专题25 整数指数幂【考点梳理+重点题型+分层强化】 2025-2026学年人教版八年级数学上册

专题25 整数指数幂 （重难点题型专训） 【知识考点 整数指数幂】 【知识点梳理】 1.负整数指数幂 一般地，当n是正整数时，．这就是说，是的倒数． 2.零指数幂 （1）任何不等于零的数的零次幂都等于1，即. （2）注意：同底数幂的除法法则可以推广到整数指数幂.即（，、为整数）当时，得到. 3.整数指数幂的基本性质 （1）引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立. （2）注意：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式. 例如（），（）. （3）基本性质（以下式子中，m，n均为整数．） ① 同底数幂相乘 ； ② 幂的乘方 ； ③ 积的乘方 ； ④ ⑤ 商的乘方 ； ⑥ 零指数幂 ； ⑦ 负整数指数幂 ． 4.用科学记数法表示小于1的正数 （1）一般地，小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10的形式，其中1 ≤ a＜10，n是正整数. （2）用科学记数法表示小于1的正数的一般步骤 1）确定a：a是大于或等于1且小于10的数. 2）确定n：确定n的方法有两种，① n等于原数中左起第一个非0的数字前面0的个数(包括小数点前的那个0)；② 小数点向右移到第一个非0的数字后，小数点移动了几位，n就等于几. 3）将原数用科学记数法表示为a×10的形式(其中1 ≤ a＜10，n是正整数). 【重难点常考题型概览】 【题型01】 根据负整数指数幂的意义求解 【题型02】 负整数指数幂的运算 【题型03】 零指数幂及其运算 【题型04】 整数指数幂的运算 【题型05】 根据整数指数幂的基本性质求值 【题型06】 根据整数指数幂的基本性质进行大小比较 【题型07】 含整数指数幂运算的化简求值 【题型08】 用科学记数法表示绝对值小于1的数 【题型09】 还原用科学记数法表示的小数 【题型10】 科学记数法的实际应用 【特训01】 拓展提升强化 【特训02】 直通中考真题 【题型01】 根据负整数指数幂的意义求解 【例1】（2024-2025七年级下·河北唐山·期中）若，那么m的值是（  ） A．4 B． C．8 D．12 【变式1-1】（2024-2025八年级上·甘肃张掖·期末）若有意义，则 ． 【变式1-2】（2024-2025七年级上·上海虹口·阶段练习）将分式表示成不含分母的形式 ． 【变式1-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业），即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算：　　　　；　　　　； (2)如果，那么　　　　；如果，那么　　　　； (3)如果，且，为整数，求满足条件的，的取值． 【题型02】 负整数指数幂的运算 【例2】（2025-2026八年级上·湖南株洲·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024-2025七年级上·上海静安·期末）计算： ．（结果不含负整数指数幂） 【变式2-3】（2023-2024八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【题型03】 零指数幂及其运算 【例3】（2024-2025八年级上·辽宁营口·期中）观察等式，其中的值是 ． 【变式3-1】（2025-2026七年级下·浙江·专题练习）若有意义，则的取值范围是 ． 【变式3-2】（2025-2026八年级上·湖南常德·期中）计算： ． 【变式3-3】（2024-2025八年级上·四川成都·开学考试）计算：． 【题型04】 整数指数幂的运算 【例4】（2025-2026八年级上·贵州·期中）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025-2026八年级上·湖南怀化·期中）计算： 【变式4-2】（2025-2026八年级上·贵州铜仁·期中）计算： (1)． (2)． 【变式4-3】（2024-2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2) (3) (4) (5)． (6)． 【题型05】 根据整数指数幂的基本性质求值 【例5】．（2023-2024八年级上·全国·期末）已知，则的值为（   ） A．8 B．9 C． D． 【变式5-1】（2025-2026八年级上·广东江门·期中）若，，则 ． 【变式5-2】．（2024-2025七年级下·贵州毕节·月考）（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【变式5-3】（2024-2025八年级下·四川遂宁·阶段练习） （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【题型06】 根据整数指数幂的基本性质进行大小比较 【例6】（2025-2026八年级上·贵州铜仁·期中）如果，，，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025-2026八年级上·云南昆明·期中）在，，，四个数中，最小的数是（  ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）如果，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024-2025八年级上·湖南怀化·开学考试）若，，，，则a、b、c、d的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【题型07】 含整数指数幂运算的化简求值 【例7】（2025-2026八年级上·重庆·期中）化简求值：， 其中． 【变式7-1】（2021-2022八年级上·贵州铜仁·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式7-2】（2025-2026八年级上·山东淄博·期中）计算 (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 【变式7-3】（2025-2026九年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中． 【题型08】 用科学记数法表示绝对值小于1的数 【例8】（2025-2026八年级上·湖南永州·期中）用科学记数法表示的下列四个数中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】．（2024-2025九年级下·云南临沧·阶段练习）小数“”用科学记数法表示为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024-2025八年级上·甘肃嘉峪关·期末）1纳米米，则纳米用科学记数法表示为 ． 【变式8-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： （1） ；     （2） ． 【题型09】 还原用科学记数法表示的小数 【例9】（2024-2025八年级上·甘肃张掖·期末）很多小朋友都爱玩吹泡泡的游戏，科学家测得某个泡泡的厚度约为米，则用小数表示为（   ） A． B．0.000006 C． D．0.00006 【变式9-1】（2024-2025八年级上·河南南阳·期末）人体一种细胞的直径用科学记数法可表示为米，则数据用小数可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2024-2025七年级下·江苏南京·期中）已知，，，，则，，，的大小关系为 （用“<”号连接）． 【变式9-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）用小数表示下列各数： (1)； (2)． 【题型10】 科学记数法的实际应用 【例10】．（2025-2026八年级上·全国·专题练习）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有． (1)用科学记数法表示上述三个数据． (2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？ 【变式10-1】．（2025-2026八年级上·上海闵行·月考）在日常生活中，人们每天都要喝水，而在化学的视角里，水是一种由大量水分子通过相互作用聚集在一起形成的物质．化学老师在讲水分子时曾提到：一个水分子由两个氢原子和一个氧原子构成．已知氢原子（H）的原子半径（）约为53，氧原子（O）的原子半径约为，已知，请你用科学记数法表示一个水分子中的氧原子的原子半径 m 【变式10-2】．（2024-2025七年级下·江苏苏州·阶段练习）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有． (1)用科学记数法表示上述三个数据． (2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？ 【变式10-3】．（2024-2025七年级下·全国·专题练习）一个正方体集装箱的棱长为． (1)用科学记数法表示这个集装箱的体积是___________； (2)若有一个小立方块的棱长为，则把集装箱装满需要这样的小立方块多少个？（用科学记数法表示） 【特训01】 拓展提升强化 1.（2024八年级·山东·竞赛）将写成小数的形式，则其小数点后第四位数字是（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 2．（2025·山东·模拟预测）已知一个水分子的直径约为米，勿忘我的花粉直径约为米，用科学记数法表示一个水分子的直径是勿忘我花粉直径的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 3.（2023·河北张家口·模拟预测）某种电子元件的面积大约为，将这个数据写成小数的形式为：，这个小数中0的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4.（2025七年级下·全国·专题练习）计算：，结果用科学记数法可以表示为 ． 5.（2025-2026八年级上·上海松江·期中）水由氢和氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子，一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为．用科学记数法表示的数的小数点与左起第一个非零数字之间有 个0． 6．（2025-2026八年级上·上海嘉定·期中）根据实验数据，钢轨温度每变化1℃，每一米钢轨就伸缩约．如果一年中气温相差，那么长的铁路最多可伸缩 ．（用科学记数法表示） 7.（2025-2026八年级上·四川达州·阶段练习）若，则 ． 8．（2024九年级下·广西·专题练习）若实数，满足，则的值为 ． 9．（2025-2026九年级上·重庆·开学考试）若实数x，y同时满足，则的值为 10.（2023-2024八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 11．（2025-2026八年级上·河南·阶段练习）一次数学兴趣小组活动，老师和几个同学一起探讨：中的，，三者的关系． 同学甲：已知，，可以求，是我们学过的乘方运算，其中叫做的次方．如：，其中是的次方． 同学乙：已知，，可以求，是我们学过的开方运算，其中叫做的次方根．如：，其中是的二次方根（或平方根）；，其中是的三次方根（或立方根）． 老师：两位同学说得很好，那么请大家计算： (1)的四次方根等于 ；的五次方根等于 ． 同学丙：老师，如果已知和，那么如何求呢？这又是一种什么运算呢？ 老师：这个问题问得好，已知，，可以求，它是一种新的运算，称为对数运算． 这种运算的定义是：若，叫做以为底的对数，记作：．例如：，3叫做以为底的对数，记作．根据题意，请大家计算： (2) ； ． 随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果，，，，那么． (3)请你利用上述性质计算：． 【特训02】 直通中考真题 1．（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·福建福州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁抚顺·中考真题）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2023·湖南·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 8．（2024·全国·中考真题）化简：，结果为 ． 9．（2024·四川乐山·中考真题）若实数m，n满足，则 ． 10．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 11．（2025·重庆·中考真题）先化简，再求值：，其中． 12.（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 13．（2024·广东·中考真题）计算：． 14．（2024·甘肃临夏·中考真题）计算：． 15．（2024·广西北海·中考真题）计算： (1)； (2)． 16．（2023·江苏徐州·中考真题）计算： (1)； (2)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25 整数指数幂 （重难点题型专训） 【知识考点 整数指数幂】 【知识点梳理】 1.负整数指数幂 一般地，当n是正整数时，．这就是说，是的倒数． 2.零指数幂 （1）任何不等于零的数的零次幂都等于1，即. （2）注意：同底数幂的除法法则可以推广到整数指数幂.即（，、为整数）当时，得到. 3.整数指数幂的基本性质 （1）引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立. （2）注意：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式. 例如（），（）. （3）基本性质（以下式子中，m，n均为整数．） ① 同底数幂相乘 ； ② 幂的乘方 ； ③ 积的乘方 ； ④ ⑤ 商的乘方 ； ⑥ 零指数幂 ； ⑦ 负整数指数幂 ． 4.用科学记数法表示小于1的正数 （1）一般地，小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10的形式，其中1 ≤ a＜10，n是正整数. （2）用科学记数法表示小于1的正数的一般步骤 1）确定a：a是大于或等于1且小于10的数. 2）确定n：确定n的方法有两种，① n等于原数中左起第一个非0的数字前面0的个数(包括小数点前的那个0)；② 小数点向右移到第一个非0的数字后，小数点移动了几位，n就等于几. 3）将原数用科学记数法表示为a×10的形式(其中1 ≤ a＜10，n是正整数). 【重难点常考题型概览】 【题型01】 根据负整数指数幂的意义求解 【题型02】 负整数指数幂的运算 【题型03】 零指数幂及其运算 【题型04】 整数指数幂的运算 【题型05】 根据整数指数幂的基本性质求值 【题型06】 根据整数指数幂的基本性质进行大小比较 【题型07】 含整数指数幂运算的化简求值 【题型08】 用科学记数法表示绝对值小于1的数 【题型09】 还原用科学记数法表示的小数 【题型10】 科学记数法的实际应用 【特训01】 拓展提升强化 【特训02】 直通中考真题 【题型01】 根据负整数指数幂的意义求解 【例1】（2024-2025七年级下·河北唐山·期中）若，那么m的值是（  ） A．4 B． C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相除，负整数指数幂的意义，根据同底数幂相除法则求出，根据负整数指数幂的意义得出，则得出，解方程即可． 【解答】解：∵，，， ∴， 解得． 故选：C． 【变式1-1】（2024-2025八年级上·甘肃张掖·期末）若有意义，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查负整数指数幂的转换，分数有意义的条件，熟知是解题的关键． 根据负整数指数幂的意义，将表达式化为分式形式，再根据分式有意义的条件求解． 【解答】解：， ， 解得． 故答案为：． 【变式1-2】（2024-2025七年级上·上海虹口·阶段练习）将分式表示成不含分母的形式 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，负指数幂的计算，掌握负指数幂的计算方法是关键． 根据负指数幂的计算方法“”求解即可． 【解答】解：, 故答案为： ． 【变式1-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业），即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算：　　　　；　　　　； (2)如果，那么　　　　；如果，那么　　　　； (3)如果，且，为整数，求满足条件的，的取值． 【答案】(1)， (2)3， (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，正确理解题意是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据题意可得，则，解之即可；根据题意可得，则，解之即可； （3）由可推出，结合，都是整数讨论求解即可． 【解答】（1）解：由题意得，，； 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3；； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，为整数， 当时，； 当时，； 当时， 【题型02】 负整数指数幂的运算 【例2】（2025-2026八年级上·湖南株洲·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据零指数幂和负整数指数幂的定义，逐项计算即可判断正确选项． 【解答】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：C． 【变式2-1】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据积的乘方法则将原式分解为系数和字母分别进行负指数幂运算，再将结果相乘即可得到答案． 【解答】解：， 故选：D． 【变式2-2】（2024-2025七年级上·上海静安·期末）计算： ．（结果不含负整数指数幂） 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算以及分式的化简知识点，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂的运算法则，并能正确运用平方差公式对式子进行化简。 先将原式中各项的负整数指数幂化为正整数指数幂的形式，再对分子进行变形，利用平方差公式因式分解，然后通过约分消去公因式，将结果化为不含负整数指数幂的形式。 【解答】原式 = 故答案为： 【变式2-3】（2023-2024八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据积的乘方运算法则将括号展开，再根据幂的乘方运算法则和同底数幂乘法法则进行计算即可； （2）先根据积的乘方运算法则将括号展开，再根据幂的乘方运算法则和同底数幂除法法则进行计算即可． 【解答】解：（1） ． （2） ． 【点评】本题主要考查了幂的运算法则，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方． 【题型03】 零指数幂及其运算 【例3】（2024-2025八年级上·辽宁营口·期中）观察等式，其中的值是 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了零指数幂，乘方，熟练掌握零指数幂是解题的关键．根据题意分三种情况进行分类讨论即可． 【解答】解：①当时，，解得； ②当时，； ③当为偶数时，，解得． 故答案为：或或． 【变式3-1】（2025-2026七年级下·浙江·专题练习）若有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂的定义，熟练掌握零指数幂的定义是解答本题的关键． 根据零指数幂的定义解答即可． 【解答】解：有意义， ， 解得：， 故答案为：． 【变式3-2】（2025-2026八年级上·湖南常德·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂．原式利用负整数指数幂、零指数幂法则计算即可得到结果． 【解答】解：， 故答案为：． 【变式3-3】（2024-2025八年级上·四川成都·开学考试）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是零指数幂、负整数指数幂、正整数指数幂、有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 根据零指数幂、负整数指数幂、正整数指数幂、有理数的混合运算进行计算即可． 【解答】解：原式， ， ． 【题型04】 整数指数幂的运算 【例4】（2025-2026八年级上·贵州·期中）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘除法、幂的乘方和分式的乘方、负指数幂的运算法则逐项判断即可解题． 【解答】解：A： ，原计算错误； B：，计算正确； C：，原计算错误； D：，原计算错误； 故选：B． 【变式4-1】（2025-2026八年级上·湖南怀化·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了指数运算，负整数指数幂，需运用指数法则（如幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除法）进行简化计算． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 【变式4-2】（2025-2026八年级上·贵州铜仁·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键， （1）根据负整数指数幂，绝对值，零指数幂和开平方的运算法则计算即可得到答案； （2）根据同底数幂的乘除法和负整数指数幂的运算法则计算即可得到答案． 【解答】（1）解： ． （2）解： ． 【变式4-3】（2024-2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2) (3) (4) (5)． (6)． 【答案】(1)； (2)x10； (3)； (4)； (5)； (6) 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，整数指数幂的运算，解题的关键是熟记负整数幂的法则及同底数幂的乘除法则． （1）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． （2）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． （3）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． （4）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． （5）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． （6）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． 【解答】（1）解：； （2）解： ． （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： 【题型05】 根据整数指数幂的基本性质求值 【例5】．（2023-2024八年级上·全国·期末）已知，则的值为（   ） A．8 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，负整数指数幂．根据同底数幂的乘除法法则，可得，再代入计算，即可求解． 【解答】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 【变式5-1】（2025-2026八年级上·广东江门·期中）若，，则 ． 【答案】30 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆用，求代数式的值，利用指数运算法则，将转化为，再代入已知值计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【解答】解：∵，， ∴， 故答案为：30． 【变式5-2】．（2024-2025七年级下·贵州毕节·月考）（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是熟练运用幂的乘方，同底数幂乘法法则，同底数幂除法法则进行计算． （1）先根据幂的乘方和同底数幂乘法法则对变形，再结合已知条件求出的值． （2）先由同底数幂除法法则求出的值，再将变形为以6为底的幂，最后代入的值计算． 【解答】解：（1）因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以． 【变式5-3】（2024-2025八年级下·四川遂宁·阶段练习） （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了幂的乘方以及同底数幂的除法，负整数指数幂，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． （1）根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则，负整数指数幂的含义计算即可； （2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法和负整数指数幂法则计算即可． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴． 【题型06】 根据整数指数幂的基本性质进行大小比较 【例6】（2025-2026八年级上·贵州铜仁·期中）如果，，，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的比较，熟练掌握零指数幂，负指数幂是解题的关键，其中利用零指数法则，利用负指数法则，利用负指数和平方运算，计算每个表达式的值，再比较大小即可得到答案． 【解答】解：由题可得：，，， ∵， ∴， 故选：B． 【变式6-1】（2025-2026八年级上·云南昆明·期中）在，，，四个数中，最小的数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，实数的大小比较，先利用负整数指数幂，零指数幂化简，然后比较大小即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】解：∵，， 又， ∴， ∴最小的数是， 故选：． 【变式6-2】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）如果，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，掌握零指数幂，负整数指数幂的运算法则是解题的关键；根据零指数幂，负整数指数幂分别求出a，b，c，再比较大小即可得解． 【解答】解：， ， ， 故选：． 【变式6-3】（2024-2025八年级上·湖南怀化·开学考试）若，，，，则a、b、c、d的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了零指数幂、负整数指数幂、乘方等运算，根据相关运算法则计算后，进行比较大小即可. 【解答】解：，，， ∵ ∴， 故选：D 【题型07】 含整数指数幂运算的化简求值 【例7】（2025-2026八年级上·重庆·期中）化简求值：， 其中． 【答案】， 【分析】先利用分式的乘除化简，后根据负整数指数幂，零指数幂运算法则确定字母的值，求值即可． 本题考查了分式的化简求值，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握化简是解题的关键． 【解答】解： ， 由， 得， 故原式． 【变式7-1】（2021-2022八年级上·贵州铜仁·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了单项式的乘除法和负整数指数幂，原式利用积的乘方和幂的乘方法则变形，进行乘除法运算得到最简结果，把m与n的值代入计算即可求出值． 【解答】解： ； 当时，原式． 【变式7-2】（2025-2026八年级上·山东淄博·期中）计算 (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)x (2)化简结果是：，求值结果是： 【分析】本题考查了分式的加减，分式的化简求值，算术平方根、绝对值、负整数指数幂，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． （1）根据相反数的性质，将异分母的分式变成同分母的分式，计算即可，注意约分； （2）先将括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再利用算术平方根、绝对值、负整数指数幂计算出a的值，最后代入计算即可求出值． 【解答】（1）解： ； （2）解： ， 当时， 原式． 【变式7-3】（2025-2026九年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先化简原分式，根据零指数幂、负整数指数幂求出的值，代入化简结果计算即可． 【解答】解： ， ， 原式 ． 【题型08】 用科学记数法表示绝对值小于1的数 【例8】（2025-2026八年级上·湖南永州·期中）用科学记数法表示的下列四个数中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是科学记数法的表示方法，解题关键是熟练掌握科学记数法的表示方法． 根据科学记数法的表示方法对选项进行逐一判断即可． 【解答】解：选项，，正确，不符合题意，选项错误； 选项，，正确，不符合题意，选项错误 ； 选项，，符合题意，选项正确； 选项，，正确，不符合题意，选项错误． 故选：． 【变式8-1】．（2024-2025九年级下·云南临沧·阶段练习）小数“”用科学记数法表示为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法表示值较小的数．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【解答】解：小数“”用科学记数法表示为， ∴， 故选：C． 【变式8-2】（2024-2025八年级上·甘肃嘉峪关·期末）1纳米米，则纳米用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法，掌握其表示形式，正确确定的值是关键． 科学记数法：，确定n值的方法：把原数变为a时，当原数的绝对值大于等于10时，小数点向左移动位数即为n的值，当原数的绝对值小于1时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【解答】解：1纳米米， ∴纳米 故答案为：． 【变式8-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： （1） ；     （2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟知科学记数法是解题的关键． （1）科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案； （2）同（1）求解即可． 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 【题型09】 还原用科学记数法表示的小数 【例9】（2024-2025八年级上·甘肃张掖·期末）很多小朋友都爱玩吹泡泡的游戏，科学家测得某个泡泡的厚度约为米，则用小数表示为（   ） A． B．0.000006 C． D．0.00006 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【解答】解：用小数表示为． 故选：B． 【变式9-1】（2024-2025八年级上·河南南阳·期末）人体一种细胞的直径用科学记数法可表示为米，则数据用小数可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【解答】解：． 故选：B． 【变式9-2】（2024-2025七年级下·江苏南京·期中）已知，，，，则，，，的大小关系为 （用“<”号连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，负整数指数幂，实数大小的比较，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题关键． 根据科学记数法表示出原数，再比较大小即可． 【解答】解：，，，， ． 故答案为：． 【变式9-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）用小数表示下列各数： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，解题的关键是正确理解科学记数法表示的数中还原成小数，就是把的小数点向左移动位所得到的数． （）把小数点向左移动位即可得出答案， （）把小数点向左移动位即可得出答案． 【解答】（1）解：； （2）解：． 【题型10】 科学记数法的实际应用 【例10】．（2025-2026八年级上·全国·专题练习）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有． (1)用科学记数法表示上述三个数据． (2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． （1）根据科学记数法的定义表示各数即可， （2）先列出算式，再根据科学记数法的定义表示结果即可． 【解答】（1）解：， ， ． （2）解：． 答：一个橘子的质量相当于粒澳大利亚出水浮萍果实的质量． 【变式10-1】．（2025-2026八年级上·上海闵行·月考）在日常生活中，人们每天都要喝水，而在化学的视角里，水是一种由大量水分子通过相互作用聚集在一起形成的物质．化学老师在讲水分子时曾提到：一个水分子由两个氢原子和一个氧原子构成．已知氢原子（H）的原子半径（）约为53，氧原子（O）的原子半径约为，已知，请你用科学记数法表示一个水分子中的氧原子的原子半径 m 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的应用，将氧原子半径转换为米，利用单位换算关系，然后写成科学记数法形式即可． 【解答】解：氧原子的原子半径为，已知，因此，将写成科学记数法形式为， 所以 故答案为：． 【变式10-2】．（2024-2025七年级下·江苏苏州·阶段练习）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有． (1)用科学记数法表示上述三个数据． (2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了科学记数法的表现形式以及同底数幂的除法运算，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据科学记数法的概念解答即可； （2）用橘子的质量除以一粒澳大利亚出水浮萍果实的质量即可求解． 【解答】（1）解：，，； （2）解：（个）， 答：一个橘子的质量相当于粒澳大利亚出水浮萍果实的质量． 【变式10-3】．（2024-2025七年级下·全国·专题练习）一个正方体集装箱的棱长为． (1)用科学记数法表示这个集装箱的体积是___________； (2)若有一个小立方块的棱长为，则把集装箱装满需要这样的小立方块多少个？（用科学记数法表示） 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，同时考查整数指数幂的运算． （1）利用有理数的乘法运算结合科学记数法的表示方法得出答案； （2）利用整数指数幂的运算法则求出答案即可． 【解答】（1）解：一个正方体集装箱的棱长为， 这个集装箱的体积是：， 答：这个集装箱的体积是； （2）解：一个小立方块的棱长为， （个）， 即：需要个这样的小立方块才能将集装箱装满． 【特训01】 拓展提升强化 1.（2024八年级·山东·竞赛）将写成小数的形式，则其小数点后第四位数字是（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个非零的数字前面的0的个数所决定； 用科学记数法表示较小的数，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂． 【解答】因为， 所以小数点第四位数字是0； 故选：A． 2．（2025·山东·模拟预测）已知一个水分子的直径约为米，勿忘我的花粉直径约为米，用科学记数法表示一个水分子的直径是勿忘我花粉直径的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，同底数幂的除法运算，根据同底数幂的除法法则以及科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【解答】解： ； 故选：C． 3.（2023·河北张家口·模拟预测）某种电子元件的面积大约为，将这个数据写成小数的形式为：，这个小数中0的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了根据科学记数法还原原数，掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．根据科学记数法表示绝对值小于1的数的方法，即，则小数点向右移动了为，由此还原原数，即可求解． 【解答】解：， ∴这个小数中0的个数为7个， 故选：C ． 4.（2025七年级下·全国·专题练习）计算：，结果用科学记数法可以表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，先把科学记数法表示的数还原，再计算，再利用科学记数法表示即可． 【解答】解：， 用科学记数法可以表示为， 故答案为：． 5.（2025-2026八年级上·上海松江·期中）水由氢和氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子，一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为．用科学记数法表示的数的小数点与左起第一个非零数字之间有 个0． 【答案】25 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的形式，为整数，把原数变为时，当时，为正整数，的值为小数点移动的位数；当时，为负整数，的值为小数点移动位数的相反数；由此即可求解，掌握科学记数法的表示形式，、的取值方式是解题的关键． 【解答】解：∵，， ∴小数点与左起第一个非零数字之间有个零． 故答案为：25． 6．（2025-2026八年级上·上海嘉定·期中）根据实验数据，钢轨温度每变化1℃，每一米钢轨就伸缩约．如果一年中气温相差，那么长的铁路最多可伸缩 ．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，根据题意，钢轨的伸缩量与温度变化和钢轨长度成正比，因此总伸缩量等于每度每米伸缩量、温度变化和钢轨长度的乘积，即可求解． 【解答】解：总伸缩量， 故答案为：． 7.（2025-2026八年级上·四川达州·阶段练习）若，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了算术平方根和偶次方的非负性、完全平方公式、代数式求值、负整数指数幂，熟练掌握算术平方根的非负性是解题关键．先根据算术平方根和偶次方的非负性可得，则可得的值，再代入计算即可得． 【解答】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2024九年级下·广西·专题练习）若实数，满足，则的值为 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质，非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 直接利用非负数的性质得出m，n的值，进而利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案． 【解答】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：2． 9．（2025-2026九年级上·重庆·开学考试）若实数x，y同时满足，则的值为 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的性质，解二元一次方程组，负整数指数幂，根据绝对值的非负性可得，据此分和两种情况，根据已知条件建立方程组求出x、y的值即可得到答案． 【解答】解：∵， ∴， ∴，即， 当时， ∵， ∴， 解得，此时； 当时， ∵， ∴，此时方程组无解，不符合题意； 综上所述，； 故答案为：． 10.（2023-2024八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)-5 (2)2 022 (3) 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）按照负整数指数幂的运算法则和有理数的混合运算计算即可； （2）先按照负整数指数幂的运算法则计算，再按照有理数加法和乘法计算即可； （3）按照整数指数幂的计算法则计算即可； 【解答】解：（1） ； （2） =2022； （3） ． 11．（2025-2026八年级上·河南·阶段练习）一次数学兴趣小组活动，老师和几个同学一起探讨：中的，，三者的关系． 同学甲：已知，，可以求，是我们学过的乘方运算，其中叫做的次方．如：，其中是的次方． 同学乙：已知，，可以求，是我们学过的开方运算，其中叫做的次方根．如：，其中是的二次方根（或平方根）；，其中是的三次方根（或立方根）． 老师：两位同学说得很好，那么请大家计算： (1)的四次方根等于 ；的五次方根等于 ． 同学丙：老师，如果已知和，那么如何求呢？这又是一种什么运算呢？ 老师：这个问题问得好，已知，，可以求，它是一种新的运算，称为对数运算． 这种运算的定义是：若，叫做以为底的对数，记作：．例如：，3叫做以为底的对数，记作．根据题意，请大家计算： (2) ； ． 随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果，，，，那么． (3)请你利用上述性质计算：． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了立方根、负整数指数幂，有理数乘方，理解题意，正确计算是解题的关键． （）利用题中四次方根的定义、五次方根的定义求解； （）根据对数运算的定义，有理数乘方，立方根进行求解即可； （）根据对数运算的性质求解即可． 【解答】（1）解： 的四次方根等于；的五次方根等于， 故答案为：；； （2）解：， ， 故答案为：，； （3）解： ． 【特训02】 直通中考真题 1．（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂逐项计算即可． 【解答】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 2．（2024·福建福州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是根据负整数指数幂、同底数幂的乘法、积的乘方以及幂的乘方、同底数幂的除法依次对各个选项进行分析判断． 【解答】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．（2024·辽宁抚顺·中考真题）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂除法，负整数指数幂，由，又，则，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】解：由， ∵， ∴， ∴， 故选：． 4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数幂，完全平方公式，算术平方根，积的乘方，据此逐项分析计算，即可求解． 【解答】解：A. ，故该选项正确，符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的乘除法，多项式除以单项式，负整数指数幂，根据运算法则进行逐项计算，即可作答． 【解答】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D． 6．（2023·湖南·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的约分可判断A，根据幂的乘方运算可判断B，根据分式的加法运算可判断C，根据零指数幂的含义可判断D，从而可得答案． 【解答】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，运算正确，故D符合题意； 故选D 【点评】本题考查分式的约分，幂的乘方运算，分式的加法运算，零指数幂，熟记运算法则是解本题的关键． 7．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 【答案】0 【分析】此题考查了乘方和零指数幂，根据乘方和零指数幂计算后再计算加法即可． 【解答】解： 故答案为：0 8．（2024·全国·中考真题）化简：，结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了负整数指数幂、分式的乘法与除法，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算积的乘方、负整数指数幂，再计算分式的除法，然后计算乘法即可得． 【解答】解： ． 故答案为：． 9．（2024·四川乐山·中考真题）若实数m，n满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，零指数幂和负整数指数幂，根据非负性求出的值，再根据零指数幂和负整数指数幂的法则进行计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 10．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可． 【解答】解：原式 11．（2025·重庆·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，原式= 【分析】本题考查分式的化简求值，零指数幂，根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，分式的混合运算法则，进行化简，根据绝对值的意义，零指数幂求出的值，再把的值代入化简后的式子中进行计算即可． 【解答】解：原式 ； ∵， ∴原式． 12.（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 【答案】(1) (2) ， (3) 【分析】本题考查了科学记数法，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）根据，代入数据进行计算即可求解； （2）根据定义求得铁的线膨胀系数，进而设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【解答】（1）解：， 答：该铜棒的伸长量． （2）解：， 解得： ， 设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得：， 答：铁的线膨胀系数 ，该铁棒温度的增加． （3）解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得： ， 答：该铁棒温度的增加量为． 13．（2024·广东·中考真题）计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【解答】解： ． 14．（2024·甘肃临夏·中考真题）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行开方，去绝对值，零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可． 【解答】解：原式． 15．（2024·广西北海·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算． （1）根据分式的乘方法则计算即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 16．（2023·江苏徐州·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2022 (2) 【分析】（1）根据零次幂、负指数幂及算术平方根可进行求解； （2）根据分式的运算可进行求解． 【解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点评】本题主要考查零次幂、负指数幂、分式的运算及算术平方根，熟练掌握各个运算是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $