专题02 分式运算(六大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年人教版八年级数学上册《知识解读•题型专练》

专题02 分式运算 【题型1 同分母分式的加减】..............................................................................................1 【题型2 异分母分式的加减】..............................................................................................3 【题型3 分式的加减法的实际应用】....................................................................................7 【题型4 分式的乘法运算】..................................................................................................11 【题型5 分式的除法运算】....................................................................................................14 【题型6 分式的乘除法混合运算】........................................................................................17 【题型7 分式的加减乘除法混合运算】.................................................................................21 【题型8 分式化简求值】.......................................................................................................24 【题型1 同分母分式的加减】 1．计算的结果是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，直接根据同分母分式加法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式加减运算，熟练掌握分式加减运算法则，是解题的关键．根据同分母分式加减运算法则，进行计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 3．计算，结果正确的是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同分母分式的减法运算，掌握运算法则是关键；直接把分子相减，分母不变即可求解． 【详解】解：原式， 故选：A． 4．计算的结果是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加法，根据同分母分式的加法进行计算，即可求解． 【详解】解： ， 故选：C． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的减法，分母不变，分子相减，再约分化简即可． 【详解】解：， 故选：C． 6．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 【详解】解： ， 故选：D． 7．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算．原式两个分式分母相同，直接合并后分子为，利用平方差公式分解后约分即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【题型2 异分母分式的加减】 1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 通过因式分解分母，将第二个分式简化，再与第一个分式相加． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的减法运算，通过通分将分式化为同分母后计算． 【详解】解：原式． 故答案为 ． 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法，先通分，再利用分式的减法法则计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查异分母分式的减法： （1）先通分，再根据同分母的分式相减进行计算即可； （2）先通分，再根据同分母的分式相减进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，利用分式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 6．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．先通分，再根据同分母的分式相加减的法则计算即可． 【详解】解：原式= = = = 7．计算：． 【答案】 【分析】先根据平方差公式变形，再通分转化为同分母的分式计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了异分母的分式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． 8．计算： 【答案】-1 【分析】根据分式的性质计算即可； 【详解】原式， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，准确计算是解题的关键． 9．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则成为解题的关键． 先通分、然后再计算、约分即可解答． 【详解】解： ＝． 【题型3 分式的加减法的实际应用】 1．一项工程，甲单独干，完成需要天，乙单独干，完成需要天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式以及分式的基本运算，能够读懂题意列出分式是解题关键； 设工作总量为1，根据甲、乙单独完成的天数表示各自的工作效率，合作效率为两者之和，再求合作所需天数． 【详解】解：设工作总量为1， ∵ 甲单独完成需天， ∴ 甲的工作效率为， ∵ 乙单独完成需天， ∴ 乙的工作效率为， ∴ 甲、乙合作的工作效率为， ∴ 合作所需天数为． 故选：A． 2．节约用水人人有责，某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用4天，现在比原来每天少用水（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【分析】本题考查分式减法的应用，根据题意列出喷灌方式每天用水量，用漫灌方式每天用水量减去喷灌方式每天用水量，根据分式的加减法计算可得． 【详解】解：漫灌方式每天用水量：吨， 喷灌方式每天用水量：吨， 现在比原来每天少用水： 吨， 故选C． 3．甲、乙两船在静水中的最大航速均为千米时．甲船以最大航速沿江逆流航行千米的时间与以最大航速沿江顺流航行千米的时间之和记为；乙在静水中以最大航速航行千米的时间记为．设水流速度为千米时． (1)列式表示出； (2)计算，． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了分式运算的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意得出，即可； （）根据分式减法和分式除法运算法则即可求解． 【详解】（1）解：甲船时间 ， 乙船时间 ； （2）解： ； ． 4．【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式M，N的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法尝试】 （1）试比较大小，______填“>”、“<”或“=”； （2）若，试比较与的大小； 【解决问题】 （3）原有糖水a克，其中含糖b克，则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖，糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释为什么“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜呢”？ 【答案】（1）；（2）；（3）见解析． 【分析】（1）作差计算即可； （2） “作差”计算出结果，再根据结果的符号判断即可； （3）比较与的大小即可． 本题考查有理数的大小比较，分式的加减，理解“作差法”是正确解答的关键． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：<； （2）， ； （3），即， ， ， 即后来的糖水的“甜度”较大，也更甜． 5．【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小．其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【尝试应用】 （1）已知长方形A的长为，宽为；长方形B的长为，宽为a．试比较两个长方形周长的大小； （2）若，，试比较代数式与的大小； 【联系生活】 （3）甲、乙两人分别用不同方式购买苹果和香蕉，两种水果的单价分别为元/千克和元/千克．甲共购买了千克水果，其中苹果m千克，香蕉m千克；乙共花费了元，其中买苹果n元，买香蕉n元．若甲和乙的花费相同，试比较甲、乙两人购买水果的总重量大小． 【答案】（1）当时，长方形A的周长大于B的周长；当时，长方形A的周长等于B的周长；当时，长方形A的周长小于B的周长；（2）；（3）乙购买水果的总重量更大 【分析】本题主要考查了分式混合运算的应用，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）先表示出两个长方形的周长，然后作差，再根据a的取值范围判断即可； （2）先求出，然后根据，，进行判断即可； （3）先根据甲和乙的花费相同，得出，再表示出乙购买的水果总量，，然后作差比较大小即可． 【详解】解：（1）长方形A的周长为：， 长方形B的周长为：， ， 当时，，此时长方形A的周长大于B的周长； 当时，，此时长方形A的周长等于B的周长； 当时，，此时长方形A的周长小于B的周长． （2）， ∵，， ∴， ∵，即， ∴． （3）∵甲和乙的花费相同， ∴， ∴， 乙购买水果总重量为， ， ∵，，，且， ∴， ∴， ∴乙购买水果的总重量更大． 【题型4 分式的乘法运算】 1．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，熟练掌握分式乘法运算法则，是解题的关键．根据分式乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分式的乘方及乘法运算，熟练掌握分式的乘方及乘法运算法则是解题关键，应用分式的乘方及乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 3．的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的乘法，根据分式的乘法法则即可得出答案． 【详解】解： 故选：A 4．化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式乘除运算顺序和运算法则．先将分子、分母因式分解，再约分即可得． 【详解】解： ． 故答案为：． 5.化简： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除运算，因式分解，掌握算理是解决问题的关键．将分子、分母进行因式分解，约分为最简分式即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 6．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键． 根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 7．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，先确定结果符号，再计算乘法即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：． 8．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的乘法运算，解题的关键是熟练运用分式的乘法运算法则，本题属于基础题型． （1）根据分式的乘法法则计算即可求出答案． （2）根据分式的除法法则计算即可求出答案． （3）根据分式的乘法法则计算即可求出答案． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【题型5 分式的除法运算】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是掌握分式除法的运算法则． （1）先将除法转化为乘法，再进行约分计算． （2）先将除法转化为乘法，再进行约分计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 2．计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了分式除法，先把除法转化为乘法，然后约分即可． 【详解】解：原式 ． 3.计算． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的除法运算，根据分式的除法运算法则即可求出答案，熟练掌握运用运算法则是解决此题的关键． 【详解】 ． 4．计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的除法运算．把原式中的除法转化为乘法，将分子分母经过分解因式、约分把结果化为最简即可． 【详解】解：原式 ． 5．化简： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，先把除法化成乘法，再约分即可得到答案． 【详解】解： ． 6．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，正确掌握其运算法则是解题的关键． 先把除法转化为乘法，然后约分即可． 【详解】解： ． 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的除法运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先将分子分母因式分解，然后将除法转化成乘法，然后求解即可； （2）先将分子分母因式分解，然后将除法转化成乘法，然后求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【题型6 分式的乘除法混合运算】 1．计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先计算乘方，再计算乘除即可． 【详解】解： ． 2．计算： (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘除运算，因式分解，掌握算理是解决问题的关键． （1）将除法转化为乘法后约分即可； （2）先将分子、分母因式分解，将除法转化为乘法后约分即可； （3）先进行幂的运算，然后将除法转化为乘法后约分即可； （4）先将分子、分母因式分解，将除法转化为乘法后约分即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， （3）解：， ， ； （4）解：， ， ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除混合运算． （1）先将除法变成乘法，再将分式相乘即可； （2）先将除法变成乘法，并因式分解，最后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 4．计算： 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除混合运算，平方差公式，完全平方公式，提公因式，分式的约分． 先将除法变成乘法，并因式分解，最后约分即可． 【详解】解：原式 ． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的化简，分式的混合运算，掌握分式的性质，混合运算法则是解题的关键． （1）先确定符号，再根据分式的性质进行约分化简即可求解； （2）运用乘法公式因式分解，再根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．计算： (1). (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据分式的乘除运算法则解答即可； （2）分式的分子、分母先分解因式，把除法转化为乘法，再约分即可得到答案. 【详解】（1）原式； （2）原式. 【点睛】本题考查了分式的乘除，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键. 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据分式的乘除混合运算进行计算即可求解； （2）根据分式的乘除混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【点睛】本题考查了分式的混合的混合运算，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键． 【题型7 分式的加减乘除法混合运算】 1．化简： (1) (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算法则与顺序是解题的关键． （1）把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简即可． （2）先把除法转化为乘法并约分，再通分即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． 3．化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，能根据运算顺序正确计算和因式分解是解题的关键．可先对括号内的进行通分化简，并把除法运算正确转化为乘法运算且因式分解，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 4．计算：． 【答案】 【分析】先算括号里的，利用平方差公式分解，然后再约分化简即可；本题主要考查了分式的混合运算、熟练掌握平方差公式和相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 5．化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 先将分子分母中能分解因式的部分先分解因式，再算乘法进行约分计算，然后再进行分式的减法运算，通分化简即可． 【详解】解： ． 6．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算．先算括号里面的减法运算，再把除法化为乘法，然后进行化简，即可作答． 【详解】解： ． 7．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 8．化简：． 【答案】 【分析】先算括号里面的，再算除法即可． 本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解：原式 【题型8 分式化简求值】 1．先化简，再求值：其中 【答案】，5 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ，2 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键；先通分合并括号内的表达式，再利用因式分解和约分进行化简，最后代入数值计算． 【详解】解： 原式 ， 当时，原式 ． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号，再运算除法，最后运算减法，得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入，得． 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时对分子因式分解，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 5．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先化简原分式，再将代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式= ． 6．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】本题考查了分式的混合运算，关键是分式的化简求值； 先通分算括号里面的，然后算分式的乘法并化简，最后代入求值. 【详解】解：， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴原式. 2． 阅读下列资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如： 这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如： 这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： ． (1)分式 是 （选填“真分式”或“假分式）； (2)将假分式 分别化为带分式； (3)如果分式 的值为整数，求所有符合条件的整数x 的值． 【答案】(1)假分式 (2)； (3)x的值为 【分析】本题考查了分式的加减法和分式的求值，理解题意是解决本题的关键 （1）按“真分式”“假分式”的定义直接判断即可； （2）仿照例题，利用分式的基本性质和分式的加减法则把假分式化为带分式； （3）先把分式化为带分式，然后再找出满足条件的整数x即可． 【详解】（1）解：∵分子的次数大于分母的次数， ∴分式是假分式 故答案为假分式 （2） ； （3） 当时，分式的值为整数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 分式运算 【题型1 同分母分式的加减】..............................................................................................1 【题型2 异分母分式的加减】..............................................................................................2 【题型3 分式的加减法的实际应用】....................................................................................3 【题型4 分式的乘法运算】..................................................................................................5 【题型5 分式的除法运算】....................................................................................................6 【题型6 分式的乘除法混合运算】........................................................................................7 【题型7 分式的加减乘除法混合运算】.................................................................................8 【题型8 分式化简求值】.......................................................................................................10 【题型1 同分母分式的加减】 1．计算的结果是（    ） A． B． C．0 D．1 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．计算，结果正确的是（　　） A．1 B． C． D． 4．计算的结果是（   ） A． B．0 C．1 D． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 7．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【题型2 异分母分式的加减】 1．计算： ． 2．计算： ． 3．计算： 4．计算： (1)； (2)． 5．计算：． 6．计算：． 7．计算：． 8．计算： 9．计算：． 【题型3 分式的加减法的实际应用】 1．一项工程，甲单独干，完成需要天，乙单独干，完成需要天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（   ） A． B． C． D． 2．节约用水人人有责，某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用4天，现在比原来每天少用水（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 3．甲、乙两船在静水中的最大航速均为千米时．甲船以最大航速沿江逆流航行千米的时间与以最大航速沿江顺流航行千米的时间之和记为；乙在静水中以最大航速航行千米的时间记为．设水流速度为千米时． (1)列式表示出； (2)计算，． 4．【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式M，N的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法尝试】 （1）试比较大小，______填“>”、“<”或“=”； （2）若，试比较与的大小； 【解决问题】 （3）原有糖水a克，其中含糖b克，则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖，糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释为什么“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜呢”？ 5．【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小．其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【尝试应用】 （1）已知长方形A的长为，宽为；长方形B的长为，宽为a．试比较两个长方形周长的大小； （2）若，，试比较代数式与的大小； 【联系生活】 （3）甲、乙两人分别用不同方式购买苹果和香蕉，两种水果的单价分别为元/千克和元/千克．甲共购买了千克水果，其中苹果m千克，香蕉m千克；乙共花费了元，其中买苹果n元，买香蕉n元．若甲和乙的花费相同，试比较甲、乙两人购买水果的总重量大小． 【题型4 分式的乘法运算】 1．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3．的结果是（    ） A． B． C． D． 4．化简： ． 5.化简： ． 6．计算：． 7． 计算：． 8．计算： (1)； (2)； (3)． 【题型5 分式的除法运算】 1．计算： (1)； (2)． 2．计算：． 3.计算． 4．计算：． 5．化简： 6．计算：． 7．计算： (1)； (2)． 【题型6 分式的乘除法混合运算】 1．计算： 2．计算： (1) (2)； (3) (4) 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： 5．计算： (1)； (2)． 6．计算： (1). (2). 7．计算： (1)； (2)． 【题型7 分式的加减乘除法混合运算】 1．化简： (1) (2)化简：． 2．化简：． 3．化简： 4．计算：． 5．化简： 6．化简：． 7．化简：． 8．化简：． 【题型8 分式化简求值】 1．先化简，再求值：其中 2．先化简，再求值：，其中． 3．先化简，再求值：，其中． 4．先化简，再求值：，其中． 5．先化简，再求值：，其中． 6．先化简，再求值：，其中． 1．先化简，再求值：，其中． 2． 阅读下列资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如： 这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如： 这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： ． (1)分式 是 （选填“真分式”或“假分式）； (2)将假分式 分别化为带分式； (3)如果分式 的值为整数，求所有符合条件的整数x 的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $