2. 若x>0，y>0，且xy=9x+y，求 +的最小值. 例题讲解 例6. 若x>0，y>0，且xy=9x+y-8，求x+y的最小值. 例7. 若x>0，y>0，且xy=9x+y-8，求xy的最小值. 课堂练习 BC 4. 若x>0，y>0，且x+y=1，求 +的最小值. 课堂小结 基本不等式的公式 变形1 变形2 公式 和为定值，积最大 积为定值，和最小 使用公式:正定等 (1)的最小值为 . (2)若，则的最小值为 . 设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)　 A．80　　B．77 C．81 D．82 ∵x＞0，y＞0，∴eq \f(x＋y,2)≥eq \r(xy)， 即xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2))) eq \s\up22(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,2))) eq \s\up22(2)＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81. 2.当x>1时，求x＋的最小值. 3.已知0<x<，求y＝x(1－2x)的最大值. a+b≥2eq \r(ab) ab≤(eq \f(a＋b,2))2 $